Coupbe.s isoclines. — Soit

une équation différentielle du premier ordre ; considérons X, y comme coordonnées; nous nous proposons de tracer graphiquement les courbes représentées par cette équation. Pour y arriver, égalons, dans l'équation (1), la dérivée à une constante a. ; nous obtiendrons l'équation

La c( uihe icpiée^entéc par l'équation (2) est le lieu des points où l'intégrale a la n)ême inclinaison a ; pour cette raison, les courbes (2) seront appellées courbes isoclines.

Soient ( fig. 298) 1,2,3,4, les courbes isoclines pour les valeurs de a reiirésentées par les rayons 01, 02, 03, 04, du diagramme des inclinaisons.

Soit A un point pris arbitrairement sur la première courbe ; menons les droites A, B, C, D parallèlement aux rayons

698 INTEGRATION GRAPHIQUE.

01,02,03,04; prenons les sommets du polygone plus ou moins au milieu des intervalles qui séparent les courbes isoclines. Si les courbes isoclines étaient infiniment rapprochées, on obtiendrait comme limite une courbe satisfaisant à l'équation différentielle (1 ). En prenant des courbes isoclines assez rapitrocliées. on obtiendra l'intégrale avec une approximation satisfaisante, on obtiendra plus d'approximation en traçant les tangentes de manière qu'elles enveloppent une parabole d'un certain degré, ce que l'on peut faire par quelques tâtonnements , eu utilisant les propriétés des polygones d'intégration.

Il arrive souvent qu'au même point A , on peut tirer plusieurs valeurs de la dérivée y' ; à chacune d'elles correspond une courbe isocline passant par le point A et une intégrale. Ces intégrales sont liées entre elles comme les racines de l'équation en 2/; il sera presque toujours difficile ou impossible de les séparer dans léquation intégrale.

Supposons que le premier point A se déplace sur une verticale; son ordonnée y^ figurera comme constante arbitraire; l'ordonnée y d'un point de l'intégrale s'exprimera par :

Cette équation est l'intégrale générale de l'équation ; en donnautune valeur à ^0' ^^ trouve une solution particulière.

7 tH. Courbe des inflexions. — Lorsque l intégrale touche une courbe isocline, le point de contact est un point d'inflexion de Vintégrale.

(1) Nous employons ici et dans ce qui va suis^re , le langage des infiniment petits dans ce qu'il a de i)lus figuré. Il est bien facile de ira luire l)lus rigoureusement les mêmes pensées. Dans le cas qui nous occupe , on dira : soit ?/' = 9 (xi/) une des valeuri de la dérivée, tirée de l 'équation

différentielle ; on trace un polygone te! que 2/'^ ?(^2/); on en trace

un autre tel que y' ~^ [x'j); on démontre que ces deux polygones ont ont même limite qui satisfait à l'équalioa y' = ^{xy j.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 699

En effet , partons de ce point de contact et déplaçons-nous infiniment peu sur l'intégrale; nous ne nous écarterons de la courbe isocline tangente que d'une quantité d'ordre supérieur au premier ; on a donc au point de contact cly' = 0 ou d^y = 0. La courbe intégrale a donc avec sa tangente un contact d'ordre supérieur au premier et se trouve toute entière du côté de la convexité de la courbe isocline ; elle rencontrera une courbe isocline voisine , et située du même côté , en deux points où l'intégrale aura même inclinaison ; la courbe intégrale présente donc un point d'inflexion.

Menons à chaque courbe isocline a, une tangente d'inclinaison a ; le lieu des points de contact est une courbe CHGP ; c'est le lieu des points d'inflexion de l'intégrale ; nous l'appellerons cowbe des inflexions. Soit ABCD une intégrale qui coupe la courbe des inflexions au point C; au point C l'intégrale touche la courbe isocline 4 et présente un point d'inflexion ; l'intégrale coupe la courue isochne '6 en deux points B et D ; les éléments B et D de l'intégrale sont parallèles.

Supposons que l'intégrale touche une courbe isocline au point d'inflexion R de cette courbe. Il est d'abord facile de démontrer que la courbe des inflexions touche cette même courbe isocline au point d'inflexion R. En effet, soient: S', un point infiniment voisin de la courbe des inflexions ; S'S la courbe isocline qui passe par ce point ; R' Je pomt d'inflexion de cette courbe S'S. On pourra toujours trouver un point S tel que les tangentes à la courbe isocline en S et en S' soient parallèles ; les deux points S et S' se trouvent sur la courbe des inflexions ; or ces deux points viennent se conlondre en R quand la courbe SS' se rapproche de R ; donc la courbe des inflexions touche la courbe isocline au point R.

Menons l'intégrale qui passe par le point R ; une intégrale GHK voisine de ceUe que nous cherchons, présente deux points dinllexion Gr et H ; au pomt R , ces deux points viennent se confondre ; donc il n'y a plus d'inflexion en R. Il est facile de démontrer qu'en ce point R , l'intégrale a , avec sa tangente , un contact du troisième ordre, isous démontre-

700 INTEGRATION GRAPHIQUE.

rons d'abord comme précédemment que le contact dont il s'agit est au moins du second ordre. Mais alors , si on se déplace infiniment peu sur l'intégrale à partir du point R , on peut affirmer que l'on s'écartera de la courbe isocline d'une quantité d'ordre supérieur au second ; doncon arf^y = 0 ou cV'y = 0 ; c'est ce qui caractérise le contact du troisième ordre de l'intégrale avec sa tangente.

On obtient l'équation de la courbe des inflexions en différentiant l'équation des courbes isoclines et en posant dy — a.dx ; on trouve :

En éliminant a. entre les équations (2) et (3), on obtiendrait la courbe cherchée.

719. tourbe des rebroiisseiuents. — L^enveloppe des courbes isoclines est le lien géométrique des points de rébroussement de Vintégrale.

