Autre inler|to>élation <Ie la eonstruclÊon graphique

— Considérons la ligne I)C, et cherchons-en l'intégrale passant par le point A ; au point B l'intésrale aura ])our valeur l'unité et sera représentée par BE = e. Or, si PB = A , PC doit donner la direction de AE , le point P s'obtiendra donc en menant CP parallèlement à AE. Cette interprétation a l'avantage de permettre d'étendre la construction au cas où une ou plusieurs des quantités a, b, c deviennent trop petites ou trop grandes pour se prêter à une construction élégante. On prend alors des multiples ou des sous-multiples de a,l),c. Soient, par exemple, AB = 25 a , BC = 4 b, l'intégrale de CD sera 25 x 4 = 100; portons BE = 100 c, on obtient / comme précédemment.

38 INTEGRATION GRAPHIQrE.

51. <'3imx Je la base dMiitégration. — A vue, on peut reconnaître assez facilement, d'après l'ordonnée moyenne de la partie de courbe â intégrer, quelle est la base d'intégration qu'il iaut adopter pour que l'intégrale ne sorte pas des limites du dessin ; au moyen de cette base /., on peut calculer ou construire c par les opérations inverses de celles des numéros précédents.

Si on opère au moyen du double décimètre , on calcule c par la formule

ab

c sera en général un nombre compliqué ; on prendra un nombre simple qui s'en rapproche. Ainsi soit c = 222,3..., on prendra c = 200 et calculera 1. De cette façon , l'intégrale sera tracée à une échelle très simple.

Lorsqu'on opère au moyen d'échelles , on adopte définitivement la base d'intégration trouvée à vue comme nous l'avons indiqué précédemment; mais il s'agit alors de construire une échelle pour l'intégrale. On trouve c par le tracé graphique suivant (fig. 23) AB = a, BC = &, BP = >. , en menant AE parallèle à PC , on a EA = c. Il peut se faire que a,b,c soient des quantités trop petites ou trop grandes; alors on prend AB , BC , égaux à des multiples ou sous-multiples simples de a et b. Ainsi , par exemple , si on prend :

AB = 25 a , BC = 4 &, on aura BC = 100 c et on construira aisément l'échelle de l'intégrale comme il est indiqué sur la fig. 23. BX est une échelle connue quelconque.

55. llultiplier ou divi.<$er Tintégrale par une constante. — Supposons que l'intégrale z=fYdX soit représentée à l'échelle c ; si on adopte une échelle

pour mesurer les ordonnées de la courbe obtenue, il est évident que l'on obtiendra des nombres k fois plus grands; on aura par conséquent la fonction z' = k f YdX.

La formule

. «ô , . , - ah / = — devient /. = ,—7 ; c kd

c'est au moyeu de cette formule que l'on calculera À si on se donne c', ou d si on se donne /.

Quand on opère au moyen d'échelles, il suffit de tenir compte du facteur A- dans la valeur à attribuer à BE ; ainsi , si AB = 25a, BC = 4ô, on aura BE= 100 c= \QOhd, d'où l'on déduira aisément l'échelle d par la construction indiquée sur la fig. 24 où on a supposé 100 /j = 62. BX est une échelle connue quelconque.

SS 3. Transformation du diag-ramme.

50. Déplacement du pôle. — Nous avons déjà vu au n» 48 que l'on peut prendre ]iour pôle du diagramme un point quelconque, pourvu que l'on considère la courbe intégrale comme rapportée à une droite parallèle à la ligne qui joint le pôle à l'origine du diagramme. Deux courbes intégrales d'une même courbe primitive obtenues avec deux pôles différents jouissent de la propriété remarquable suivante : les cordes et les tangentes correspondantes se coupent sur une même ligne droite parallèle aux deux pôles. Soient (fig. 25) P, P' les deux pôles ; A, B, , A, B/ les intégrales correspondantes ; menons la droite PP' , et soit 0" le point où cette droite va couper l'axe du diagramme; considérons la courbe primitive AB comme rapportée à l'axe 0"0,; les deux courbes AjE, et Al B'i seront deux intégrales de cette nouvelle fonction , si on rapporte ces courbes intégrales à une parallèle à la droite PP'. Si nous menons cette parallèle Aj x' par le point d'intersection Ai des courbes intégrales , nous obtiendrons deux intégrales , ayant même constante ( puisque les courbes passent par A,); on en conclut que par rapport à A, a;' les ordonnées des deux courbes A, B, , Aj B'i sont dans un rapport constant qui est celui des échelles ou le rapport inverse des bases d'intégration. On eiB déduit aisément que les ordonnées doivent être nulles ensemble, c'est-à-dire que

