Exemple. — Construire la courbe y
x^— 1 x^H-1— /Ar + 2> ...
On a :, w = ^- — ^ ; choisissons » = — 1 ,
54 INTEGRATION GRAPHIQUE.
on a :
—r + 1 = r ^^ OÙ, , = X — i ;
si nous posons t/i = ^-^jj on a : y = rry, — 1. (l)
La courbe y, se transforme de la même manière, on a:
— — p = — ■ — ; SI ou prend!» = — 1 ,
on a : : -f- 1 = r
oubien __ = ^x^— p-l;
si on pose ?/, — — ^ , on a : y, = â; ^/^ — 1 (2).
Enfin on a : = r ; si nous posons y,,^ — — - ,
on aura Vi = — ■ (3)
X — \ En résumé , on construira d'abord à droite y^ = — - — ;
puis on effectuera successivement les opérations indiquées par les équations (3) (2) (l)et on obtiendra la courbe cherchée.
80. Sîniplîficalîons. — On peut souvent simplifier la méthode générale en s'appuyant sur les remarques suivantes :
1° Le problème du n° 70 peut s'étendre et s'énoncer comme suit : étant donnée une courbe y = f (x), trouver la courbe îjt = {x — a) f [x).
Soit (fig 32) AB la courbe donnée aj-ant pour équation y= f{x), soit M m une ordonnée quelconque de cette courbe. Portons OP = a, on a évidemment ij^ ={x — a) f{x] :=m P X Mm. Pour avoir ce produit prenons P comme pôle, portons Po' = /(base d'intégration), M'0'= Mm; le raj'on P M' détermine le point M, de la courbe cherchée. On voit que
INTEGRATION GRAPHIQUE. 55
la construction ne diffère de celle qui a été exposée au n° 70 que par la position du pôle du diagramme; le pôle du diagramme est l'origine quand il s'agit de trouver la courbe yi = X f[x) ; c'est le point V {x == a) quand il s'agit de trouver la courbe ?/, = (.r— a) f{x).
2" De la même manière , le problème du n" 73 peut s'étendre et s'énoncer comme suit : étant donnée une courbe
l'ix) y = /'(~r), trouver la courbe t/j = — — .
Cela étant, considérons la courbe
on obtient y en multipliant ?/, par ix — a), (x— b), etc. , puis en divisant par {x— a.) {x — (b), etc.
Nous pouvons appliquer ces considérations à l'exemple du n" 79. Pour construire la courbe
• nous construisons d'abord la parabole. Vi =«M-1.
En divisant par x — 1 , on obtient la courbe cherchée.
§ 4. Construction de diverses courbes.
8 1 . Courbes iiiiicursales. — Soit F ( X, 2/ ) = 0 l'équation d'une courbe ; supposons que par une transformation quelconque on puisse exprimer rationnellement x et y en fonction d'une variable auxiliaire 0, on aura x = (f {B), y= t (0) : les courbes dont l'équation est susceptible de subir cette transformation ont été appelées par M. Gailey courbes unicursales. On peut les construire graphiquement de la manière suivante :
Soit ( fig. 33) I/O x le système d'axes coordonnés ; prenons un axe auxiliaire o 6 sur lequel nous porterons la variable 0 et^construisous par les méthodes du paragraphe précédent ,
56 INTEGRATION GRAPHIQUE.
les courbes A'B', A"B" ayant pour équations a: = -^ (9) y = / (G). Soit 6 = OP une valeur de la variable $ ; PQ , PR sont les valeurs de y et de a; correspondantes; en menant QQ' RR' parallèlement à 0 G , on obtient les coordonnées OR' OQ' d'un point M de la courbe cherchée.
H*i. Courhes dont iVqiiation est de la forme F(j/) = f{x), F et /étant deux fonetion!« rationnelles. — Posons F(l/) == 0 , / (a;) = 6 ; prenons un axe auxiliaire 0 5 et construisons les courbes F (?/) = G , f{x); on en déduit la courbe cherchée comme au numéro précédent.
sa. Exemples. — 1° cix'" -\- bx'""-^ y -}- .... = a'x'« - ^
En posant y = Gx, on a : rc'" {a + h^ -\- cG^..) = ^'•'■-^ a< -1- ^'Q -|- db'\.) d'oîi l'on tire
^~ «4-^9 + cG2 +..
a'9-l-i^'G2 4-c'Gî4-..
et par suite y — , ^^rj +rt^ + ..
On est ramené au numéro 81.
Remarquons toutefois que l'ojiération peut être simpUfiée comme suit : il suffit de considérer l'axe des y comme étant
l'axe des G et de construire la courbe x == 7-7 ; on
obtient ?/ = G a; par l'opération du n<> 70.
L'équation y^ — qx'^ = 2 px des courbes du second degré
peut se construire par ce procédé ; on a :
^-W^^ 2/ = Gx.
90 ax"" -J- bx'"- - 1 ?/ -p ... = a'x« - 1 + fi'r " - '?/ + ...
En posant ?/ = Ga;, on obtient x'" - " r-, ; on est
ramené au numéro 82.
