CHAPITRE IV

Poutres continues prismatiques.

§ 1. Méthodes générales.

507. Problème à résoudre.— Soient (fig. 235): am , une poutre continue ; a, b, h, i, m, les points qui , après la pose, se placeront sur des appuis situés à des niveaux connus ; ABDEHILM la ligne des charges. Intégrons quatre fois la courbe des charges en introduisant, s'il y a lieu , les forces isolées; donnons-nous arbitrairement les réactions des appuis , que nous considérerons comme des constantes d'intégration ; nous obtenons :

(fig. 236), la ligne des K en ah d eh il m;

(fig. 237), la ligne des M en kbdeghhlm;

(fig. 238), la ligne des >] en adgkn ;

(fig. 239 ) , la ligne ÙQsy enabeh m n.

Ces intégrations s'effectuent par les règles connues. Les polygones d'intégrations peuvent être plus ou moins compliqués , cela dépend de l'état de sollicitation ; mais on peut toujours , après l'exécution, supprimer les lignes inutiles; nous verrons qu'il suffit de représenter, comme nous l'avons fait, la ligne des yj par un polygone inscrit, la ligne des y par un i)olygone circonscrit.

Nous avons employé pour trouver chacun de ces deux polygones une méthode particulière que nous allons faire connaître. La figure 235 indique que nous supposons que chaque travée porte une charge uniforme. La ligne des K (fig. 236) est formée de droites. La ligne des M (fig. 237) est formée d'arcs paraboliques déterminés par leurs tangentes extrêmes. Les ordonnées moyennes de ces arcs sont les ordonnées des centres de gravité c, /, i, m des triangles khd, dcg, ghh, kln ; ce sont ces ordonnées qu'il faut intégrer pour obtenir le polygone des y; , arf^/^n (fig. 238). Pour tracer le polygone circonscrit à la ligne des 7j , il suffit de chercher les verticales qui passent par les centres de gravité des surfaces des M ( 1 11 ). Considérons, par exemple, la première travée ; par le point c, menons la droite ad' parallèle à la corde Ad ; il est facile de reconnaître que le segment parabolique compris entre la corde Ad et la ligne des M peut être remplacé par le parallélogramme Aad'd ; car ces surfaces ont même poids et ces poids agissent tous deux au milieu de la travée ; si on retranche ces surfaces équivalentes du triangle Add" , il reste d'une part la surface des M , d'autre part le trapèze Aad'd" ; il résulte de là que les droites qui joignent les points a et d' aux points principaux de la travée Ad" se coupent sur la verticale des centres de gravité de ces deux surfaces. C'est en répétant cette construction pour toutes les travées que nous trouverons les verticales des sommets du polygone des j/ ; on obtient ce polj^gone par la règle connue (13). Nous remarquerons qne la droite ad' est précisément la ligne de repère qu'il faudrait choisir si la travée était encastrée à ses extrémités suivant la même horizontale (580); nous l'appellerons la transfonnée droite de la ligne des M ; c'est la

droite qui peut être substituée à la ligue des M saus changer la corde des vj et les tangentes extrêmes aux y.

Le problème à résoudre revient à déterminer les lignes do repère pour chaque travée ; elles forment les lignes des K', des M', des y/, des y\ La ligne des K' est formée d'horizontales (61) ; celle des M' , de lignes droites (03; ; celle des y; d'arcs paraboliques du second degré (65); celle des y' d'arcs liaral)oliquesdu troisième degré. Ces lignes se déduisent les unes des autres jiar intégrations et différentiations successives (65) ; elles se déterminent par polygones d'intégration. Soient :

(flg. 236) , ABDEIIILM , la ligne des K' ; (fig. 237 ) , ADGKN , la ligue des M' ; (flg. 238) , ABDEGHKLN , la ligne des y;' ; (fig. 239j, ABCDEFGHIKLMX, la ligne des?/' ;

la ligne des K' et celle des M' se tracent complètement ; la ligne des y/ est représentée par un polygone circonscrit ; la lio-ne des y' , par un polygone circonscrit avec côtés auxiliaires.

Nous déterminerons ces lignes de repère en exprimant que les conditions d'équilibre et les conditions imposées aux déformations sont satisfaites. Les conditions d'équilibre nous conduisent à égaler à zéro les moments fléchissants aux deux extrémités de la poutre ; les ligues des M et des M' ont donc mêmes extrémités A etN. Les conditions de la déformation nous donnent les ordonnées A<^ , De, G/", lu, N?z de répure des?/ ; ces ordonnées .sont évidemment les ordonnées des appuis par rapport à un axe horizontal ; au moyen de ces ordonnées nous déterminerons les points A , D, G, K, N, de la ligne des y' : nous donnerons à ces points le nom de points invariables de la ligne des y' .

