EK = AB = L

La charge maxima par métré courant est donc donnée par la formule

Prenons, par exemple :

n = 1700 kgs, Z = 3 mètres ; on obtient

p = 30.6 tonnes.

Les plus fortes locomotives sont encore loin de donner une charge aussi considérable ; il est vrai que cette charge provoque Téboulement des talus à une certaine distance de la plate-forme.

188. Autre construction, — La méthode que nous avons appliquée dans le numéro précédent, pour construire la solution conique EAM, est, en définitive, une méthode par approximation successive ; nous avons expliqué au numéro 123 comment il se fait que les différentes caractéristiques que Ton construit successivement, deviennent de plus en plus exactes. Nous pouvons opérer d'une autre manière. La solution conique est déterminée par deux équations différentielles ordinaires ; connaissant les valeurs initiales des fonctions inconnues, on peut construire la solution par différents procédés ; nous avons indiqué, au numéro 135, un moyen très simple de construire la caractéristique de Tun ou Tautre système ; nous avons déjà appliqué cette méthode aux numéros 181 et 182. Dans le problème que nous avons à résoudre, on ne donne pas les valeurs initiales des fonctions inconnues; on donne les valeurs de la fonction u sur les rayons AM et AE (fig. 121) ; ces deux conditions déterminent la solution conique, mais on ne peut pas la construire directement sans tâtonnemeiat. On doit essayer une valeur de la pression p en un point du contour apparent : on trouvera toujours une solution à forte pression, car dans la solution linéaire, AE devient une caractéristique du premier système et les pressions sont négatives. On choisit la nappe de seconde espèce dont les caractéristiques sont concaves vers le sommet. La solution cherchée est celle qui est limitée à gauche par une caractéristique verticale. Si la pression est trop faible, la courbure totale de la caractéristique du second système sera trop petite, la caractéristique d'arrêt n'atteindra pas la position verticale ; si, au contraire, la pression est'trop forte, la caractéristique d'arrêt dépassera la verticale. On construit deux fausses positions et l'on obtient la solution juste par une interpolation.

Nous allons appliquer cette méthode en prenant comme valeur d'essai la valeur de la pression au point E, obtenue par la méthode précédente et que nous portons (fig. 122) en T9, en tenant compte du changement d'échelle. Nous partons du point E avec la caractéristique du second système et du point situé aux deux tiers de AE avec la caractéristique du premier système ; nous trouvons le point 2 par la méthode générale. Nous répétons cette construction et nous trouvons les points 3 et 4. Nous partons ensuite du point 4 et du milieu de A4, nous obtenons le point 5; nous trouvons de même les points 6 et 7. Nous obtenons le point 8 en partant de 7 et du

Fig. 122.

tiers de A7. Enflii nous trouvons le point 9 sut* la caractéristique d'arrêt; en partant des points 8 et A. Il se fait que la caractéristique d'arrêt est rigoureusement sur la verticale, de sorte que la construction, du numéro précédent est aussi exacte qu'il est possible de l'exiger.

C^endant, si l'on compare la forme des deux caractéristiques du second système des figures 121 et 122, on trouve une différence assez sensible. C'est un fait que nous avons déjà constaté (123) : les erreurs commises dans la construction des caractéristiques peuvent être très apparentes sans qu'il en résulte des erreurs sensibles dans la détermination des pressions. Peut-être peut-on expliquer ce fait en remarquant que la caractéristique touche les facettes où l'angle de la pression avec la normale passe par un maximum ; dans les environs du maximum, les fonctions varient peu, donc une caractéristique grossièrement approchée peut conduire à. des résultats suffisamment exacts. Peut-être aussi est-ce pour ce motif que la méthode du prisme de plus grande poussée donne assez souvent des résultats acceptables, alors qu'elle repose sur une hypothèse manifestement erronée.

Si le point 9 ne s'était pas trouvé rigoureusement sur la verticale du point A, nous aurions augmenté ou diminué la pression, nous aurions obtenu une seconde fausse position de ce point et en joignant les deux points obtenus, nous aurions trouvé la position juste sur la verticale du point A. Si, cependant, les deux fausses positions étaient trop éloignées de la position juste, il faudrait recommencer les opérations pour obtenir une exactitude suffisante.

189. La discontinuité finie, — Nous avons dit plus haut (187) que du milieu E de la plaque fictive partaient deux lignes de discontinuité finie. Nous allons indiquer comment on construit ces lignes. L'épure qui conduit à ce but est représentée sur la figure 123 ; nous décrirons d'abord les différentes parties de cette épure; nous expliquerons ensuite les détails de construction.