Soit E un point de l'enveloppe des couches isoclines ; si nous partons de ce point pour décrire l'intégrale , nous rencontrons deux sortes de courbes isoclines ; les unes touchent leur enveloppe à droite du point E , les autres à gauche ; nous trouvons donc en quittant le point E deux racines de y' et chacune d'elles donnent une courbe intégrale. On trouve ainsi les branches EF et EGH. En E, les deux valeurs de y' sont égales , les deux branches se touchent et constituent un point de rebroussement. Si nous partons du point F, nous trouvons en F deux ou plusieurs valeurs de y' ; nous choisirons l'une d'elles et nous suivrons l'intégrale FE ; en E deux racines de y' sont égales ; au-delà de l'enveloppe ces deux racines disparaissent ; l'analyse donnerait sans aucun doute des racines imaginaires de y'. L'enveloppe constitue donc une Ijarriére que la courbe intégrale FE ne peut franchir. Mais le point qui décrit l'intégrale peut en rebroussant chemin, suivre la courbe EGH qui correspond à la valeur de ?/' que l'on avait i)rimitivement écartée. Au point E, on passe continûment d'une racme à une autre parce qu'en ce point ces deux racines sont égales.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 701

En général , l'enveloppe est la ligne des intersections successives des courbes isoclines; cependant, il peut arriver qu'une courbe isocline ?/' = « enveloppe, dans le sens vulgaire du mot, la portion du plan occupée par les courbes isoclines voisines y^ = a ±]i. Il est bien évident qu'en partant de la courbe y' = cf., on trouvera deux racines y' = a. ± h ; chacune de ces racines donne une branche de l'intégrale ; les deux branches constituent un point de rebroussement situé sur la courbe isocline enveloppe.

7*iO. Surface des inclinaisons. — Représentons^' par une ordonnée [)erpeudiculaire au plan; l'équation F (x,y , y') = 0 représente une surface que nous appellerons sui^face des inclinaisons ; les courbes isoclines sont les projections des courbes de niveau ; l'enveloppe des courbes isoclines est le contour a[>parent de la surface : nous obtiendrons ce contour apparent en exprimant que le plan tangent est vertical ; nous trouverons :

dy = ^ , (4)

Or on a :

-i— dx -\- -T- dy + -— , d)/ = 0.

dx ^ dy -^ dy' -^

L'équation ( 3 ) peut être remplacée par le système :

d¥ dF ,^,

__ = OD OU -^r- = ce . 6 )

dœ dy

Les équations (6) ne donnent aucun résultat si la fonction F [x, y, y') est entière; le plus souvent on pourra mettre l'équation différentielle sous une forme telle que l'équation (5) soit seule à considérer. Remarquons aussi que l'on peut concevoir une surface telle que les points de contact des plans tangents verticaux ne soient pas contour apparent; l'équation pourrait dans ce cas définir le lieu des points où. la courbure de l'intégrale est infinie sans qu'il y ait rebroussement.

Le contour apparent de la surface des inclinaisons sépare la partie visible de la partie invisible ; les courbes isoclines sont donc divisées eu partie visible et invisible , par le point

702 INTEGRATION GRAPHIQUE

OÙ elles touchent leur enveloppe. Considérons l'intégrale comme la projection d'une courbe tracée sur la surface des inclinaisons et que nous appellerons intégrale de l'espace. Par tout point de la surface des inclinaisons passe une de ces intégrales ; on peut déOuir l'intégrale de l'espace en disant que c'est la trajectoire d'un point qui décrit , sur la surface des inclinaisons, des éléments tels que leur plan projetant tourne autour de l'ordonnée 2/' de façon que rinclinaison de ce plan sur l'axe des x soit égal à «/'. Les points d'inflexion des intégrales correspondent aux éléments horizontaux des intégrales de l'espace, car en ces points d'inflexion , ?/' passe par un maximum ou un minimum ; on prouve ainsi que les éléments infléchis des intégrales touchent les courbes isoclines, propriété déjà démontrée autrement (718). L'élément de l'intégrale de l'espace qui traverse le contour apparent est vertical ; car cet élément est l'intersection d'un plan projetant vertical avec un plan tangent vertical L'intégrale de l'espace ne présente donc pas de singularité en ce point; mais en projection , l'élément vertical se transforme en un point de rebroussement séparant la partie visible de la partie invisible de l'intégrale.

î^l. Point singulier du plan — La courbo des inflexions peut toucher l'enveloppe des courbes isoclines en un point P ; dans l'espace, la courbe des inflexions traverse le contour apparent et passe de la partie visible à la partie invisible de la surface des inclinaisons. Les intégrales présentent dans les environs du point P des singularités particulières.

Si on se place en un point N de la courbe des rebroussements , on trouve un point de rebroussement de l'intégrale ; la branche invisible de l'intégrale subit une inflexion près du point de rebroussement. Si on se place en un point M , on trouve un autre point de rebroussement. Enfin , si on part d'un point Q du plan, on trouve une intégrale visible et une intégrale invisible se coupant au point Q. Si on fait converger les trois points M, N, Q vers le point P , on reconnaît immédiatement que l'on obtiendra deux intégrales tangentes à la

INTEGRATION GRAPHIQUE. 703

courbe enveloppe au point P ; car les points de rebroussement M et N viennent s'opposer par le sommet et d'autre part les deux branches qui se coupent en Q deviennent tangentes quand le point Q vient en P. Si l'on part du point P vers la droite , on voit que l'on peut tracer deux intégrales , Tune visible, l'autre invisible ; si on part du point P vers la gauche , on peut aussi tracer deux intégrales ; ces quatre parties de courbes constituent en P un point- multiple, comme nous l'avions déjà prévu par les considérations précédentes.

Si l'on considère les intégrales de l'espace, on reconnaît que ces courbes tournent leur convexité vers le point P. Il )^ a 4 séries d'iniégrales à considérer; la première série est située au-dessus du contour apparent , la seconde série est située au-dessous de ce contour; la troisième et la quatrième séries traversent le coiltour apparent. Ces quatre séries de courbes occupent par rapport au point P des positions qui rappellent celles qu'occupent les branches des hyperboles semblables et concentriques [lar rapport à leur centre. De même qu'en se rapprochant de leur centre les quatre branches de ces hyperboles ont pour limite leurs asymptotes , de même les quatre séries d'intégrales de l'espace, en se rapprochant du point P , ont pour limites deux courbes qui se coupent en ce point.

L'aual3^se permet de déterminer la direction des deux éléments d'intégrales qui partent- du point P. Tout élément d'intégrale satisfait aux deux équations :

clF ^ ^ clF ^ , clF , , ^ ...

