CARACTÉRISTIQUES
107. Caractéristiques d ordre zéro, — Reprenons les équations (12) (13) ôt (10) du numéro 101. En tirant pxx de l'équation (11) et substituant dans Téquation (12), nous aurons deux équations à deux fonctions inconnues ; pour éviter les radicaux, nous éliminerons seulement la dérivée de pxxy nous conserverons pxc qui sera censé exprimé en fonction des deux autres pressions. En prenant la dérivée de réquation (11) par rapport à a?, on a :
, opyy , -3 ipxy . ^, àpxx
Nous avons posé :
A ^ -^ (P^^ — Pyy) — ~v (P^-^ + Pyy) ^^^" ?»
C - -^ {p..,v - P,v ) — *^ (P -^ + Pjv (s^^^'?- En éliminant la dérivée dep.fj. de l'équation (12), on a :
Nous suivrons alors la méthode expliquée au numéro 31 ; nous nous donnerons les fonctions inconnues jo^^ et Pyy le long d'une courbe; cela revient à se donner deux courbes initiales associées sur les surfaces qui représentent ces fonctions. Nous écrirons alors les équations qui permettent de calculer les quatre dérivées des fonctions inconnues. On trouve :
—r- dx + —r- ay = dpyu ex oy "^ ^'^
^Pr„ ^-^P'y OjJyy
Qx oy ox
àx ày
Ces équations linéaires permettent de calculer les quatre dérivées premières des fonctions inconnues. Voyons s il est possible de former une solution irrégulière en réunissant deux solutions régulières séparées par une ligne de discontinuité dans les dérivées premières. En prenant cette ligne de discontinuité comme courbes initiales, on doit trouver deux solutions différentes ; il faut pour cela que les équations linéaires qui donnent les dérivées soient indéterminées ; on exprimera cette indétermination en égalant à zéro deux des déterminants de la matrice suivante :
dœ dy
dpjy
dy dp^y
On peut aussi exprimer qu'en ajoutant les équations multipliées respectivement par les coefficients indéterminés a, (3, y et 1, on obtient une identité ; on trouve :
a rfo? + y B -|- i =^' û, oLdx — C y == 0, P rfâ? + A y «= 0,
My + i = 0,
Cf. dpxy + |3 dpyy -f II = 0.
De la seconde, troisième et quatrième, on tire :
dy' î'
dx
kdy
Gdx Td^
En portant ces valeurs dans la première et la dernière, on trouve les deux équations de la caractéristique :
A dy* + B dx dy + C dx* = o.
G cte dpyy
T~ apxy — ^ ■ + II = 0.
At?y
dy
De la première, on tire :
— B i V B* — 4AC dy ^
Nous avons écrit plus haut les valeurs de A, B, C ; on en déduit :
B* — 4AC -- ipxy + {pxx — Puu) — {fxx + pyy) sin* <p.
Nous retrancherons du second membre, l'expression suivante qui est égale à zéro d'après Téquation (11) :
t il
= Apxy + {prx — Pyy) — (p.rx -f pyy) sin* ç.
Nous obtenons :
B* — 4 AC -= (pxx + Pyy) sin" (f COS' (f.
Il vient :
dy — 2 pry ± (pxr + pyy) sin y COS (p
dx "" — (pxx — Pyy) — (pxx + joyy) sin' -p ^^'*^'
Soient X et jx les deux valeurs données par l'équation précédente ; on a:
Prenons la première valeur ; la seconde équation de la première caractéristique se transforme en remarquant que
C dx X fx
ITdy ^ T" = '^•
On trouve finalement pour les équations de la première caractéristique :
dy
dpuy — y^dpjrx '=■' Hdy (16).
On trouve de même que les équations de la seconde caractéristique sont :
Sputf — li Pxy = TT (îy (18).
108. Equation de Maurice Lévy. — M. Maurice Lévy a ramené le problème de la poussée des terres à l'intégration d'une équation unique du second ordre aux dérivées partielles. On l'obtient en remarquant que les équations (12) et (13) sont satisfaites en posant :
^'^ ^ ^ ' P^ = — dœdy ' Pyy-^^ y + rf^'
On ne diminue pas la généralité des équations (12) et (13), car on peut toujours mettre la valeur de pw.r sous la forme indiquée ; on trouve les deux autres pressions en intégrant les équations (12) et (13) ; on recomiait facilement que les constantes d'int^ration qui sont des fonctions de ,x seul ou de y seul modifient seulement la fonction ^,
Portons les valeurs des pressions dans Téquation (11) et désignons par r, s, t, les dérivées secondes de la fonction ^ ; on trouve :
— (t^r-ny) + s' j-{t + r + ny) sin*(p=0.
Nous avons trouvé au numéro 29 les caractéristiques d'une équation de cette forme ; on écrit :
R rfy' — Sdœdy + T doo* = 0.
Soient 1 et fj. les racines de cette équation du second degré ; les équations de la première caractéristique sont :
dy ^ 1 dx, dr + |j.ds — 0.
On obtient l'autre caractéristique en permutant X et p. On trouve :
dy 25 ± (^ + r 4- n y) sincp cosç
dx —(^— r — Try) — (< — r + Iiy) sin*(p
On peut appliquer la méthode d'intégration approchée du numéro 30 ; mais on remarquera qu'il est inutile de calculer ^ et les dérivées premières de i{/ ; il suffit de calculer r, s, t. On peut môme revenir aux variables ^rx, J9xy, Pi/fj et on retrouve les équations du numéro précédent.
109. Changement de variable, - Nous avons, au numéro 99, établi les équations :
pxx == m '{' n cos2tt (3),
pjci/ = n aioB» (4),
Pify = m — n cos2w (5),
n =- m sincp (6).
Nous prendrons, comme fonctions inconnues nouvelles, Tanglo u que forme la pression maxima avec Taxe des œ et la pression p sur la facette de glissement. Cette pression est représentée par la tangente AQ de la figure 60 ; on a :
n = m sin <f ==- p tang o.
Les équations (3) (4) et (5) deviennent :
pxx = + P tang 9 cos 2u (3').
cos tp ^ ^ '
Pxy = p tang (f sin 2u (4'),
Portons ces valeurs dans Téquation (16) ; on trouve :
Posons :
dy
sin 2u ± cos cp
cos 2u + sin ?
il vient :
dy sin 2u ± sin 2a
"3 — = ;r~""; IT" = tang (u ± a).
doo cos 2w -+ cos 2a ^ ^
Il résulte de l«à que les tangentes aux deux caractéristiques forment avec la pression maxima des angles égaux mais de signe contraire ; la valeur absolue de ces angles est :
Cette formule est précisément celle qui détermine les facettes de glissement (9G) ; on voit donc que les caractéristiques sont les lignes de glissement ; Tangle aigu qu'elles forment est 2a ou le complément de©; la bissectrice de cet angle est la direction de la pression maxima. Nous aurons donc :
