SB

on a donc

Nous pouvons aussi construire deux solutions linéaires fictives sur MN en adoptant les pôles o et o' ou les angles u et w' ; nous pouvons prendre MN égale à Tunité et alors les pressions q et (jf au point N dans les deux solutions linéaires sont déterminées par la formule (50) du numéro 132. On a

sin 6 — sin qp- sin (2u — 6)

cos cp

On obtient q' en remplaçant u par

On en déduit

q' — q =^ — 2 n tang <f sin A^^ cos [*cu + Am — 0).

Les angles u et w' sont les angles formés par les droites Do et Do' avec Taxe horizontal S^r ; les angles 2u et 2?^' sont les angles formés par les droites lo et lo' avec le même axe horizontal ; on en conclut

que la bissectrice de Tangle olo' fait avec Taxe horizontal un. angle

î «= 2u 4- Am

et avec MN un angle

Posons

A = BAo' = Ao'o == A' +

la difierence des pressions devient

q' — g = — 2 n tang f . sin Aw . sin A.

Donnons-nous Fangle i ou la direction de la droite SB ; nous obtiendrons toutes les positions du pôle o' en faisant varier l'angle A de zéro à n. Cela est vrai quel que soit i. On a donc

Il y a cependant une exception ; Tinégalité devient une égalité quand le pôle o'- vient en B ; écartons provisoirement ce cas pour l'examiner plus loin. Des deux inégalités qui existent entre p et p' et q et q\ on déduit

Supposons que la solution linéaire règne à droite de NM, on a

l'inégalité précédente devient

On a donc à gauche de NM une solution à forte pression ; or, c'est une nappe de première espèce ; donc les caractéristiques sont convexes vers le sommet (134) et la nappe n'est pas limitée par une caractéristique mais par un contour apparent.

On arrive à la même conclusion, si l'on admet une solution linéaire à gauche de NM ; on a alors

On trouve à droite de NM une solution à faible pression ; or, c'est une nappe de seconde espèce ; donc les caractéristiques sont encore convexes vers le sommet et la nappe n'est pas limitée par une caractéristique mais par un contour apparent.

Examinons le cas d'exception ; le pôle o' est en B, le pôle o en A ; les talus des solutions linéaires sont parallèles à AB ; la ligne de discontinuité est aussi parallèle a AB, elle se confond donc avec le talus ; si Ton suppose la poussée des tef*res sous le talus, on trouvera une seconde solution linéaire qui est la butée des terres au-dessus du talus, mais elle disparait complètement si Ton écarte les pressions négatives. Le cas d'exception n'existe donc pas et tout ce que l'on peut déduire des considérations précédentes, c'est qu'en menant une ligne de discontinuité faisant un angle infiniment petit avec le talus d'une solution linéaire, on engendre une nappe à contours apparents qui tend à devenir une solution linéaire quand son étendue se réduit à zéro ; les deux solutions linéaires sont les deux solutions qui sont désignées par la poussée et la butée des terres.

On déduit de là que la discontinuité à la surface libre est toujours une discontinuité double ; en effet, s'il y a une ligne de discontinuité, il se forme une nappe sans caractéristique qui ne peut être reliée à une autre solution linéaire que par une seconde ligne de discontinuité finie. Nous avons vu qu'on peut se donner les pressions sur une surface idéale et déterminer la surface libre du massif qui peut les engendrer ; s'il y a une discontinuité finie dans ces pressions, elle peut s'éteindre ou se prolonger jusqu'à la surface libre ; dans ce dernier cas, il se formera une seconde ligne de discontinuité qui sera en quelque sorte une réflexion de la première sur la surface libre.

Les considérations qui précèdent peuvent aussi s'appliquer au cas de deux solutions coniques quelconques reliées par une ligne droite de discontinuité. Le rapport des pressions p' et p dépend de Am ; on pourra toujours se donnei* des pressions assez fortes pour avoir deux solutions à fortes pressions ; on a alors des caractéristiques convexes vers le sommet à gaucbe de NM et concaves à droite de NM. Si les pressions diminuent, les courbures diminuent, et quand on a

on a une solution linéaire à droite de NM et des caractéristiques convexes à gauche. Si les pressions continuent à diminuer, on obtient des caractéristiques convexes à droite et à gauche de NM, jusqu'au moment où l'on a :

On a alors une solution linéaire à gauche de NM. Si on diminue encore les pressions, on obtient deux solutions à laibles pressions ; les caractéristiques sont concaves à gauche de NM et convexes à droite.

Il existe enfin une relation approchée entre la solution théorique continue déterminée par deux caractéristiques et la solution discontinue qui donne la solution du problème. Nous allons démontrer que si, dans une solution conique, on mène une ligne droite de discontinuité faisant un angle très petit avec Tune des caractéristiques rectilignes, on obtient une nouvelle solution conique qui diffère peu d'une solution construite sur cette caractéristique rectiligne.