-Cl, + -d,J + g,^,CW^O. (7)

(■ly = y'djc.

La courbe des éléments horizontaux des intégrales de l'espace a pour équation :

dF , dF , ^ ,.,,

On obtient cette équation en passant dy' = 0 dans l'équation (7); mais nous l'avions déjà obtenue sous une autre forme et d'une autre manière.

INTEGRATION GRAPHIQUE.

La courbe des éléments verticaux des intégrales de l'espace a iiour équation :

dy'

Au point P, les équations (3) et (4) sont satisfaites , donc on a :

Pour faire disparaître cette indétermination, prenons la différentielle de l'équation ( 7 ) , on obtient la formule symbolique :

En remplaçant d^ij [lar dij , dx , on obtient une équation du second degré en dy' ; les deux valeurs de dy' déterminent les deux directions cherchées.

Dans la figure 298 , nous avons supposé que la courbe des inflexions s'appuyait sur les courbes isoclines en des points plus éloignés du point P que les points M et N oti ces courbes isoclines touchent leur enveloppe ; dans la figure 299 , nous avons choisi la disposition contraire. On peut trouver alors , en traçant l'intégrale près du point P , une courbe ABCDEFGHKLM qui s'approche indéfiniment du point P en sautant de droite à gauche et de gauche à droite et en présentant une infinité de rebroussements.

Cette singularité se reconnaît beaucoup mieux en utilisant l'intégrale de l'espace ; soient : A'C, le contour apparent représenté en élévation ; D'B', la courbe des éléments horizontaux, courbe qui a pour projection la courbe des inflexions; on part du point A' par un élément vertical ; en B' l'élément est horizontal ; en C, il redevient vertical et ainsi de suite ; on trouve une sorte de spirale tournant asymptotiquement autour du point P. Eu projection, les éléments verticaux deviennent des points de rebroussement , les éléments horizontaux deviennent des points d'inflexion , on retrouve la

INTEGRATION GRAPHIQUE. 705

courbe annoncée. Puisque l'intégrale s'approche indéfiniment du point P' sans Fatteindre, il faut en conclure que si Ton se place au point P', il sera impossible de sortir de cette position. L'équation (8) donnera donc deux valeurs imaginaires de dij.

D'autres dispositions peuvent se présenter près du point P; nous les rencontrerons plus loin.

y*^*^. Solution «liinoinlière. — On obtient la courbe des inflexions en cherchant les éléments des courbes isoclines qui satisfont à l'équation diflférentielle , c'est-à-dire en menant aux courbes 1, 2, 3 des tangentes parallèles aux directions 01 , 02, 03 du diagramme des inclinaisons. Nous avons supposé jusque maintenant que la courbe des inflexions différaient de l'enveloppe des courbes isoclines ; il nous reste à examiner le cas où ces courbes coïncident. Tous les points de la courbe- enveloppe se trouvent alors dans les conditions du point P dont il a été question au numéro précédent; la différentielle^/// n'est ni nulle ni infinie, elle est indéterminée ; tout ce que nous avons dit de la courbe des inflexions et de la courbe des rebroussements ne s'applique pas ici ; il faut recommencer l'étude des intégrales dans les environs de la courbe-enveloppe.

Soient: (fig. 300) IvAH l'enveloppe des courbes isoclines ; 1,2, 3 ces courbes isochnes. Si nous partons du point A, nous devons tracer un arc AB de la courbe 2 à la courbe 3 ; cet arc a même courbure totale que l'arc AH. On trouve la solution AB. On pourrait chercher une solution AB' qui s'appuierait sur la courbe 3 au-delà du point H, mais cette solution serait impossible, car l'intégrale AB' aurait une courbure plus faible que l'enveloppe AH, ce qui est absurde. Mais en partant du point A on peut suivre, l'enveloppe AH qui est évidemment une solution puisque par hypothèse l'enveloppe est formée des éléments des courbes isoclines qui satisfont à l'équation différentielle. On trouve donc des intégrales particulières ayant pour enveloppe une solution qui se confond avec l'enveloppe des courbes isoclines. Si l'on part

706 INTEGRATION GRAPHIQUE.

d'un point quelconque B, on trouve deux ou plusieurs intégrales particulières ; si le point B se rapproche du point A, deux de ces intégrales coïncident ; mais alors apparaît la solution KAH ; cette solution n'est donc pas comprise dans l'intégrale générale ; c'est la solution singulière.

Considérons les intégrales (.e l'espace ; nous avons dit que par tout point de la surface des inclinaisons passe une intégrale et une seule; mais en nous exprimant ainsi, nous avons exclu le cas oîi le plan projetant l'élément de l'intégrale est tangent à la surface, car alors on se trouve dans les conditions du point P du numéro précédent ; le plan projetant coupe la surface suivant une courbe qui présente un point multiple au point de contact; il faut alors recourir à l'équation (S) qui donne deux valeurs de di/. Ces circonstances se produisent ici tout le long du contour apparent ; mais l'une des solutions est le contour apparent lui-m.ême. Si on exclut cette solution , on peut dire encore que par tout point de la surface des inclinaisons passe une intégrale et une seule; toutes ces intégrales couvrent la surface des inclinaisons sans se rencontrer; ce sont les intégrales particulières. Mais il se fait qu'il existe une courbe coupant ces intégrales particulières , et qui n'est solution que parce qu'elle suit- le contour apparent ; c'est la solution sincrulière.

Nous avons dit qu'en menant, à la surface des inclinaisons, des plans tangents verticaux . on trouve quelquefois une courbe qui n'est pas contour apparent; si cette courbe est solution , c'est une solution singulière. On trouve alors , en projection , une solution singulière qui est touchée et traversée par les intégrales particulières ; ces points de contact sont des points d'inflexion ou de rebroussement.

Nous avons dit aussi qu'en menant les plans tangents verticaux, on peut trouver , pour courbe de contact, une courbe isocline. Cette courbe isocline ne sera solution que si elle est droite : c'est alors une solution singulière.

Remarquons aussi qu'il est difficile de prévoir tous les cas qui peuvent se présenter. On peut, en effet, donner à la surface des inclinaisons , les formes les plus étranges. On peut

INTEGRATION GRAPHIQUE. 707

même se donner arbitrairement les intégrales particulières, construire la surface des inclinaisons ou ce qui revient au même chercher l'équation différentielle. On peut donc réaliser toutes les dispositions imaginables.