Avant de montrer comment on trace les lignes de repère qui satisfont à ces conditions, nous allons mettre le problême à résoudre sous une forme simple. Considérons la ligne des ?/' comme la flbre moyenne déformée d'une poutre fictive; nous obtiendrons pour cette poutre, les lignes des y;, des M ,

INTEGRATION GRAPHIQUE. 571

(les K, en différentiant trois fois la ligne des ^' ; nous retrouverons évidemment les ligues des//, des M', des K'. Il résulte de là qne cette poudre fictive doit être sollicitée aux extrémités par deux moments fléchissants connus représentés par les ordonnées des points A et N de la ligne des M ; les sommets intermédiaires du lieu des M' indiquent en outre que cette poutre est sollicitée par des forces isolées passant par les appuis. Ces forces doivent déformer la poutre de telle manière qu'elle passe par les points invariables; nous les réaliserons en fixant la poutre sur les points invariables par des appuis convenablement placés ; les réactions de ces appuis seront les forces dont il s'agit ; on a donc ramené la question au problème suivant : trouver Vétat de sollicitation cV une poutre droite non chargée assujettie à passer par les pioints invariables A, D, G, K, N(fig. 239); des couples connus agissent aux extrémités.

Les moments extrêmes sont représentés par les ordonnées des points A et N de l'épure des M. Nous avons pris le point A sur l'axe M = 0 ; l'un de ces moments est nul. Nous aurions pu facilement amener le point N sur ce même axe ; alors la poutre fictive ne serait sollicitée que par les réactions des points fixes.

5tlS. Problèmes el llicorèiucs préliuiiiiaires. — I. Connaissant M, Y, sur un appui, tracer les éléments K, M, y;, y, pour la travée adjacente.

Considérons par exemple le troisième appui à partir de la gauche; examinons successivement la ligne des M', des -/;', des y' de la troisième travée. De la ligne des AI', nous connaissons le point G ; en intégrant l'ordonnée de ce point , nous obtenons le côté GH de la ligne des //; en intégrant ce côté , nous obtenons les deux côtés GH et HI de la ligne des , y'. Donc joignons le point I au point invariable K, la ligne des ?/' est déterminée; on obtient les lignes des //', des M', desK' par différentiations.

II. Un coup)le inconnu agit à Vune des extrémités de la poutre donnée ; on donne Vinclinatson /io de la fibre déformée à Vautre extrémité ; trouver tous les éléments de la poutre.

572 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Le couple agit par exemple à l'extrémité droite ; nous connaissons à l'extrémité gauche le moment fléchissant qui est nul et l'inclinaison r,Q ; en api)liquaut la construction précédente à la première travée , puis à la seconde et ainsi de suite , nous trouverons successivement les lignes des •/]', des M', des K' pour toute la poutre.

III. On fait varier r,^ en modifiant le couple extrême; toutes les ordonnées des K' , des M' , des y,', des y' sont des fonctions linéaires des ordonnées connues et de r,^.

Les ordonnées connues sont les ordonnées des points invariables de la ligne des y'; il faudrait y joindre l'ordonnée du point A de la ligne des M' ; mais ici cette ordonnée est nulle. Exprimons par l'analyse toutes les relations entre les ordonnées des sommets des lignes des M', des // et des y' ; on ne trouve que des équations de la forme :

Elles sont toutes homogènes et du premier degré par rapport aux ordonnées ; parmi ces ordonnées nous connaissons •/;o et les ordonnées ?/o , Z/i , 2/2 , •••• des points invariables de la ligne des y' ; nous savons que l'on peut en déduire toutes les autres ; si on résout ces équations , on trouve qu'une ordonnée quelconque X a pour valeur une expression de la forme :

X ■= ar,ç, + &o2/o + ^li/i + ^iVi + •••• c'est ce qu'il fallait démontrer.

IV. Si r,Q varie, les différentes positions de chacun des côtés des polygones des M', desr', des y' constituent un système de droites du premier degré {\90); Taxe des r,Q est vertical; Valscisse du pivot est indépendante des ordonnées connues.

Soient : x\ y' ; x'\ y" ; les coordonnées des extrémités d'un de ces côtés ; son équation est :

INTEGRATION GRAPHIQUE. 573

Mais y' et Jj' sont des fonctions linéaires des ordonnées connues et de yjo", on pourra donc mettre la valeur de y sous la forme :

ou bien

r,„ {aœ + c)-\-œlboPo + -f^oZ/o — 2/ = 0.

