II
On a aussi :
Les équations ( 1 ) et (2 ) expriment les relations qui doivent exister entre 4 points d'inflexion consécutifs ; connaissant les points d'inflexion de la travée LR, on peut calculer ceux de la travée voisine EL.
On connaît le premier point d'inflexion de la première travée ; c'est l'appui A; prenons arbitrairement le second point d'inflexion C , nous pouvons obtenir ceux de la seconde travée, puis ceux de la troisième travée et de proche en proche trouver tous les points d'inflexion. Or le dernier point d'inflexion doit coïncider avec le dernier appui ; cette condition ne sera pas satisfaite. Portons l'erreur en ordonnée au i)oint C ; construisons la courbe d'erreur ST en faisant quelques essais ; nous déterminerons la position du point C pour laquelle l'erreur est nulle ; c'est la véritable position du point d'inflexion.
INTEGRATION GRAPHIQUE.
Il nous reste ù démontrer que l'on réalisera ces points d'inflexion en plaçant les appuis de niveau. Nous savons que l'équation de la tibre moyenne est :
On est ramené au cas d'une poutre prismatique sollicitée par un moment constant qui change de signe aux points d'inflexion. Prouvons, par exemple, que les trois appuis ELR sont en ligne droite. Prenons la tangente au point L de la fibre déformée pour ligne de repère des y ; on trouve que le.s points E , L , R sont en ligne droite si :
u. est le moment de la surface des M de la travée EL autour du centre E ; a'est le moment de la surface des M de la travée LR autour du point R. Les surfaces des M sont des rectangles de hauteur constante faciles à imaginer ; on trouve :
ylli y 2
Si dans l'équation (.3) on remplaça u et a' par leurs valeurs, on retrouve l'équation (2) ; donc les équations qui expriment que S passe i)ar ui minimum sont précisément celles qui expriment que les appuis sont sur une ligue droite f 1) : cela démontre le théorème.
(1) Oq peut ilémontrer celte pi'oposUio;i sans calcul ; on peut r^?présea-
ter— et— par des aires: si ou repré3e:ite le moment constant par LL' l i'
sauf à tenir coaipte du signe m8ataleine:il et si on a lopte l et l' comme
bases de multiplications (i03), on trouve que les aires qui représentent
/■' '-"•' les moments -et— sont précisément les aires à( nt la somme algébrique II'
est la ditférentielle partielle de S.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 629
§ 4. Poids mort et poids roulant.
055. Poutre à une travée. — Nous prendrons le cas d'une poutre encastrée à ses deux extrémités ; mais le même raisonnement s'applique au cas d'une poutre encastrée à une extrémité appuyée à l'autre. Par un premier calcul approximatif, nous avons déterminé les dimeusious de la poutre; nous supposons donc connu e et nous construisons l'épure des moments fléchissants limites en supposant les encastrements établis suivant une même horizontale.
Soient (fig. 255) : AB la ligne de repère, ECHDF la courbe des plus grands moments fléchissants ; les points C et D sont les points de passage , c'est-à-dire les points où les plus grands moments en valeur absolue changent de signe. Si nous modifions les inclinaisons des encastrements , la ligne de repère vient de AB en A'B', et en retournant les moments positifs pour les porter du côté des moments négatifs , on trouve une autre courbe E'C'HD'F pour la courbe des plus grands moments. Il s'agit de choisir A'B' de telle manière que la surface des M passe par un minimum. Or , déplacer A'B', c'est introduire des moments fléchissants représentés par les ordonnées d'une droite; nous avons indiqué (fig. 256) les surfaces des M que l'on introduit et celles que l'on retranche par des hachures différentes ; la condition du minimum est que la somme algébrique de ces surfaces soit égale à zéro. En exprimant cette condition, nous trouvons deux équations qui déterminent la position des points de passage ; mais ces calculs sont inutiles , car il est évident que dS ne dépend que des abscii^ses des points de passage et non delà forme des courbes; il est donc le même que dans le cas d'une poutre chargée uniformément; donc (647) les points de passage doivent tomber chacun au milieu de chaque demi-travée.
Pour déterminer la ligne de repère A'B' (flg. 255), menons les verticales C'C" et D'D" des points de passage. Menons la droite A'B' par les milieux des segments C'C' et D'D" compris entre la courbe limite supérieure et la courbe limite infé-
rieure ; on reconnaît facilement qu'alors C et D' deviennent les points de passage et que la condition du minimum est réalisée
Pour réaliser la ligne do repère A'B' , il faut que les inclinaisons données par la pose aux encastrements produisent les moments fléchissants représentés par la droite AB , la ligne de repère étant A'B' ; nous obtiendrons ces inclinaisons en intégrant doux fois la ligne AB. Par raison de symétrie , les lignes AB et A'B' sont horizontales ; on appliquera donc la méthode du numéro 552 ; la verticale centrale tombe au milieu de la poutre.
