CHAPITRE IV
Problèmes divers.
% V Construire une parabole du second degré passant par trois points donnés.
85. Première méthode. — Soient les (flg. 34) k^ B, C, les trois points donnés; nous pouvons considérer la parabole inconnue, dont l'équation est la forme y = ax"^ -\-ltc-\-c, comme l'intégrale d'une droite AC; le problème sera résolu si nous déterminons cette droite. Pour y arriver prenons Po' = / (longueur arbitraire) comme base d'intégration ; menons PD , PE' parallèlement aux cordes A,Bi , B^C^■, en vertu de la propriété du n° 8 , o'D', o'E' sont les ordonnées moyennes des segments AB, BC, et comme l'ordonnée moyenne
58 INTEGRATION GRAPHIQUE.
d"uDe portion de droite est l'ordoniiée du milieu de cette droite, en portant Dd = D'o' ,Ee=o'E' sur les milieux de ab, et bc, on obtiendra deux points D et E de la droite AC; la droite AC étant déterminée par ces deux points, on en déduit, par les méthodes connues d'intégration, autant de points que Ion veut de la courbe A,BjC,.
8G. Wcuxîème méthode. — Il résulte de la fig. 34 que D'E'est la demi-projection de la droite AC; on en conclut que si le point B, se meut sur la parabole, les points A, et C, restant fixes , la longueur D'E' se déplace en restant de grandeur constante; les directions de deux autres cordes AjFi , C, Fi complémentaires de l'arc A, C^ , s'obtiendront donc en PD", PE" . en déplaçant D'E en D" E" d"uue certaine quantité, ou ce qui revient au même, en P'D', P'E', en déplaçant le pôle de P en P' d'une quantité égale et de sens contraire. On peut, de cette façon, trouver autant de points que l'on veut de la parabole. Nous avons indiqué cette construction fig. 35 ; AiBiCi sont les points donnés; B, est pris comme pôle, CJ) comme axe du diagramme ; les pôles P et P' donnent les points F, et Gj .
ST. Troisième mélliode. — Considérons le polygone AjFjCi (flg. 35) comme une ligne intégrale rapportée à la ligne AiCj prise comme courbe de repère ; cette ligne intégrale est fournie par le diagramme DPCj. Si nous transportons le pôle en B,, l'intégrale A,F,C, devient A.F'C et on sait (n° 48) que ces deux lignes représentent la même fonction, en les rapportant à des lignes de repère convenables ; il est évident d'ailleurs que la ligne de repère A,C, vient en A,C' ; on en conclut que Fif= F'f. On voit ainsi que l'on peut obtenir l'ordonnée d'un point quelconque de la parabole rapportée à la droite AiCi de la manière suivante : mener F'C parallèlement à B.C., joindre A.C; Pf est l'ordonnée cherchée.
Nous avons indiqué (fig. 36) , la construction d'une parabole A.B.C, par ce procédé : ir22'33'44' sont les longueurs des ordonnées de différent-^ point de la parabole par rapport à la droite A.C,.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 59
SS. Qualriènie iMélhodc. — Les intégrales A,F,C, , A.F'C' (fig. 35) , jouissent de la propriété du n'' 56 ; on en conclut que les droites F,C,, F'C se coupent sur la droite A,«; de là un moj'en de trouver le point F, autrement qu'en portant F,/'= F'f; il suffit de prolonger F'C jusqu'en K , KC, détermine le point F.. Nous avons indiqué (fig. 37) la construction d'une parabole par ce procédé ; il suflît , après s'être donné les lignes d'ordonnées 11" 22" 33".... sur lesquelles on veut
avoir des points, de déterminer l'2'3 en faisant glisser une
équerre de manière que l'un de ses bords reste parallèle à BC, et effleure les points 1", 2", 3"... En joignant l'C,, 2'C, , 3'C, on obtient les points cherchés. On peut se passer de tracer effectivement les Ugnes pointillées et se contentei' de marquer les points qu'elles déterminent.
SO. Trouver la tan^oiito: en uu point de In parabole. —
F Supposons que l'on opère au moj-en de la ligne dérivée; reprenons la fig. 34 ; on obtiendra la tangente au point B, , en portant l'ordonnée du point B sur le diagramme en o'B' ; PB' €st la direction de la tangente cherchée.
