CHAPITRE iV

Exemples d'intégration exacte.

S'î. — Nous nous proposons d'examiner dans ce chapitre un certain nombre de cas où l'on peut trouver l'intégrale exactement; nous nous occuperons successivement des cas oîi les arcs de la courbe primitive sont des droites et des arcs paraboliques; nous donnerons ensuite un exemple d'intégrations graphiques successives.

§ V. Cas où la ligne primitive est formée de lignes droites.

33. «roîte parallèle à Taxe des x. — Soit AB (flg. 13) la droite, parallèle à l'axe des œ, ce qui constitue la ligne primitive. Le diagramme ne donne qu'une seule direction PA' pour toutes les cordes et tangentes de l'intégrale; cotte dernière doit donc se réduire à une ligne droite parallèle à la droite PA'. Soit A, le point de l'intégrale qui tient lieu de la constante arbitraire; on obtiendra cette intégrale en menant par le point A, une droite A,B, parallèle à PA'.

34. Ligne formée de parallèles aux axes coordonnés. — Soit (fig. 14) ABCDEF.... la ligne primitive formée de droites parallèles aux axes co(jrdonnés; d'après le numéro l)récédent, les intégrales de chacun des arcs AB, CD, EF, etc.... sont des droites dont les directions sont données par le diagramme en PA', PC, PE', etc...., soit A, le point donné de la courbe intégrale correspondant au point A de la courbe primitive; on obtiendra la ligne intégrale en menant successivement A,C, parallèlement à PA' par le point A,, C,Dj parallèlement à PC par le point C,, D,F, parallèlement à PE' par le point D, , etc....

INTEGRATION GRAPHIQUE. 27

35. I^ig-ne polygonale (|iiolcon(|ue. — Soit (flg. 15) ABCD.... la ligne polygonale constituant la courbe primitive : les ordonnées moj^ennes des côtés AB, BC, CD...,

sont les ordonnées U, KA% L/ du milieu de ces droites;

en portant ces ordonnées en oV, oL', oK' — sur Taxe du diagramme, on obtient en PI', PK', PL' — .les directions des cordes A,Bi , BjC, , C,D,.... de l'intégrale. Connaissant un point A, de la courbe intégrale, on peut mener A,B, ,B,C, , CiD, ,etc.... parallèlement à PI', PK', PL', etc. . . . et Ton obtient un polygone A,B,C,Dj . . . inscrit dans l'intégrale. L'intégrale étant une courbe , puisque ses inclinaisons varient d'un point à un autre, on ne peut la construire que par points; si les points Aj , B, , C, , D, , . . . sont insufQsants, on en trouvera d'autres en divisant les côtés AB , BC , CD. . . . en plusieurs parties et en considérant chacune des parties comme un arc. Remarquons d'ailleurs que les arcs de l'intégrale sont des arcs de parabole, caria courbe primitive ayant une équation de la forme y = ax -t- b , l'intégrale aura pour équation

ij^ = —^ + bx + c,

qui est l'équation d'une paraI)ole du second degré. Si donc, au moyen du diagramme , on mène des tangentes aux extrémités de ces arcs de parabole , ces derniers seront complètement déterminés et pourront être tracés aussi exactement qu'on le désire.

36. llôiiie cas. — ^tiilre conslriielîoii. — On peut employer la méthode du polygone circonscrit à l'intégrale. Reprenons la figure 15; les abscisses moyennes des droites

AB, BC,CD sont les abscisses des milieux de la droite ;

de là la construction suivante : menons des lignes d'ordonnées par les milieux i , k, l , des projections des arcs

A B , B C , . . . portons les ordonnées Aa,Bb, Ce , Dd,. . . en oA', oB', oC . . . , soit PA', PB', PC les directions correspondantes. En menant successivement A,^ parallèlement à PA, tr parallèlement à PB', etc. . ., on obtient en A,trs . . .

28 INTEGRATION GRAPHIQUE.

le polygone circonscrit à l'intégrale. Cette méthode a sur la précédente l'avantage de donner immédiatement les tangentes à l'intégrale; les arcs de cette dernière sont alors complètement déterminés.

§ 2. Autres cas.

S7.— On opérerait de la même manière pour toutes les courbes que l'on peut décomposer en arcs paraboliques du second ou du troisième degré; nous croyons qu'il est inutile d'entrer dans de plus longs détails au sujet de ces cas , dont nous rencontrerons plus loin les plus importants.

38. — On peut se proposer de construire graphiquement l'intégrale multiple d'une fonction représentée par une courbe ; on effectue alors plusieurs intégrations successives par les méthodes du paragraphe précédent, en se donnant de chacune des courbes intégrales un point tenant lieu de la constante arbitraire, soit (fig. 16) AoABoB. .. une ligne formée de parallèles aux axes coordonnés ; nous obtiendrons par la méthode du n" 34, le polygone A,B,r,D, pour première intégrale ; par la méthode du n" 36 nous obtiendrons la seconde intégrale, qui est formée d'arcs paraboliques définis par leurs extrémités A2,Bj,C2,D2. . . et leurs tangentes extrêmes. Le pôle P, se rapporte à la première intégration , le pôle Pj à la seconde. Pour effectuer une troisième intégration , nous remarquerons que les ordonnées moyennes des arcs A2B2 , DjCj . . . sont connues, puisque d'après le n° 19 ce sont les ordonnées des centres de gravité des triangles formés par les cordes des arcs et leurs tangentes extrêmes ; on obtient aisément le polygone A3B3C3D3 inscrit à l'intégrale troisième en portant ces ordonnées moyennes en 0"'A"', 0'"B"', etc .... sur un diagramme dont P3 est le pôle ; on a : A3B3 parallèle à A3B'". BC3 , parallèle à A3B'", etc.

Pour effectuer une quatrième intégration , il faut commencer par définir complètement les arcs de courbe A- B3, B3C3 , etc., en menant, au moyen du diagramme les tan-

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gentes en leurs extrémités , les ordonnées moyennes se trouveront alors par le procédé du n" 25 , et on eu déduirait aisément un polj'gone inscrit dans l'intégrale quatrième cherchée.

Nous n'avons pas indiqué cette quatrième intégration pour ne pas compliquer la figure ( 1 ).