050. Poiilrc à i>lii!«iciii*iS travées. — Quand les longueurs des travées sont données , on peut constituer la poutre au moyen de travées encastrées à leurs extrémités dans les conditions que nous venons de faire connaître. On détermine les lignes d'encastrement en intégrant deux fois la suite des lignes horizontales qui déterminent les moments fléchi.ssants dus à la pose. On prouve sans grande ditlîculté que les bases d'intégration sont proportionnelles aux moments qu'il faut intégrer pour obtenir le polygone des y; ; donc ce dernier est une droite ; il en résulte que les lignes d'encastrement sont tangentes à une même parabole.
SI les longueurs des travées ne sont pas données, on peut les déterminer de manière à obtenir la solution la plus économique. Soit s la surface des plus grands moments fléchissants pour une poutre encastrée de longueur égale à l'unité ; soit s' la surface analogue pour le cas où l'une des extrémités est simplement appuyée. Si les extrémités de la poutre peuvent être encastrées , l'expression qu'il faut faire passer par un minimum est IsP ; on trouve que les travées doivent être égales et qu'il est Inutile d'encastrer les poutres sur les appuis intermédiaires (652).
Si on ne peut pas encastrer les extrémités , l'expression qu'il faut faire passer par un minimum est :
INTEGRATION GRAPHIQUE. 631
On trouve
In = Il = Y -7-^2,
On peut supprimer les encastrements sur les appuis intermédiaires , sauf sur le second et lavant-dernier appui.
Supposons que les travées soient connues et que la poutre repose simplement sur ses supports ; on demande à quel niveau il faut i)lacer les appuis pour obtenir la solution la plus économique. En exprimant la condition du minimum de la surface des M , on trouve que les points de passage doivent satisfaire aux mêmes relations que les points d'inflexion d'une poutre qui ne supporte qu'une charge permanente. Ces relations sont les équations semblables à l'équation (2) du numéro G54. Mais l'équation de continuité diffère ; la condition qui la remplace est que les moments dus à la pose soient continus. Connaissant les abscisses de deux points de passage, on peut trouver les abscisses de deux suivants en réalisant par tâtonnement la condition du minimum et la condition de continuité ; on peut alors trouver la vraie position des points de passage au moyen d'une courbe d'erreur.
Avant de commencer tous ces laborieux calculs, il faut faire une hypothèse sur la courbe des z ; ce qu'il y a de mieux à faire , c'est d'adopter d'abord la poutre qui résisterait à la charge permanente seule ; on trouve alors que l'on satisfait à la condition du minimum en mettant les encastrements ou les appuis suivant une même horizontale. Si on étudie l'effet du poids roulant, on trouve une nouvelle courbe des s, au moyen de laquelle on [)rocède à un calcul que l'on pourra considérer conune suffisamment exact.
.§ 5. Poutres brisées.
05 î. Charge pormaiicnte. — Reprenons la poutre encastrée à ses deux extrémités ( fig. 249 ) ; la poutre ayant une forme d'égale résistance, son moment d'inertie est nul aux points d'inflexion ; nous pouvons donc briser la poutre
632 INTEGRATION GRAPHIQUE.
en ces points et réunir les tronçons par articulation ou bien faire reposer le tronçon central sur les deux autres comme nous l'avons indiqué en A'C'D'B'. L'état de sollicitation et les déformations ne sont pas changés par l'introduction de l'articulation ; la déformation se produit donc de telle façon qu'en C et D' les éléments voisins restent parallèles comme s'ils étaient reliés invariablement l'un à l'autre ; en d'autres termes Tarticulation ne fonctionne pas comme telle.
Mais supposons que les encastrements ou les culées cèdent un peu aux efforts qui les sollicitent ; la poutre continue d'égale résistance se brisera nécessairement , car la ligne de repère et les points d'inflexion se déplacent et la section dont le moment d'inertie est nul (ou pratiquement très petit) ne pourra résister au moment fléchissant qui la sollicite. Il n'en est pas de même de la poutre brisée. En effet, on peut dans ce cas déterminer par la statique^ l'état de sollicitation. Le tronçon CD' constitue une poutre sur deux appuis ; le lieu des M est toujours la parabole FCG. Au-delà des points F et G la parabole continue , car aucune force extérieure nouvelle n'intervient, ies déformations des encastrements, les tassements des supports n'ont donc aucune influence sur V état de sollicitation. Ces mouvements ont seulement pour effet de faire fonctionner les articulations; les éléments articulés font des angles très petits.