40 INTEGRATION GRAPHIQUE.

tous les points où les courbes se coupent doivent être sur Taxe A, a:'; si nous considérons deux cordes correspondantes, ces cordes auront aussi les ordonnées de leurs extrémités dans le même rapport ; on démontrerait aisément par la géométrie élémentaire qu'il en est de même de tous les points de ces cordes et de leurs prolongements ; il en résulte donc que les cordes coupent aussi Taxe A, a;' au même point; finalement , les tangentes pouvant être considérées comme limites de cordes jouissent aussi de cette propriété; il en est de même des côtés , quand les courbes présentent des parties droites.

57. —La démonstration qui précède ne s'applique pas au cas où l'on déplace le pôle parallèlement à l'axe du diagramme; mais en considérant ce déplacement particulier comme limite d'un autre déi)lacement pour lequel la propriété existe toujours , on reconnaît par la théorie des limites que cette propriété est générale.

On pourrait objecter aussi que les deux courbes A, P>,, AjE/ pourraient ne pas se rencontrer; mais il sera toujours iacile de trouver un axe tel que les deux courbes rei)résentent une même intégrale particulière. Ainsi soient B, B,' deux points correspondants , on choisira l'axe de manière que l'on ait

égal au rapport des échelles ou un rapport inverse des bases d'intégration.

7>%. Application. — La propriété du n° 56 peut conduire d'une matière assez élégante à des théorèmes connus de la géométrie. Nous nous contenterons ici d'en déduire le théorème de Desargues.

Soit ABCD une ligne primitive formée de deux parallèles à l'axe des x ; en prenant un pôle quelconque , on trouve pour intégrale deux droites quelconques A, B,, Bj I), se coupant sur l'ordonnée BC ; soit Bj Dj une corde de l'intégrale.

Si on mène deux autres droites A^ Bj , Bj D2 arbitrairement mais se coupant aussi sur l'ordonnée BC , on aura une autre

intégrale; AjD-j sera la corde correspondante à A,D,. En vertu de la propriété du n° 56 , les côtés A, B, , A., B^ , B, D, , B-j D-, , doivent se couper en trois points situés en ligne droite , c'est-à-dire que les triangles A, B, D, , AjB^D^ assujettis à la seule condition d'avoir les 3 sommets sur 3 droites parallèles, ont leurs côtés qui se coupent en 3 points situés en ligne droite ; c'est dans cette propriété que consiste le théorème de Desargues.

Deux côtés corres[)ondants des triangles A, B, C, et Aj B.^ C\ peuvent avoir la même direction; leur point d'intersection se transporte alors à l'inflni et la droite des points d'intersection des autres côtés correspondants doit être parallèle à cette direction.

Les deux médianes A,«, , A^a^ des triangles considérés Sont deux cordes correspondantes et se coupent en un point de la droite RST ; si les centres de gravité des deux triangles coïncident, ils doivent se confondre avec ce point ; de là cette autre propriété :

Si les triangles A,B, C, et A^B^Ca sont tracés de manière que leurs centres de gravité coïncident , les côtés homologues se coupent sur une dr(tite [)assant par ce centre de gravité.

50. Trans^foruiatioii plus géuérale. — La transformation du diagramme par déplacement du pôle est un cas particulier d'une transformation plus générale,- nous pouvons considérer le diagramme coraine un faisceau de droite que l'on peut transformer d'une iuhnité de manières; si, par exem[)le , on const]*uit un faisceau homographique du faisceau donné, on obtiendra un autre diagramme dont les ordonnées y' sont liées aux anciennes ordonnées // par la relation

CO. /Application — Étant donnée une fonction y -= fx , construire la courbe

L équation rendue homogène devient :

1 dx

a en posant

\ y a ou r = I — = 1 \ —

Soit oy l'axe du diagramme, OA une ordonnée; PO = ^ ; en menant PA perpendiculairement àPA, on détermine 0 A' = 2/' ; et Ton a :

y' y ^P, d'où 2/ = -;■

La valeur de z devient

z = ~J'y'clX.

En intégrant y' au moj'eu de P 0 comme base d'intégration , on a l'intégrale cherchée.