Le demi-profil du remblai est représenté en EAC ; les deux lignes de discontinuité sont évidemment symétriques par rapport à la verticale EL. Celle de gauche est indiquée par les chiffres 1 à 11 ; on voit sous cette courbe les caractéristiques de la solution intermédiaire ; les caractéristiques du premier système partent de la ligne de discontinuité pour venir rencontrer l'axe de symétrie vers lequel elles tournent leurs concavités, elles sont indiquées par les chiffres 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12 ; les caractéristiques du second système sont indiquées pa,r les lettres B, D, F, G, H. On voit ensuite la courbe d'éboulement CC qui commence à l'intersection du talus et de la ligne de discoiitiniiité.

L'apure circulaire occupe la partie supérieurede la< âgui'e ; on voit au-deasus »ie l'épure des pressions dont le pôle est T. La courbe X

est la courbe (p, u) relative à la caractéristique du second système qui passerait par E si la solution conique n'était pas interrompue

par la discontinuité ; cette courbe (p, u) est la courbe de la figure 122, mais nous avons dû diminuer l'échelle des pressions en réduisant le poids spécifique à un quart. Un peu au-dessus de la courbe X, on voit la courbe Y ; c'est la courbe des valeurs (p, u) dans la solution conique le long de la ligne de discontinuité. On voit ensuite à gauche et au-dessous la courbe Z ; c'est la courbe des valeurs {p\ u') dans la solution intermédiaire le long de cette même ligne de discontinuité. Enfin on voit h droite de la courbe Z les courbes (p, u) qui correspondent aux caractéristiques de la solution intermédiaire ; les courbes correspondantes sont indiquées par les mêmes notations ; les courbes 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, correspondent aux caractéristiques du premier système; les courbes B, H, K, F, G, correspondent aux caractéristiques du second système. Nous avons dû représenter une partie de l'épure des pressions à une échelle quatre fois plus grande que l'ensemble.

Expliquons maintenant les difTérentes constructions. Le premier problème à résoudre est de déterminer, au point E, les tangentes aux lignes de discontinuité finie. Au point E de la solution conique de gauche, la caractéristique du premier système est horizontale ; le pôle des facettes est donc le point de l'épure circulaire. Dans la solution intermédiaire, il y a un axe de symétrie EL ; on peut faire deux hypothè$es : supposer que cet axe est la direction de la pression maxlma ou celle de la pression minima. Je dis que c'eat la première hypothèse qu'il faut choisir. En etTet, si la pression minima était dirigjée suivant la verticale, la pression maxima serait horizontale ; il faudrait admettre que les parties inférieures du talus fussent poussées vers l'axe par des forces étrangères. On peut confirmer cette manière de voir par un autre raisonnement. Construisons un massif semblable en prenant un rapport de similitude infiniment petit et passons à la limite. La plate-forme et sa surcharge vont se réduire à zéro ; le massif est alors compris entre deux talus naturels ; on trouve une solution conique comprise entre les deux talus qui forment deux caractéristiques de systèmes opposés ; dans cette solution, on reconnaît facilement que l'axe de symétrie est la direction des pressions maxima. Il faut donc admettre qu'en s'éloignant à l'infini sur l'axe de symétrie, la pression maxima est dirigée suivant cet axe ; il doit en être de même au point E. Nous prenons donc au point E, dans la solution intermédiaire, EL comme direction de la pression maxima ; cela revient à dire que le pôle des facettes est le point 0' et non le point 0". Nous trouverons alors la direction dç la ligne de discontinuité par la construction connue (159) ; joignons les pôles et 0' ; traçons du centre I une circonférence qui

touche la corde 00' ; menons la tangente SMN à cette circonférence ; les droites parallèles ON et OM donnent la direction cherchée. On reconnaît que la discontinuité a une importance considérable : la pression varie dans le rapport

""sm'

l'angle ^u qui représente la déviation des caractéristiques est le supplément de l'angle OTO' ; c'est la moitié de l'angle mesuré par l'arc 00'. On trouve donc une solution intermédiaire à pressions très fortes et c'est ce qui explique l'éboulement des talus.

La discontinuité au point E est une discontinuité double, mais grâce à l'axe de symétrie EL, le problème à résoudre n'est pas plus difficile que s'il s'agissait d'une discontinuité simple. On peut l'énoncer comme il suit : construire une solution s'appuyant sur la solution conique par une ligne de discontinuité et admettant la droite EL comme ligne des pressions maxima. Nous construisons la ligne de discontinuité par la méthode des fausses positions. Donnonsnous arbitrairement l'arc E6; le rayon A6 coupe la caractéristique de la solution conique en un point où l'on connaît la pression ; elle est représentée par le rayon T6 de la courbe X ; on en déduit la pression au poini 6 par une quatrième proportionnelle ; elle est représentée par le rayon T6 de la courbe Y. Le pôle des facettes est situé sur la circonférence de l'épure circulaire et sur le prolongement du rayon T6. Nous nous donnons la tangente au point 6 de la ligne de discontinuité ; en menant une parallèle à cette tangente par le pôle des facettes, on trouve la pression SVI sur la ligne de discontinuité et le nouveau pôle & dans la solution intermédiaire. Nous pouvons alors tracer la caractéristique B du point 6 jusqu'à l'axe de symétrie, car nous connaissons les directions des tangentes extrêmes : ce sont les droites qui joignent les pôles 6' et 0' au point T'. Nous pouvons ensuite tracer la caractéristique du premier système qui coupe l'axe de symétrie sur la courbe B et la ligne de discontinuité en un certain point 3. On applique au point 3 la construction relative à la discontinuité ; on obtient les deux pôles 3 et 3'. Partant de ce point 3, nous pouvons construire les courbes (p, u) relatives aux deux arcs de caractéristiques qui joignent le point 3 au point 6 en passant par l'axe de symétrie ; on doit retrouver au point 6 la même pression jp' que celle que l'on a obtenue par la discontinuité. Avant d'arriver à cette coïncidence, il faut naturellement quelques essais. Dans la solution conique» la pression p décroit assez rapidement du

