INFLUENCE DE LÀ COHÉSION

170. Massifs pulvéfnclents. — Les principes que nous avons exposés dans les paragraphes précédents permettent de déterminer les pressions qui se développent dans un massif pulvérulent prismatique, quelles que soient les conditions limites. Nous pouvons nous donner à volonté la forme de la surface libre, la forme des constructions qui soutiennent les terres ou qui reposent sur elles ; nous pouvons déterminer, aussi exactement qu'on le désire, les divers états d'équilibre qui correspondent aux mouvements de la construction dans les différents sens.

Avant d'aborder les applications de notre méthode, nous reviendrons un instant sur l'hypothèse que nous avons admise, en supposant, selon l'usage, les terres dépourvues de toute cohésion. On a fait à cette hypothèse les objections suivantes : en négligeant la cohésion, dit-on, on néglige le facteur le plus important de la stabilité des terres ; dans un terrain vierge, on peut établir des fouilles limitées

(i) Voyez : tome xxu, pages 85-214 ; troisième série, tome i, pages 135-226 et pages 393-434 ; tome n, pages 383-436,

par des parois verticales de hauteur assez grande et ces parois se maintiennent pendant longtemps ; les déductions tirées de l'équilibre des massifs pulvérulents sont donc fort éloignées de la vérité. On ajoute que la preuve de l'importance du rôle de la cohésion, c'est que, sans la cohésion, on ne pourrait jamais fonder un ouvrage directement sur le bon terrain, car un bon terrain est une terre qui a assez de cohésion pour supporter le poids de la construction que Ton veut édifier.

Une première raison pour laquelle on ne tient pas compte de la cohésion, c'est qu'il n'existe aucune théorie certaine qui permet d'en déterminer l'influence. On a proposé d'ajouter au frottement sur les plans de glissement une constante égale au coefllcient de résistance des terres au cisaillement. Mais c'est là un mode de calcul qu'il est difficile d'admettre, car si la terre conserve sa structure solide, il y a résistance au cisaillement mais il n'y a pas de plan de glissement, et s'il y a des plans de glissement, la cohésion n'existe plus, il n'y a plus de forces élastiques tangentielles. Une seconde raison, c'est que les forces de cohésion peuvent s'évanouir pour des motifs divers : les influences météorologiques, humidité et sécheresse, gelée et dégel peuvent briser la cohésion, et la terre fonctionne alors, à peu de chose près, comme une terre sans cohésion. Dans ce qui suit, nous allons montrer, en outre, que c'est un préjugé d'attribuer une grande importance aux forces de cohésion ; nous allons faire voir que, dans les grandes constructions, le rôle de ces forces est à peu prés nul et que c'est avec raison qu'on les néglige dans les calculs.

171. Cohésion de capillarité, — On peut verser du sable parfaitement sec et en former un tas limité par une surface présentant les inclinaisons du talus naturel. Si l'on ajoute une petite quantité d'eau, le sable devenu humide se comporte bien différemment ; il acquiert une certaine plasticité et, en petite masse, il peut prendre les formes les plus diverses. Il semble que cette cohésion est produite par la capillarité. Il est évident que les forces de cohésion de cette nature sont très petites et n'exercent d'influence que sur l'équilibre de masses très réduites.

172. Cohésion de solidité. — La terre non remuée présente une cohésion d'une autre nature ; on peut la considérer comme un solide pouvant développer des forces élastiques appréciables. Il y a des terres dont la dureté peut se rapprocher de celle de la roche, mais ce ne sont pas celles-là dont nous étudions la stabilité. Nous ne considérons que les terres ordinaires qui constituent un solide dont les coefllcients de résistance sont excessivement faibles, quand on les compare aux coefficients de résistance des matériaux pierreux.

173. Principe de similitude. — Nous avons démontré (102) qu'étant donné un massif pulvérulent en équilibre» on peut construire un massif géométriquement semblable qui sera également en équilibre. Ce théorème n*est plus vrai quand on tient compte de la cohésion et l'on doit le remplacer par le suivant : étant donné un massif de terre qui ne peut être en équilibre que par l'intervention des forces de cohésion, un massif géométriquement semblable est condamné à périr par rupture immédiate, si les dimensions sont augmentées dans un rapport suffisamment grand.

En effet, étant donné un massif en équilibre, on peut toujours construire un massif géométriquement semblable; et ce dernier sera également en équilibre si les forces élastiques varient dans le rapport de similitude. Cette propriété résulte immédiatement de la forme des équations de l'élasticité. Soient A et B deux massifs géométriquement semblables ; les divers états d'équilibre de A et de B se correspondent, car à tout état d'équilibre de A correspond un état d'équilibre de B, et réciproquement ; il en résulte que les états d'équilibre où le travail de la cohésion est le plus petit possible, se correspondent également. Or, en passant de A en B, la force de cohésion augmente dans le rapport de similitude ; si l'on augmente ce rapport, il arrivera un moment où les coefficients de rupture seront dépassés et l'équilibre sera rompu.

Il résulte de ce théorème que si les forces de cohésion peuvent exercer une certaine influence dans les petites masses, elles deviennent négligeables dans les grandes constructions. Ainsi, par exemple, on peut donner les formes les plus diverses à une petite masse de sable humide ; un grand remblai en sable humide doit être établi suivant le talus naturel. On peut couper verticalement une terre vierge, si la hauteur de la paroi ne dépasse pas une certaine limite ; si la hauteur augmente, il y a éboulement.

