AB = CD, ^=EF

70S. Iléversoîp noyé. — Soient: h' la différence entre le niveau d'amont et le niveau d'aval ; a , la hauteur du niveau d'aval au-dessus de la crête du barrage ; le débit est donné par la formule :

(? = 0,57 llV V 2(jlV + 0,62 <;« V'Zgh'] Le premier terme se détermine par le tableau graphique du numéro précédent. On construit facilement un tableau graphique donnant les valeurs du second terme.

lOO .4ulre roriuiile. — Soient : h, la hauteur du niveau d'amont au-dessus de la crête du barrage ; a , le rapport h —a :h;(/ le débit du barrage non noyé ; q le débit cherché ; on a :

On peut déterminer la fonction ^ au moyen de la formule précédente; mais il vaut mieux déterminer cette fonction par une courbe en utilisant les expériences de Lesbros. On trouve dans le cours d'hydraulique de Bresse, la formule :

q = rûi V 2ff {h— a),

or q> = 0,57 Ih V^gli.

Donc 9 = -^— \/â7

Le coefficient r est fonction de « , et a été déterminé par

090 INTEGRATION GRAPHIQUE.

l'expérience ; prenons comme coordonnées y r= r ,x = \^^- , et construisons la courbe {x y) par points au moyen du tableau des valeurs de r\ on a alors :

yoc

On obtient la courbe des valeurs de 9 par une multiplication ; on en déduit l'échelle des valeurs de 9.

Construisons d'abord (fig. 296) un tableau des variables h, a, a\ posons x = a,y ^ h , on a :

a = d ou y =

Si on prend ?/ = 1 , on a a: = 1 — a. Soit donc OF = FC = 1 ; portons CD = a ; la ligne des a est OD.

Construisons ensuite un second tableau yox' des variables q, q', a. Posons a; = g', 2/ = (? » ori ^ •

Soit O'N = 1 ; portons NM = cp (a) ; joignons O'M ; O'M est la ligne des a. Les lignes de a. des deux abaques se coupent sur une courbe de rebroussement.

Soient, par exemple, a = OA, h = AB, q' = O'L ; suivons la ligne OBGH ; on a ^ = O'K.

TIO. Débit moyen. —Montrons par un exemple l'utilité des tableaux graphiques. Nous avons eu à résoudre le problème suivant : déterminer les débits moj^ens par jour , par mois , par année , d'un barrage à poutrelles et à vannes. Le barrage présentait cinq ouvertures ; les cotes d'amont et d'aval, le nombre de vannes et de poutrelles enlevées étaient indiqués dans un registre ; il eut fallu appliquer environ 6000 fois la formule des déversoirs. L'emploi des tableaux graphiques nous a permis de résoudre ce problème moyennant un travail personnel de quelques heures et l'aide d'un commisdessinateur.

Nous avons fait confectionner une sorte de profil en long dans lequel on portait les jours en abscisses, et en ordonnées, les cotes d'amont et d'aval , ainsi que les niveaux des cinq barrages.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 691

Le commis, dressé à l'emploi des tableaux graphiques, a construit un second profil en long dont les ordonnées étaient les débits. Une ligne intégrale a donné les qdt ; les inclinaisons des cordes de cette intégrale nous a donné les débits moyens que l'on nous demandait.

§ 2. Canaux découverts.

711. Équation du niouvoiucnt pcrinancBit. — L'équation du mouvement permanent est :

Dans cette formule , ds est la longueur d'un élément du canal , dz est la pente superficielle ; les autres quantités ont la même signification que dans la formule de Bazin. Pour une longueur finie , on a :

Tlfi. Tracé de Taxe hydraulique. — Dans les applications habituelles , le premier terme du second membre est négligeable ; décomposons la longueur du canal en tronçons assez petits ( 1 kilomètre , par exemple ) pour pouvoir remplacer les sections variables par une section moyenne ; on aura pour un pareil tronçon :