point 3 au point 6 ; on doit trouver également une décroissance rapide de la pression dans la solution intermédiaire. On n'obtient pas cette décroissance en donnant à la ligne de discontinuité une faible courbure. On se rapproche du but en donnant à Au une valeur constante, ce qui revient à donner à la ligne de discontinuité la même courbure totale qu'à la caractéristique, pour des arcs compris entre les mêmes rayons passant pur le sommet ; mais les pressions décroissent trop vite dans la solution intermédiaire. On en conclut que ^it décroit assez lentement et que, dans la construction relative à la discontinuité, la droite SN tourne de SN à SVI. La fausse position consisté à se donner le point VI ou la direction 6VI de la discontinuité au point G ; on trouve les autres tangentes par une interpolation. Deux essais conduisent à un résultat suffisamment exact. On pourrait cependant obtenir une exactitude plus grande en partant, par exemple, du point 3 au lieu du point 6, de manière à rester dans la région voisine de E. Il faut alors dresser une épure à une plus grande échelle. On peut, par exemple, représenter les environs du point E h une échelle cinq fois plus grande ; Tépure des pressions ne sera pas changée si Ton réduit le poids spécifique à un vingtième. On reconnaît alors que l'influence du poids spécifique est insensible ; les courbes {p, u) deviennent des spirales et Ton trouve facilement la discontinuité au point 3 ; on peut alors continuer. Ayant obtenu la caractéristique B, on trace la caractéristique 4, ce qui donne un point sur B et un point sur Taxe de symétrie ; on trace la caractéristique 4 jusqu'à la rencontre de la caractéristique 6. On part d'un point de cette dernière caractéristique pour tracer la caractéristique D qui rencontre la ligne de discontinuité au point 8. On trouve la position juste de ce point 8 par deux fausses positions. On trouve de môme la caractéristique F qui aboutit au point 10 ; on construit la caractéristique 10, puis la caractéristique G qui aboutit au point 11 et la caractéristique 11. Arrivé au point 11, il n'y a plus de doute possible, la ligne de discontinuité atteindra le talus.

La première idée qui se présente à l'esprit est de prolonger la ligne de discontinuité d'après la courbure de la partie obtenue ; on trouve alors une ligne faisant avec le talus CA un angle aigu. Je dis, qu'au contraire, la ligne de discontinuité doit prendre une courbure croissante et couper le talus naturel en G en se raccordant avec la caractéristique verticale. En effet, nous pouvons toujours isoler un volume infiniment petit dans les environs du point d'intersection du talus et de la ligne de discontinuité et construire la limite relative de ce volume. La lis^ne de discontinuité deviendra la droite CB (fig.124); cette droite de discontinuité engendrera une solution à caractéristiques

convexes vers le sommet C. Cette solution n'a pas de caractéristiques

passant par C ; elle est limitée à gauche par un contour apparent.Ellenepeutdoncétre reliée à la solution qui dépend de la courbe d'éboulement que par une ligne de discontinuité CE.

^ Cette dernière solution devient linéaire aux limites relatives.

Donc la ligne de discontinuité CE s'obtient en cherchant la seconde discontinuité qui en-^ gendre une nouvelle solution linéaire. La caractéristique du second système a la forme FBEH. Cette disposition n'est pas réalisable dans les environs du point C de la figure 123 ; les caractéristiques ne forment pas un contour apparent analogue à celui de la figure 124 ; on ne voit pas non plus comment les caractéristiques du second système pourraient aborder la discontinuité nouvelle suivant une direction HE. Il n'y a dés lors qu'une solution possible, c'est que la discontinuité s'éteigne en arrivant au talus ; il faut pour cela que la ligne de discontinuité touche une caractéristique. Si l'on essaie d'infléchir la ligne de discontinuité pour la rendre tangente au talus naturel, on n'arrive pas à trouver, dans la solution intermédiaire, un point de pression nulle sur le talus ; il faut, pour réaliser cette condition, que les caractéristiques du second système qui partent des points voisins du point 11, prennent des fortes courbures vers la droite ; alors la pression, diminue rapidement et l'on peut trouver une caractéristique UC qui donne en C une pression nulle. Traçons donc la ligne de discontinuité de manière qu'elle coupe le talus eu C en se raccordant avec la caractéristique verticale. Menons une caractéristique CU et construisons la courbe {p, u) qui y correspond ; en choisissant convenablement les points U et C, on trouve, dans l'épure des pressions, une courbe qui part de U pour toucher en T un rayon vertical ; c'est la variation rapide de l'angle u qui permet cette décroissance de la pression. Remarquons cependant que nous nous sommes contentés d'une approximation assez grossière ; pour obtenir plus d'exactitude, il faudrait dresser une épure à une échelle beaucoup plus grande, multiplier le nombre des caractéristiques et déterminer un certain nombre de points de la ligne de discontinuité entre les points 11 et C.