174. Mur de soutènement, — Nous supposons que Ton coupe verticalement une terre vierge, que la hauteur de la paroi dépasse la limite dont il vient d'être question et que l'on construit un mur de soutènement sans diminuer la cohésion des terres. On peut se proposer de calculer la pression que le mur doit exercer sur la paroi pour empêcher la rupture de la cohésion du massif. C'est là un calcul bien difficile à faire exactement ; mais nous simplifierons la question en supposant que les axes principaux de la déformation de la terre en un point de la paroi soient dirigés suivant la verticale oz, suivant la perpendiculaire ox au mur, et suivant un axe oy perpendiculaire aux deux autres.

Les pressions principales parallèles aux axes des x et des z sont unies aux dilatations principales par les formules connues :

jDr = — p (3 Sj- + Si/ + 5,),

P(, = — jE/ (Sx + 8^ + 3 5,).

Nous transformerons ces deux équations en remarquant que l'équilibre dans le sens vertical donne

l'origine des axes étant plaeée à la surface libre des terres ; nous remarquerons ensuite qu'il ne peut y avoir de dilatation dans le sens longitudinal et nous ferons

Éliminons ensuite la dilatation dans le sens des z^ supprimons les indices des pressions et dilatations dans le sens des cOy nous obtenons

II2: — 3 p = 8 f/. d.

La stabilité des terres, au point de vue où nous nous plaçons, exige que la dilatation ne dépasse pas une certaine limite L Nous obtientrons la dilatation L qui précède la rupture, en déterminant la hauteur maxima H d'une paroi verticale qui peut se soutenir d'elle-même ; il faut alors dans la formule précédente annuler la pression jo du mur ; on trouve :

nH = 8fjLL

Adoptons un certain coefficient de sécurité ; prenons par exemple

cela revient à admettre une hauteur h cinq fois plus petite que H et à écrire

La condition de stabilité des terres soutenues par un mur est alors

d'où 1*011 tire

En d'autres termes, les terres conserveront leur structure solide, si le mur est calculé de manière à résister à une poussée donnée par la formule

sur la hauteur A, le mur est inutile.

Calculons maintenant la poussée, en supposant un massif sans cohésion ; nous supposons que Ton ne tient pas compte du frottement des terres sur le mur ; nous obtenons

p' = n^^ tang* a,

cp étant l'inclinaison du talus naturel.

Pour un talus naturel incliné à 30 degrés sur l'horizon, on trouve précisément

dans ce cas on aura toujours

il y aura économie à tenir compte de la cohésion. Mais les terres qui ont une certaine cohésion ont un talus naturel plus incliné sur l'horizon ; on a presque toujours

tang'a <-g-

Alors la pression jd' croît plus rapidement que p lorsque l'on fait croître z ; il arrive un moment où il est plus économique de supposer les terres sans cohésion. Nous trouverons la hauteur h\ au-delà de laquelle il est préférable de négliger la cohésion, en posant

on trouve

1 — 3 tangl a

Pour un talus à 45 degrés, on trouve approximativement

Supposons que la terre puisse se soutenir d'elle-même sur une

hauteur de 5 mètres ; on réduira la hauteur A à un mètre et Ton

aura

K = 2 mètres.

On voit donc que Tinfluence de la cohésion n'a pas l'importance qu'on voudrait lui attribuer ; elle se réduit à diminuer la poussée sur une hauteur de 2 mètres. Il faut remarquer, en outre, que le calcul qui précède est très incertain et qu'il serait difficile d'évaluer l'importance de la cohésion par un calcul qui soit à l'abri de toute critique, tandis que la poussée des terres sans cohésion a été calculée par une formule qui donne une poussée manifestement trop grande. En tenant compte du frottement des terres sur le mur, on trouverait que l'influence delà cohésion est encore plus petite.

175. Fondations, — Nous avons dit qu'on attribue quelquefois à la cohésion des terres la possibilité de fonder directement un ouvrage sur le bon terrain ; c'est là, nous semble-t-il, un préjugé dont il nous sera facile de montrer l'inconséquence. Quand il s'agit d'édifier une construction importante, on détermine soigneusement les pressions que subissent les matériaux pierreux afin de constater que les limites de résistance ne sont pas dépassées. Ces matériaux pierreux, on les place alors sur le bon terrain et ce serait grâce à la cohésion que ce soit-disant bon terrain résisterait. Cependant ce bon terrain va subir les mêmes pressions que les matériaux qu'il supporte; pour être logique — et logique jusqu'à l'absurde — on devrait envoyer des blocs de ce bon terrain dans un laboratoire de mécanique appliquée, pour les soumettre aux mêmes expériences que les pierres qui forment la base de la construction; mais on n'en fait rien et quand on demande à un praticien à quel caractère on reconnaît le bon terrain, il répond que c'est une terre qui résiste à la pression que la main peut exercer par l'intermédiaire d'une canne. Il nous semble que si la construction est assez importante pour qu'on se préoccupe des pressions qui s'exercent sur les maçonneries, il est évident que les coefficients de résistance de la terre seront dépassés. La terre va donc s'écraser et se comporter comme un massif sans cohésion. La fondation sera stable si la profondeur de la fouille de fondation a été convenablement calculée.

Si la stabilité d'une fondation était due à la cohésion des terres, on pourrait déblayer les terres environnantes jusqu'au niveau de l'assiette des fondations ; cela reviendrait à réduire la fouille à

zéro ; une disposition semblable serait contraire à toutes les règles de la pratique.

176. Talus. — C'est dans la stabilité des talus que la cohésion des terres exerce le plus d'influence. On peut maintenir pendant un certain temps un talus un peu plus incliné que le talus naturel. Cela provient de ce que des forces élastiques très faibles sont suffisantes pour empêcher l'éboulement. Dans ce qui va suivre, nous étudierons la stabilité des talus en supposant une terre sans cohésion. Quand nous trouverons qu'un talus n'est pas en équilibre sous l'action de pressions supérieures, nous déterminerons la surface d'éboulement ; il est bien entendu que cette surface ne se réaliserait instantanément que si le massif était pulvérulent ; en réalité, l'éboulement ne se produira que lorsque les influences météorologiques auront désagrégé les terres et supprimé la cohésion.