2° Quand on ne se sert pas de la droite AC, on peut aussi obtenir la direction PB' (fig. 34) en menant PI' parallèlement à A, Cl , et en portant B'E' = DT. Pour le démontrer , remarquons que si on retourne DE bout pour bout, le point I , ort le point B vient se placer, est le milieu de AC; on
a, en effet, AI = AD +DI ouAD-i-BE=^.
Si on remarque que le point V est la projection de I et que la relation entre B et I doit exister aussi en projection , on reconnaît que B'E' = l'D' , ce qu'il fallait démontrer.
S'^ Lorsqu'on applique les méthodes des n"» 87 et 88 , on ne fait usage ni de la dérivée, ni du diagramme ; on peut obtenir la tangente comme suit : soit à chercher (fig. 38) la tangente au point F, de la parabole AjCj ; prolongeons les côtés AiFi , FiCi jusqu'à leur rencontre avec les ordonnées des points Cl et A. en C et A' ; C'A' donne la direction de la tangente cherchée.
En effet, d'après la construction précédente, on obtiendrait cette tangente F,T en menant FJ parallèlement à A,C, et en portant CT = C, I. Or, on a : C, I = F, /, à cause du parallélisme des droites A, C, et F, I; daprès une propriété connue du trapèze on a aussi : F, /"= F, f; on en conclut que C T = C, I = F, /; = F, f. L'égalité C T = F, /^ montre que les droites fC et F, T sont parallèles : c'est c, q, f, d.
90. Trouver un point de la parabole connai»«sant la direetion de la tangente. — La resolution de ce problème est l'acile quand ou applique la méthode du n'' 85; mais quand on ne se sert pas de la courbe dérivée et qu'on applique la méthode du n° 86 , il faut opérer d'une autre manière. Soit F, (fig. 35) le point cherché dont on donne la direction de la tangente; soient PD, PC, les directions inconnues des cordes A, F, et F,C, ;PT la direction de la tangente, PI la direction de la corde A,C,.
Du triangle TPI on connaît la direction des deux côtés TP et IP ainsi que la hauteur perpendiculaire à l'autre côté; on construit aisément ce triangle en T'I'P, ; il suffit alors de la placer en TPI de manière que DT = CJ ou ce qui revient au même , de manière que le milieu de I T coïncide avec le milieu de DC, ; on obtient ainsi le point P et par suite le point F, (n" 86).
Ce problème a une certaine importance : on peut , de cette façon , trouver le sommet de la parabole qui est le point où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
g 2. Construire une parabole du second degré connaissant deux points et une tangente en l'un d'eux.
Ol . — Ce cas se ramène au précédent; il suffit, en efîet de considérer la tangente comme une corde joignant deux points infiniment voisins. Soient (fig. 39) A, B les deux points donnés , BT la tangente ; si on emploie la méthode du n" 86 , on prendra A' T B comme diagramme. Nous avons indiqué sur la figure la construction d'après le n° 88.
§ 3. Construire une parabole du troisième degré connaissant deux points et les tangentes en ces points.
9'i. — Soient AB (fig. 40) les deux points donnés, AT, BT les deux tangentes. Prenons PO' comme base d'intégration; en menant PB', PA', PC parallèlement aux tangentes BT, AT et à la corde AB , on trouve en O'A', O'B'O'C les ordonnées extrêmes et l'ordonnée moyenne de l'arc AjBi dérivée de l'arc A B. Si nous portons ces ordonnées X^a , C,c, Bj&, nous savons {n° 19) que le point C, est le centre de gravité du triangle tonné par la corde A, Bj et les tangentes en Al et en Bj ; on a donc 2 Cj I = C, T,. Cette relation donne immédiatement le point T, et par suite les tangentes Al Ti et T, B, ; l'arc A, B, est alors complètement déterminé , on peut en trouver autant de points qu'on le désire ; connaissant la dérivée , on en déduit la courbe cherchée par unetintégration.
03.— Remarquons que la construction du n° 92 , ainsi que celles des deux paragraphes précédents, consistent à déterminer les dérivées des courbes que l'on veut construire. On peut aussi résoudre les mêmes problèmes en s' appuyant sur le procédé du n° 70 ; on arrive alors à une méthode générale applicable aux paraboles de degré quelconque : cette méthode va être exposée dans les paragraphes qui suivent.
§ 4. Construire une parabole du mi^^"^ degré passant par yi-i- i points donnés.