190. Surface d'éboulement, — Si Ton se contente d'une approximation grossière, on peut déterminer la courbe d'éboulement GC d'une manière très expéditive. En partant de la courbe 11, on peut d'abord mener les caractéristiques du second système en les supposant rectilignes ; on détermine les points où la pression est nulle ; on obtient une première ébauche de la surface libre en tenant comptdu point C. Mais il faut établir entre la surface libre et la direction des caractéristiques, la relation que donne l'épure circulaire ; on infléchit les caractéristiques et on modifie la surface libre de manière à réaliser la concordance. La caractéristique qui aboutit au pour le plus haut est presque rectiligne, de sorte que ce point est déterminé avec assez d'exactitude.

Entrece point et le point G, les caractéristiques du second système prennent une courbure de plus en plus prononcée vers la droite ; les dernières tangentes à ces caractéristiques du second système prennent des directions qui varient rapidement jusqu'à la direction GA ; la courbe d'éboulement doit venir se raccorder en G avec le talus naturel, après avoir subi une inflexion. L'échelle que nous avons adoptée ne permet pas de tracer cette partie de courbe avec beaucoup d'exactitude, d'autant plus que dans la petite courbe concave vers le haut qui se trouve près du point G, il se produit certaines complications que nous allons examiner.

Ka adoptant une échelle suffisamment grande, nous pouvons oonstruifc auââi exactement que nous voulons les deux caractéristiques de systèmes opposés qui partent du point U ; ces deux caractéristiques déterminent une solution que nous pouvons construire par la méthode générale. Représentons (flg. 125), à une grande échelle, un arc CM de Ig, caractéristique CU (flg. 123) voisin du point C ; soit MK une caractéristique du premier système partant d'un point M assez rapproché du point C pour que la tangente en M à cette caractéristique soit plus inclinée que le premier talus naturel. Suivons la caractéristique MK et appliquons Téquation

dp =r. 2p tang «p rft« 4- H dy , ;

les deux termes du second membre sont négatifs, donc la pression diminue. En continuant à nous éloigner du point M, nous trouverons d'abord une tangente ayant l'inclinaison du talus naturel, et l'on aura en ce point

dy.^O;

nous trouverons ensuite un point où la pression passe par un minimum, quand nous aurons

dp = 0, ou bien

n dy, = — 2p tang <p du.

Construisons une nouvelle caractéristique du premier système, en partant d'un point B de plus en plus rapproché du point C ; la pression en B diminue jusqu'à zéro en s'approchant du point G ; on trouvera donc une caractéristique BD telle que la pression minima soit égîile à zéro; soit D le point où l'on trouve cette pression minima ; on aura en ce point

dp -=-0; on en déduit :

dy, - 0;

c'est-à-dire que la caractéristique a une tangente parallèle au premier talus naturel. Les deux caractéristiques BC et BD possèdent donc les mêmes propriétés ; les pressions sont nulles en D et en C et les tangentes en ces points sont respectivement parallèles au premier et au second talus naturel. En construisant la solution déterminée

par ces deux caractéristiques, il se peut que l*oii trouve une surface libre; cette solution n'est pas impossible, mais je dis qu'elle est infiniment peu probable. En eflet, connaissant la caractéristique BC et faisant abstraction de BD, on peut construire une courbe d'éboulement par la méthode ordinaire ; il est infiniment peu probable que, dans cette solution complètement déterminée par BC, on trouve précisément la caractéristique BD ; on trouvera une caractéristique touchant la courbe BD au point B, mais dont la courbure sera plus ou moins grande. Il faut donc admettre qu'en construisant la solution CBD, on trouvera un contour apparent et non une surface libre.