§ 10. STABIUTÉ DES TALUS.

177. Massif hétérogène. — Nous avons supposé jusqu'ici que le poids spécifique et le coefficient de frottement des terres restent constants dans toute l'étendue du massif. Dans ce cas, la seule condition d'équilibre est que l'inclinaison de la surface libre ne soit en aucun point supérieure à celle du talus naturel ; notre méthode permet alors de trouver les pressions en tous les points du massif. Il peut arriver que le massif soit hétérogène ; nous supposerons qu'on peut le subdiviser en couches homogènes par des surfaces où le poids spécifique ainsi que le coefficient de frottement peuvent subir des modifications discontinues ; il suffit alors d'étudier séparément l'équilibre de chaque couche.

Soit AD (fig. 113) la surface qui sépare deux couches ; on détermine les fonctions (p, u) pour la couche supérieure (116) ; on en

déduit par l'épure circulaire (95) la pression P en un point quelconque M de la surface de discontinuité.

On construit alors, s'il y a lieu, une nouvelle épure circulaire en introduisant la nouvelle valeur de l'angle du frottement, et connaissant P (98), on obtient les fonctions (/?', w') au même point M pour la couche inférieure. On peut alors déterminer l'état d'équilibre

de la couche iaférieure. Si le coefficient du frottement reste constant, les fonctions (p, u) sont les mêmes au point M pour les deux couches, il n'y a pas lieu de déterminer la pression P.

Pour éviter quelques multiplications, nous avons, dans les épures, représenté les pressions par les hauteurs des colonnes de terre correspondantes (118), c'est-à-dire que la ligne j9 que nous construisons n'est pas la pression effective, mais la hauteur.

en mettant la pression effective entre parenthèses ; cela revient à réduire le poids spécifique à l'unité. Quelquefois, il peut être utile de modifier cette échelle de pression en réduisant le poids spécifique à un nombre simple (122, 123) ; on a alors

ip)

Il convient de faire les mêmes conventions pour la couche inférieure ; la même pression sera représentée par p* et l'on aura

on en déduit

on trouve la nouvelle longueur par une quatrième proportionnelle. Connaissant les pressions sur AD, on construit une solution limitée à gauche par la caractéristique AH du premier système; la surface libre AE commande une solution limitée à droite par une caractéristique AF du second système ; ces deux solutions seront réunies par une solution pseudo-conique intermédiaire construite sur les caractéristiques AH et AF ; selon la valeur de l'angle HAF, cette solution sera physiquement réalisable ou présentera deux contours apparents ; dans ce dernier cas, la solution intermédiaire vraie

s'appuiera sur les deux solutions commandées par Al) et AE, au moyen de deux lignes de discontinuités finies.

Ainsi, par exemple, si la couche supérieure est plus dense, on aura sur AD des fortes pressions ; on se trouvera dans un cas analogue à celui où le talus, au-dessus de A, serait plus incliné qu'en dessous de ce point; c'est le cas de l'angle rentrant (126); la caractéristique AH se rapprochera de la verticale, l'angle HAF sera plus petit que l'angle ordinaire des caractéristiques; on trouvera d'ahord une solution théorique présentant deux contours apparents, on devra les remplacer par deux discontinuités finies (167). Si, au contraire, la couche supérieure est moins dense, la caractéristique AH s'éloignera de la verticale et l'on se trouvera dans un cas analogue à celui de l'angle saillant. Si la surface lihre présente en A un angle rentrant ou saillant, s'il y a des discontinuités dans la densité et le coefficient de frottement, les effets de ces diverses discontinuités peuvent s'ajouter ou se neutraliser; on peut rencontrer des cas très variés.

Il peut arriver que la caractéristique AH dépasse la verticale AV et vienne se placer en AH'. Cela ne se présente jamais dans les massifs homogènes ; dans ce dernier cas, la caractéristique AH devient verticale si le talus AB a l'inclinaison du talus naturel; pour toute autre inclinaison, on obtient une caractéristique AH qui tombe a droite de la verticale. Mais si la couche supérieure est plus dense que la couche inférieure, la caractéristique peut dépasser la verticale; nous en trouverons des exemples plus loin. Dans ce cas, l'équilibre des terres sera rompu, même si l'on donne au talus AE l'inclinaison du talus naturel ; on peut se proposer alors de déterminer la forme de la surface d'éboulement qui réalise l'équilibre strict avec le minimun de terre ; on peut aussi chercher les pressions dans le cas où le profil passe au-dessus de la surface d'éboulement et présente un excès de stabilité.

178. Plan d'éboulement. — Etudions d'abord les phénomènes qui se passent autour du point A en prenant la limite relative d'un massif infiniment petit ; la ligne du terrain et la ligne de discontinuité. deviennent les droites AB et AD de la figure 114 ; toutes les solutions deviennent des solutions coniques ayant A comme sommet. Nous déterminons, comme nous l'avons indiqué plus haut, les fonctions (/), u) pour un point D de la couche inférieure, et nous construisons la solution conique qui doit exister sous la droite AD. Nous supposons que cette solution conique est une solution de seconde espèce à forte pression ; les caractéristiques sont concaves vers le sommet ; nous supposons, en outre, que la caractéristique d'arrêt qui

Fig. 114.

limite cette solution à gauche dépasse la yef ticale et se trouve en AH. Il s'agit de construire sur cette caractéristique un massif HAE en équilibre.

