CHAPITRE VII
Détermination des constantes d'intégration.
§ 1^'". Cas d'une seule intégration.
Gl . — Soit y =/'X une fonction représentée par la courbe AB (fig. 28); soit Al B, une intégrale que nous représenterons par /Y r/X; rintégrale générale sera Z = /YrfX-j-C.
Pour représenter cette intégrale , il sufïït de supposer que Taxe des x soit déplacé parallèlement à lui-même du côté y négatif d'une longueur représentant la quantité C, ou en d'autres termes de rapporter la courbe A, B, à l'axe y =
G'î. — Pour qu'une intégrale particulière soit détei-minee, il faut se donner une condition ; cette condition permettra
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(le trouver la position de l'axe des x'. Ainsi, si on veut que l'intégrale ait une valeur connue pour une valeur donnée de la variable, on connaîtra un point de cet axe; il en serait de même si on se posait comme condition que pour deux valeurs données de la variable , l'intégrale ait deux valeurs égales et de signes contraires, etc....
§ 2. Cas d'une double intégration,
03. — Supposons que l'on intègre la courbe A, B, (fig. 28) et que l'on obtienne la courbe A^ B^ représentant l'intégrale seconde //YrfX. L'intégrale générale a pour valeur z,^= //YrfX + CiC + C.
La courbe Aj B2 rapportée à une courbe dont l'ordonnée est z' représente la fonction Zi = f/YdX — z'; si l'on veut que cette dernière fonction coïncide avec l'intégrale générale il suffit de prendre — z' = Cx -^ C, c'est-à-dire, que la courbe A2 B2 représente l'intégrale générale de la fonction Y ; lorsqu'on la rapporte à un axe quelconque (dont l'équation est ;;' == — Cx-{- C) parallèle ou non à l'axe des x.
Pour qu'une intégrale seconde soit déterminée, il faut deux conditions ; ces deux conditions permettront de déterminer la position de l'axe arbitraire par rapport auquel la courbe doit être rapportée. Ainsi, par exemple, si l'intégrale seconde est assujettie à prendre deux valeurs connues pour deux valeurs données de la variable, l'axe sera déterminé par deux points.
Gl. Relation entre deux courber iutégraies «secondes ditrérente!». — Soit Ai Bi (fig. 28) une intégrale première de la courbe donnée AB; A2 B2, une intégrale seconde. Pour obtenir une autre intégrale première, il suffit de rapporter la ligne Al Bi à un axe 0' x' parallèle k ox; il en résulte une modification du diagramme des inclinaisons de l'intégrale seconde ; mais comme le montre la figure , cette modification revient à transporter le pcMe de P en P' iiarallèlement à l'axe des y. Deux intégrales secondes jouissent donc (u° 5Gj de la
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propriété que les côtés , les tangentes et les cordes correspondantes se coupent sur une même parallèle à Taxe des y. Cela suppose , d'ailleurs , que les échelles restent les mêmes , sinon le transport du p(Me cesserait d'être parallèle à l'axe des ?/, ainsi que le lieu des intersections des lignes correspondantes des intégrales secondes.
§ 3. Cas d'une intégrale d'ordre n.
©5. — Supposons que l'on ait effectué n intégrations successives, soit ///... YdX l'intégrale représentée par la courbe ; l'intégrale générale a pour valeur
Z,. = ///... YrfX -j- C,^'*-i 4- C2.2;"-2 -f- ■•• i- Cn;
la courbe tracée représentera cette valeur de Zn si on la considère comme rapportée à la ligue de repère
Là 'iX v.|iX/ \^'gt^ ... ... \^i\ 9
en effet, dans cette In'pothèse, la courbe intégrale a pour équation
Zn^SJ'f ... YclX—Z'n = ///... \dX-\- Cl j;>^-l -f C2^»-2 + Cn.
En dérivant cette équation , on trouve :
Cl Zj n
Z'n-l=fff...\'dX —
dx
Z'n-2 = /ff...\dX — —-Y, etc.
On reconnaît que les lignes de repère des intégrales
Zh, Z>t-i , Zn-2 ..., ont pour ordonnées dZ',> d'-Z'n "' dx ' dx^ ••■'
c'est-à-dire qu'elles peuvent se déduire les unes des autres par intégrations ou difïérentiations successives.
