l*oui»sée due aux efforts de calage. — Si les

déformations qui se sont produites pendant la pose ont pour effet de produire une rotation relative ^ des éléments extrêmes, il faut ajouter une poussée positive ou négative dirigée suivant l'antipolaire du centre de la rotation ']/; cette poussée est déterminée par son moment autour du centre de gravité de l'arc ; ce moment a pour valeur :

^ f dm.

Si le déplacement relatif des éléments A et B est une translation, la poussée additionnelle qui passe par le centre de gravité est conjuguée à la normale à cette translation ; on la détermine par la formule 20 du numéro 676.

©07. Poussée due à la lempéralure.— Supposons connue la ligne de pression à une température t^ ; si la température varie , il faut introduire une nouvelle poussée que l'on détermine de la manière suivante. Si l'arc courbe était libre , il se dilaterait en restant semblable à lui-même ; l'élément A subirait une translation suivant AB par rapport à l'élément B supposé fixe. Donc la poussée additionnelle doit annuler cette translation ; elle est donc dirigée suivant le diamètre de l'ellipse centrale d'inertie qui est conjuguée aux cordes perpendiculaires à AB. On calcule la translation au mo3'en du coefficient de dilatation de la matière ; on détermine la poussée par la formule du numéro 676 ou par la méthode graphique qui s'y trouve exposée.

G08. Poussée initiale. — En résumé, les calculs des paragraphes iirécédents ont pour but de chercher l'effet des charges sur lare courbe. Il faut en outre déterminer la poussée initiale, c'est-à-dire la poussée qui subsisterait, si toutes les charges , y compris le poids de l'arc , venaient à

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s'annuler. Cette poussée initiale est la résultante de la poussée due à la pose et de la poussée due à la variation de température. Si à un moment quelconque, il se produisait des tassements dans les culées , il y aurait une nouvelle poussée à considérer ; cette poussée est toujours négative.

§ 7. Formes et dispositions rationnelles.

009. Arc (légale résistance. — Faisons abstraction du poids roulant ; supposons un arc symétrique soumis à des charges verticales données. La forme rationnelle de l'arc est évidemment celle d'une ligne de pression : c'est la forme d'égale résistance. On obtiendra la plus grande économie en disposant les appuis de manière à réaliser la ligne de pression centrale; car alors le moment fléchissant est nul.

Supposons d'abord l'arc encastré sans poussée initiale ; soit AB (flg. 288) la moitié de l'arc; la ligne de pression centrale ne produit que des compressions , donc elle satisfait à l'équation angulaire. Mais cette ligne de pression produit un rapprochement des éléments extrêmes de l'arc. Pour faire disparaître cette translation horizontale , il faut introduire une poussée additionnelle négative , horizontale et passant par le centre de gravité de l'arc. Soit CC l'horizontale du centre de gravité ; l'introduction d'une poussée suivant cette droite aura pour effet de faire pivoter les côtés de la ligne de pression autour de points situés sur cette droite. Considérons la ligne AB comme une intégrale rapportée à l'axe CC ; la poussée 5 joue le rôle de base d'intégration; en introduisant la poussée — (ir' , les ordonnées de la ligne de pression augmentent dans le rapport q: q— q'.On trouve ainsi la courbe A'B'.

Supposons que l'on fasse reposer l'arc sur les appuis au moyen de deux rotules placées aux naissances ; la ligne de pression doit alors passer par le centre B de cette rotule et satisfaire à l'équation de moment autour de la droite EB qui passe par les centres des deux rotules.

INTEGRATION GRAPHIQUE.

Nous connaissons déjà la ligne de pression A'B' qui satisfait à cette équation de moment ; nous trouverons toutes les autres en introduisant une poussée additionnelle passant par le centre de percussion conjugué à la droite EB. Soit D ce point ; par raison de symétrie la poussée additionnelle est horizontale. Nous prendrons donc DD' comme axe et nous ferons varier les ordonnées dans un rapport constant. Si nous choisissons ce rapport de manière que la ligne de pression passe au point B , le problème est résolu. On trouve la ligne BA".

Enfin si on plaçait trois rotules sur la fibre moyenne de l'arc, la ligne de pression serait assujettie à passer par trois points ; elle coïnciderait avec la fibre moyenne. L'état de sollicitation de l'arc serait alors indépendant de la pose , de la température , des petits mouvements des culées ; de plus , comme les moments fléchissants sont nuls , cette disposition est la plus économique. Pour toutes ces raisons , la disposition des trois rotules est la plus avantageuse.

Certains ingénieurs ont pensé que l'arc encastré est plus économique parce que l'encastrement s'oppose aux déformations. Il n'en est rien. Comparons, par exemple, les moments fléchissants au sommet de l'arc pour le cas de la poutre encastrée et pour celui de la poutre posée sur deux rotules. La ligne A'B' se déduit de la ligne AB par l'introduction d'une poussée négative g' dirigée suivant l'horizontale moyenne CC ; le moment fléchissant était nul pour la ligne AB , il devient pour la poutre encastrée : a == (/ X AC.

La courbe A"B se déduit de la courbe A'B' par l'introduction d'une poussée positive cf; le moment fléchissant au sommet devient :

(jj = (^' X AC — q" X AD.

Mais le moment fléchissant au point B , est nul pour la ligne A"B ; on a donc :

g' X CE = q" X DE.

Des valeurs de y., w et de réquation précédente, on tire :

^ ^v de'^âc;-

Pour nous faire une idée de ce rapport, supposons que l'on puisse assimiler l'arc à un arc de cercle et que l'on néglige les rayons r et r' ; on trouve :

AC~~" Le carré du rayon de gyration autour de CC s'exprime

approximativement i)ar ^^ • on a donc •

On en déduit :

L'encastrement double donc le moment fléchissant au sommet de l'arc (1).

700. Position des trois polules. - Quand l'arc n'est sollicité que par le poids mort, la position des trois rotules n'exerce pas d'influence sur la ligne de pression. :\rais quand on tient compte du poids roulant, on trouve qu'il vaut mieux adopter la disposition de la figure 289 , c'est-à-dire placer une rotule C au sommet et deux autres D en des points intermédiaires à déterminer par une étude approfondie de l'ouvrage. Remarquons, en effet, que si on charge la moitié de l'arc qui n'est pas représentée , la ligne de pression sur l'autre moitié se réduit à une droite CD passant par les rotules ; en plaçant cette rotule aux naissances , cette pression produirait des moments fléchissants plus grands que si cette rotule est placée en un point intermédiaire convena-

(1) Ce résultat est conforme à l'expérience. Voyez une note spéciale que nous avons publiée aux Annales des ingénieurs de Gand (1882-1883).

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blement déterminé. Il semblerait, d'après cela, que la droite CD doit être déterminée par la condition de s'écarter autant au-dessus qu'au-dessous de la courbe. Mais si on remarque que la pose de la partie DE est plus facile que celle de la partie centrale, on est conduit à relever davantage le point D , car les moments fléchissants dans la partie voisine du point E coûtent moins que dans la partie centrale.