Menons dans répure circulaire la droite Th parallèle à AH; traçons la droite AE parallèle à SA. Le massif HAE sera en équilibre si nous suppcJsons la butée des terres dans ce massif, car on trouve une solution linéaire ayant AH comme caracté-

ristique du premier système. On peut considérer comme évident que si l'on adoptait un talus AE" plus incliné que AE, la butée du massif HAE" serait insuffisante pour assurer l'équilibre ; effectivement, on trouve alors que la caractéristique commandée par AE" fait avec AH un certain angle et Ton ne parvient pas à réunir ces deux caractéristiques de même système. Si, au contraire, on adopte un talus moins incliné AE', il y aura excès de stabilité et l'on prévoit qu'on pourra admettre la poussée des terres sous le talus. Le plan AE est le plan d'éboulement.

Nous pouvons confirmer ces inductions par les raisonnements suivants. Cherchons dans quel cas on peut relier la caractéristique AH, par une solution conique théorique, à la solution linéaire que l'on obtient en supposant la poussée des terres sous un talus plan tel que AE'. Dans ce but, considérons toutes les solutions coniques que Ton peut construire sur AH et cherchons les diverses positions de la caractéristique d'arrêt du second système. Ces solu-

tions coniques dépendent d*une constante arbitraire que nous avons désignée par C (138). En donnant à cette constante une valeur égale à rinfîni négatif, on trouve la solution linéaire HAM; en faisant croître la constante, on trouve une solution à forte pression à caractéristiques concaves vers le sommet, et la caractéristique d'arrêt décrit Tangle MAM', AM' étant le talus naturel. En continuant à faire décroître la valeur absolue de la constante négative, on engendre une solution à trois nappes; la caractéristique AM' se transforme en deux contours apparents et une caractéristique ; la caractéristique décrit ensuite l'angle M'AM". On obtient la limite AM" en supposant que la constante négative converge vers zéro ; la nappe située à droite de AH se réduit à zéro et les deux autres nappes deviennent les deux solutions linéaires que l'on peut construire sous le talus plan AB« On obtient oette même solution linéaire en donimnt à la CQit9taiite une valeur infinie positive; en faisant éécroitre la constante jusqu'à zéro, la caractéristique d'arrêt de seconde espèce décrit une seconde fois l'angle M"AM. Si on se donne un talus AE' moins incliné que le talus AE, on trouvera une solution linéaire limitée à une caractéristique AN' menée dans l'angle que décrit la caractéristique d'arrêt des solutions coniques construites sur AH ; il y a donc possibilité de construire une solution théorique sur les caractéristiques AN' et AH de systèmes opposés; on cherchera une solution réalisable en remplaçant les contours apparents par des discontinuités finies. Si, au contraire, on se donne un talus AE" plus incliné que le talus AE; on trouve une solution hnéaire limitée à une caractéristique AN" qui ne peut pas être obtenue par les solutions coniques construites sur AH ; il y a impossibilité de construire une solution conique sur les caractéristiques AN" et AH.

On peut aussi discuter le problème en considérant directement les discontinuités finies. Menons une droite de discontinuité finie, par le point A, dans la solution linéaire de poussée commandée par un talus plan AE' ; on engendre une solution conique à caractéristiques convexes. Je dis que cette solution conique peut, en général, s'appuyer sur une seconde solution linéaire par l'intermédiaire d'une ligne de discontinuité. En effet, considérons la nappe de cette solution conique comprise entre les deux contours apparents ; en menantjdes lignes de discontinuités près des contours apparents, les discontinuités sont presque nulles, on engendre des solutions qui difï'èrent très peu de là solution primitive, mais les caractéristiques sont concaves parce qu'on change de nappe. En écartant la ligne de discontinuité de l'un des contours apparents, la concavité de ces caractéris-

tiques disparaît au moment où l'on retrouve la première solution linéaire ; elle se change en convexité pour redevenir une concavité près du second contour apparent, La courbure des caractéristiques repasse donc par zéro et en ce moment, on engendre une seconde solution linéaire reliée à la première par une solution coni(}ue et deux discontinuités finies. En menant une ligne de discontinuité faisant un angle très petit avec le talus AE', on obtient une solution linéaire qui diffère peu de la butée commandée par la droite E'AK; en menant une ligne de discontinuité près de la caractéristique AN', on engendre une solution qui dijOTère peu de la poussée commandée par la même droite E'AK. En faisant tourner la ligne de discontinuité de AE' à AN', on relie la solution de poussée commandée par AE' avec une solution linéaire commandée par une droite décrivant d'abord l'angle KAM' puis l'angle M'AK ; cela résulte de ce que la butée ne peut se changer en poussée avec continuité que pour le talus naturel. Proposons-nous de relier la solution DAH et la solution N'AE' ; nous pouvons considérer la solution DAH comme linéaire dans les environs de la. droite AH ; elle correspond à un talus qui est le prolongement de ËA ; ce prolongement tombe dans l'angle KAM', donc la solution DAH peut être reliée à la solution N'E'A. Si nous prenons le talus AE", plus incliné que le talus AE, on trouve, en suivant le même raisonnement, que la solution DAH ne peut être reliée à la solution commandée par AE".

