J VI
rf H — C.
Posons
•I (H)= ( \ A- du.
et remarquons que cette fonction croit dans le môme sens que la variable. Nous déduisons de Tintégrale générale une intégrale définie entre les limites (%', H') et {u'\ H") ; nous trouvons :
Construisons de môme une solution pseudo-conoïde sur la caractéristique AD et le point A considéré comme la projection d'une caractéristique d'amont A A". Le radical des formules précédentes change de signe, de sorte que l'on a :
Les inconnues u'* et ij/ (H") sont déterminées par deux équations ; en les résolvant, on trouve :
Supposons, pour fixer les idées, H plus petit que H' ; faisons varier la différence des vitesses. La fonction '| varie dans le même sens que la variable ; nous ferons donc croître H" en faisant croître u — w' ou en faisant décroître l'accroissement
Posons
a ^- '^ (H') - 'HH) ;
on trouve facilement les résultats suivants :
pour Au > a, H" < H ;
Au -= a, H" - H ; — a < Au < a, H' > H" > H ;
Au = — a, H" ^ H' ; AW < — «, H" > H'.
Immédiatement apfés Tinstant initial, il se forme un axe hydraulique à la hauteur H" entre les axes de hauteur H et H' ; le niveau de cet axe est inférieur, intermédiaire ou supérieur aux niveaux des deux autres, selon la valeur de Au,
Cherchons dans quel cas les solutions pseudo-conoïdes sont physiquement possibles. La direction des caractéristiques d'amont qui émergent du foyer A est déterminée par l'équation
ds
+ yjgh ;
dt en suivant la caractéristique d'aval A' A", on a :
dv = dU'\-
dh X /^^iT . dh\ X I g
Nous avons démontré (52) la relation
dh= f 1 ^] dR;
on a donc
dr = — -- Y , -^- ( 3
Nous avons fait remarquer (60) que, pour les sections de forme ordinaire, ou a toujours
il en résulte que la vitesse v varie dans le même sens que H.
Il existe cependant des sections à talus convexes vers le haut, pour lesquelles cette inégalité est renversée ; il serait bien facile de traiter ce cas également, mais ces sections sont exceptionnelles.
Remarquons aussi qu'il y a une section de passage, pour laquelle on a constamment
h Pour interpréter cette équation, remarquons que l'on a
3 rfw dl / 3 1
On voit que la section de passage satisfait à la condition
a désignant une quantité constante.
Si nous tirons de cette équation la valeur de », si nous différentlons en remarquant que
d(ù = IdR^
nous obtenons une équation différentielle entre Z et H dont l'intégrale est
On détermine les constantes a et é en se donnant pour Ho les valeurs fù^ et h ; la formule donne la forme des talus pour les valeurs de H supérieures à Ho. Pour cette section de forme spéciale, la vitesse t? est constante ; on est obligé de calculer la variation de
d^s dv
dV dt
pour connaître la situation de la solution pseudo-conoïde.
Si l'on écarte les sections de forme extraordinaire, v varie dans le même sens que H ; en faisant décroître H de H' à H", v décroit et par conséquent la solution EAF est physiquement possible. On peut appliquer le même raisonnement aux caractéristiques qui émergent du foyer A dans la solution DAK ; on doit changer le signe du radical ; c'est donc en faisant croître H de H" à H que Ton obtiendra des valeurs décroissantes de v et que la solution DAK sera physiquement possible. Les deux solutions pseudo-conoïdes sont donc physiquement possibles lorsque H" est plus petit que H et que H' ; cela se présentejlorsque Ton a
àu> a.
Si Faccroissement Aw est pris égal à a, Tune des solutions pseudoconoïdes disparait.
Si nous continuons à faire décroître Taccroissement de vitesse, la valeur de H" devient supérieure à H et la solution DAK devient physiquement impossible; il faut y substituer une ligne de discontinuité Ânie ; les équations du problème deviennent alors :
u" — ^ (H") = w' — ij^ (H')
On en déduit :
AU ^ I (H.) - + (H") - \/ g (^î::ri«)J^;^J=^'^ (68).
En faisant croître H", on fait décroitre la valeur de Taccroissenient de vitesse ; en prenant H" égal à H', on trouve
Aw = — p i
Il résulte de là que Ton obtiendra un niveau intermédiaire H" limité à Taval par une solution pseudo-conoïde et à Tamont par un ressaut d'élévation, lorsque Ton aura
a > Am > — p
Si on continue à faire croitre H", ou trouve deux ressauts et les équations du problème deviennent :
Ou en déduit
V ^ \ / ic." - co) («" rr - « y;) ■/ (co" - o)') («" yj" - o)' /;') ^^ ^
En faisant croitre H", la valeur de lu diminue de plus en plus. On voit donc que l'on obtiendra un niveau H" supérieur aux deux autres lorsque l'on aura :
Att < — p.