Si l'on choisit pour la fonction F {x,y, ij) une fonction analytique ordinaire, la surface des inclinaisons aura généralement un contour apparent qui ne coïncidera qu'exceptionnellement avec la courbe des inflexions ; on peut donc dire qu'en général les équations différentielles n'ont pas de solutions singulières; les intersections successives des intégrales particulières ne déterminent pas une enveloppe, mais un lieu de points de rebroussements. Si , au contraire , on choisit arbitrairement une fonction analytique f[x, y, G) et si on prend pour intégrale générale f {x, y,G) = Q,\q% intégrales particulières ont généralement une enveloppe; il y a une solution singulière. La surface des inclinaisons déduite de l'équation f{x, y,C)^0 présente donc généralement la particularité d'avoir un contour apparent qui soit solution ; tandis que si on se donne arbitrairement F {x, y,y') , cette particularité est exceptionnelle.

Î'ÎS. Exemple. — Dans la figure 300 nous avons pris pour intégrales des cercles de rayon r touchant intérieurement un cercle de rayon R; on obtient pour courbes isoclines des cercles de rayon r' = R — r. En effet , les éléments d'intégrales qui ont l'inclinaison a s'obtiennent en menant les rayons /• perpendiculaires à la direction a ; le lieu des extrémités de ces rayons est une circonférence égale à la circonférence des centres des intégrales. Il y a réciprocité , c'est-àdire que les circonférences de rayon r' deviennent les intégrales quand les courbes isoclines sont les circonférences de rayon r. Si l'on prend le centre de l'enveloppe comme origine, l'équation différentielle est :

L'intégrale générale est :

INTEGRATION GRAPHIQUE,

La solution singulière est :

Extension. — Prenons pour intégrales les positions d'une courbe invariable A à laquelle on donne un mouvement de translation qui tait décrire , à tous les points de cette courbe, des trajectoires B égales et parallèles. Les courbes B sont évidemment les courbes isoclines , car les éléments des intégrales restent parallèles à eux-mêmes pendant leur transport. Si on prend les courbes B comme intégrales, les courbes isoclines sont les courbes A. L'enveloppe commune des courbes A et B est la solution singulière. L équation différentielle est :

Les fonctions y et ^1» satisfont à l'équation

^ f'(2/') L'intégrale générale s'obtient en éliminant y' entre les équations :

et en assujettissant le point x^, y^ à se trouver sur la courbe F (^o,2/o) = 0.

§ 2. Cas où les lignes isoclines sont droites.

î"*»!. Droites convergentes. — Supposons que les lignes isoclines soient droites et passent par un point fixe ; l'équation d'une ligne isocline peut se mettre sous la forme u = vm\ Il et V étant des fonctions entières du premier degré en X eti/; m une fonction de ?/'. L'équation différentielle est donc de la forme :

Si nous prenons li et ^ comme nouvelles variables, cette équation devient :

/ u du \

Reprenons les notations^?, 2/ pour les variables, F pour la fonction ; nous avons à étudier l'équation

C'est la forme générale des équations homogènes en œ et y. Si on fait ?/' = a , on trouve pour ligne isocline :

^W'^/""^ ou-y = ^o(a). (2)

Réciproquement , soit ?/ = /a? une ligne isocline ; on tire de l'équation ( 1 ) :

Les fonctions o et ^|; peuvent avoir plusieurs valeurs pour une valeur de la variable a ou t.

Les intégrales sont des courbes homothétiques ; l'origine est le centre d'homothétie. En effet, si l'on trace une intégrale et si l'on construit des courbes homothétiques en prenant l'origine pour centre, il est évident que toutes ces courbes satisferont à l'équation différentielle ; car en passant d'un i)oint de l'intégrale aux homologues de ce point, y. xei 2/' ne varient pas et l'équation différentielle continue à être satisfaite.

ytâ. Point .-myinplolique. — Supposons (flg. 301) qu'en faisant varier a par tous les états de grandeur, on trouve que la ligne isocline tourne autour de l'origine en prenant toutes les directions imaginables ; supposons que toutes ces lignes isoclines soient coupées par les éléments d'intégrales. Si on part d'un point quelconque A , on trouvera une intégrale ABCD tournant autour de l'origine ; elle ne sera fermée qu'exceptionnellement. Suivons l'intégrale dans un sens tel qu'après une spire on se rapproche de l'origine ; on

710 INTEGRATION GRAPHIQUE.

trouve une infinité de spires semblables ; l'intégrale se rapproche indéfiniment de l'origine sans pouvoir jamais l'atteindre.

7*^0. Ilroîle solution. — Si le long d'une ligne isocline, l'élément d'intégrale est dirigé suivant cette ligne, cette ligne est évidemment une droite solution. Nous obtiendrons les droites solutions en posant dans l'équation (1 ) , (2) ou (3) y = Qœ eiy' = Q; on trouve :

Étudions les intégrales dans les environs d'une de ces droites ; pour y arriver , faisons converger la variable i vers la valeur 0 qui satisfait aux équations (4). L'élément d'intégrale peut prendre trois positions que nous allons examiner successivement.

1° L'intégrale AE (fig. .302) se rapproche de la droite solution OB et s'éloigne de l'origine. Soit u l'angle infiniment petit qui fait l'élément d'intégrale avec la ligne isocline OA : on a , dans le triangle AOB ,

ÀB : OB = sin AOB : sin u.

Nous verrons qu'en général , les angles ti et AOB sont du même ordre; le rapport AB : OB est donc fini ; cela n'est possible que si la courbe intégrale ne touche la droite OB qu'à l'infini ; donc la droite solution est une asymptote des intégrales particulières. Soit DE une intégrale, construisons une autre intégrale en prenant un rapport de similitude infiniment petit ; nous obtiendrons comme limite, la droite OB ; donc la droite solution est une intégrale particulière.