179. Surface d'éboulement. — Reprenons le cas général et soit AHK(fig. 116) la caractéristique curviligne qui limite à gauche la solution commandée par les pressions qui se développent sur la surface AD de séparation des deux couches ; nous supposons que

cette caractéristique dépasse la verticale AV. Il résulte du numéro précédent que, sous le point A, le talus naturel n'est pas en équilibre et qu'il se produit une surface d'éboule-

f1 V Fig, 115.

ment* dont l'inclinaison en A est celle du plan d'éboulement de la solution conique. Partons d'un point H voisin de A ; menons

la caractéristique de seconde espèce HF) ; comme prenlière approximatioQ, nous la supposerons rectiligne et nous trouverons facilement le point E où la pression est nulle ; c'est une fausse position d'un point de la surface libre. Nous connaissons la tangentef AT à la courbe d'éboulement ; en assimilant Tare AE à un cercle ou à une parabole» on trouve la tangente ET. L'épure circulaire donne la direction des caractéristiques au point E en prenant ET comme tangente à la surface libre; on trouve une direction RE' pour la caractéristique du second système et l'on peut tracer plus exactement cette caractéristique HRB' en la remplaçant par deux tangentes. La tangente ET devient E'T' et, s'il y a lieu, on modifie encore la direction de la tangente RE' à la caractéristique. On construit alors le quadrangle E'HKF; de la caractéristique E'F, on déduit l'arc EM de la courbe d'éboulement, et ainsi de suite.

Le problème que nous venons de résoudre suscite quelques réflexions. Nous venons de construire une solution déterminée par une seule caractéristique AK ; il faut ajouter cependant que cette solution est située du côté où ne se trouve pas la caractéristique de système opposé passant par A, et ensuite cette solution doit être continue et limitée par une surface libre. On peut se demander quelle est la solution que l'on obtiendrait si on se donnait arbitrairement la caractéristique KM ; puisqu'on peut construire KM quand il y a une surface libre, il faut en conclure qu'en prenant KM arbitrairement, on ne trouvera pas une surface libre mais un contour apparent ; c'est en effet ce qui se produit dans les solutions coniques.

La surface d'éboulement réalise l'équilibre strict ; le massif KAM est dans l'état d'équilibre limite qui correspond à la butée des terres. Si, en dessous de A, on établit une surface moins inclinée que la surface d'éboulement, il y a excès de stabilité ; on peut admettre la poussée des- terres sous cette surface, mais il se produit deux ligues de discontinuités. On détermine les tangentes à ces lignes par la solution conique ; on trace les lignes de propagation par la méthode indiquée précédemment (165).

180. Influence de Veau sur un talus. — Considérons le talus AB d'un canal ; supposons le terrain perméable; il se produit une couche aquifère limitée par le niveau du canal prolongé. Nous supposerons l'eau de cette couche aquifère en repos «absolu, c'est-à-dire qu'il n'y a écoulement ni du Ftg, lîo, canal vers les terres, ni

des terres vers le canal. Les pressions hydrostatiques du liquide sont alors les mêmes dans la couche aquifére que dans le canal, et dans révaluation des pressions mutuelles des particules terreuses, il faut diminuer le poids de ces particules du poids du liquide déplacé. Soit n le poids spécifique des terres ; en dBssous du niveau de Teau CD, nous devons attribuer aux terres un poids spécifique sensible* ment égal à

Le problème à résoudre est donc le même que s'il y avait une surface CD de discontinuité relative au poids spécifique des terres.

Nous supposerons successivement que le talus GA est indéfini vers le haut, qu'il a Tinclinaison du talus naturel ou une inclinaison moindre, puis enfin que ce talus est limité par un plan horizontal AE. Nous déterminerons le plan ou la surface d'éboulement dans chacun de ces cas ; nous admettrons :

181. Plan (ïéboulement sous un talus naturel indéfini. — Soient (flg. 117) KS le niveau de l'eau, ST le talus naturel supposé indéfini dans le sens de la hauteur. Ils'agit de déterminer le plan d'éboulement SM, en supposant que le coeflScient de frottement des terres ne soient pas influencé par l'eau. Au point A, menons une caractéristique du premier système AV jusqu'à la rencontre du talus naturel ; soit VH la direction de l'autre talus naturel ; on trouve en A la pression

Pour ramener le nouveau poids spécifique à l'unité, nous représenterons cette pression par la longueur

p' = p ^ = Ra.

On trouve cette longueur par une quatrième proportionnelle ; la construction est indiquée sur la figure.

Fig. in.

^ous connaissons les pressions le long de SA; ces pressions sont évidemment plus fortes que dans la solution linéaire que Ton obtiendrait en admettant le nouveau poids spécifique au-dessus de SA ; on

obtiendra donc une solution à fortes pressions; comme elle est de deuxième espèce, les caractéristiques seront concaves vers le sommet et la solution sera limitée à gauche par une caractéristique d'arrêt telle que SF.

On peut suivre toutes les opérations graphiques sur la figure. De la pression en A, on déduit la pression Rd en B ; on a :

Rb SB

Ra SA

Menons les caractéristiques AC' et BC ; comme première approximation, nous les supposons recti lignes (117) ; le pôle des facettes est le point T ; la caractéristique du premier système est parallèle à TR ; la caractéristique du second système est parallèle à TS. En suivant AC, qui est parallèle au second talus naturel, la pression p ne change pas ; mais pour tenir compte du changement de l'angle u, on doit mener la droite oc' qui fait avec le rayon Ra un angle u donné par réquation

cotg (ù^2 tang ?.

En menant le diamètre RH de Tépure circulaire, on trouve

(ù = RHP = RHP'.

La droite ac' est parallèle à TP'.

En suivant BC, la pression augmente de la projection de BC sur une perpendiculaire au premier talus naturel SR ; on porte cette augmentation à partir du point b, et par le point obtenu, on mène une parallèle à TP. On trouve ainsi au point C les valeurs (p, u) représentées par Rc' ; le pôle des facettes devient y. Nous pouvons alors tracer plus exactement les caractéristiques AC et BC ; on trouve alors, par la méthode connue (118), le point c de Tépure des pressions. Les arcs de spirale peuvent être remplacés par deux tangentes égales ou par leurs cordes ; les directions de ces cordes s'obtiennent approximativement en joignant les points fixes P et P' au milieu de l'arc T/. On reconnaît que la première approximation donne l'angle u avec une exactitude suffisante ; la seconde approximation corrige seulement la pression qui passe de Rc' à Rc ; les opérations graphiques se font très régulièrement et sans tâtonnement ; il en est toujours ainsi quand on prend des arcs assez petits.

