CHAPITRE V

Applications à la mécanique.

§ 1®"". Moments de divers ordres des surfaces planes.

lOîJ. Prol>lèiuc à résoudre. — On appelle moment de degré n d'une surface par rapport à un axe la somme des éléments infiniment petits de cette surface multipliés par la niéme puissance de leur distance à cet axe. Dans cette définition sont compris les moments statiques et les moments

d'inertie qui sont respectivement les moments du premier et du second degré.

Une surface quelconque ABba (fig. 45) peut toujours être considérée comme engendrée par l'ordonnée mobile M?n d'une courbe AB rapportée à une autre courbe ab prise comme ligne de repère. Soit Aa une ordonnée fixe , position initiale de l'ordonnée mobile Um; portons, à partir d'un axe On Xn, sur la direction de l'ordonnée M)?i, une longueur Mn nin proportionnelle au moment d'ordre n , autour de l'ordonnée Mwi, de la surface AM ma\ le point M^ engendrera une courbe que nous appellerons courbe des moments d'ordre n. La construction graphique des courbes de ce genre est le problème que nous nous proposons de résoudre.

i04. Théorème. — Ca lijçne des luoiuents de degré n est rîntégpale de la ligne des nioiueiits d'ordre n — 1 multipliés parn. — Soit Mn le moment de degré n , M„-i le moment de degré n— 1 d'une surface AU m a comprise entre une ordonnée fixe Xo, et une ordonnée mobile x. Il s'agit de démontrer que :

Mn = n I Mn-i dx.

D'après la définition des moments et en prenant pour élément infiniment petit le rectangle indiqué par des hachures sur la figure 45 , on a :

M„-= I fix')dx'{x—xY^;

[„ = j fix'

en dérivant cette intégrale d'après les règles connues, on obtient :

x' ( X — a:;'r "' = nMn- 1 .

70 INTEGRATION GRAPHIQUE.

En remarquant que Mn s'annule pour x = Xn , on en déduit :

M« = n I Mn i

dx

ce qu'il fallait démontrer.