2" L'intégrale DE (fig. 303) se rapproche de la droite solution OA et de l'origine 0. On démontre comme précédemment que le rapport DE : OE est fini ; cela n'est possible que si la courbe touche la droite OE à l'origine. Si on construit une autre intégrale semblable eu prenant un rapport de similitude infiniment grand on trouve OA comme courbe limite, la droite solution est donc une intégrale particulière.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 711

3° L'intégrale EF (flg. 304) s'éloigne de la droite solution OA et de l'origine 0. On trouve évidemment une branche infinie; la tangente à l'infini est parallèle à OA. En prenant un rapport de similitude infiniment petit , on trouve que la droite solution OA est une solution particulière.

Vérifions que l'angle ii est du premier ordre quand on prend t — ô = h comme infiniment petit principal. On a :

Posons / ^ 0 + /^. et développons t — y' par la formule de Ta5'lor ; on a :

Ces deux équations prouvent que zc est en général du premier ordre. Il y a cependant deux exceptions :

1" Si -y (0) ^ 00 , le développement n'est pas applicable ; 2° Si ^{;' 0 = 1 , on a :

Nous examinerons la première exception au numéro 729 ; quant à la seconde , on reconnaît facilement que si u est du second ordre ou d'ordre plus élevé , les raisonnements précédents sont encore applicables ; seulement on trouve que, dans le cas de la figure 303 , la courbe OD a , avec la droite solution, un contact comparable à celui de la courbe 7/ = ^ : log X , avec l'axe OX.

On reconnaît analytiquement si la droite solution se trouve dans l'un ou l'autre cas en calculant •]/' (9). La droite solution est asymptote (fig. 302) si cl?/' est de signe contraire à rZ G , donc si '1' (0) est négatif. On se trouve dans le cas de la droite OA (fig. 304) si dp' est de même signe, mais moindre que rit, c'est-à-dire si -^9 > 0 mais < 1. Enfin la droite solution est tangente à l'origine si ']>' (9) > 1.

712 INTEGRATION GRAPHIQUE.

757. Inflexionfï. — Les points d'inflexion s'obtiennent en posant dy^ = 0 dans l'équation différentielle dF cl F

-a+~cw^o. ,7)

On trouve les deux équations :

dt = 0. (8)

^F dF ^

L'équation (8) n'est satisfaite que pour les droites solutions ; on retrouve aussi les droites solutions en appliquant la construction générale de la courbe des inflexions.

L'équation (9) jointe à l'équation ( 1 ) détermine certaines lignes isoclines qui sont coupées par les éléments infléchis des intégrales.

l'iH. Rebrou!«sciuenti«. — Les courbes isoclines n'ont pas d'enveloppe ; mais une ligne isocline OA (fig. 305) peut former contour a[)parent ; les intégrales présentent des points de rebroussement situés sur cette ligne. On obtient les droites de rebroussement en considérant y' comme variable et en cherchant les maxima et les minima de t. On arrive au même résultat en menant les plans verticaux tangents à la surface des inclinaisons ; on pose alors dy' = 00 dans l'équation (7) ; on trouve :

dP dF ^

• Les équations ( 10) et (1) déterminent les valeurs de t et de y' le long des droites de rebroussement. Toutefois , il faut encore vérifier que les droites que l'on obtient ainsi forment contour apparent ou , ce qui revient au même , que t passe par un maximum ou un minimum : sinon les rebroussements n'existeraient pas ; il y aurait seulement une courbure infinie.

Î'ÎO. Solutions sînjsulîères. — Nous savons qu'il n'y a une solution singulière, que si la courbe de contact des

INTEGRATION GRAPHIQUE. 713

plans verticaux, tangents à la surface des inclinaisons est précisément une solution. Cette courbe de contact est ici ormée des droites qui satisfont aux équations (10) et (1); si ces droites sont solutions , ce sont les solutions singulières.

En général , ces droites forment contour apparent ; on trouve alors des intégrales CAB (fig. 306j enveloppées parées droites. Si l'une de ces droites OA ne faisait pas contour apparent, chaque intégrale la traverserait soit par un point de rebroussement CAB', soit par un point d'inflexion BAB'.

Il faut remarquer que l'équation ( 10) revient à

^=c^ ou ■y{t)=ao.

La solution singulière est donc la droite solution pour laquelle le développement de l'équation (7) ne peut se faire.

730. Faisceaux lioiuograpliique!!!. — Les lignes isoclines forment un système de droites ; les rajons du diagramme des inclinaisons forment un autre système ; supposons que ces deux faisceaux soient homographiques , c'est-à-dire que l'équation différentielle soit de la forme :

ai/'t + b?/' -{- et -]- d = 0. (il)

Les droites solutions s'obtiennent en posant ?j' = i = B ; ou trouve l'équation :

Si on suppose que les deux faisceaux aient même sommet , les droites solutions sont les droites doubles de ces faiceaux. Il peut y avoir deux droites solutions, une seule , ou aucune selon que les racines de l'équation en 9 sont réelles, égales ou imaginaires.

Premier cas. — Les racines sont imaginaires. Dans ce cas , il n'y a pas de droites solutions ; on trouve que l'origine est un point asj'mptotique et que lintégrale a la forme de la courbe ABCDB'C'D'... de la figure 301.

Deuxième ca^. — Soient ( fig. 302) OB et OF les deux droites doubles. Les deux faisceaux homographiques seront cora-

714 INTEGRATION GRAPHIQUE.

plètement déterminés si l'on donne eu outre une dro ite iso cline telle que OD et la direction des éléments d'intégrale sur cette droite. Menons une droite CD parallèle à OF ; soit DS la direction de l'intégrale sur la droite OD ; on obtiendra la direction HS de l'intégrale sur une droite quelconque OH , en joignant le point fixe S au point H oii la droite donnée OH rencontre la droite fixe CD. En efïet, les droites OH et HS que l'on obtient en déplaçant le point H sur la droite CD forment deux systèmes homograpliiques. Ces deux systèmes sont précisément ceux qui sont déterminés par l'équation difiérentlelle , car les droites doubles et les deux droites OD, DS ont les directions qu'elles doivent avoir.

On reconnaît immédiatement que l'intégrale a pour asymptotes les deux droites solutions et a la forme d'une hyperbole. Les droites OB et OF prolongées divisent le plan eu quatre angles ; dans chacun de ces angles , on trouve des branches d'intégrales de l'orme hyperbolique. Les branches situées dans deux angles opposes sont homothétiques inverses. Au point de vue analytique les branches situées dans deux angles adjacents sont aussi homothétiques, mais le rapport de similitude est imaginaire : cette propriété ne peut se démontrer que par l'analyse.