L'arc CE se détermine comme le précédent ; on voit que l'angle SED devient assez petit; cela indique qu'on se trouve près delà

oaractéristique d'arrêt SP. Pour détermiiior Tare EF qui aboutît à cette caractéristique, on prend comme première approximation la droite EF' qui donne SF' c^inme caractéristique du premier

EH

Fig. 118.

système; on trouve le point f par la construction ordinaire ; la seconde approximation donne SF et Rf. La caractéristique SK correspond au pôle ? ; on obtient le plan d'éboulement en prolongeant la droite S- en SM.

On est assez étonné de voir que Tinfluence de l'eau est si grande; pour un talus naturel à 6 quarts, nous avons obtenu un plan d'éboulernent à 8.4 quarts. En prenant un talus naturel à 8 quarts, on trouve un plan d'éboulement à 16 quarts environ. Il convient de remarquer que nous avons attribué aux terres un poids spécifique assez faible, ce qui augmente l'influence de la perte de poids ; en outre, nous avons supposé le talus naturel indéfini en hauteur, ce qui est un cas théorique.

182. Talus plan. — Eu prenant le talus naturel au-dessus du niveau de Teau, on obtient un plan d'éboulement faisant un angle rentrant avec le talus naturel. En prenant un talus moins incliné au-dessus de Fcau, on trouve que le plan d'éboulement devient de plus en plus incliné et finit par se confondre aviîc le talus naturel ; on obtient alors un angle saillant. Ce résultat est facile à prévoir ; en diminuant Vinclinaison du talus supérieur, on diminue les pressions sur la surface de la couche aquiférc, la courbure des caractéristiques du second système diminue, la caractéristique d'arrêt se rapproche de la verticale. Puisqu'on obtient d'abord un angle rentrant, puis un angle saillant, il existe une inclinaison pour laquelle le plan d'éboulement est le prolongement du plan du talus supérieur ; c'est ce talus plan en équilibre que nous nous proposons de chercher.

Soit (fig. 118) ST le talus naturel ; donnons-nous un talus moins incliné SD. Au-dessus de l'eau, le pôle de l'épure circulaire est a ; nous construisons comme précédemment une solution conique AB, et si le talus est bien choisi, nous obtiendrons une caractéristique d'arrêt SB faisant partie de la solution linéaire de butée qui correspond au talus DS prolongé vers le bas, c'est-à-dire que SB sera parallèle à Rp. Admettons, comme approximation, que l'on peut remplacer l'arc AB par deux tangentes égales; nous connaissons SB ; les directions des tangentes aux extrémités de l'arc AB sont données par l'épure circulaire ; nous pouvons donc tracer les deux tangentes dont il s'agit et trouver la pression en B en partant du point A ; on trouve

p = Rô.

Mais on peut aussi trouver cette pression en suivant la caractéristique SB ; on trouve alors

Les pressions ne sont pas les mêmes; donc b et b' sont les fausses positions d'un même point.

Fig. 1Î9.

Preuons alors uii talus SE ; uous obtiendrons de la même manière deux fausses positions du même point cherché. Si le talus tourne de SD ta SE, le point b viendra en c en décrivant un arc de courbe assez petit pour être remplacé par une droite ; de même, le point 6' décrit la droite b^d ; à l'intersection de ces deux droites, on trouve le point juste A. Prolongeons alors AR jusqu'en H sur la circonférence de répure circulaire ; SH est Tinclinaison du talus plan en équilibre.

Nous avons admis une approximation assez grossière ; on peut dresser une épure plus exacte en divisant les arcs AB et AC en plusieurs parties. On peut, par exemple, construire un premier arc en partant du point A et du milieu de SA, trouver un second arc de la même manière et prendre un troisième arc jusqu'à la caractéristique d'arrêt. On fera la même chose pour l'arc AC et l'on amènera les fausses positions en coïncidence par la construction que nous avons indiquée plus haut.

183. Plan horizontal, talus naturel et surface d*éboulement. — Supposons au-dessus de l'eau un talus naturel AN (flg. 119) limité supérieurement par un plan horizontal ; ce plan horizontal n'est pas représenté, mais nous avons indiqué la longueur du talus naturel au moyen d'une échelle représentant les dixième^ de cette longueur. La première question à résoudre est de déterminer les les fonctions (p, u) sur la ligne ABC du niveau de la couche aquifère. Or, ce problème a été résolu précédemment au numéro 124 ; nous avons (flg. 78) déterminé les pressions et les pôles de l'épure circulaire en tous les points d'une coupe horizontale V'C'U. Nous avons conservé les mêmes données et le segment V'C' de la figure 78 est devenu le segment AD de la figure 119. Nous avons dû compléter la figure 78 en déterminant les pressions en des points compris entre V et G' ; nous y sommes parvenus en prolongeant la caractéristique voisine du talus naturel et en la réduisant par similitude pour diminuer les dimensions de l'épure. Nous avons réduit le nouveau poids spécifique à deux unités, comme dans la figure 78, et nous avons obtenu aux points B, C, D (fig. 119) les fonctions (p, u) représentées, sur l'épure des pressions, par les points b, c, d. Les pressions sur ABCD commandent une solution pseudo-conique.

On trouve le triangle BHC par la méthode générale ; le triangle ABK se trouve aussi par cette méthode, mais il faut, au préalable, construire la tangente en A à la caractéristique AK ; on l'obtient par la solution conique, limite relative d'un massif infiniment petit autour du point A, et qui est précisément celle delà figure 117; la tangente cherchée est donnée par la droite SF de cette dernière figure. On trouve alors le quadrangle KBHL.