Le cas d'une surface libre est cependant possible, d'autant plus que les courbes BC et BD résultent d'une construction qui ne comporte pas de fonctions arbitraires ; ces courbes pourraient i)osséder cette propriété intéressante de dépendre d'une surface libre > mais on ne^voit pas la possibilité de démontrer l'existence ou la fausseté de cette propriété. Nous examinerons les différents cas. Nous supposons d'abord que la solution CBD est limitée à une surface libre ; on trouvera cette surface libre en construisant la solution, mais il est facile de voir que du point C au point B, le pôle des facettes se déplace du point T' au point T et que la direction de la tangente à la surface libre varie de STr à ST. Le profil de cette surface est une courbe concave vers le haut dont les tangentes extrêmes sont parallèles aux deux talus naturels. Prolongeons alors la caractéristique BD au-delà du point D en DE; la caractéristique DE détermine une courbe d'éboulement que l'on peut construire avec autant d'exactitude que l'on veut ; nous avons vu plus haut quelle est la forme de cette courbe ; le pôle des facettes décrit l'arc TV pour revenir en T' à l'infini. On remarquera que, sous la courbe CD, on a l'état d'équilibre qui correspond à la poussée des terres, tandis qu'au-delà du point D, on a l'état d'équilibre qui correspond à la butée des terres ; au point de passage, la tangente à la courbe d'éboulement est une tangente inflexionnelle parallèle au premiei' talus naturel.

Reprenons maintenant le cas le plus probable, celui où la solution CBD présente un contour apparent. Nous pouvons encore réaliser les solutions déjà construites ; il suflfit de couper la solution DBC par une ligne quelconque passant sous le contour apparent, et de produire artificiellement sur cette courbe les pressions qui conviennent à la solution calculée. Or, ces pressions sont excessivement petites et doivent être appliquées sur une étendue excessivement petite ; si nous les supprimons, l'équilibre sera rompu, la courbe d'éboulement sera modifiée, mais il parait évident que cette

modification sera très peu sensible et qu'on pourrait même la négliger. Nous devons cependant montrer comment on pourrait résoudre exactement le problème.

En construisant la solution CBD, nous trouvons un contour apparent qui prend naissance au point C ; nous sommes conduit à remplacer ce contour apparent par une ligne de discontinuité finie qui prend naissance également au point C. Cette ligne touchera la caractéristique du second système ou le talus naturel en Cet nous construirons une nouvelle solution satisfaisant aux deux conditions suivantes : 1** elle présente une surface libre, 2*^ elle s'appuie par une ligne de discontinuité sur la solution [CBD qui est complètement connue. La construction de cette nouvelle solution ne présente aucune difliculto ; on trouve successivement un arc de la courbe libre et, en suivant les caractéristiques du premier système, un arc de la ligne de discontinuité. Cette ligne enlève une partie des solutions construites antérieurement pour la remplacer par une autre, mais les considérations qui précèdent font prévoir que cette solution nouvelle occupera un espace très réduit dans le cas qui nous occupe. Il est donc vraisemblable que la ligne de discontinuité restera dans le voisinage de la surface libre ; elle pourrait même se confondre avec la surface libre et l'on retrouverait le cas particulier où il n'y a ni contour apparent ni discontinuité.

Il faut évidemment dresser l'épure pour obtenir des résultats certains sur la propagation de la discontinuité. Nous nous contenterons de donner quelques prévisions. Il peut se faire, et cela parait même inévitable dans le cas qui nous occupe, que la ligne de discontinuité touche une caractéristique du premier système en un certain point F ; dans ce cas, la discontinuité s'éteint en F ; on trouve dans la nouvelle solution une caractéristique du premier système qui se raccorde à la caractéristique FK ; cette caractéristique détermine la nouvelle courbe d'éboulement. Le point F pourrait s'éloigner à l'infini ; la discontinuité s'éteindrait insensiblement. La ligne de discontinuité peut toucher la caractéristique BD au point D ; l'ancienne courbe d'éboulement subsiste alors au-delà du point D. Enfin la ligne de discontinuité pourrait atteindre la surface libre en deçà du point D ; on reconnaît alors que la ligne de discontinuité se continue par un ou plusieurs ou une infinité de ricochets sur la surface libre.

On peut, comme contrôle, renverser l'énoncé du problème. On donne la surface libre qui vient d'être calculée ; on demande l'état d'équilibre. On ne retrouve pas les deux discontinuités du point C, si l'on n'ajoute pas une nouvelle condition ; cette condition, c'est que la ,solution linéaire est imposée sous le talus CA. Il y a alors conflit au

point Centre les deux solutions ; c'est pour résoudre ce conflit qu'il nait au point C une discontinuité double.

191. Singularités. — Nous avons rencontré des points tels que les points D et G de la figure 125 où la pression est nulle et où les tangentes aux caractéristiques ont l'inclinaison des talus naturels. Considérons l'un de ces points, le point D, par exemple, et étudions l'état d'équilibre dans les environs de ce point. Prenons comme axe des X le talus naturel passant par D et comme axe des y la perpendiculaire menée à cet axe par le même point D. Soient r le rayon de courbure de la caractéristique DB au point D, s l'angle de la tangente avec Taxe des œ en un point voisin ; nous considérerons e comme une petite quantité du premier ordre et nous ne tiendrons compte, dans les calculs qui vont suivre, que des termes les plus importants. On peut mettre approximativement l'équation de la caractéristique DB sous la forme

la pression est donnée approximativement par la formule

p = ny ;

on a, en un point de la courbe,

Appliquons l'équation (36) du numéro 114 qui donne la variation du rayon de courbure de l'autre caractéristique ; on trouve, à l'approximation admise

d[^ 2p 2cos(p p* r — — -) -\ j- -I- = ;

rfî £ r e cos (f

l'intégration donne

4 cos<p

[l — v/7 tanglogCe].