Troisièiiie cas. — Nous avons supposé que la droite CD passe entre les sommets 0 et S des deux faisceaux.

Dans la figure 304 , OA et OB sont les droites doubles; CD est une parallèle à OA; la direction SD correspond à la droite OD ; la droite CD passeà l'extérieur de la droite OS. On trouve alors une branche OEF tangente à la droite OB et présentant à l'infini un élément parallèle à la droite OA. On trouve une autre branche d'intégrale en construisant une courbe OE homothétique inverse de l'intégrale OE par rapport au centre 0. On trouve dans les deux autres angles des branches OH et OH'.

Quatrième cas. — Supposons qu'il n'y ait qu'une droite solution ; dans la figure 3U4 la droite OB vient se coucher sur OA ; les courbes E'OF disparaissent ; la branche OH prend la

INTEGRATION GRAPHIQUE. 715

forme OK. On peut aussi traiter ce cas directement. Menons une droite CD parallèle à la droite OA , (jui est deux fois solution ; supposons que sur la droite OD , la direction de Tintegrale soit DS'. Les faisceaux ayant pour sommet 0 et S' et se coupant sur la droite CD sont précisément ceux qui sont déterminés par l'équation différentielle , car trois groupes de droites conviennent savoir les deux groupes dedroitesdoubles et le groupe OD, S'D.

Théorème. — Considérons la figure formée par les lignes isocimes et les intégrales d'une équation différentielle de la forme (11). Projetons cette figure sur un plan quelconque orthogonalement ou obliquement. Nous obtiendrons une nouvelle figure qui satisfera à une équation difiérentielle de même forme. Les projections des droites solutions sont les nouvelles droites solutions.

En effet , les éléments d'intégrales qui sont parallèles ont des projections parallèles; donc en projection, les lignes isoclines forment encore un système de droites convergentes. La relation entre les variables t et y' de la figure projetée a la forme :

a'ty' -\- b't -|- c'y' -h iV --= 0 ,

car cette relation est évidemment algébrique et à chaque valeur de Tune des variables correspond une valeur unique de. l'autre variable.

Appliquons ce théorème au cas où les droites solutions sont imaginaires (fig. 301). Prenons le point 0 pour sommet commun des deux faisceaux ; une droite quelconque LM est coupée par ces deux faisceaux ; les points d'intersection forment deux systèmes de points homographiques ; comme les points doubles sont imaginaires, on peut obtenir ces deux systèmes en faisant tourner un anglç constant LO'M autour d'un certain point fixe 0'. Supposons que les faisceaux O'L , O'M soient tracés dans un plan P faisant avec la figure un certain angle, on peut coasidérer les faisceaux OL, OM comme les projections des faisceaux O'L , O'M. Ces derniers se rapportent à une certaine équation différentielle ; les inté-

716 INTEGRATION GRAPHIQUE.

grales de cette dernière font avec les lignes isoclines un angle constant ; ce sont donc des spirales logaritlimi(iues ; on peut donc dire : quand les droites solutions sont imaginaires , les intégrales de l'équation (11) sont les projections de spirales logarithmiques.

Lorsque les droites solutions existent, on peut ramener le cas général au cas où les droites solutions sont rectangulaires.

Si on rapporte les intégrales aux droites doubles prises pour axes coordonnés obliques, on trouve que l'équation différentielle prend la forme y' = — at ; les intégrales ont pour équation yx-''=^- c. Ce sont des hyperboles ou des paraboles selon le signe de a.

Quand il n'y a qu'une droite solution, on la prend pour axe des œ, l'intégrale générale est bx = Z/ (C — log y).

Discussion analytique. — On peut par l'analyse déterminer le genre des intégrales d'une équation donnée de la forme (11). Les racines G , 0' de léquation en G sont comprises dans la formule :

Q -(/^ + c) i: V[b - cY - 4 (ad-bc) ^^^^

De l'équation (1 1) , on tire :

dy'

ad —

{at +

On déduit de là

ad — bc

~ {a3 -h bY '

ad-

In» -i

-bc

L'origine est un point asymptotique , si les racines de 0 sont imaginaires, c'est-à-dire si

ad — bc >

INTEGRATION GRAPHIQUE. 717

Les intégrales sont du genre hyperbole , si

ad — bc<0,

car on voit par la formule (12) que les racines de 0 sont réelles, et i)ar les formules (13) et (14) que les dérivées ^' (6) et ^' (9') sont négatives.

Les intégrales sont du genre parabole si Ton a :

(0 — c \ — - — \ >ad — l)c>o.

car les racines sont réelles ; les dérivées 'p' (Q) et vj;' ( 9' ) sont négatives ; et d'après l'équation (15) l'une de ces dérivées est plus i)etite que un , l'autre plus grande. Les intégrales sont des courbes logarithmiques si l'on a :

ad — bc

On a alors 0 = 6' ; l'équation (15) donne '^ (9) = (];'(&')== 1 ; c'est le cas où l'angle u est du second ordre. Nous avons laissé de côté le cas ou ad ~ bc = 0; alors

l'équation ( 12 ) se divise en deux : at -^b = 0, ?/'+- = 0.

Les lignes isoclines ne sont plus des droites convergentes. 73ÏÏ. Sysléiue qucleoiique de droites i««oclincs. — Les

lignes isoclines forment un système de droites , si l'équation difîérentielle est de la forme :

Aîj ^ Buc -\- C = 0. (12)

A, B, C étant des fonctions de ?j'. En général, les ligues isoclines enveloppent une certaine courbe. Les droites solutions s'obtiennent en posant :

L'équation ( 13) détermine les valeurs de ij' ; l'équation (12) donne alors les droites solutions.

L'enveloppe des lignes isoclines est en général la courbe des rebroussements ; il faut quelquefois y ajouter certaines lignes isoclines qui forment contour apparent ; les tangentes

718 INTEGRATION GRAPHIQUE.

aux points d'inflexion de l'enveloppe possèdent cette propriété.