C'est l'équation d'un système du premier degré dont Taxe est vertical ; les équations du i)ivot sont :

y = xlboP^> -i-cloUo-

La première équation donne l'abscisse du pivot , elle est indépendante des ordonnées connues ; la seconde donne l'ordonnée du pivot , c'est une fonction linéaire de ces ordonnées. Il résulte de là que si l'on niodi/le de toutes les manières les cJiarges et les niveaux des appitis d'une poutre continue, les pivots se déplacent sur des lignes verticales.

500. llclliode générale. — La solution que nous cherchons est une des solutions en nombre infini que l'on obtient en faisant varier y^o ; c'est celle pour laquelle on trouve un moment extrême égal à zéro. Déterminons d'abord les pivots des différents côtés; il suffit pour cela de tracer les solutions pour deux valeurs de t^q ; les deux positions de chacun de ces côtés se coupent au pivot de ce côté. On obtient alors facilement la solution cherchée.

Soient (flg. 237 ) P, Q, R les pivots des côtés de la ligne des M'; partons de lextrémité droite, le côté KN passe par deux points connus N et R ; on trouve ensuite les autres côtés successivement en joignant KQ , GP et DA.

Soient de même (fig. 238) P, Q, R, S les pivots du polygone des y;'. Le côté LN passe par S , sa direction est celle de l'intégrale de l'ordonnée du point N de la ligne des M' ; on peut donc trouver ce côté ; on obtient tous les autres en utilisant les [)ivots. Eu prenant la dérivée de la ligne des // , on retrouve la ligne des M'.

574 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Soient de même (fig. 239) P, Q, R les pivots des côtés auxiliaires du polygone des ij ; les points invariables sont évidemment les pivots des côtés tangents. Le côté LM couije l'ordonnée du point N au point N' ; on sait (588) que NN' peut s'obtenir a priori en intégrant une droite quelconque des M' passant par le point N de Tépure des M'. Il n'est pas même nécessaire de tracer cette droite; on prend, sur l'épure des y;, L"N' comme côté intégral de l'ordonnée du point N des M' ; ou trouve L"M'N sur l'épure des y pour intégrale seconde ; en prolongeant L"M', on trouve le point N'. On aurait évité cette petite construction en choisissant le point N de la ligne M sur l'axe M == 0 ; car alors NN' -= 0. Connaissant le point N', on obtient le côté LM enjoignant N'R; on trouve successivement tous les autres côtés en utilisant les pivots. En prenant la dérivée seconde de la ligne des y', on l'etrouve une troisième fois la ligne des M'.

La méthode que nous venons d'exposer est très complète ; elle repose sur des principes très simples ; mais elle conduit à tracer des lignes inutiles puisqu'on trouve la ligue des M' de trois manières ; en décomposant ces tracés surabondants, nous trouverons les trois méthodes pratiques suivantes.

OOO. îiolulion par l'épure des y. — Nous supposons que l'on ait tracé la ligne des y et déterminé les points invariables A, D, G, K, X, (fig. 239 1 de la ligne des y'. Exprimons que l'on connaît les valeurs de M' aux extrémités de la poutre ; en A , on a M' = 0 donc les côtés AB et BC ont même direction ; en N , le moment M' est connu, on détermine le point ]N'' comme nous l'avons dit précédemment ou mieux on modifie la ligne des M pour la dernière travée de manière à avoir M' = 0 à l'extrémité X. Cela étant, on peut déterminer la ligne des y' sans utiliser les autres épures.

Remarquons tout d'abord que les arcs paraboliques du troisième degré qui forment la ligne des y' ont entre eux un contact du second ordre ; car, au point de jonction , les dérivées secondes , qui sont les M' , sont les mêmes pour les deux arcs. Appliquons le théorème du numéro 546 ; les côtes auxiliaires adjacents à une tangente commune se coupent

INTEGRATION GRAPHIQUE. 575

sur la directrice du contact d'ordre deux. Nous appellerons ces directrices les directrices de continuité parce qu'en exprimant le contact d'ordre deux, nous exprimons que les M' varient continûment ; elles s'obtiennent bien facilement en renversant les distances du point invariable considéré aux verticales principales voisines ; nous les avons représentées par des traits mixtes.

