VARIATION DES PRESSIONS DANS LE PLAN
101. Éqications du problème. — Prenons pour axes coordonnés un axe horizontal Ox et un axe vertical (f ^
Of/. Soient (flg. 62) : œ, y les coordonnées d'un point quelconque A ; en donnant h X. y des accroissements dXy dy, nous construirons un rectangle infiniment \ petit ABCD ; nous considérons ce rectangle comme la section de symétrie d'un prisme dont les arêtes ont une longueur égale à l'unité et nous exprimons l'équilibre de translation de ce prisme ; on obtient l'équation vectorielle : JJ
Fig. 62.
op,
rjX
dxdy — '
''Pu
ày
dydx + H dydx — o.
En projetant sur les deux axes coordonnés, on trouve :
On introduit d'abord les pressions moyennes sur les différentes faces ; le symbole d signifie un accroissement. En passant à la limite, on reconnaît que les pressions deviennent les pressions au point A et que le symbole 6 devient un symbole de différentiation.
Les équations (12) et (13) sont à trois fonctions inconnues ; il y a donc indétermination. Nous avons vu que l'angle i formé par la pres- •sion et la normale à la facette variait entre deux valeurs limites ± cp liées aux pressions par l'équation (11) :
-j(pxx—Py^)'+ Pxv = j {p.c.v + p.vî,') sin^q? (11).
On pourrait prendre pour cp une fonction quelconque de (a?, y) pourvu que cette fonction ne dépasse pas l'angle du frottement des terres. Si on admet l'équilibre limite, 9 est l'angle du frottement ; les équations (11) (12) et (13) déterminent le problème.
L'équation (11) est une équation finie ; on peut en tirer l'une des trois fonctions inconnues et en portant sa valeur dans les équations (12) et (13), on obtient deux équations linéaires aux dérivées partielles à deux fonctions inconnues. Ces deux fonctions peuvent être représentées par deux surfaces associées ; il suffit de les porter en ordonnées suivant une perpendiculaire au plan des (ce, y).
On sait qu'on peut se donner arbitrairement deux courbes associées initiales sur ces deux surfaces. Lorsque les courbes sont régulières, on obtient une solution développable par la formule de Taylor. Généralement les conditions initiales présentent des discontinuités, et les problèmes ont pour solution un ensemble de solutions régulières séparées par des caractéristiques.
102. Massifs semblables, — Etant un donné un massif de terre en équilibre limite, on peut immédiatement en trouver une infinité d'autres en faisant varier les coordonnées et les pressions dans un même rapport de similitude.
En effet, lés équations (10) et (11) sont encore satisfaites après la transformation par homotéthie, car les dérivées partielles sont des limites de rapports dont les termes sont multipliés par le même nombre : ces dérivées partielles ne changent pas. Les pressions pxxy Pxy , Pyy sout multipllécs par ce même nombre ; donc Téquation (11) qui est homogène est encore satisfaite. Les trois équations du problème sont donc encore satisfaites.
103. Solution conique. — Il peut arriver qu'en prenant un certain centre de similitude, le massif de terres en équilibre se superpose à lui-môme par une transformation homothétique. C'est ce qui a lieu quand les lignes initiales sont des droites partant du centre de similitude. Citons, par exemple, le cas d'un mur plan AB (flg. 63) soutenant des terres limitées par un plan AC.
Un point quelconque M a pour homologue un point M* et les pressions de M en M' varient dans le rapport de similitude qui est le rapport AM : AM'. Comme cela est vrai, quel que soit ce rapport, on en conclut que, le long d'une droite AM passant par A, les pressions sont représentées par des lignes droites passant par A et projetées sur AM; les surfaces qui représentent jp^j, Pxv,Puv, sont des surfaces coniques.