L'enveloppe des lignes isoclines est solution singulière quand tous ses éléments satisfont à l'équation différentielle ; mais alors toutes les lignes isoclines sont des droites solutions; l'équation ( 13) est donc une identité et l'on peut mettre l'équation différentielle sous la forme :

C'est l'équation de Clairaut.

Si l'enveloppe n'est pas solution , il ne peut y avoir de solutions singulières que s'il existe des droites solutions le long desquelles les plans tangents à la surface des inclinaisons sont verticaux. Il faut pour cela que l'on puisse satisfaire à la fois aux équations 12, 13 et à l'équation : dp' = 00

dA . f/B , dC •^ di/ djj dy'

§ 3. Foyers des courbes isoclines.

73*î. Environs d'an foyer. — Les lignes isoclines peuvent passer par un même pomt; ce point est un foyer. Pour étudier les intégrales dans les environs de ce point, nous remplacerons les lignes isoclines parleurs tangentes ; nous serons ramené au cas d'un système de droites convergentes.

Supposons, par exemple, que l'équation différentielle ait la forme :

On obtient les courbes isoclines en considérant y* comme constant ; l'équation ( 1 ) représente alors une série de courbes qui passent par les points d'intersection des courbes :

INTEGRATION GRAPHIQUE. 719

■ Scient : a,l) les coordonnées d'un de ces points ; transportons l'origine eu ce point ; appliquons le développement de Taylor et négligeons les termes de degré supérieur au premier ; l'é'^uation ( 1 ) prend la forme :

fia -^ db \ da db / ^ '

Les courbes isoclines sont alors remplacées par leurs tangentes ; l'équation (3) prouve que ces tangentes forment un faisceau homographique du faisceau des éléments d'intégrales. Dans les environs du foyer les intégrales auront donc l'une des quatre dispositions que nous avons étudiées au numéro 730. S'il n'y a pas d'élément solution passant par le foyer, les intégrales sont les projections de spirales logarithmiques ; le fo3'er est un point asymptotique. S'il y a deux ou un élément solution qui passe par le fo3^er,on aura les dispositions des figures 302 ou 304.

733. y^|>|>licalion au point singulier «lu plan. — Reprenons l'étude des intégrales dans les environs du point singulier P oti la courbe des inflexions touche l'enveloppe des courbes isoclines (flg. 299). Représentons la surface des inclinaisons et les intégrales de l'espace par une élévation faite sur un plan vertical parallèle à l'axe des œ. Les intégrales de l'espace ont pour équation différentielle :

dx^^ dy ^ dx dif ^ '

Si dans cette équation , nous éliminons ?/ au moyen de l'équation F {X, ?/ , y'} = 0, nous obtenons l'équation différentielle des projections verticales des intégrales de l'espace. Cette équation contient les ordonnées x, y' de ces courbes ; la dérivée est au premier degré ; donc cette équation a la forme que nous venons d'étudier. Le foyer est précisément le point P', car les équations du foyer sont ici :

dx'^^ dy~ ' dF ^

720 INTEGRATION GRAPHIQUE

La première est l'équation de la courbe des inflexions , la seconde est celle de l'enveloppe. Donc en considérant les lignes [x, tj') , les lignes isoclines sont des courbes qui passent par le point P'. Remplaçons ces lignes par leurs tangentes au point P' ; cous rencontrerons quatre dispositions. Les éléments solutions passant par le point P' nous sont déjà connus ; ils sont donnés par l'équation 8 du numéro 721 ; on vérifierait par l'analyse que ces éléments sont bien les droites doubles du faisceau des tangentes aux lignes iûo ,y') et du faisceau des inclinaisons dy' : dœ.

Si les éléments solutions sont imaginaires , les intégrales ont la forme de spirales ; P' est un point asymptotique. C'est le cas de la figure 299. Connaissant la courbe {x , y'), on trouve lïntégrale [x , y) par une simple intégration. On trouve une intégrale ACEGK.

Si les éléments solutions existent, les intégrales {x,y') peuvent avoir la forme d'arcs d hyperboles ayant le foyer pour centre et les éléments solutions pour asymptote ; c'est le cas de la figure 2'j8. Mais les deux cas de la figure 304 peuvent aussi se présenter ; toutes les intégrales passent alors par le point singulier. Les unes E'OE ne donnent pas lieu à des rebroussements ; les autres HOH' présentent des éléments verticaux qui deviennent en projection horizontale des points de rebroussement Si les deux éléments solutions coïncident , alors toutes les intégrales présentent un rebroussement.

§ 4. Axes hydrauliques.

Î31. Éc|Ui)iioii dîfféreiiliell?. — Reprenons l'équation différentielle du mouvem3nt perm'inent (711). Soient : i la pente du fond , h la profondeur de la section , l la largeur de cette section au niveau de l'eau. Remplaçons u par q : w ; remarquons que o) , R , ^ sont des fonctions des variables h et s et que l'on a :

doi = idh -\- 4" , ' ds

az = ids — V\ — i\ ds.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 721

On trouve

Cette équation est de la forme :

Les courbes isoclines n'ont pas d'enveloppes; mais elles passent i)ar un ou plusieurs foyers.

On ne peut étudier l'équation ( 1 ) qu'en se donnant la forme du lit ; nous choisirons l'une des formes les plus simples que l'on peut donner à un lit non prismatique; nous supposerons une section rectangulaire assez large pour pouvoir admettre les formules approchées :

Nous supposerons que la largeur l croît uniformément avec s , de sorte qu'en prenant une origine convenable on a : l = as. Enfin nous remplacerons le binôme de Bazin par le monôme bii'^ de Prony. Si nous posons alors :

dh j^ ^

ds~^' ga' ~^ '

l'équation ( 1 ) devient :

h^s^(i — Yi)=p''[{gb—r,)s—h]. (2)

On obtient les courbes isoclines en considérant •/] comme une constante.

735. Foyer des courbes isoclines, — Nous déterminerons le foyer P ( flg. 310) des courbes isocUnes, par l'intersection de deux courbes isoclines ; nous choisirons :

y) = 2 qui donne ?i = {gb — i) s , (3)

7/ = 00 qui donne h^s^ = p^s. (4)

En résolvant ces deux équations , on trouve :

= p{gb-

722 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Transportons l'origine des coordonnées au foyer P ; soient x , y l^s nouvelles coordonnées ; Téquation (2) devient en négligeant les termes do degré supérieur au premier :

3 /îV (?■ - •/]) {lix + sy) =i9« \[gh — •/;) ic — y\. En tenant compte des équations (3) et (4) et en posant y -= tx , on trouve :

3 '4 + •/] (2 gl) — ^i) — t (2 i + gb) — {gb- i) (3 i — gb). (5) Cette équation est de la forme :

cujt 4- by' + c/ + d = 0.