Ce que nous venons de dire s'applique aussi à la poutre encastrée à une extrémité (flg. 252) ; on peut la constituer comme il est indiqué en A'C'D'.
Cela s'applique enfin à la poutre à plusieurs travées (flg. 254) ; on peut la constituer de tronçons CF, HM, etc., posés sur les appuis comme des fléaux de balance et portant des petites poutres AC , FH , etc.. Ce système serait en équilibre , subirait les mêmes efforts et les mêmes déformations que la poutre continue ; mais le moindre poids étranger sufl^rait pour faire basculer les fléaux; aussi est-il indispensable d'encastrer la poutre sur ses appuis.
(»5S. Pouls mort et poids roulant. — Nous allons démontrer que la poutre brisée au mitieu des demi-travées est
INTEGRATION GRAPHIQUE. 633
toujours xilus économique que la poutre continue de inâne longueur.
En effet, soit ACDB (flg. 257) une poutre brisée; les points C et D sont au milieu des demi-travées. Un poids quelconque appliqué sur la poutre centrale CD produit un lieu des moments fléchissants tel que FEG ; un poids appliqué sur un tronçon extrême produit le lieu HK ; on déduit de là que les moments fléchissants qui se produisent en un même point sont tous de même signe; donc on obtiendra les plus grands moments fléchissants en tous les points eu chargeant toute la poutre de la charge permanente p et de la charge roulante Ç[\ la courbe limite est une parabole, intégrale seconde ùep -\- q, passant par les points C et D. Or, si la poutre était continue, il faudrait considérer non-seulement cette parabole ou une autre solution moins économique, mais d'autres dispositions de la surcharge qui produiront une nouvelle surface des M ; la poutre brisée est donc celle qui donne la plus grande économie.
050. €liarge variée. — Dans les grands ponts , le poids de la poutre constitue une partie considérable de la charge ; cette charge n'est donc plus uniforme. On peut dire ajiproximativemeut que la charge se compose d'une partie constante et d'une partie proportionnelle au moment fléchissant ; la partie constante comprend le poids du tablier, la surcharge; la partie variable est le poids de la poutre; nous admettrons la formule :
it M désigne la valeur absolue du moment fléchissant M ; a une certaine longueur ; or on a :
on a donc l'tquation différentielle :
dx^ "^ «2^
Soit AB (fig. 258) la poutre considérée ; prenons le milieu 0 comme origine ; l'axe oy est un axe de symétrie ; il suffit de déterminer la moitié HDF de la courbe des M.
Pour la région oD , M est négatif; on doit donc adopter l'équation :
Ou en tire , en posant x^, = oD ,
-M = (ZaM 1 • (1
Pour la région BD , M est positif ; ou doit donc adopter réquation
L'intégrale générale est
M = ^ rt' (b cos hyp "" ~' ^ — l) •
Nous déterminerons les constantes B et |S en exprimant qu'au point D , les deux courbes se raccordent ; on trouve les deux équations :
cos hyp
tanghyp^i^=tang^. (2)
La première équation donne B , la seconde |3 ; la valeur de M devient :
/coshvp — — ^
■ M = ria^ ^Ig-l I- (3)
\ cos hyp -^
INTEGRATlOxN GRAPHIQUE. 635
Nous avons supposé .X', connu ; il s'agit de déterminer x^ de manière que la surface des M soit la plus petite possible. Cette surface des M est en appelant l la demi-travée OB ,
Mdx.
On trouve en tenant compte de l'équation ( 2 ;
sm hyp —^ S — — qa'^l + qci^
/a-, pi
— Mdœ + y î
cos hyp — -
Il s'agit de rendre minimum l'expression : r. . aï smliyp
qa^ , Xi — B cosh\-p — î ~
Éliminons (3 do la valeur de T au moyen de l'équation ( 2) , on trouve :
T = sin hyp —^' -fcos hyp -^^ tang^'.
En égalant la dérivée de T à zéro , ou trouve :
tang — i = tang hvp •- (5)
Cette équation détermine la position de l'articulation ; on peut la résoudre par tâtonnements, mais on peut aussi cons-
truire deux échelles juxtaposées des valeurs de - et de —
qui satisfont à l'équation. On reconnaît facilement que
Le point D étant connu , on trace facilement les courbes représentées par l'équation ( 1 ) et l'équation ( 3 j ; la première est une sinussoîde ; la seconde est une chaînette dont le sommet a pour abscisse (5 et des équations (2) et ( 5] on tire :
équation qui donne
fi = 2â7j — ;.