04. — Soient A, B, C, D . . . les points donnés (fig. 41) ; si nous transportons les axes coordonnés parallèlement à euxmêmes en choisissant A pour origine des coordonnées , la courbe aura une équation de la forme y = x'f {œ) dans laquelle f {x) sera une fonction entière de x de degré m — 1. Le problème proposé serait évidemment résolu si nous cou-
62 INTEGRATION GRAPHIQUE.
naissions la courbe y, = cp [x) puisque, pour avoir la courbe demandée, il saflîrait d'effectuer sur cette courbe l'opération du n" 70. L'équation yi = ^ [x) représente une parabole de degré */^ — 1, nous allons, pour la déterminer, en chercher
m points. Remarquons pour cela que l'on a o (œ) = — ; or, on
connaît les coordonnées des 7n points B, C, D. .. de la courbe?/ ,
en effectuant la division — pour chacun de ces points, on
trouve //i points B, C, Dj... de la courbe y. Le problème propcsé est donc ramené à un problème plus simple ; savoir : trouver une parabole de degré moindre passant par un nombre de points suflisants. En faisant sur cette deruiére parabole le même raisonnement, on sera ramené à une parabole de degré moindre encore et en continuant ainsi le problème sera ramené à la construction d'une ligne droite passant par deux points donnés.
§ 5. Construire une parabole de degré "i , connaissant /li — ^+1 pomis et les tangentes en k de ces points.
Avant de procéder à cette construction, il est nécessaire de résoudre quelques problèmes préliminaires.
05. — La direction de la tangente à l'origine d'une courbe ayant une équation de La forme y = x f (x) correspond sur le diagramme à Vo^r donnée ï{o).— Soient (fig. 41) Al B, la courbe yi = f {x), A B la courbe y = x f [Xj; un point B, de la courbe ^i fournit un point B de la courbe y par une construction connue (u° 70). Supposons que le point B, se rapproche indéfiniment du point A,, le point B' vient en A'; la tangente en A, qui est la limite de la corde A B , est donc dirigée suivant A A' ; la direction AA' est d'ailleurs la direction correspondant sur le diagramme à l'ordonnée A' Ot -A.A = /^(o).
Cette propriété permet de trouver la tangente A A' connaissant le point A, et réciproquement connaissant la tangente, à rorigine de la courbe y = xf{x), on en déduit un point de la courbe y ,— /'(.r).
06. Connaîssant uue tangente de la courbe y, == / (x) trouver la tangente correspondante à la courbe y-=xf(X) et réciproquement. - Soient (fig. 41) B, T, la tangente donnée à la courbe A, B. dont l'équation est y, = f{x). Soit Y^^ ax-{-b l'équation de cette tangente; considérons la courbe Y = Y. x = ax^ + hx ; cette courbe est une parabole du second degré passant par l'origine et par le point B ; on en obtient la tangente AT à l'origine , au moyen du théorème du numéro précédent ; et , d'après une propriété connue de
la parabole , en prenant a/ - -^ , on en déduit la tangente
TB au point B.
Or , la tangente Y ayant deux points infiniment voisins communs à la courbe y, , les lignes Y = Y, a; , et y = y,x doivent aussi avoir deux points infiniment voisins communs en B , et avoir même tangente eu ce point : BT est donc la tangente cherchée à la courbe A B.
Réciproquement, si on connaît la tangente BT, on imaginera une parabole passant par l'origine et tangente à B T au point B; par division cette parabole donnera une droite T, B, qui est la tangente cherchée à la courbe A. B,.
07. ISeniarque. — Les tangentes B. T, et BT sont unies par une relation géométrique qui peut aussi s'exprimer de la manière suivante : le point I. où la tangente B. T, va couper l'axe des a;, est le point réciproque de l'origine par rapport au cercle décrit du point I où la tangente BT coupe l'axe des x comme centre avec la sous-tangente Ib comme rayon.