Donnons-nous aroitraireraent la valeur de -/lo ; cela revient à se donner la direction des cùtés ABC ; nous pouvons alors tracer successivement les cùtés du polygone des y' de la manière suivante : on prolonge AC jusqu'en cl: on tire CE par le point D ; on trace dg par les points cZ et E ; on tire FH par le point G, on trace gk par les points ^ et H, etc.. En prenant y;o arbitrairement , nous trouverons une solution possible avec un couple extrême; nous obtiendrons la solution véritable au moyen des pivots. Ou obtiendrait ces pivots en traçant deux solutions complètes ; mais on peut déterminer les pivots de proche en proche. Par le point A menons une solution AC'd'E' ; prenons ensuite comme deuxième solution la droite AP , on reconnaît immédiatement que le triangle C'd'E' se réduit alors à la droite AP; on obtient ains le pivot Pdu côté EF. Par le point P, menons une solution quelconque P'FV/H' et la solution droite PGQ ; on obtient le pivot Q du côté HI. On continue de la même manière. Les pivots étant connus, on part du point N' et l'on trace successivement tous les côtés en les faisant passer par les pivots. On obtient ensuite les lignes des r! et des M' en prenant les dérivées de la ligne des y'.

OOl. Solution par l'épure des •/;. — Déterminons comme nous l'avons dit précédemment les points invariables A , D , G , K, N de la ligne des ?/' ; menons par la pensée les cordes AD, DG, GK, KN ; portons les dérivées de ces cordes, au milieu des travées sur l'épure des /i; nous obtiendrons les points moyens a , (3, y , (5 des arcs des y/ ; ce sont les centres de gravité des triangles formés par les cordes et les tangentes extrêmes de ces arcs; nous appellerons ces points les points invariables de l'épure des r,'.

576 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Donnons-nous r,^ ; cela revient à nous donner le côté AB de la ligne des r,'. Le triangle ABD est alors déterminé par un côté et son centre de gravité ; on trace la médiane AaC (jue l'on termine en C aux trois quarts de la travée ; on tire le côté BD par le point C. En prolongeant BD , on obtient le côté DE ; le triangle DEG est encore déterminé par un côte et le centre de gravité ; on l'obtient par la construction précédente. On continue de la même manière.

En prenant r,^ arbitrairement, nous trouverons une solution fausse à moins que l'on introduise un couple extrême ; nous trouverons la solution vraie en déterminant les pivots.

Menons d'abord une solution quelconque A'B'C ; menons ensuite la solution droite A"aP pour laquelle le triangle se réduit ù une droite unique ; on obtient le pivot P du second côté. Par le point P menons une solution quelconque PD'E'F' et la solution droite Pj3Q ; on obiient le point Q, pivot du côté EG. On obtient de même les pivots R et S. Partons alors de l'extrémité gauche ; le côté LN a une direction connue (intégrale de l'ordonnée N des M'; et passe par le i)oint S ; on trace ce côté et on mène tous les autres et utilisant les pivots. On obtient la ligne des M' en prenant la dérivée de la ligne des r'.

OO*^. Solniion par Tépure des M'. — Déterminons comme nous l'avons dit précédemment les points invariables a , )3 , 7 , 0 de l'épure des r/ ; menons par la pensée les cordes a/5 , (3y , yd ; prenons les dérivées de ces cordes et portons-les sur l'épure des M' suivant les directrices de continuité ; nous obtiendrons les points a , (3 , y de la figure 237 : ce sont les points invariables de répure des M'. Considérons les points principaux des lignes des M' pour chaque travée ; pour chaque sommet de la ligne des M' , joignons les points principaux voisins ; nous aurons ainsi les cordes CE , FH, IL que nous appellerons les cordes principales de la ligne des M' ; nous allons démontrer que toide corde principale de Ui ligne de^ M' passe par le point invariable correspondant.

Démontrons , jiar exemple, que la corde CE passe par le point a. A cet eflet, déterminons, par la remarque du nu-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 577

méro 050 , la dérivée dé la droite a jS des r! eu la considérant comme une corde de l'angle aD,3; nous trouvons que les dérivées des côtés, aD, D|3 et a|3 de l'épure des ri' sont respectivement les ordonnées suivantes de l'épure des M' : l'ordonnée du point C , l'ordonnée du point E , l'ordonnée du pointqui divise CE en parties, inversement proportionnelles aux longueurs des demi-travées adjacentes ; or la directrice de continuité divise précisément CE dans ce rapport inverse; donc la corde CE détermine sur cette directrice l'ordonnée dérivée de la ligne aj3 des // ; donc la corde CE passe par le point invariable x, ce qu'il fallait démontrer.

