X. = tang (u — a) /x = tang (w + a

Introduisons les nouvelles variables dans l'équation (16) que nous mettrons d'abord sous la forme :

cos (u + a) dpyy — sin {u -f- a) dp^y ^ U dy cos (w -f a)

On trouve après réductions :

cos (te -j- a) — dp tang q. cos (u — a) + 2p tang cp sin (u — a) du ^= ïl dy cos {u + a) Remarquons que :

Cos (m + a) = cos (u — à) sinj- — sin (u — a) cos 9

Substituons, divisons l'équation par sin (u — a) et changeons le signe, nous aurons :

„ cos (u 4- a)

dp — 2p tang © rfw -= — U — -; dy

^ ^ o T sin(u — a) ^

Désignons par ds Tare élémentaire de la première caractéristique ; on a :

dy = ds sin {u — a)

Le second membre de l'équation de la caractéristique devient :

cos (u + a)

sin (u — a)

dy =■ — W ds cos {u + a)

Menons par Torigine des axes ou un point quelconque du plan, les directions OT. et OT, des deux talus naturels. Appelons y, et y, les distances d'un point quelconque du plan «à ces deux lignes OT. et OT. ; ces distances seront affec- *t tées du signe+si ce point se trouve en dessous des talus naturels. L'ex- i- / y

pression ds cos {u -{-a) ,' d

représente la projection l''ig- 06

de l'arc élémentaire AB sur l'axe OS faisant avec ox un angle — 2a ; car cet arc élémentaire fait avec oXy un angle i^ - a et avec OS un angle

La projection de l'arc ds ou AB sur OS prolongé est précisément BB' ou d\j^ ; elle est égale et de signe contraire à la projection sur OS ; on a donc :

dxj^ =- — ds cos (w + à).

On trouve finalement que les deux équations de la première caractéristique sont :

dy = dx, tang {u — a) (19),

dp — 2p. tang (p dw = II rfy, dy^ =- — ds cos {yi + ^)-

Nous pouvons appliquer tous ces calculs à la seconde caractéristique ; les équations (17) et (18) s'écrivent d'abord :

ly -= ix tang (u + a).

^Pyy cos {u — a) — hpxy sin {ii — a) =^ n dy cos {ti — a).

Eli exprimant les différentielles des pressions au moyen des nouvelles variables, on trouve après réductions :

^^— cos {71 — a) —dp tang cp cos [te + a) + 2p tang cp sin (u + a)

=^ t: dy cos {u — a).

Remarquons que :

cos (w — a) =-^ cos(w + n) slncp + sin(u + a) cos (p. Substituons et divisons par sin {u -{- a), il vient :

% . « . % * cos (w — a)

$p + 2p tang» $^i ^- n ôy ,^^,,^^y

Appelons de Tare élémentaire de la seconde caractéristique ; on a :

dy = d(7 sin (u + a).

Il Sy <^<>s(u~a) ^ ^^ ^^^ -« a) « n dy..

^ sin(i^ + «) ^ ^

Les équations de la seconde caractéristique sont donc :

dy = dûo tatig (w + a) (21),

5p 4- 2jp tang (p dw =- n (îy, (22),

'îj/t == ^^ cos (u — a).

Il est utile de remarquer que pour passer de Tune à l'autre caractéristique, il faut changer le signe de a et le signe de II.

Si nous examinons les équations (20) et (22), nous voyons que la différentielle de la pression le long d*une caractéristique dépend de deux causes : le poids des terres et la courbure de la caractéristique.

Si les caractéristiques étaient rectilignes, les différentielles et accroissements de la pression s'exprimeraient par :

n dy,, n Ay., II dy,, II Ay..'

Si le poids des terres était nul (ou négligeable à cause des fortes pressions et d'une grande courbure^, on aurait :

2(u — wj tangcp dp -= 2ptangQ> du, p = p.e,

— 2 (w — u^) tang(p dp ^--- — 2ptangç dti, p =^ p^e.

Le long de la première caractéristique, la pression croit selon qu'elle présente une courbure dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre ou en sens contraire. C'est l'inverse qui se produit le long de la seconde caractéristique.

1 10. Transfoi^mation des équations aux dérivées paHielles. — Nous avons démontré (32) que le problème est résolu quand on sait construire les deux systèmes de caractéristiques,et que, des équations des caractéristiques, on peut déduire les équations aux dérivées partielles. Nous pouvons donc déduire des équations (20) et (22), les deux équations aux dérivées partielles qui déterminent les fonctions p et u.

Ecrivons l'équation (20) sous la forme :

-^ 2j9tang«p --T- + II cos(w + a) =« 0.

ds 'àF ds^ ày ds ^ àx cos(t^--a)+ j^ sm(w a).

du au dx , au dy du , . . du . , -

ds 6x ds 6y ds àx 6y

11 vient donc :

6p , 6p r du

-j— cos (î^ — a) + -j— sin(M — a) — 2;> tang» -j — cos(m — a) fjÇO oy i qx

ou 1

-|- -^ — sin (m— a) + n cos (m + a) ^ (23).

On trouve de même que Téquation (22) donne :

6p 6p \ ou

-|- -j^ sin {u -{- a)\ — U cos {u — a) = o (24).

On peut se proposer de déduire ces nouvelles équations des équations (12) et (13) ; il suffit d'y remplacer les pressions par leurs .valeurs tirées des équations (3') (4') et (5'). On trouve d'abord :

1 cj) f àp ^ 6p fAC

-f- tang ç ( -1 — cos 2u + — — sin 2u — 2p sin 2u —r

cosc? oa? ' " î V da? ' oy '^ r,œ