La relation qu'il s'agit de démontrer étant une relation d'abscisses , nous pouvons adopter telle échelle d'ordonnée que nous voulons, sans nuire a la généralité de la démonstration; nous prendrons (fig. 42) pour l'axe du diagramme, la droite ?>B passant par le point B de la courbe y où l'on 4
la tangente B T. Dans ce cas, le point B, coïncide avec le point B ; la tangente B T, s'obtient d'ailleurs comme précédemment : T point de B T dont l'abscisse est — —, oT donne
T et par suite T,. Menons KK' parallèlement à l'axe des x par le point T ; on a : K T = T K' ; si donc on joint B K , on détermine sur l'axe des x le diamètre cb du cercle de rayon Ib. Remarquons aussi que le point K est le milieu de T, o à cause de 0 T = T T' ; on en conclut que les droites B T, , B K, B 0 et B 6 forment un faisceau harmonique et déterminent sur l'axe des x une droite cfc divisée harmoniquement parles points 0 et I: c'est dire que les points 0 et I sont réciproques par rapport au cercle \b.
OS. Problème général.— Soit à construire une parabole de degré ;/^ déterminée pary>^ conditions, savoir : un certain nombre de points A, B, C... et les tangentes en plusieurs d'entre eux. Prenons l'un de ces points A comme origine des coordonnées; la courbe cherchée aura une équation de la l'orme ij=xf{x), le problème serait résolu si on avait la courbe y, =f {x); {n° 70) ; nous allons démontrer que la courbe î/i , qui est évidemment une parabole de degré rji — 1 , est déterminée par ni conditions. En opérant comme au n° 94 , il est évident d'abord que chaque point de la courbe y , autre que l'origine, fournira un point de la courbe y, , à cause de la
relation y, =^; d'autre part (n° 96), chaque tangente a la
courbe y, donnera une tangente à la courbe yi. A chaque condition de la courbe y, correspond donc une condition de la courbe y sauf le point A pris pour origine : ce point ne Journit un point de la courbe y, que lorsque l'on donne en même temps la tangente à la courbe y. Il résulte de là que la courbe y, est déterminée par rit conditions. En opérant sur la courbe y, comme sur la courbe ?/, on ramènera le problème au tracé d"une parabole de degré m — 2, et en continuant de la même manière, on sera ramené à la construction d'une droite déterminée par deux conditions.
§ 6. Constructions des hyperboles.
OO. lléiliode générale. —La méthode des deux paragraphes iirécédents permet aussi de construire une hyperbole de degré m, connaissant?)?-!- l comhtions. Les constructions à employer sont identiques à celles qui s'ap pliquent au tracé des paraboles , mais elles doivent s'effectuer en sens inverse. Plus généralement ces constructions s'appliquent au trace des courbes dont l'équation est de la forme :
a x"' + bx"' - 1 = — -I- 1 y= ^. ■
et qui sont déterminées par des conditions suffisantes.
lOO. €oiistiMiîre une scelion eonîqne à liranclics infinies, connaissant une asyniptole e» li points. — Soient (fig. 43) A , B, C les 3 points donnés, oij l'asymptote. Prenons A B comme axe des x , l'axe des y étant parallèle à l'asymptote. Joignons BC et provisoirement prenons A comme origine; en multipliant les ordonnées delà droite BC par ses abscisses , nous obtiendrons une parabole du second degré passant parles points A et B; et si , pour opérer cette multiplication (n" 70) , nous prenons A comme pôle et l'ordonnée Cv comme axe du diagramme , le pomt C sera aussi un point de la parabole : cela résulte à l'évidence de l'application de la construction générale.
Cette parabole AM'B étant tracée , transportons l'origine au point 0 , en prenant l'asymtote pour axe des p, et divisons les ordonnées de la parabole AM'B par ses abscisses ; si pour opérer cette division (n» 73), nous prenons 0 comme pôle et Ce comme axe du diagramme , la nouvelle courbe passera par les 3 points A , B , C.
La parabole AM'B ayant une équation de la forme y = ax^ l ^^| c, la courbe obtenue AMB a pour équation ax'^ -\- bx-\-c •'' = • œ •
66 INTEGRATION GRAPfflQUE.
C'est la forme de l'équation d'une hj^perbole du second degré asymptote à l'axe des y; cette courbe est donc la solution du problème proposé.
Si nous joignons un point de la parabole AM'B à l'origine O, la droite obtenue détermine sur l'axe Ce l'ordonnée du point correspondant de l'hyperbole AMB; il résulte de là que l'on obtiendra l'ordonnée maximum ou minimum de l'hyperbole en menant à la parabole une tangente oM' passant par le point 0; l'ordonnée M"c ou Mm de l'hyperbole correspondant au point M de la parabole est le maximum ou le minimum cherché. L'abscisse 0)n de l'ordonnée maximum ou minimum satisfait à la relation suivante :
om = o X oB.