En faisant converger e vers zéro, le rayon de courbure oscille entre les deux infinis et ces oscillations deviennent de plus en plus rapides.

Les caractéristiques présentent donc des singularités très

compliquées, impossibles à réaliser dans un état d'équilibre, à

moins qu'une ligne de discontinuité à une infinité de ricochets

n'enlèvent ces singularités. Remarquons qu'il y a une certaine

analogie entre ces singularités et celles que nous avons constatées

dans les solutions coniques lorsque la caractéristique d'arrêt fait un

angle très petit avec le talus naturel de même espèce : c'est

alors que l'on peut obtenir des solutions à nappes très nombreuses.

Ces singularités ne se produisent pas dans le cas de la figure 125,

car nous supposons que l'on a construit les caractéristiques BC et BD

sans engendrer un contour apparent en dehors de l'angle CBD ; il

faut donc admettre que le calcul qui précède n'est pas applicable

et que le rayon de courbure r cesse d'être une quantité finie.

Effectivement, ces singularités disparaissent si le rayon de courbure

de la caractéristique BD s'annule en même temps que la pression.

Prenons, par exemple :

r =- me;

on obtient :

mz*

et l'équation en o devient :

l'intégration donne :

3 cos © fv'

[le .

3 cos 9

On peut alors trouver, à droite de DB, une surface libre ; mais le profil obtenu est en réalité un contour apparent ; on trouve une solution qui correspond à la poussée des terres ; il y en a une autre qui correspond à la butée ; le profil est donc une arête saillante formant contour apparent. Si on se donne une seconde caractéristique BC, on modifie les pressions et l'arête saillante devient un contour apparent ordinaire.

192. Equilib?*e limite. — La charge que nous avons calculée au numéro 187 provoque l'éboulement des talus ; on peut demander de déterminer la charge maxima que le remblai peut supporter sans aucun éboulement.

Nous pouvons construire, sur la verticale AM (fig. 120), une infinité de solutions oniques. La plus simple est celle pour laquelle la pression est normale à la plaque. Dans ce cas, il n'y a plus de

discontinuité finie au point E; la caractéristique EMX et sa symétrique sont de systèmes opposés et déterminent une solution continue

Fig. 126,

On trouve très facilement la pression en E en remplaçant l'arc ME par deux tangentes égales. Le diagramme des pressions normales est le triangle AKB. On trouve la charge :

Prenons encore

II ==. 1700 kilogs, / = 3 mètres ;

on obtient :

P =- 12.42 tonnes.

Entre les deux états d'équilibre que nous avons trouvés, il y en a une infinité d'autres. On peut admettre en E une discontinuité croissant de zéro à la valeur obtenue dans la figure 123. La ligne de discontinuité variera depuis la caractéristique EMX de la figure 126 jusqu'à la ligne EC de la figure 123. Il y aura deux classes de solutions ; celles où la discontinuité se perd dans le remblai et celles où elle atteint le talus pour y provoquer une courbe d'éboulement ; la solution de passage est celle qui correspond à l'équilibre limite cherché. La détermination de cet équilibre limite est une opération assez longue, mais elle n'est pas nécessaire si l'on demande seulement si le remblai est en équilibre sous une charge donnée. Dans ce cas, on

construit le diagramme triangulaire des pressions normales qui correspond à la charge donnée ; on construit par tâtonnements les deux solutions coniques qui réalisent ce diagramme et l'on vérifie si la discontinuité finie se perd dans le remblai.

Il y a d'autres états d'équilibre que Ton peut examiner ; on peut abandonner le diagramme triangulaire, se donner un diagramme quelconque des pressions normales, se donner la fonction u sous la plaque ou admettre les solutions .^coniques jusqu'à un point quelconque de Taxe de symétrie ; mais il semble que ces solutions donnent une charge moindre que le;;diagramme triangulaire, et alors elles ne présentent pas d'intérêt.

193. Charge quelconque. — On peut se donner arbitrairement la ligne d'action de la force qui sollicite la plaque fictive, pourvu qu'elle forme avec la verticale un angle plus petit que l'angle du frottement des terres. En faisant croître la force à partir de zéro, il arrivera un moment où l'éboulement commencera ; on obtiendra un équilibre limite. Comme la ligne d'action de la force dépend de deux paramètres, il y a une infinité double d'états d'équilibre limite. Occuponsnous d'abord de l'équilibre du massif supérieur et supposons que les terres glissent sous la plaque ; divisons la largeur de la plaque en trois segments : un segment AD (fig. 127) où la pression sera nulle.