Montrons d'abord comment on trace une solution qui correspond à un couple extrême inconnu. En faisant varier /lo, le côté AD des M' pivote autour du point A; donc prendre y;,, arbitrairement, c'est tracer arbitrairement le côté AD des M'. En utilisant les points invariables, on peut alors tracer tous les autres côtés ; on trace CE par le point a , on tire DG par le point E ; on trace FH par le point (3 et ainsi de suite.

Pour obtenir la solution vraie , déterminons d'abord les pivots des M'. Par le point A , menons la solution quelconque AC'D'E' et la solution droite A aP ; on obtient le pivot P. Par le point P menons la solution P'F'G'H' et la solution droite Pj3Q; on obtient le pivot Q. On trouve de même le pivot R. Partons ensuite du point N , menons NKGDA par les différents pivots , le problème est résolu.

003. Cas général ramené au cas où les appuis sont au uiéiue niveau. — Appliquons le second corollaire du théorème de l'indépendance des effets des forces ( 543 ) ; déterminons l'état de sollicitation de la poutre en supposant les charges nulles ; nous obtiendrons ainsi l'influence de la dénivellation des appuis ; il suffira d'ajouter les éléments de cette poutre non chargée à ceux de la poutre chargée posée sur appui de niveau.

Pour obtenir les éléments de la poutre non chargée , on applique la méthode générale ; les intégrales de la charge sont évidemment K = 0 , M = 0 , yj = 0 , î/ = 0 ; on cherche les lignes de repère comme il a été dit précédemment. Pour

INTEGRATION GRAPHIQUE.

opérer radditiou des éléments de la poutre charojée et de la poudre non chargée, il suffît d'ajouter séparément les ordonnées des lignes intégrales et les ordonnées des lignes de repère ; or pour la poutre non chargée les intégrales sont nulles ; donc il suffit d'ajouter les M', les /;' , les y' des deux poutres (1).

On peut aussi déterminer les éléments de la poutre non chargée en prenant pour lignes de repère des axes horizontaux. On porte sur l'épure des ij les ordonnées des appuis à partir de Taxe ?/ = 0 ; il s'agit de déterminer les éléments d'une poutre non chargée assujettie à passer par des points connus ; aux extrémités de cette poudre les moments fléchissants sont nuls ; c'est le problème que nous avons résolu en cherchant les lignes de repère du cas général (597).

G04. Ilctcrniliiatioii directe dc<>i point<« invariables des //. — Dans ce qui va suivre , nous supposerons les appuis de niveau ; dans ce cas , les ordonnées «A , cD , /"G , ^K, n N de la ligne des ?j sont égales et les cordes invariables AD , DG , GK , KN sont parallèles aux cordes ac, cf , fi, in de la ligne des y ; donc les ordonnées des points invariables des y/ qui sont les dérivées des cordes des y' , sont aussi les dérivées des cordes des y ; ce sont les ordonnées moj-ennes des -r. Si les appuis étaient de niveau, les points invariables des r' ne se trouveraient donc plus en a, |3, y, $ (fig. 233), mais coïncideraient avec les points moyens a' , fi', y', â' des arcs des r, . (Nous n'avons pas représenté la nouvelle ligne des y;'). Nous savons que, dans certains cas, on peut trouver l'ordonnée moj'enne des arcs des y) sans recourir à l'épure des y.

(1) Cette proposition est UQ cas particulier d'une autre proposition : le principe de l'iadépendance des effets des forces s'applique aux ordonnées des points invariables des trois épures. Nous savons en effet que les éléments de la poutre pour l'ensemble des causes s'obtiennent en additionnant séparément les ordonnées des intégrales et les ordonnées des lignes de repère. Si on ajoute les W , les o', les y', on peut aussi ajouter les ordonnées des points invariables; on le reconnaît facilement.

Supposons, par exemple, que pour chaque tracé, on détermine la transformée droite de la ligne des M , c'est-à-dire les lignes de repère pour le cas où. chaque travée aurait ses extrémités encastrées suivant une même ligue horizontale. Substituons ces transformées à la ligne des M et intégrons ; nous savons que la corde des r, et les tangentes extrêmes aux arcs des y seront conservées : cela résulte delà méthode employée pour déterminer cette transformée droite (577, 578); cela résulte aussi de ce que pour chaque travée les surfaces des M sont remplacées par des surfaces équivalentes et de même moment (580). En intégrant les transformées rectilignes , nous obtenons des arcs des yj paraboliques déterminés par leurs tangentes extrêmes ; les centres de gravité des triangles formés par les cordes et ces tangentes extrêmes sont précisément les points moyens des /î ; ce sont donc les points invariables y.', j3', y\ d' qu'il s'agit de trouver.