Tableau graphique . — Posons, par exemple

^ = rl^' (6)

On trouve : .

Les lignes des w sont des horizontales telles que GF (fig. 293) ; les lignes des (? : l ^ ï sont des verticales telles que CF ; les lignes des R sont des lignes telles que OF passant par l'origine des coordonnées. Pour construire les lignes des R, on construit le polynôme (en 1 .- R) (flg. 294).

on porte AC = 1 ; on décrit une circonférence sur CB comme diamètre ; ou a :

c'est le coefficient angulaire de la ligne des R. On peut aussi déterminer le centre du cercle CDB par la formule :

On évite la division q -A"^ i en construisant un abaque des

valeurs àe i , q, et q : V i. Soient ijox (flg. 293) les axes

coordonnés ; posons : J? =g : l^ e , y/ = g ; ou a : y = a; 1/ i \ BA est une ligne des q , si GB == 2; OE est une li^^ne des «,

si DE = V i ; on trouve q: V i = OC.

Il est très utile de trouver oj et / sans faiie la division ;( = co : R. A cet effet, on construit un troisième tableau y"o".x" en posant : «/ = oi , ^ = /-. on a 2/ = R<^- Les lignes des R des deux tableaux i/oa; et i/"o"x" se coupent sur une

686 INTEGRATION GRAPHIQUE.

courbe de rebroussement. Cette courbe permet de passer de la ligne OF à la ligne 0"M et Ton a : X = 0"N.

Examinons successivement les trois problèmes que l'on peut résoudre par ces tableaux graphiques :

1° Ou donne ^et z, trouver la section. On entre dans le tableau ijox par les points B et E, ou aboutit au point A en suivant la ligne des ci et celle des i. On entre ensuite dans le tableau yux en suivant la ligne verticale AE. Tout point ¥ de cette verticale lournit une solution ; si du point F on passe au point M eu suivant OKO" , on trouve / = 0"N , w = 0''P.

2*' On donne la seciion, le débit q , trouver i. On détermine (0 par une iniegraiion et /^ par une rectilicatiou. On entre dans le tableau yo"^" par les points 2s et P, ou aboutit au point M. On passe du point Al au point E. En partant des points E et E, on aboutit au point A; ou suit la ligne OA

jusqu'au point E ; on lit la pente sur réchelle DE des {/ i. 3° On donne la section , la pente i , trouver le débit. On opère comme précédemment jusqu'au moment où l'on trouve le point F ; on part alors des points F et E , on aboutit au point A ; on a OB = g.

700. Scciîoii trapèze. — Lorsque la section a une torme trapèze et que rmcUuaison des talus est constante, ou peut éliminer les variables w et / en introduisant les deux dimensions de la section trapèze. Soient : / , la largeur moyenne ; H , la hauteur de la section ; on a :

w = /H, 7 = / + nH.

Le coefficient n dépend de linclinaison des talus. Dans le tableau p"o"x" , on a :

y = '/.E., X == À -^ nîL.

Ces deux équations ont précisément la forme des équations 2 et 3 du numéro 2U5. Éliminons successivement / et H, nous trouvons :

lignes des A , /.•' — lœ -{-ni/ ^0, (8)

lignes des H , nU'^ — Hx + y = 0. (9)

INTEGRATION GRAPHIQUE. 687

Nous savons (205) que ces deux systèmes du second degré enveloppent une même parabole ; on trouve , en effet , pour enveloppe commune :

Si des équations (8) et (9) , on tire les valeurs de x ciy , on trouve pour dénominateur 1 — 7iH; donc la solution étrangère est ici :

A = nH. CIO)

On reconnaît facilement que si l'équation ( 10) est satislaite , la ligne des 1 coïncide avec celle des H ; d'après le tableau graphique, co et y seraient indéterminés; mais on sait qu'il faut alors se placer au point de contact de la ligue commune avec son envelopi)e; dans les applications, on trouve presque toujours que A est plus grand que ?zH et on ne rencontre jamais cette difficulté.

Soit à construire la ligne des /. Le système auxiliaire (205) qui détermine les intersections d'une ligne À avec une ligne }.„ a pour équation :

Construisons deux lignes des 1 ; soient , par exemple , À = 0 , / = 5 ; on détermine les points où ces lignes sont coupées par les autres lignes par les formules :

ligne À = 0, x = l,

ligne X = 5 , X = 1^0.

On peut alors tracer toutes les lignes des l. On opère de même pour tracer les ligues des H. Nous avons supposé dans la figure , n = I , et nous avons représenté les lignes A = 5, 10, 15, 20, 25 et les lignes H = 1, 2, 3, 4, 5.

Les trois problèmes que nous avons résolus au numéro précédent se moditient comme suit :

1" On donne q et i, trouver À et H. On entre dans le tableau par les points B et E , et on aboutit au point M ; les deux lignes des / et H qui passent par le point M déterminent

688 INTEGRATION GRAPHIQUE.

1 et H soit par une lecture, soit grai)liiqueraer!t sur les axes des / et des H. En réalité, il y a deux solutions pour un même point M , mais en fait, il n'y eu a qu'une qui soit pratique. En déplaçant le [)oint F sur la verticale CF, on trouve une infinité de solutions parmi lesquelles on peut choisir la plus convenable.

2" On donne X , H , (/ , trouver i. On entre dans la table par les lignes des l et des H ; on aboutit au point M ; on passe du l)oint M , au point F et au point A.

3° On donne 1,B.J trouver q. On opère comme au problème précédent.