Fig. 127.

un segment DE où les terres glisseront vers la gauche, un segment EB où les terres glisseront vers la droite. En déplaçant les points D et E, on obtiendra l'infinité double des états d'équilibre. La butée des terres sur le segment EB s'obtient par une solution conique];ila butée des terres sur DE s'obtient par une solution qui n'est conique que sur une certaine étendue. On construit les solutions linéaires AHD et MAC ; on les relie par une solution intermédiaire comprise entre deux lignes de discontinuité finie, puis on construit une solution sur le contour apparent DE et la caractéristique du premier système qui part du point D ; cette dernière caractéristique comprend une partie de la droite DH, une courbe convexe vers le point A et une verticale.

On peut représenter une force située dans un plan par son moment linéaire autour d'un point fixe pris en dehors du plan ; en représentant de cette manière toutes les forces limites, on obtiendra une surface qui représentera l'ensemble de tous les états d'équilibre limite. Mais on peut se borner à chercher la force limite pour une ligne d'action donnée ; on y arrive de la manière suivante. On peut toujours imaginer un massif semblable au massif donné; on peut alors prendre AD arbitrairement et construire le diagramme DF des pressions normales sous le segment DE ; on choisit une fausse position du point E et je dis qu'on peut construire le segment EB et le diagramme KB des pressions sous ce segment. En effet, la force totale P est la résultante de la pression R sur DE et de la pression S sur EB ; les directions de ces trois forces étant connues, on détermine immédiatement leurs rapports. La direction de la droite BK est connue par la solution conique dont le sommet est B ; on détermine EB par la condition :

DEF £KB

Par une double intégration graphique du diagramme des pressions, on trouvera le point d'application de la charge. On amènera ce point dans la position juste en déplaçant le point E. Il faut alors vérifier que la discontinuité en E est possible et en déterminer la propagation.

On peut aussi chercher les solutions où la discontinuité du point E est (flg. 128) réduite à zéro. Les pressions sur les deux segments DEetRB doivent alors avoir la môme direction ; cette direction est celle de la charge. Il y a encore une infinité double d'états d'équilibre, car on

peut faire varier le segment Al) et la direction des pressions. Si l'on donne la ligne d'action de la force, on peut trouver l'état d'équilibre limite par une méthode analogue à celle que que nous avons exposée plus haut. On imagine un massif semblable, on se donne AD, on construit le diagramme DEF des pressions normales. On choisit une

fausse position du point E, on construit le diagramme EF'B en menant FB suivant une direction connue par la solution conique qui règne sous EB ; on détermine le centre de la charge et on l'amène dans une position juste en faisant varier le point E.

Enfin ou peut demander si le remblai est en équilibre sous l'action d'une force plus grande, complètement connue. On se donne les directions des pressions sur les segments DE et EB (flg. 127), et Ton cherche la force maxima par les mêmes opérations que celles que nous avons faites dans le cas du glissement des terres sous la plaque. En faisant varier les directions des pressions, on obtiendra une force maxima égale à la force donnée. On vérifie si la discontinuité se perd dans le remblai. Il y a une- certaine indétermination, puisqu'on dispose de deux directions pour réaliser une condition. On pourrait aussi supposer que la fonction u varie d'après une loi quelconque sous la plaque, et trouver encore d'autes solutions.

194. Influence du sol inférieur. Supposons que le remblai repose sur un sol de même nature. Soient CD ifig. 129) le terrain naturel, CA l'un des talus du remblai. La droite CD commande une solution linéaire DCF ; la droite CA est une caractéristique du premier système ; on construit une solution conique de sommet C sur les deux caractéristiques CA et CF de systèmes opposés. On trouve alors une caractéristique AM curviligne passant

Fig. 129

par le point A et c'est cette caractéristique que l'on introduit dans la détermination des pressions sous la plaque. On trouve des pressions plus grandes que dans le cas où cette caractéristique est verticale. Si le point C s'éloigne à l'infini, on retrouve la caractéristique verticale.

On peut aussi supposer un sol ayant un coefficient de frottement

plus considérable que le remblai -, on détermine les pressions sous la surface CM du sol et Ton calcule les fonctions (p, u) au-dessus de cette surface en tenant compte du changement du coefficient de frottement.

Enfin, on peut supposer un sol solide ; on prend alors CM comme contour apparent ; on trouve la caractéristique AM', les pressions sont encore plus fortes que dans les cas précédents.