Soient, figure 111 : MN la ligne de discontinuité, o le pôle de répure circulaire relative au point N pour la gauche de NM, o' le pôle de Tépure circulaire relative au même point N pour la droite de NM. Nous supposons que la ligne MN forme un angle très petit avec la caractéristique du second système ; cet angle p est représenté par AoT' ; on en conclut que Tangle p' ou Bo'T' est aussi très petit. Nous considérerons Tangle

Fig. 11Î.

Aw = p + p'

(îoinnie une quantité très petite du premier ordre, et nous négligerons les quantités très petites d'ordre supérieur.

Nous avons trouvé (100)

sin / =-- sin <p cos Aw ;

on en déduit

L'angle AST' est donc négligeable. On a aussi (100)

et par conséquent

rji

\ff.

Le rapport des pressions est donné par la formule (47) qui est

jd' cos (i — au)

p cos {i -\- Su)

et qui devient :

p'=p{l +4? tangcp).

Si on suppose MN égal à Tunité, on peut écrire

q'^g(l + 4? tang cp).

Nous avons établi (136) des formules qui permettent de calculer les fonctions g, w, 9 dans les environs d'une caractéristique ; nous pouvons aussi résoudre le problème inverse : on donne q, u, Q ; on demande les valeurs Qo, ^, ô© qui correspondent à la caractéristique. La formule (58) du numéro 136 a été établie pour une caractéristique du premier système ; pour l'appliquer à une caractéristique du ^cond système, il suffit de changer les signes de a et de n ; on a alors

n cos 9 4- o' cos 2 âî ^ (g - ?o) - 2 ? tang (f . (w - tto) - ^7^^^ (6 - 9o).

Nous avons supprimé l'indice zéro des coefficients, ce qui est permis à l'approximation que nous avons admise. Il nous faut deux nouvelles équations pour trouver les trois inconnues ; ce sont :

%o + a — 9o = 0, go^R cos (9o — 2 a) = n cos [B — 2a—(B— 9o)].

Nous introduirons les différences en retranchant respectivement ces équations de :

Nous obtenons :

u — Uo-={B— 9o) + P, {g — îo) - ? — n cos (9 — '2a) — H (9 — 9o) sin (9 — 2a).

On trouve les trois différences par la résolution de trois équations linéaires; on obtient

(7 — n cos (9 — 2a) + 2 ? P tang 9 (0 0„)tang'f= 3y + n eos (9 - 2^

Pour appliquer cette formule à la solution engendrée par la discontinuité finie, on doit remplacer q par q' et p par ,3' ou ^ pris en signe contraire ; on trouve que le numérateur ne change pas et que le dénominateur varie d'une quantité négligeable. On peut donc dire que 9 — 0o ne change pas à Tapproximation admise ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

On peut déduire de ce théorème que la solution conique qui s'appuie sur deux solutions linéaires par deux discontinuités finies diffère très peu de la nappe principale de la solution théorique continue, lorsque l'angle des caractéristiques qui déterminent la solution intermédiaire diffère peu de l'angle ordinaire des caractéristiques de systèmes opposés.

168. Analogie avec le ressaut dotible, — Lorsque nous avons étudié la propagation d'une onde finie, nous avons reconnu l'existencejd'une relation obligée entre les vitesses à la base et au sommet de l'onde ; nous avons montré (67) que si cette relation n'existe pas, on se heurte à des impossibilii.es manifestes en admettant une onde unique. Cependant, on peut supposer qu'une discontinuité quelconque soit réalisée à l'instant t par un barrage et des manœuvres hypothétiques ; (on est en droit de se demander ce qu'il se passera dans les instants suivants. Puisque l'onde unique est impossible, il faut en conclure qu'il se produira un phénomène plus compliqué. Nous ne l'avons pas étudié dans le chapitre précédent, mais nous pouvons combler cette lacune en appliquant au mouvement varié la théorie de la double discontinuité.

Soient (figure 112) (u. H') {u\ H') les doux systèmes de valeurs qui

caractérisent la disconti- A' H" B nuité entre les deux axes

hydrauliques CA et A'B ; ces deux axes commandent des surfaces hydrauliques représentées en plan par CAD et ABE. Les caractéristiques AE et AD sont de systèmes opposés, mais elles ne déterminent pas une solution ordinaire, à cause de la discontinuité qui existe au point A. Soit (u". H") un système de valeurs intermédiaire à déterminer convenablement. Nous pouvons construire une solution pseudo-conoïde EAF sur les

H' "fC

Fig. 112.

deux caractéristiques AE et le point A (ou A'A") considéré comme caractéristique d'aval. L'équation de cette caractéristique d'aval (50 et 70) est

Vt

En séparant les variables, on a :