On a (730):

ad — fxi ~ ?) (gb — z')*,

— gb -\- il ±\^ 9 gVj- —^ 20 (gb —7)^ ~ G

La quantité sous le radical s'annule pour les deux valeurs : / = ^^ ( 1 ± 1/0,45).

2=0,33^?;, f^\,Qlgb.

La valeur de a:l — bc prouve que le genre hyperbole ne se réalisera jamais dans les environs du foyer P ; mais selon la valeur de 2, tous les autres genres se réaliseront. Dans les cas pratiques, on a toujours

i < G, 33 gb.

Les racines de 9 sont imaginaires ; le foyer P est un point asymptotique. Pour i> 0,33 gb, les axes hydrauliques passent par le foyer , en touchant l'un des éléments solutions. Pour i = gb, le foyer se transporte à l'infini ; pour i > gb , l'abscisse du foyer devient négative ; cela revient à dire qu'il n'y a plus de foyer dans la partie du plan où il est utile d'étudier les intégrales.

L'origine des axes coordonnés est aussi un foyer ; dans les environs de l'origine, l'équation (2) devient :

{gb — -ri)s- h = o ,

INTEGRATION GRAPHIQUE. 723

on en posant h — ts,

Ti + t — ffb = 0.

Les droites solutions sont :

on a :

ad — bc = — l.

Les intégrales sont du genre hyperbole. Remarquons que l'origine est le point où la largeur est nulle ; on ne pourra jamais réaliser [iratiquement, dans les environs de 1 origine, les courbes que nous étudions, car l'équation différentielle suppose une grande largeur.

730. Constrncïîomles coiirbc«« isoclines.— Construisons la courbe :

Nous obtiendrons toutes les courbes isoclines par la transformation :

h = ny , s = mœ.

n, m étant des coefficients qui dépendent de l'inclinaison v] ; en effet , on obtient par cette transformation la courbe :

En identifiant cette équation avec l'équation (2) , on trouve: m=p{i-Yi) '{çb-n) ' (7)

n -=p {i — r^) ^(gb — n)\ (8)

Pour construire la courbe ( 6 ) , posons :

2px==X\ 3û — p=-Y. (9)

Il vient X" =-- — 8 Y. Construisons d'abord la courbe (X, Y qui est une parabole OA (fig. 307). Pour passer d'un poin

(X, Y) à un point {x,y), remarquons que des équations ( 9) , on tire :

^« -I- 2/2 = X^ + YS ij = 'X-\-Y.

Soit A un point (X, Y) ; le point {x, y) se trouve sur le cercle de rayon OA , et sur la droite BC parallèle à la bissectrice de l'angle des axes coordonnés ; on trouve deux points symétriquement placés par rapport à la seconde bissectrice des axes coordonnés. Si on détermine la tangente au point A, on peut en déduire la tangente à la transformée [x , ij) par la construction suivante :

Soit: (fig. 308) A'H' une longueur finie représentant la longueur <:/2/ = AH aune échelle infiniment grande ; le triangle AHD est représenté par A'HD'. Si on fait tourner AD autour du point 0 , AD vient se placer en CF; la figure CNFE est représentée par A'H'F'E'; on obtient cette dernière en menant H'E' parallèlement à BC ou NE; en portant : A'F' = A'D' , angle D'A'F' = AOC et en menant F'E' perpendiculaire à OC.

La transformation que nous venons d'appliquer ne donne pas les points de la courbe {[x, y) pour lesquelles xeiy sont de signe contraire. Pour ces points, on doit poser :

2 xy = — X},

On en tire :

^.2 | jy2 ^ Y'^ XS

Par un point P de la parabole ( Y , X ) , on trouve deux points S, T de la courbe {x , y) en traçant la droite y =x — Y et le cercle a?^ -f Z/' = Y^ — X*.

Connaissant un nombre suflîsant de points de la courbe {œ,y), on trouve facilement les coordonnées (h, s) de tous les points correspondants des courbes isoclines. Portons sur un axe horizontal les abscisses Xq, x,, x^ des points^ de la

courbe { x , y); joignons les points de cet axe horizontal à un sommets situé à une distance quelconque c? de Taxe. Donnons à l'inclinaison y] différentes valeurs ; le coefficient m prend des valeurs wzo, nit,...; menons des horizontales distantes du sommet S de lUod, wz, d, etc., sur chaque horizontale on trouve les abscisses d'une courbe isocline. On obtient les ordonnées par un faisceau analogue.

Ce tracé graphique pourrait nous dispenser de toute discussion. Néanmoins montrons (fig. 310) comment sont disposées les courbes isoclines , lorsque la pente du fond n'est pas exagérée {^ <0,33^&,).

1° Y, varie de 0 à i. Les équations (7) et (8) prouvent que les coefficients m et n augmentent. Cela est évident pour m ; pour n , on le reconnaît en prenant la dérivée logarithmique; on trouve une dérivée positive :

}^dn 2-/] +{(7t>— 3ï) n d-ri ~ 5(2 — y;) [gb—r,)'

Pour Ti = i , m et n deviennent infinis ; nous savons déjà que la courbe isocline est une droite dont l'équation est l'équation (3). En faisant varier n de o à «, on trouve donc les courbes PH, PF, PF', PF" et PA.

2° Yi varie de ik gb. Les valeurs de m et de n changent de signe ; on trouvera des valeurs positives de Ji et s , en prenant des valeurs négatives de y et de œ. C'est donc la courbe OC de la figure 307 qu'il faut transformer ; on trouve une courbe EE. Pour v; = z , cette courbe EE se rapproche de la droite OA. Si r, croît de i kgb, on reconnaît que m croît en valeur absolue , mais n décroît ; on trouve des courbes telles que E'E', E"E". Pour -n = gb, on a, 7i = 0, m= <x> ; la transformation n'est plus possible ; l'équation (2; donne :