195. Problème de la plaque horizontale enfoncée dans un talus. — Dans les murs de soutènement ordinaires, on fait équilibre à la poussée des terres, en construisant des murs de grand poids ; certains constructeurs ont cherché des combinaisons qui tendent à équilibrer la poussée des terres par la résistance de la terre ellemême. L'une de ces combinaisons est la suivante : on établit (flg. 130) une paroi rigide ED fixée, à sa partie inférieui-e, sur une fondation invariable ; cette paroi est articulée à une plaque horizontale CB engagée dans les terres et c'est la résistance au glisse- ^ ment de la plaque qui doit

"7 maintenir la paroi ED en équi-

libre. On peut faire à ce / système l'objection suivante :

/^ on ne peut pas vaincre la

y ^r< B poussée des terres en prenant

y appui sur la terre qui pousse.

y"^ Aussi les inventeurs disent :

D \y menons le talus naturel DA ;

Fig. 130. au-delà de ce talus naturel,

les terres ne poussent plus ; on peut calculer le poids des terres qui reposent sur le segment A6 de la plaque et en déduire la résistance au glissement de la plaque sur les terres inférieures. Nous n'admettons pas cette division du massif, par le talus naturel, en terres qui poussent et qui ne poussent pas ; nous montrerons plus loin com- • ment on peut déterminer complètement l'équilibre limite des terres soutenues par une construction de cette espèce ; mais il y a là un problème intéressant à résoudre ; quelle est la force de traction maxima que Ton peut appliquer à une plaque horizontale enfoncée dans un talus, sans que l'équilibre soit rompu ? Si le talus est indéfini et a l'inclinaison du talus naturel, il nous parait évident que cette force est rigoureusement nulle, car le talus naturel indéfini en hauteur est dans un état d'équilibre limite et la plus petite force dirigée vers le vide suffit pour troubler cet équilibre ; cependant, le poids qui repose sur la plaque peut être très considérable ; ce n^est donc pas en calculant le frottement dû à ce poids que nous pourrons

résoudre ce problème exactement ; la question est beaucoup compliquée. Nous généraliserons le problème en supposant deux talus de directions différentes et quelconques au-dessus et au-dessous delà plaque ; nous étudierons successivement l'équilibre du massif supérieur et inférieur ; nous supposerons le talus supérieur indéfini ou limité ; enfin nous calculerons la résistance à la traction et à l'enfoncement de la plaque.

196. Poussée minima du massif supérieur , — Soient (fig. 131)

Fig. 131.

AB la plaque horizontale, AP le talus supérieur. Faisons abstraction de Faction des terres inférieures sur la plaque ; supposons, par exemple, que ces terres soient solidifiées et forment une surface horizontale sans frottement sur laquelle la plaque repose. Nous nous proposons de chercher la poussée des terres sur la face supérieure de la plaque au moment où celle-ci est sur le point de glisser vers le vide.

La première idée qui se présente à Tesprit est de chercher si la plaque peut glisser sous les terres qu'elle supporte : le problème est alors semblable à celui que nous avons résolu en cherchant la poussée sur un mur. La pression des terres sur la plaque AB forme, avec la normale, un angle égal à l'angle du frottement ; la droite AB doit être un contour apparent ou une caractéristique du premier système. Le talus AF commande une solution linéaire; nous prendrons évidemment la solution qui correspond à la poussée des terres et qui suppose que les terres glissent vers le bas ; les caractéristiques sont parallèles aux droites CT, GT' de l'épure circulaire. En suivant machinalement la méthode employée pour le mur de soutènement, nous construirons une solution sur la caractéristique AX du premier système et le contour apparent AB du même système. Mais cette solution ne répond pas à la question, car elle est en dehors du massif considéré ; l'hypothèse du glissement sous les terres est donc irréalisable. Le talus AF commande la solution linéaire ; cette solution linéaire ne peut être reliée continûment à une autre que par une caractéristique ; or, aucune des deux caractéristiques passant par A ne tombe dans Tintérieur du massif FAB ; la solution linéaire doit donc régner jusqu'à la plaque, à moins qu'il ne se produise une discontinuité finie. Nous trouverons plus loin des solutions qui admettent une ligne de discontinuité passant par A ; mais il est facile de voir que ces solutions donnent une poussée au vide plus grande que la solution linéaire. Si la plaque est sollicitée par une force horizontale faisant équilibre à cette poussée au vide, on pourra diminuer cette force jusqu'au moment où Ton réalisera l'état d'équilibre qui admet la poussée minima et cet état d'équilibre est donné par la solution linéaire.

On trouve la pression p en un point B de la plaque, en menant une caractéristique par ce point. Soit, par exemple, BË la caractéristique du premier système menée jusqu'à la rencontre du talus ; au point de rencontrée, la pression p est nulle ; intégrons l'équation différentielle des pressions le long de la caractéristique, on trouve, en réduisant le poids spécifique à l'unité,

p = Ay, =. BH.

On obtient le point H en menant EH parallèlement au premier talus naturel AT, et BH perpendiculairement à ce talus.

Connaissant la pression p en B, on obtient la pression P sur la plaque au même point B, au moyen de l'épure circulaire. Le pôle des facettes est le point C ; on mène CK parallèlement à la plaque ; la

pression P est représentée par AK à une échelle où la pression p est représentée par AT ; on a donc