Pi'oprîéié I. — L'équation (2) peut se mettre sous la

forme

dz y

dx X '

soit AB (fig. 3 ) la courbe primitive. A, B, la courbe intégrale; dz et dx sont les accroissements A,R' et RR' des coordonnées d'un point quelconque A^ delà courbe intégrale qu'on suppose transporté en R sur la tangente.

Si nous portons O'A' égal et parallèle k Ka, OP égal à À et parallèle à Ox ; la relation

dz y ,. RR' O'A' -^^oubien-^ ^ —

montre que les triangles A.RR' et OPA' ont deux côtés parallèles et proportionnels ; ils .sont semblables et les troisièmes côtés A,R et PA' sont parallèles. De là cette propriété : si on porte PO' égal à 1 , parallèlement et dans le sens de l'axe de X, si à partir du point 0' comme origine on porte différentes ordonnées de la courbe primitive sur un axe o'y^ parallèle à Oî/ , si on joint les extrémités de ces dernières au point P , on obtient les directions des tangentes à la courbe intégrale aux points correspondant aux ordonnées choisies. La

12 INTEGRATION GRAPHIQUE.

flo-ure que Ton obtient ainsi est le diagramme des directions des tangentes à l'intégrale ; les rayons qui donnent ces directions émergent d'un point P qui est le pôle du diagramme ; oy' est l'axe du diagramme, 0' en est l'origine ; les longueurs O'A', O'B'.... sont les ordonnées du diagramme ; enfin PA', PB'... sont les directions correspondant à ces ordonnées. 8. Proprîôlé il. — L'équation (4) peut se mettre sous

la forme

Aa; ~ / En l'interprétant on trouvera la direction de la corde de l'intégrale de la même manière que l'équation (2) a donné la direction de la tangente.

Soient AB (fig. 4) la courbe primitive; A,B, la courbe intégrale; soit ab = AJ.'i = ^x; on a A^ = BJj, ; portons O'C égal et parallèle à y,., ; la relation

A^ y>^ BA OV^

"AT ~ }. °" Afi, ~ PO'

montre que les triangles A,B,&, et PC'O' ont deux côtés parallèles et proportionnels ; ils sont semblables et les troisièmes côtés A,B, et PC sont parallèles. De là la propriété suivante : La direction de la corde d'un arc de l'intégrale est la direction du diagramme relative à l'ordonnée moyenne de l'arc de la courbe primitive qui correspond à l'arc de la courbe intégrale.

O. Propriélô III. — Les tangentes aux extrémités d'un arc de la courbe intégrale se coupent en un point dont l'abscisse est l'abscisse moyenne de l'arc correspondant de la courbe primitive.

En effet, soient (fig. 5) A,T et TB, , les tangentes aux extrémités de l'arc A,Bi de la courbe intégrale ; considérons la ligné brisée A,TB, comme une ligue intégrale , la courbe primitive qui y correspond est la ligne brisée A^^'B , puisque la propriété du n" 7 donne pour la dérivée de A,T une constante égale à A« et pour la dérivée de TB , une constante égale à Bb. Or, les deux courbes intégrales AiB, et AjTB, ont

INTEGRATION GRAPHIQUE. 13

une corde commune A,B, , il faut donc que, dans les courbes primitives y,„ soit le même, sinon la propriété II (n° 8) donnerait des cordes de directions différentes pour ces deux intégrales. Pour que i/m soit le même pour les deux courbes primitives AB et A/7"B, il faut que surface A B&rt = surface At'f'BbaA; retranchons ces deux surfaces équivalentes de la même surface Aa'b'BbaA, il doit rester deux surfaces équivalentes , c'est-à-dire que : Surf a'ABb' = surf a'i'i"b'. Ce qui prouve que a' t' ou l'abscisse du point T est l'abscisse moyenne de l'arc AB. C.Q.F.D.

1 0. — Ces propriétés vont nous permettre d'aborder d'une manière générale le problême de l'intégration grai)liique ; la courbe intégrale ne peut évidemment se construire que par points; nous allons donner deux méthodes; l'une donne un ])olygone inscrit dans la courbe, l'autre un polj'gone circonscrit.

.^ 3. Méthodes générales.

I I méthode d'inlé^ralion \\Av |»olygono iii^crif à la courbe iiiiégrale. — Soit (fig. 6) ABCD..., la courbe primitive ; menons les ordonnées A«, B/j, Ce..., à des distances égales ou inégales ; nous nous proposons de chercher les points de la courbe intégrale situés sur ces ordonnées, ou, ce qui revient au même , de tracer le polj^gone inscrit dont ces points soient les sommets. Considérons les arcs AB, BC, CD... de la courbe primitive et par un moyen exact ou approché déterminons les ordonnées moyennes de ces arcs ; d'après la propriété II (n" 8) , si nous portons ces ordonnées eno'a',o'(3', o'y', les droites Pa', P|3', P/... donneront les directions des cordes des arcs A, B, , B, C, C, D,, de l'intégrale qui correspondent aux arcs AB , BC , CD... de la courbe primitive.

On sait que l'intégrale contient une constante arbitraire et n'est déterminée que lorsqu'on en connaît une valeur ; la courbe intégrale ne pourra donc être tracée que si on en connaît un point ; donnons-nous, par exemple, le point A,,

14 INTEGRATION GRAPHIQUE.

correspondant au point A, nous obtiendrons le polygone inscrit cherché en menant A, B, parallèlement à Pa, B.Cj parallèlement à P(3', etc.

Si les ordonnées sont suffisamment rapprochées, les points A, , B, , C,... suffiront pour déterminer la courbe ; on pourra du reste, par la propriété I (n° 7 j , mener la tangente en ces différents points.

l'i. Remarque. — Si on déplaçait le point A, en A/ (flg. 6), ce qui revient à modifier la constante arbitraire, on obtiendrait une autre courbe intégrale A/B/C,'D/...

Les ordonnées de ces deux intégrales ne peuvent différer que par une constante. On en conclut que les différentes courbes intégrales d'une même courbe primitive sont identiques de forme; connaissant l'une d'elles, il suffit de la faire glisser parallèlement à l'axe des ordonnées pour avoir toutes les autres.

Le transi)ort d'une courbe est une opération assez compliquée ; aussi nous opérerons toujours d'une autre manière au lieu de transporter la courbe , nous transporterons l'axe de œ d'une quantité égale et de signe contraire , cela aura évidemment le même résultat, savoir augmenter ou diminuer les ordonnées d'une quantité constante.

13. llélhode du polygone circonscrit. — Soit (fig. 7), ABCD, la courbe primitive A«, Bb, Ce, des ordonnées à des distances égales ou inégales ; déterminons par un moj'en quelconque exact ou approché les abscisses moyennes a,|3, ,y des arcs AB , BC, CD. Soit A, le point donné de la courbe intégrale correspondant au point A ; en portant les ordonnées A«, B6, Ce, sur le diagramme, on trouve les directions F A' , P B' , P C , des tangentes à la courbe intégrale aux points A, , B, , C, , D,, de cette dernière qui correspondent aux points A , B , C , D de la courbe primitive. Nous pourrons mener la tangente en A, , en menant par le point A, qui est donné , une parallèle à PA' ; la propriété II I , n" 9 , nous donne le point où la tangente en A, est coupée par la tangente en Bj ; ce point a, , étant déterminé , on peut mener la tangente en B, et passer successivement de la même manière aux différentes tangentes jS^ -/, , y, di , etc.

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