AP = P

P étant la pi^essioii donnât eu nombi*o et l la longueur qui représente Tunitéde pression. Menons, par le point P, la droite PO parallèle à la facette qui supporte la pression AP ; nous obtiendrons le pôle des facettes. On obtient alors immédiatement la pression sur une facette quelconque ; les facettes principales sont OP, et OP^ ; les facettes de glissement sont OQ et OQ'. La pression conjuguée k la pression donnée est représentée par AP'" ou AP'. Ce qui caractérise cette première solution, c'est que la pression donnée est plus grande que saj conjuguée. Nous allons calculer le rapport de ces deux pressions.

Résolvons le triangle AIP ; on donne :

PAI -= i, AI = m, IP *- n — 7n sin o^.

Nous trouverons le côté P ou AP par l'équation :

m* sin * (f = ?;i' + P* — 2 P 7n cos i.

On obtient :

-= cos i ± \ cos* i — cos' o

On trouve deux valeurs ; l'une donne AP ; l'autre donne évidemment P' ou AP", car le triangle API satisfait aussi aux trois conditions que nous avons]exprimées ; on a donc :

p cos i -\- \/ cos* i — cos* cp

^^ cos / 4- i/ cos* i — cos* ^

Ou obtiendra la seconde solution du problème en prenant AP' pour la pression donnée P : l'échelle des pressions est alors déterminée i)ar

AP' = Pl\

en désignant par F la longueur qui représente l'unité de pression. Le rapport de la pression donnée à sa conjuguée est renversé ; la pression conjuguée est multipliée par le carré de ce rapport lorscju'on pjisse de la première solution cà la seconde. On obtient le pôle 0' des facettes en menant P'O' parallèlement à la facette qui supporte la pression donnée.

99. Détermination analytique, — Reprenons la figure 59 ; la pression P ou AP peut être déterminée par sa composante normale suivant AI et sa composante taugentielle ; on trouve facilement ces deux composantes en remarquant que l'angle AIP est de 2w ; on obtient : ,

N = ,m — n cos2«w (1),

T = n sin2w (2).

Menons par A de> parallèles aux axes coordonnés supposés rectangulaires ; nous représenterons parjo^la pression sur la facette A// ; ses composantes seront désignées parp^.^ <?t Pxi,* ^^^ mêuîc la pression sur la facette kx se représentée par py' et ses composantes par 'p^^^ eipjy. Nous pouvons déterminer les pressions en A en nous donnant l'angle

te --- œApj

et les pressions principales ou m et n; nous allons déduire de ces trois quantités, les pressions sur les facettes parallèles aux axes ; nous résoudrons^ ensuite le problème inverse.

Nous appliquerons les formules (1) et (2) à la facette Ay en faisant:

On trouve :

Pxx == ^^i + ^ cos2^; (3),

Pxy = ^^ sin2«^ (4).

Nous appliquerons ces mêmes formules (1) et (2) à la facette kx eu taisant : ^

fù = ijAp, =7: — lù.

On trouve :

Pyy =^ m COS2/4 (5),

Py^ = 71 m\2it (6).

Dans la dernière formule, la force tangentielle T est — pj^ ; nous avons changé tous les signes. Les formules (4) et (0) démontrent l'égalité des composantes ^>^y et pj,r ; c'est la réciprocité dés composantes tangentielles.

Si on donne les trois composantes />,., , p-^, jjji , on obtient u, m et n par les équations (3) (4) et (5) ; on trouve :

PXX PUV .^x

H sin2^« ^ p^f^y (9).

Les formules (1) à (9) s'appliquent à un état d'équilibre quelconque ; s'il s'iigit de l'équilibre limite, on a :

n == m sin^p (10).

Si on tire n et ni des équations (7), (8), (9), l'équation (10) élevée au carré devient :

-j- ( Pvx — P'j'j\ + P = —{Puy+ P^c j sin*a> (11).

100. Dé))io)istration analytique. — Nous avons déduit les formules précédentes des propriétés des figures 59 et 60. On peut aussi les établir par l'analyse.

Menons par le point conconsidéré A (flg. 61) des parallèles Aa\ Ay aux axes coordonnés supposés rectangulaires. Nous déterminerons l'orientation d'une facette AD par Taxe qu'elle fait avec avec l'angle des y ; cet angle 6 est aussi l'angle de la normale avec l'axe des X. Soient :F, Pc , Pg les pressions sur les facetttes AD, Ay, Ax; les projections de ces pressions sur les axes coordonnés seront désignées i)ar ces niénies notations affectées de l'indice x ou y. Menons BC parallèlement à AD ; exprimons que les pressions sur le contour ABC se font équilibre.

En prenant le point E milieu de BC connue centre de moment, on obtient :

/V AB. EF — pj^y AC. EH -= 0.

ou

Pux — Pru '

Supposons BC égal à l'unité ; les équations de translation donnent alors :

P.r =- pu'.T cosO + Pjx sine, I^/ ^ Puv sinO + pry eos9.

Les composantes normales et tangentielles de la pression ont pour valeur :

N = P^. cosO -h P^ sin9,

T = — P^ sinO + P. cosO.

ou bien :

Pc:r + pjv , Pcx — Pyv

N = ^ '^ '^' '" + ^"' ^^ " "'' cos2e + p.,, sin29, ^ Pr^ -Pn g.j^2e + p^, COS29.

Nous pouvons alors poser les équations (7), (8), (9) du numéro précédent, en considérant m, n, u comme des quantités à déterminer. On trouve alors :

N =* m + n cos2(9 — w),

T == — n sin2(0 — ti).

Portons l'angle u en xXp, ; menons Ap, perpendiculairement à Ap,. L'angle w de la facette avec Ap^ est donné par :

Les valeurs de T et de N deviennent :

T = w sin2a).

Les pressions normales s'obtiennent en égalant T à zéro, ce qui donne :

w == Pi = ^>^ — w»

TT

L'angle i que fait la pression avec la normale à la facette est donné par l'équation :

T n sin2a)

N 7n — w cos2co

Ëii chassant les dénominateurs, on obtient :

m sini ■= n sin (2o + 0*

Los valeurs maxima et minima de l'angle i s'obtiennent en posant :

2îO -f 2 = ±

m sin/ = ± w.

Ces valeurs de i sont égales et de signe contraire ; soit (p la valeur maxirna ; on a :

7n sin-p = n

Les valeurs de w sont :

S'il s'agit de l'équilibre limite, l'angle ç est donné, l'équation (10) e-st une équation de condition qu'on peut mettre sous la forme de l'équation (11) du numéro précédent.