CHAPITRE VI

Généralisations de l'intégration graphique. § V. Transformations des axes.

45. Trauspopt des axes. — Dans tout ce qui précède, nous avons toujours supposé que la courbe intégrale et la courbe primitive étaient rai)portees aux mêmes axes ; il est évident d'abord que tous les tracés s'appliquent également aux cas oti les axes , sans être identiques , sont parallèles , puisque toutes les constructions précédentes reposent sur la direction des cordes et tangentes de l'intégrale , directions qui ne sont pas altérées en transportant les axes et la courbe intégrale parallèlement à eux-mêmes. Enfin , si on fait tourner les axes de la courbe intégrale d'un certain angle, soit solidairement, soit chacun séparément, il suffit, pour que les propriétés des n^^ 7, 8, 9, bases de tous les tracés, soient encore applicables , que l'on fasse subir au diagramme les mêmes mouvements. On pourrait, par exemple, renverser complètement l'axe des œ et intégrer en marchant de droite vers gauche ; il suffit pour cela de renverser également la droite qui joint le pôle à l'origine du diagramme. Nous avons indiqué , tig. 20, un exemple de cette inversion.

46. Courbe primitive rapportée à une ligne courbe.— Nous pourrons supposer que, sans cesser de compter les abscisses parallèlement à l'axe des j? (flg. 21 ), les ordonnées y de la courbe primitive soient portées en Aa, Ab k partir d'une courbe ab servant de courbe de repère. Par la pensée, transportons suivant elles-mêmes les ordonnées Aa, Bb de façon que leurs pieds viennent sur l'axe des œ ; la fonction primitive sera représentée alors par la courbe A" B" et on pourra y appliquer toutes les constructions des chapitres précédents. Soit, par exemple , à chercher la direction de la tangente au point de l'intégrale correspondant au point A ;

34 I>TEGRAÏION GRAPHIQUE.

on portera o'A'" = M'a' , PA'" sera la direction demandée ; comme on a A"«'== ka, on voit qu'il est inutile de construire la courbe A"B" et qu'il suflit de porter A"'0' = Ka pour arriver au même but.

Enfin on peut encore simplifier la construction en opérant de la manière suivante: menons PP' parallèlement à 02/ ; projetons le point a sur PP', le point A sur o'y' par lignes parallèles à l'axe des œ ; l'examen de la figure montre immédiatement qu'en joignant ces deux projections , on obtient une ligne P«A' parallèle à PA", et que par conséquent P«A' donne aussi la direction de la tangente à l'intégrale.

Des considérations du même genre sont applicables à la recherche de la direction d'une corde de l'intégrale. Soit à chercher la corde de l'intégrale correspondant à la corde A B de la courbe primitive (fig. 21); soient y' l'ordonnée d'un point quelconque de la courbe AB par rapport ix oœ, y" l'ordonnée du point correspondant de la courbe a b par rapport au même Sixeoœ,y l'ordonnée du même point de la courbe A B par rapport à la courbe ab; ona,y = y' — y"eton en déduit a,is,ément ym = y'm — y"',H; ymy'my"m désignant les moyennes des ordonnées y, y', y" entre les limites a' et b'.

Si la courbe A"B" était construite, il suffirait, pour avoir la direction de la corde cherchée, de porter l'ordonnée moyenne M" m' de l'arc A"B" en O'M'", P'M" serait la direction cherchée ; or , Wr/i' , qui est y>.> , est égal à y'„i — y"m , c'est-à-dire à la différence M//^ des ordonnées moyennes des arcs AB et ab. On obtiendra donc aussi la direction cherchée en projetant parallèlement à l'axe des x le point m sur PP', le point M sur o'y' et en joignant les deux projections.

Il résulte de ces considérations que dans le cas où la courbe primitive est rapportée à une courbe de repère , la construction ordinaire du diagramme des inclinaisons des cordes et tangentes à l'intégrale subit la modification suivante : les rayons qui donnent les inclinaisons dont il s'agit , au lieu d'émerger d'un pôle fixe, partent de points qui sont les projections, sur une parallèle à l'axe du diagramme, des pieds , des ordonnées ou des ordonnées moyennes de la

courbe primitive. La tlistanee entre cette ligne des pôles et Taxe du diagramme mesurée suivant oa; est la base d'intégration.

■17 . Inlégrale rapportée à une lîj;ae coui'be. — Soit (fig. 22) AB la courbe primitive rapportée à l'axe ox; nous supposons que la courbe intégrale soit rapportée à la courbe

donnée ab.

Proposons-nous d'abord de chercher la direction de la tangente au point A, de la courbe intégrale correspondant au point A de la courbe primitive. Soient z l'ordonnée, comptée à partir de ab, d'un point quelconque A, de la courbe inté grale; z' l'ordonnée du même point par rapport kox; z' l'ordonnée du point a ; on a :

+ ..-11 * Cl '^ Ci ^ , et '-J z" dou— - = — +-7—. dx dx dx

On a :

dz y dx l

et on peut écrire aussi :

dz" y" dx 1

si on appelle y" l'ordonnée de la courbe dérivée de la courbe ab ; il vient alors :

dz' ^ij + y"

dx X

c'est-à-dire qu'on peut considérer z' comme l'intégrale de la somme de deux fonctions ; de là on déduit la construction suivante ; menons PO' parallèlement à la tangente en a, oo' sera égal à y" ; portons o' A" = Aa' , on aura o A" = y -\- y" et par conséquent PA" sera la direction cherchée. On peut aussi adopter la construction suivante : projetons A a'eno A' sur oy' ; menons oFa parallèlement à la tangente en «,P« A' donnera aussi la direction cherchée. On trouverait de la même manière la direction de la corde à l'intégrale; oA' de-

36 INTEGRATION GRAPHIQUE.

viendrait l'ordonnée moyenne, o V,,. , une parallèle à la corde de a h.

ê.H. ila^i parlieiilifi' : la coupe de repère est une li^iie droite. — Dans ce cas la dioite o P<< est invariable, c'est une parallèle à la courbe des repères ; le pôle Pa est fixe. Il suit de là que dans une intégration graphique on peut prendre I)Our pôle un point quelconque, pourvu que la courbe intégrale soit rapportée à un axe parallèle à la droite qui joint le pôle à l'origine du diagramme. Cette conséquence résultait déjà du n*' 45; mais il peut être utile de la faire remarquera nouveau.

\9. Ifieiuarqiie. — Lorsque l'on rapi)orte la courbe primitive ou la courbe intégrale à une courbe des repères, la propriété du n" 8 n'est plus applicable ; on peut toutefois trouver graphiquement, au moyen des abscisses moyennes de la courbe primitive et de la courbe de repère, le point d'intersection des tangentes aux extrémités d'un arc de l'intégrale; pour abréger, nous n'exposerons pas cette construction ici.