COS CD

dy

y' = dîT -^'-^o.

L'équation (57) donne :

On en déduit :

2 COS o V * 1/

Ou peut déduire de là un résultat utile. Pour construire une solution en partant d'une caractéristique rectiligne, il faut se donner la constante G ou un élément qui la remplace ; on peut se donner la courbure totale d'un arc AB de la caractéristique de l'autre système.

Pour appliquer l'intégration graphique approchée, nous remplacerons cet arc par les deux tangentes extrêmes; on peut alors se demander s'il ne convient pas, pour tenir compte de ce que la courbure est nulle au point A, de prendre des tangentes inégales. L*absciss(? du point d'intersection des deux tangentes est donnée par la foriïuile

On ou (h'duit facilement pour x décroissant indéfiniment :

Ce résultat s'explique facilement ; la courbure est nulle au point A, mais le contact de la courbe avec sa tangente n'est pas du second ordre ; c'est un contact logarithmique qui se rapproche plus d'un contact du premier ordre que tout autre contact algébrique.

Nous avons considéré le cas d'une caractéristique du premier système et d'une constante positive, nous aurions pu traiter de la même manière les autres cas. Quand la constante est petite en grandeur absolue, on trouve une nappe limitée par une caractéristique rectiligne et un contour apparent qui touche les caractéristiques de même système. Lorsque la constante est plus, grande, on trouve que l'angle s peut changer de signe ; le rayon vecteur qui correspond à la valeur zéro de e est une caractéristique de système opposé, mais on s'éloigne trop de la caractéristique initiale, pour admettre la formule (57).

140. Classification des solutions coniques. — Nous diviserons les solutions coniques en deux classes : les solutions à faibles pressions et les solutions à fortes pressions. Nous justifierons cette classification par le théorème suivant : si en un point d'une solution conique la pression jo est plus petite ou plus grande que la pression p dans la solution linéaire qui admet la valeur de u au point considéré comme valeur constante de u, cette inégalité subsiste dans le même sens dans toute l'étendue de la solution analytique, sauf sur les génératrices d'arrêt où l'inégalité devient une égalité.

En effet, si l'inégalité changeait de sens, il y aurait un point de la solution où l'on aurait

prenons les valeurs de 9, w, q en ce point comme valeurs initiales ; nous savons qu'il y a qu'une seule intégrale qui satisfait à ces conditions initiales ; or, la solution linéaire y satisfait certainement puisqu'elle donne la même pression pour les -mêmes valeurs de 6 et de w ; donc l'égalité précédente existerait dans toute la solution, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ce raisonnement n'est en défaut que si l'on se place sur une carétéristique rectiligne ; par cette caractéristique rectiligne, il passe une infinité de solutions, y compris la solution linéaire ; on a toujours sur cette caractéristique

p = jo' ;

mais comme c'est une génératrice d'arrêt, le changement de sens de l'inégalité ne peut pas se produire.

Nous avons, au numéro 134, divisé les nappes d'une solution conique en deux espèces ; une nappe est de première ou de seconde espèce selon que la première ou la seconde des deux inégalités suivantes est satisfaite :

— sin (i* + a — G) sin (w — a — 6) ^ 0.

Il résulte de là que les génératrices qui séparent deux nappes d'espèces différentes doivent satisfaire à Tune des deux égalités suivantes :

Les caractéristiques rectilignes satisfont à l'une de ces équations, mais comme ce sont des génératrices d'arrêt, elles ne peuvent séparer deux nappes d'une même solution analytique. Mais les génératrices qui forment contour apparent satisfont aussi à l'une de ces deux équations, car leurs projections enveloppent les caractéristiques de l'un ou l'autre système. On voit donc que si une solution conique se compose de nappes de plusieurs espèces, ces nappes sont séparées par des contours apparents.

Nous avons vu au numéro 134 que selon la classe de la solution et l'espèce de la nappe considérée, les caractéristiques tournaient leur concavité ou leur convexité vers le sommet. Il faut donc qu'entre deux limites successives, contour apparent ou génératrices d'arrêt, les caractéristiques ne présentent pas d'inflexion. On peut démontrer directement qu'il en est ainsi.

On ne pourrait avoir d'inflexion que si l'on avait :

du - - 0,

de

ce qui exige

Z = ou /? == jo'.

Nous avons démontré plus haut que cette dernière égalité n'existe que sur les génératrices d'arrêt d'une solution non linéaire. Les caractéristiques de l'autre système présentent un point d'arrêt ; il n'y a pas d'inflexion.

Nous avons, au numéro 138, établi une règle pour déterminer si la caractéristique rectiligne limite la solution à droite ou à gauche. Les contours apparents limitent aussi les solutions dans le plan ; on peut les classer en deux systèmes, selon qu'ils touchent les caractéristiques du premier ou du second système. Nous allons démontrer

qu'un coutour apparent d'un système limite à droite une solution qui peut être limitée à gauche par une caractéristique de ce système, et vice versa.

Soit (fig. 89) OA un contour apparent du premier système ; r le rayon de courbure au point A de la caractéristique qui touche le contour apparent ; appliquons la formule (52) du numéro 133 :

HF

\p tang(p

Le point H est le centre de courbure de la caractéristique du premier système ; le point F est le centre de courbure de la caractéristique du second système et se confond avec le point de rebroussement ; on a donc

on en déduit