En effet , considérons la parabole comme résultant de la multiplication des ordonnées de la droite BC par ses abscisses; la droite BC est elle-même sa tangente en tous ses points; la propriété du n" 97 se traduit par conséquent par la relation
om = oA X oB.
101. .4iiti*e con<!itruotioii d'une !»eotioH conique à hranclies infinies. — L'hyperbole du second degré peut aussi être décrite de la manière suivante : Si on déplace une ordonnée Mm (fig. 44) parallèlement à elle-même et dans le sens de l'axe des x ; si on fait tourner le rayon AM de telle manière que le point M' où ce rayon coupe une droite fixe Bo' se déplace uniformément lorsque l'ordonnée Mm se déplace aussi uniformément, le point M décrit une hyperbole du second degré passant par le point A et dont l'asymptote est parallèle à l'axe des ij.
Pour démontrer cette propriété , considérons le rayon AM comme rayon d'un diagramme dont l'axe serait une certaine droite o'y' parallèle- à l'axe des ordonnées. Soit y' l'ordonnée O'M" de ce diagramme relative au raj^on AM qui détermine un point dont l'abscisse est x; on peut considérer (n° 70) M7)/ comme représentant le produit î/'x; on a donc
INTEGRATION GRAPHIQUE. 67
en appelant y iordonnée de la courbe engendrée par le point M : ?/ = tf X.
D'après la construction , à une valeur de x correspond une valeur de ?/' et réciproquement : la relation qui unit ?/' et x est donc du premier degré par rapport à ces deux variables et en la résolvant par rapport à ij on aura :
ax' 4- b
ex -f- d
En remplaçant y' par sa valeur dans la valeur de </ , on obtient :
, ax^ 4- bx •^ ex + d
C'est l'équation d'une hyperbole du second degré dont l'asymptote est parallèle à l'axe des y. La manière la plus simple de faire glisser M' et m uniformément est de déplacer la droite M' m parallèlement à elle-même; en adoptant ce mode de génération, le point B est un point de la courbe.
La position de l'asymptote s'obtient facilement en cherchant le rayon A ^I qui donne le point M à l'infini ; cela se présente lorsque ce rayon devient en A o' parallèle A Mm, le point 7)1 venant alors en o, point de l'asymptote cherchée.
Entre les points A et B où ?/ est nul, y passe par un maximum ou un minimum ; l'abscisse 0;/^ , qui est ce maximum ou minimum , est donnée par l'équation
om = oA xoB.
Comme les points })i et M' décrivent des chemins proportionnels, on a aussi :
ôrM< ==o'A' X o'B.
10*î. Problèmes.— On peut, au moyen de la génération qui fait l'objet du numéro précédent , construire une hyperbole du second degré, connaissant uuc asymptote en direction et quatre conditions. Prenons comme exemple le problème suivant : construire une hyperbole du second degré dont on connaît deux points, les tangentes en ces
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points et la direction d'une asymptote. Supposons que l'hyperbole demandée soit celle qu'engendre le point M de la figure 44 ; on donne les points A et B , les tangentes en ces points et l'axe des y.
La tangente au point A est évidemment la droite A A' parallèle à m M'; car si le point m se rapproche indéfiniment du A, la corde A' M devient infiniment petite et a pour limite la tangente en A qui se confond ainsi avec A A'. Si le point M' se rapproche indéfiniment du point B, la droite MM' diffère infiniment peu d'être parallèle à l'axe des x ; on peut donc, sans changer la tangente en B à la courbe décrite , remplacer M' M par une parallèle M K à l'axe x; mais alors le triangle KM m reste semblable à lui-même et le point K décrit une droite ; cette droite est la tangente à l'hyperbole au point B. En menant A'R parallèlement à l'axe des œ, on détermine le point R oîi cette tangente coupe l'axe Ay.
Nous pouvons maintenant résoudre le problème proposé ; on connaît les tangentes AT, TB et l'axe A y parallèle à l'asymptote; par le point R, intersection de la tangente BT avec l'axe Ay , menons une parallèle à l'axe des x coupant la tangente AT en A'; on obtient la droite BA' que décrit le point M'; la direction de M'/n est parallèle à la tangente A A' : le mode de génération de l'hyperbole est complètement déterminé.