C'est l'équation du mouvement uniforme. On peut donc tracer l'axe hydraulique en le remplaçant par une série de droites dont la pente se calcule au moyen des tableaux graphiques qui représentent la formule du mouvement uniforme. La détermination de chacune de ces droites exige cependant quelques tâtonnements , parce que la hauteur d'eau dans la section moyenne n'est connue que par approximation. Si la section subissait des variations considérables , il faudrait tenir compte du terme des vitesses , en ajoutant à

la ponte donnée par la formule du mouvement uniforme , la valeur du terme :

Dans les cours d'eau naturels , la forme du lit est presque toujours irrégulière ; on détermine , par les profils en travers, les valeurs de « et / pour un niveau d'eau aussi approché que possible de l'axe hydraulique que l'on cherche ; on trace l'intégrale des (î^ds et des yds ; on obtient les valeurs moyennes de w et de / , par les inclinaisons des cordes de ces intégrales ; on substitue aux sections existantes une section trapèze qui réalise ces valeurs moyennes.

Il ne faut pas se faire illusion. L'axe hydraulique que l'on calculera par la méthode précédente ne sera jamais complètement exact. Ce serait aussi une erreur de croire qu'on s'approchera de la vérité en perfectionnant le calcul mathématique de l'axe hydraulique. La principale cause d'erreur est l'incertitude des coefficients a et 6. Il ne paraît pas possible de déterminer des coeflîcients qui puissent s'appliquer à tous les cours d'eau. Est-il possible, en efl[et, de tenir compte par une formule de la régularité plus ou moins grande d'un cours d'eau, de la ténacité avec laquelle les riverains défendent leurs propriétés en construisant des épis qui constituent quelquefois un obstacle à l'écoulement des eaux, etc.

La véritable solution pratique n'est pas de compliquer les formules, mais d'éliminer les coefficients en utilisant les faits observés sur le cours d'eau que l'on étudie. Dans ce qui suit nous adopterons la formule de Prony R2 = au"^ ; a est un coefficient que nous éliminerons au moj'en des observations ; nous arriverons ainsi à des résultats plus certains que par l'emploi de formules plus complètes mais dont les coefficients sont entachés d'erreur.

713. Propas;ation des relèvement*» et des abaisseluentïi. — On produit un abaissement ou un relèvement x^^ eu un point d'un cours d'eau ; cet abaissement ou ce relève-

ment se propage vers l'amont suivant une loi compliquée ; mais flans le cas particulier où x^ est petit relativement à la profondeur du cours d'eau , nous allons démontrer que cette loi s'exprime approximativement par la formule suivante :

x^ , Xq sont les abaissements ou relèvements en deux points ; z est la différence de niveau entre ces deux points ; H dépend de la section transversale du cours d'eau : dans les cours d'eau de grande largeur H est la profondeur moyenne , c'est-à-dire la section mouillée divisée par la largeur à la surface de l'eau ; dans les autres cas, on détermine la profondeur moyenne Ji, on développe le périmètre mouillé sur les talus ou plus exactement sur les tangentes au profil à la surface de l'eau , on détermine les profondeurs h' et h" que l'on atteint de cette manière et on pose :

uns \h' ^ h"/'

Démonstration. — Nous considérons le cas ordinaire où les vitesses du cours d'eau diffèrent assez peu pour que l'on puisse appliquer la formule de Prony ; nous la mettrons sous la forme :

^ = cc^^q\ (3)

Supposons que dans une section , les eaux soient relevées d'une quantité x positive ou négative mais assez petite pour que l'on puisse calculer ai comme une différentielle; on trouve :

ai oy 3 $(ù

Considérons une longueur ds du cours d'eau ; on a évidemment :

ds' ^ ds

INTEGRATION GRAPHIQUE.

Soient : l ,\si largeur de la section à la surface de l'eau ; a', a" les angles des talus avec l'horizon ; on a :