Conuaisscint la c«iractcrlstique AKÏj, on peut construire la courbe d'éboulemeat. La tangente en A a cette courbe est donnée par la droite SM de la figure 117. On trouve le point É et la tangente en E en appliquant la méthode exposée au numéro 179 ; on trouve ensuite la caractéristique EM par le quadrangle KLME ; on en déduit Tare EF de la courbe d'éboulement, et ainsi de suite.

On reconnaît que l'inclinaison de la courbe d'éboulement augmente rapidement pour se rapprocher de celle du talus naturel. On peut démontrer de la manière suivante que la tangente à Tinfini est parallèle au talus naturel. Construisons un massif semblable, en prenant un rapport de similitude infiniment petit et passons à la limite; la hauteur du talus au-dessus de Teau se réduit à zéro; la surface d'éboulement se confond alors avec le talus naturel ; or, la courbe d'éboulement reste toujours semblable à elle-même, sa limite doit donc avoir la direction de la tangente à Tinfini.

Le profil formé du talus naturel et de la courbe d'éboulement est le profil qui satisfait strictement aux conditions de l'équilibre limite ; en partant de la crête du talus N, ce profil prend en chaque point la plus grande inclinaison compatible avec l'équilibre. Si l'on part de cette crête N avec une inclinaison moindre, il est naturel de penser que l'on trouvera un profil d'équilibre qui sera tout entier au-dessus du profil strictement suffisant; on peut partir de N avec le talus qui donne le talus naturel comme plan d'éboulement ; ce talus naturel sera tout entier au-dessus de la courbe d'éboulement ; cela tend à démontrer que cette courbe a une asymptote.

Lorsqu'on se propose d'établir un talus en équilibre malgré l'infiuence de l'eau, il est peu pratique d'établir ce talus suivant le profil de la courbe d'éboulement. Ce qu'il y a de plus simple est de construire un talus plan dont on déterminera l'inclinaison par la méthode du numéro précédent. On peut aussi conserver le talus naturel au-dessus de l'eau et remplacer la courbe d'éboulement par un segment horizontal au niveau de l'eau suivi d*un second talus naturel. Pour déterminer les pressions sous ce profil polygonal, on suppose la poussée des terres sous le segment horizontal ; on est amené à tracer deux lignes de discontinuité finie ; si le segment horizontal était très petit, l'une de ces lignes atteindrait le talus naturel et il se formerait une nouvelle courbe d'éboulement.

184. Variation du coefficient de frottement, — II arrive souvent que la présence de l'eau a pour effet de diminuer le coelflcient de frottement ; on doit alors chercher la pression P sur le plan qui limite supérieurement la couche aquifère, en utilisant la première (>pnre circulaire; on détermine ensuite les fonctions (;r, iv)

qui correspondent à la même pression P, en tenant compte du nouveau coefficient de frottement dans une seconde épure circulaire. Les opérations graphiques ne subissent aucune autre modification.

185. Couche dquifère inclinée. — 11 arrive que la couche aquifère a un certain débit ; la surface supérieure de la couche présente alors une pente d'écoulement. Soit (fig. 120) AD la ligne de plus grande pente de la surface supérieure de la couche ; nous la supposons dans le plan de symétrie du massif de terre dont nous

étudions Téqui-

C' .x<:2\ \ libre. Nous pou-

vons admettre que les pressions du liquide suivent la loi hydrostatique le long de chaque verticale ; réduisons le poids spécifique du liquide à Tuniié; la pression en un point {œ, y) est donnée par la

formule Fig. 220.

P^- {y + ^ tang a — i) ; nous supposons que la droite AD a pour équation

y ■\- œ tang « — b = 0.

Les pressions sur la surface qui limite un volume infiniment petit donnent alors une poussée par unité de volume dont les composantes sont :

dy '•

A. = — - = tang a.

ax

La composante verticale est la perte de poids due au volume du liquide déplacé ; la poussée totale est perpendiculaire au Qiveau de la couche.

Portons sur une verticale

KM = n,

poids spécifique des terres ; portons ensuite vers le haut

ML = 1 tonne,

poids spécifique du liquide ; menons MN perpendiculairement à la ligne AD jusqu'à la rencontre de l'horizontale du point L ; on aura

KN = U'.

Les pressions mutuelles des particules terreuses seront donc les mêmes que si le poids spécifique des terres était devenu II' ; les choses se passent comme si la direction de la verticale était changée.

Les méthodes précédentes peuvent facilement s'appliquer à l'étude du itiassif que nous considérons. On calcule les pressions sur la ligne AD ; au-dessous de cette ligne, on change les directions de la verticale et des deux talus naturels, on réduit le nouveau poids spécifique à l'unité et les opérations graphiques ne subissent aucune autre modification.

Lorsque, en creusant une tranchée, on rencontre une couche aquifère inclinée, il se produit un axe hydraulique d'abaissement vers la tranchée. On peut encore admettre la loi hydrostatique des pressions suivant chaque verticale ; mais alors la direction MN, qui est perpendiculaire à la surface de la couche, varie d'une verticale à l'autre ; il n'est plus possible de ramener à l'unité le poids spécifique II' qui varie incessamment. On continue toujours à remplacer les petits arcs de caractéristiques par deux tangentes égales ; le long d'une de ces tangentes, l'accroissement de pression s'exprime par

H' (îy, ou H' <îy, ;

on prendra la valeur moyenne de D' et les directions moyennes des deux talus naturels pour évaluer ces produits ; les opérations deviennent plus longues mais ne présentent pas de diflflcultés.

