CHAPITRE V

Méthodes approchées d'intégration graphique.

30. — Soit AD (fig. 17, pi. 10) une courbe primitive quelconque définie par différents points A , B , C , D ; en général , il sera impossible d'en tracer exactement la courbe intégrale ; mais en assimilant les arcs AB , BC , CD , aux arcs dont on peut trouver les ordonnées moj'ennes, nous allons rencontrer différents procédés d'intégration graphique approchée.

§ l*"''. Méthode d'assimilation à une ligne polygonale.

4®. — Si nous remplaçons les arcs AB, BC, CD,... par leurs cordes, on ramène la courbe à une ligne poh'gonale dont on a facilement Tiutégrale. Cette méthode est la traduction graphique de la méthode dite des trapèzes pour le calcul des quadratures.

§ 2. Méthode d'assimilation à une suite d'arcs paraboliques du second degré.

41. — Assimilons les arcs AB, BC... (fig. 18), à des arcs paraboliques du second degré ; pour que ces arcs soient dé-

(1) On trouvera dans le livre II une construction donnant exactement l'intégrale d'ordre n d'une suite de droites (G9) ; cette construction donne aussi les intégrales successives de paraboles, en considérant ces dernières comme le résultat de l'intégration de lignes droites.

30 I>'TEGRATiON GRAPHIQUE.

terminés, il est nécessaire d'en connaître les points intermédiaires I , K , L , dont les ordonnées sont à égales distances des points extrêmes.

En appliquant la méthode du n" 18 pour trouver les ordonnées moyennes de ces arcs , on obtient facilement l'intégrale ciiercliée. Cette méthode est la traduction graphique de la méthode dite de Simpson.

§ 3, Méthode d'assimilation à une suite d'arcs paraboliques de degré supérieur au second.

4!î. — La méthode précédente, quoique plus exacte que la méthode par trapèze , a 1 inconvénient de se prêter très mal aux courbes présentant des points d'inflexion , car l'arc parabolique du second degré n'a jamais de semblable point. C'est pour cette raison qu'il est avantageux dans certains cas d'assimiler les arcs de la courbe primitive à des arcs paraboliques de degré supérieur au second. Nous pourrons, par exemple, choisir des arcs parabohques du troisième degré; en appliquant le procédé du n^ 22 pour chercher 1 ordonnée moyenne de ces arcs, on effectuera l'intégration aussi facilement que par la méthode du paragraphe précédent.

§ 4. Méthode donnant une limite de l'erreur.

•13. — Il est très utile, quand on effectue une intégration graphique approchée, de connaître quelle est l'approximation sur laquelle on peut compter.

On arrive à ce résultat en remplaçant la courbe donnée par deux autres lignes dont on puisse trouver les intégrations exactement et telle que l'une donne une intégrale trop grande M et l'autre une intégrale trop petite m. Si on adopte M ou m comme valeur de l'intégrale demandée, on commettra une erreur plus petite que M — ru ; Terreur sera positive

INTEGRATION GRAPHIQUE. 31

SI on choisit M , négative si on clioisit )ii. Enliu on peut prendre , pour valeur de l'intégrale , la ([uantité

l'erreur sera réduite de moitié, mais on n'en connaîtra plus le sens. La méthode dite de Poncelet est fondée sur ce principe ; en la traduisant graphiquement, nous arriverons à un procédé d'intégration graphique approchée donnant une limite de l'erreur (1).

44. — Soit (tig. 19) AI la courbe primitive donnée, proposons-nous d'en chercher l'intégrale entre les limites A et I; nous divisons sa projection sur l'axe des x en un nombre pair de parties égales, ah, bc, cc^, etc. Nous supposons que la courbure de la courbe ne change pas de sens dans l'étendue

(1) Le même principe s'applique évidemment à toutes les méthodes

approchées d'intégration ; mais ce serait une idée malheureuse que de

vouloir comparer ces méthodes par la limite certaine de l'erreur ; ainsi ,

dans la méthode de Poncelet, 1 expression — est exacte dans le cas

où les arcs AB , BC..., etc.. sont des droites ; on obtiendra un résultat

bien plus exact, dans la plupart des cas, en assimilant les arcs AC, CE

à des arcs de paraboles : cela conduit à la valeur ; cependant la

limite certaine de l'erreur est la même , parce que l'on pourrait trouver une courbe s'approchant des droites AB, BC autant qu'on le voudrait. Si on ignore le sens de la courbure de la ligne ABCD..., on peut supposer que la ligne ait la forme indiquée en pointillé , ou une autre forme qui peut différer de ABC autant que l'on voudra ; dans ce cas, il n'y a pas de limite certaine de l'erreur. Lorsque l'on procède à une intégration approchée, on connaît les particularités de la courbe, c'est d'après ces particularités que l'on fait choix de la méthode ; alors la limite probable de l'erreur est intiniment moindre qu'une limite certaine que l'on calcule en supposant que la courbe présente les propriétés les plus étranges. Ainsi , par exemple, si la ligne à intégrer touchait une ordonnée et avait avec cette ordonnée un contact d'ordre n , circonstance qui sera toujours connue , on remplacera évidemment l'arc de courbe par la parabole X — x^ = A {y — 2/o)" ; on déterminera l'abscisse moyenne par les méthodes précédentes.

32 INTEGRATION GRAPHIQUE.

considérée , et pour fixer les idées, nous supposerons la courbe concave vers l'axe des x. Nous obtiendrons une intégrale plus grande que l'intégrale cherchée en remplaçant la courbe ABC...I par ses tangentes au point B, D, F, H ; nous obtiendrons une intégrale plus petite en remplaçant la courbe par le polygone inscrit ABDFHI.

Considérons d'abord l'intégrale trop grande : pour la construire graphiquement , remarquons que les points B, D, F, H, donnent précisément les ordonnées moj'ennes des tangentes qui passent par ces points; de là la construction suivante (d'après la méthode du n° 12) : portons sur l'axe du diagramme O'B' = m , O'D' = J)d , O'F' = F/", O'H' = Wi ; soit P le pôle du diagramme ; soient A,C, parallèle à PB', CjE, parallèle à PD', E,G, parallèle à PF, G ,1 parallèle à PH', la ligne AjC, E,GiIj est l'intégrale du polygone des tangentes à la courbe donnée.

Considérons maintenant le polygone inscrit ABDFHI pour en avoir l'intégrale nous opérerons au moyen des abscisses moyennes (méthode du n" 13). Faisons abstraction pour le moment des droites AB et HI ; si l'on prend le point B , sur A,C, comme premier point, on trouve pour l'intégrale de BDFH le polygone déjà tracé B,CiEjGiHj. Occupons-nous actuellement des lignes AB et HI. En ce qui concerne la droite AB, BiA, donne déjà une des tangentes à l'arc de l'intégrale; l'autre tangente dont la direction est PA' doit couper la première en un point t dont l'abscisse est l'abscisse moyenne de AB ; ce point t est donc sur l'ordonnée située à égale distance des ordonnées B6 et A.a, ce qui détermine la tangente ai. On trouverait de même H,r|3 pour l'intégrale de la droite HI. En résumé, nous trouvons comme valeur trop grande Ij»', comme valeur trop petite |3a' = Ija' — (a'a' — 1,|3). Si nous adoptons Ija ou /3a' comme valeur de l'intégrale cherchée, l'erreur est plus petite que a'a' — Ij|3. Si nous adoptons la moyenne de ces deux valeurs , c'est-à-dire la distance des milieux des segments |3l et aa' , l'erreur sera plus petite que

a'a'— I.fi