La substitution des discontinuités finies aux solutions pseudoconoïdes physiquement impossibles n'a pas changé considérablement la discussion des différents cas ; la valeur de l'accroissement lu qui correspond au cas où H" devient égal à H' est devenue
— p au lieu de — «.
Les quantités a et p différent même très peu lorsque la hauteur du ressaut n'est pas très grande. Si nous posons
on peut développer en série les valeurs de a et de p ; on trouve, par des calculs faciles analogues à ceux du numéro 48 :
'-'V-if:-' -Tk +•••) n/t-'
\ Ah 4k I ^ h
On voit que les valeurs de a et ? ne diffèrent que par les termes du troisième ordre par rapport à £.
La quantité a représente la différence des vitesses au foyer d'une solution pseudo-conoïde qui correspond à une dénivellation H' — H ; la quantité p représente la différence des vitesses sur une ligne de discontinuité finie réalisant la môme dénivellation. Nous allons démontrer que la valeur absolue de la différence des vitesses est toujours plus grande pour la discontinuité finie que pour la solution pseudo-conoïde.
En effet, nous pouvons mettre l'équation qui détermine la quantité ? sous les formes suivantes :
en posant :
— = I XrfH X I YdH.
X =- -7 , Y = fo.
Nous mettrons l'équation qui donne a sous les formes suivantes
Or, ou a :
on a donc
Nous avons donc :
r 4 /XY". d H.
f XrfH X J Y du - [|i/XY. rfnj'.
Les limites des intégrales sont H et H' ; les fonctions X et Y sont positives ; il s'agit de démontrer que le second membre de réquation précédente est une quantité toujours positive.
Pour démontrer ce théorème d'analyse, considérons les intégrales comme des limites de sommes et prenons d'abord les sommes ; nous aurons à calculer
Développons le produit et le carré ; supprimons le terme commun
2VP.'; on trouve :
quantité toujours positive. On a donc
=- lim A > 0.
On peut aussi démontrer ce théorème de la manière suivante :
B« ( XdRx ( YdR—[ fyXY.rfn]"
rfB
du
dE'
dB
X' 1 Y du + Y' r XrfH — 2 1/ X' Y' (j X Y
La quantité B est nulle pour H égal à H' ; sa dérivée est positive, donc B est positif pour H' plus grand que H. Il y a cependant un cas d'exception où B est constamment nul ; on reconnait facilement que c'est le cas de la section de passage dont il a été question plus haut.
169. Formation d\m 7^essaiit double. — Nous avons supposé (flg. 112) une discontinuité double au point A à un certain instant t ; on peut supposer qu'elle soit réalisée par des manœuvres hydrauliques et qu'il y ait en A un barrage s évanouissant à cet instant. Nous nous proposons d'examiner si cette discontinuité double peut
pésulter d*iin axe hydraulique antérieur sans Tintervention d'un barrage en A. Partons de Tinstant t et faisons décroître le temps ; nous construirons la surface hydraulique antérieure en appliquant la méthode générale ; nous imaginerons en A un niveau intermédiaire H" et nous relierons la solution continue E'AK' aux solutions AF'C et AD'B pai* les solutions pseudo-conoïdes E'AF' et D'AK'. On a :
id'' — '^ (H'") «- w — '1 (H), «'" 4- ^ (H'") =- w' H- 'I (H') ;
d'où
Si Ton compare cette formule à celle qui nous a donné H" dans le numéro précédent, nous voyons qu'on passe de Tune à l'autre en changeant le signe de la différence des vitesses ; c'est donc en faisant croître ùkti que nous ferons croître H'" ; nous ferons comme précédemment décroître Aw, nous trouverons des valeurs décroissantes de H'" ; on trouve facilement :
pour ^u > a. H"' > H' ;
- a<tiu < a, H' > H'" > H ;
Am « — a, H'" = H ;
Am < — a, H'" < H.
On dén\ontre comme précédemment que les deux solutions pseudoconoïdes sont physiquement possibles lorque H'" est inférieur aux deux autres hauteurs et le sont seulement dans ce cas ; en d'autres termes, quand les solutions pseudo-conoïdes sont possibles avant l'instant t, elles ne le sont plus après cet instant et vice-versa.