On peut alors prendre pour variable : ^'^S^ <>3-
poser
p.v,T = ax, Pxy = bœ, pyy = ex,
a, by c étant fonctions de t ; les équations deviennent :
da
Tt
db^ 'dt
de
(a — c)* + 4b' ^ (a + c)* sin'<p
On est ramené à deux équations différentielles ordinaires. Ces équations peuvent être transformées ; on peut même éliminer la variable t en introduisant les différentielles secondes. Mais il parait difficile de les intégrer.
104. Solution plane ou linéaire. — Supposons le massif de terre limité supérieurement par un plan indéfini. En prenant un point O (fig. 64) à la surface comme centre de similitude, on se trouve dans le cas du numéro précédent. Mais on peut prendre un autre point 0' comme centre de similitude ; on en conclut que les surfaces qui représentent les pressions sont des plans, car ce sont des cônes qui ont le point pour sommet et pour directrices des droites passant par 0*. C'est ce que nous allons vérifier par l'analyse.
Prenons le point comme origine des ,
axes rectangulaires oo?, oy ; soit : ^
y + X tang f «= o ^^^"^^ / ^
l'équation de la ligne droite qui limite section du massif ; posons :
p'xx {y + X tang i),
Pxy = p'xi, {y + ^ tang i),
Pyy = P'yy (V + ^ tang i).
Fig. 64.
En remplaçant ces quantités par leurs valeurs dans les équations (12) (13) et (11), on trouve :
jy'^j. tang i + pjcy =
pxy tang i + py^ — n
(p'xx — P\v^ + P\y' = — ^\tx + P'yy) siU*© (19).
On satislait à ces trois équations^ en les résolvant par rapport à Px.y p\y. Pxr,\ on trouve:
pxy == — Pxx tang i,
yy
n + p;cx tangV, .
cos"i
jo^.,. «« n ;- I cos2i + sin*© ± k (1 +• cos2î) (cos22 — cos 2cp)
On trouve deux solutions réelles lorsque l'angle i est plus petit que cp ; en prenant la plus petite pression, on trouve Tétat d'équilibre limite où les terres sont sur le point de glisser vers le bas. En prenant la plus grande pression, on trouve l'état d'équilibre limite où les terres sont sur le point de glisser vers le haut ; c'est l'état d'équilibre qu'il faut considérer dans l'évaluation de la butée des terres.
105. Démonstration géométrique. Epure circulaire. — Soit (fig. 65) AB la droite qui limite supérieurement le massif de terre ;
Fig. 65
mêlions CD parallèlement à AB ; tirons les verticales AC et BD et exprimons que le volume ABCD est en équilibre. On peut admettre comme évident que les pressions sur AC et BD sont égales et de sens contraire. Il doit donc en être de même du poids du volume ABDC
dt de la pression sur CD. On déduit de là que la pression en C, à une profondeur
h = AC,
sur une facette parallèle à la surface supérieure, est verticale et a pour valeur :
P = II A cos 2.
L'épure circulaire permet alors de trouver toutes les pressions. On doit construire Tangle i en PSI ; il suffit pour cela de mener SP parallèlement à la surface du terrain. Nous prendrons alors SP pour représenter la pression P ; la pression conjuguée, qui est la pression sur la facette CA, sera représentée par SP' en grandeur seulement. Nous obtiendrons le pôle des facettes en menant par P une parallèle à la facette CD ; on trouve P' ; ce pôle s'obtient donc en menant SP' parallèlement à la surface du terrain. S'il s'agissait de la butée, on prendrait SP' pour représenter la pression verticale ; la pression latérale serait représentée par SP.
Proposons-nous de chercher la poussée des terres sur le mur MN en admettant l'état d'équilibre étudié précédemment. Menons, par le pôle P' des facettes, une parallèle P'K à la face du mur ; la pression en N sera représentée par SK. Cette pression doit faire avec la normale au mur un angle égal à — ISK. On obtient facilement la normale au mur en KE ; on construit un angle EIIF égal à l'angle ISK, en menant la droite EH parallèle k KS, et la droite HF parallèle à SI ; la droite KF donne la direction de la pression. Nous pouvons choisir le point N de telle façon que :
