NN' = SP

NN' étant la perpendiculaire abaissée de N sur la surface du terrain ; la pression verticale en N est :

P — n /^ cos i = 11 NN'.

L'échelle des pressions en N est déterminée par la condition que la pression II NN' est représentée par SP ou NN' ; c'est-à-dire que les pressions sont représentées par les hauteurs des colonnes de terre qui réaliseraient ces pressions. Si on porte SK en NR, suivant une parallèle à KF, toutes les pressions sur le mur MN, représentées à l'échelle dont il vient d'être question, ont leurs extrémités sur. la droite MR.

Cette construction ne donne pas, en général, l'état d'équilibre

limite, car si le mur cède, les terres glissent sur le mur ; au moment où le mouvement est sur le point de se produire, la pression sur le mur doit donc faire avec la normale un angle (f^ égal à Tangle du frottement des terres sur le mur ; c'est donc seulement dans le cas où

KSI - 0..

que le problème est résolu exactement. Généralement, l'angle du frottement des terres sur le mur est égal ou plus grand que «p ; il faut alors prendre *

On peut réaliser cette condition en déterminant convenablement la face intérieure du mur de soutènement. On porte l'angle 9, en KSI ; la droite P'K donne la direction de cette face.

106. Formicles, — On peut remplacer les constructions précédentes par des formules ; on retrouve les formules établies par M. Maurice Lévy (i). Il suffit de résoudre les triangles SIP et SIK. Dans le triangle SIP, on connaît le côté SP ou P, l'angle PSI ou i, et le rapport sin ^ des côtés IP et SI.

Représentons par a l'angle SPI ; on trouve facilement :

sin i

sin a =^ — : ,

sin 'f

P sin a SI =

sin (a + i)

Dans le triangle SIK, on connaît l'angle S qui est ç, et les côtés SI et IK dont le rapport est sin cp ; on trouve :

sm ©.

Sin K =

sin C5

(0 Journal de LinnxHlr, 1873, page 299. Mémoire déjà cité.

On peut déduire de là Tangle e du mur avec la verticale ; menons la verticale P' P", on a :

SIK « SIP" + P"IK = a — i -f- 2 6.

Or

SIK = TT — <p, — K.

En égalant ces deux valeurs, on trouve :

TT — K = a — i + 2g +9>,.

Ayant déterminé l'angle K, on tire e de cette équation ; on |>eut aussi éliminer K et écrire :

sin (a - i + 2s + 9i) =" ^•

^ sinip

Dans le même triangle SIK, on tire la pression SK ou R par la formule

R = SI »^^ (^ + ?t) P sin g sin(K -f cp,)

sinK "~ sin (a + i) sinK

Prenons le cas où ©, est égal à <p ; on trouve :

TT

2 6== cp — (« - i),

P sina cos<f sm (a + t)

Si on se donne Tangle c à priori, on peut encore appliquer la solution linéaire, si Ton se contente d'une solution approchée ; on doit alors calculer <p, et considérer l'angle SIK comme connu. On applique la formule :

tang r ,

^ 2 1 — sm<p /TT o \

" K + S ^ 1 + sinc3 == ^^^^Syi -2/

tang

On connaît I ou K + S ; on calcule K ~ S, on en déduit S ou cp, . On peut aussi éliminer K de cette équation, qui alors ne contiendra plus que l'inconnue.