Prenons d'abord le cas de la figure 112, où les solutions pseudoconoïdes sont impossibles quand on fait décroître le temps ; nous construirons deux lignes de discontinuité finies AM et. AN. Plaçonsnous alors à l'instant to antérieur à l'instant t ; nous obtiendrons un axe hydraulique MN limité par deux ressauts ; mais ce sont précisément des ressauts évanouissants (70) ; il faut donc en conclure qu'on ne peut réaliser naturellement la discontinuités double que nous avons supposée à l'instant t. On peut reconnaître immédiatement
cette impossibilité sans recourir aux considérations que nous venons de rappeler. Plaçons-nous au point M ; on a :
Au -« P > a,
les quantités (3 et a étant calculées pour les deux hauteurs en M ; en
partant du point M, on se trouve dans le cas où les deux solutions pseudo-conoïdes sont possibles; la discontinuité finie est instable, puisqu'il suffirait, pour la faire disparaître, de substituer des accroissements continus très rapides aux accroissements brusques.
La discontinuité double ne sera donc réalisable naturellement que dans les cas où les deux solutions pseudo-conoïdes sont physiquement possibles avant l'instant t. On peut alors construire l'axe hydraulique à l'instant to qui engendre la discontinuité double à l'instant t et cet axe ne présentera aucune discontinuité. Il faut cependant remarquer que c'est là un état initial infiniment peu probable, car Taxe hydraulique et les vitesses doivent être calculés précisément de manière à obtenir des caractéristiques qui convergent en un même point A. Nous examinerons néanmoins les différents cas qui peuvent se présenter.
On peut avoir au point A
Aw a. H" = H'. H'" == H ;
on trouve avant l'instant / une seule solution pseudo-conoïde ; elle correspond à un foyer des caractéristiques d'aval ; elle devient impossible après l'instant / ; en la remplaçant par une seule discontinuité finie, on augmenterait la valeur absolue de la différence des vitesses, car on a
Aw = — a > — p ;
on obtient donc une discontinuité finie d'aval et une solution pseudoconoïde d'amont. Si on négligeait la différence entre a et p, on aurait seulement la discontinuité finie ; donc la solution pseudo-conoïde a peu d'étendue.
En faisant décroitre Aw, on trouve deux solutions pseudo-conoïdes avant l'instant t ; la solution pseudo-conoïde qui existe après cet instant devient de moins en moins sensible et elle disparait quand on a
Aw«. p.
Si on continue à faire décroître au, on obtient un ressaut double engendré par deux solutions pseudo-conoïdes.
Nous avons dit que tous ces états antérieurs à la discontinuité A sont infiniment peu probables ; en remplaçant chacune des solutions pseudo-conoïdes par plusieurs discontinuités finies, on obtient des états antérieurs tout aussi improbables ; le seul état antérieur probable est celui qui résulte de l'intersection de deux ligues de discontinuité finie. Nous l'obtiendrons en remplaçant les deux solutions pseudo-conoïdes par deux discontinuités finies, et cela exige que Ton ait
On reconnaît, comme au numéro 166, qu'il y a une certaine indétermination dans la construction de ces lignes ; il y a une infinité d'états antérieurs ; dans chacun de ces états, l'axe hydraulique, à l'instant to, présente une dépression limitée par deux ressauts persistants dont les lignes de propagation se coupent au point A. Après la rencontre des deux ressauts, il se produit un axe hydraulique surélevé limité par les deux ressauts. Les lignes de propagation changent de direction au moment où elles se coupent ; les nouvelles directions résultent du calcul des vitesses des deux ressauts.
Nous avons supposé H plus petit que H' ; on peut reprendre toute la discussion pour le cas où H est phis grand que H' ; la seule modification est que H'' atteint H' avant H. La discontinuité i)eut résulter d'un état antérieur quand on a
H'" ^ H' ou bien
a = •! (H) — i|; (HV
Le seul phénomène probable est encore l'intersection de deux lignes de discontinuité finie; on doit avoir
Le cas de l'égalité correspond à un ressaut simple. Enfin on peut avoir H égal à H' ; on a
La rencontre de denx ressauts a lieu qnand i\u est négatif.
(A continuer. J
MÉMOIRE
SUR
L'INTÉGRATIOIN GRAPHIQUE
DES
PAR
Ingénieur des Ponts et Chauss^ef, Professeur à l'Universllé de Gand.