Lorsque la pente de la couche aquifère devient un peu grande, on trouve des surfaces d'éboulement très peu inclinées et se rapprochant du plan horizontal; il devient impossible d'établir une tranchée. Il est alors indispensable de se débarrasser des eaux par des travaux de drainage.

186. Stabilité d'un 7*emblaide chemin de fer. — Le profil d'un remblai de chemin de -fer comprend une plate-forme horizontale' et deux talus ; on donne à ces talus l'inclinaison des talus naturels

sans se préoccuper des charges considérables qui passent sur le remblai. Cependant, si le poids des locomotives croissait indéfiniment, il arriverait un moment où le remblai céderait sous la charge et les talus s'ébouleraient. L'expérience a indiqué que ces éboulements ne se sont guère produits jusqu'aujourd'hui ; mais, comme le poids des locomotives augmente sans cesse, on peut se demander si l'on ne va pas dépasser la limite de résistance et si quelques accidents qui se sont produits dans ces derniers temps ne doivent pas être considérés comme les symptômes précurseurs d'une situation qui va devenir dangereuse.

Nous nous proposons d'étudier le mode d'éboulement d'un remblai et de déterminer la charge maxima qu'il peut supporter. Nous supposerons d'abord un remblai de hauteur infinie, chargé suivant son axe de symétrie ; nous examinerons ensuite l'influence d'une force oblique, cas qui se présente dans les remblais courbes ; enfin nous indiquerons comment on peut tenir, compte de la résistance du sol sur lequel repose le remblai.

Nous n'examinerons pas les détails de la transmission de la charge par les rails, les billes et le ballast ; c'est la stabilité générale que nous voulons étudier et dans ce but nous allons simplifier le problème : nous supposerons une plaque invariable fictive couvrant la largeur en couronne et supportant la charge résultante. Cela revient à supposer que le système rail, billes et ballast, présente une résistance assez grande pour être considéré comme invariable pendant les glissements et les tassements du remblai. Il y a bien une certaine indécision dans la détermination de la largeur de la plaque fictive ; on en profitera pour se rapprocher de la situation réelle. On pourrait aussi tenir compte de l'épaisseur de la couche de ballast en introduisant le coefiicient de frottement spécial au ballast, mais cela compliquerait le problème.

187. Équilibre de la pa?^tie supé7^ieure. — Soient (flg. 121) AB la largeur en couronne, AC et BD les talus naturels. Nous supposons que la charge est verticale et passe par le milieu E de la plaque invariable AB. La première idée qui se présente à l'esprit est de supposer que, lors de la rupture de l'équilibre, les terres glissent sous la plaque du point E vers les talus. Le segment AE fonctionne alors comme un mur qui presserait le massif EAC, et la réaction du massif sur ce segment est la butée des terres. Nous sommes donc ramené à un problème résolu antérieurement (122) : quelle est la butée du massif EAC sur le mur AE. Le talus AC commande d'abord une solution limitée à une caractéristique AM du premier système ; cette solution est la solution linéaire, car nous supposons

le talus AC prolongé iudéfinîmeut ; la caractéristique AM est donc une droite. Il résulte de Thypothése du glissement des terres sous la

Fig. 121.

plaque, que la droite AE touche les caractéristiques du premier système et forme contour apparent. La solution déterminée par la caractéristique AM et \b contour apparent AE est une solution conique que Ton construit par la méthode du n^ 123. On trace dans Tangle MAE une caractéristique du second système voisine du sommet A ; on connait les directions des tangentes extrêmes, on sait que la courbure est nulle sur la caractéristique AM et infinie sur le contour apparent ; ces données suffisent pour tracer cette caractéristique d'une manière plus ou moins approchée ; nous l'avons représentée par le chiffre 1. Sur le segment 12 de la caractéristique AM et la caractéristique 1 du second système, on construit la caractéristique 2 du second système. On construit de même ia caractéristique 3, 4, 5, 6, 7, 8 E; la courbe (p, u) relative à cette caractéristique est représentée sur Tépure des pressions dont le

pôle est T ; nous Tavons indiquée par les mêmes chiffres que la caractéristique. En représentant les pressions normales sur AE, on obtient sensiblement une droite AK ; cela prouve que le problème proposé est résolu avec une exactitude suffisante.

Nous pouvons appliquer la même construction à la déteAnination des pressions normales sur le segment EB ; comme il y a symétrie, nous trouverons les pressions normales représentées par la droite KB. On remarquera que, dans le tracé de la courbe (p, w), nous avons représenté les pressions par la moitié des hauteurs de terre correspondantas et que nous avons adopté une échelle deux fois plus petite dans le tracé du diagramme AKB des pressions normales.

Il y a cependant, au point E, un conflit entre les deux solutions coniques. Pour relier ces deux solutions, on est amené à construire une solution intermédi^iire sur les deux caractéristiques EF et EH ; ces deux caractéristiques sont de systèmes opposés, mais l'angle qu'elles forment n'a ni le sens, ni la grandeur convenable ; il y a en E une discontinuité double et la solution théorique intermédiaire comprend deux solutions pseudo-conoïdes et une solution ordinaire ; une partie du plan est recoiiverte par plusieurs surfaces de pression ; il faut remplacer cette solution théorique par une solution intermédiaire s'appuyant sur les solutions coniques par deux lignes de discontinuité finie. Nous verrons plus loin que ces lignes de discontinuité atteignent les talus à une certaine distance de la plaque et engendrent des surfaces d'éboulement ; il n'en est pas moins vrai que les pressions que nous venons de déterminer sont compatibles avec un état d'équilibre de la partie supérieure du remblai.

Nous avons admis un talus naturel à six quarts ; l'épure donne approximativement