Tracé de!» lignes do iiioiuents. — Si dans la lormule

Mn=f r{x')dx'{x—xY on fait n = 0 , on trouve :

M, =y* fx'dx',

c'est-à-dire que le moment de degré 0 est identique avec l'intégrale première : la courbe Mo s'obtiendra donc par une simple intégration. Si dans la formule

Mn = n I Mn - 1 dx ou fait successivement n= 1,2,3, etc. , on obtient :

M, = / Mo dx

M2 = 2 y" Ml dx

3 / M2 dx, etc..

En prenant les bases d'intégrati(n convenables, on obtiendra immédiatement M,, Mj, M3... par une série d'intégrations graphiques successives (n°55).

INTEGRATION GRAPHIQUE. 71

I06. Des coii!»tnnle<« «fintôgralion. — Pour effectuer les intégrations dont il est question dans le numéro précédent, il Caut connaître un point de chaque intégrale; il est évident, d'après la définition des moments, que pour x=^Xq, abscisse de l'ordonnée fixe Xa , tous ces moments sont nuls; on a donc un point de chaque courbe des moments , ce qui permet d'effectuer toutes les intégrations.

Cependant nous avons vu (n° 65) que des intégrales quelconques pouvaient donner des intégrales particulières eu les rapportant à des lignes convenablement choisies ; supposons donc que nous aj^ons intégre la courbe AB en prenant à chaque intégration un point arbitraire pour premier point ; (fîg. 45) Ao Bq. a, B, , Aa B.2.. , les intégrales ainsi obtenues; il s'agit de déterminer à quelles lignes de repère il faudra les rapporter, pour avoir les moments de la surface AM ma autour de l'ordonnée mobile Mm. Il est d'abord évident que ces lignes de repère doivent passer respectivement par les points Ao, Ai, A.j,... puisqu'au point a la surface est nulle ainsi que les moments; on conclut de là que la ligne de repère Ao Bo est la droite Ao cco menée parallèlement à l'axe des X par le point Ao; pour ce qui concerne A, B, , A2B2... , d'après le numéro 65 , les courbes de repère sont les intégrales successives de Ao Xq-, ainsi la ligne de repère de A, B, est une droite A, x, , intégrale de Ao Xç,; la ligne de repère de A2B2 est une parabole du second degré A^x^ intégrale de A,x,; plus généralement la ligne de repère de la courbe des moments d'ordre n est une parabole du n'^""* degré intégrale, n'^"^« de AqXo.

Ces différentes lignes de repère jouissent de la propriété remarquable d'être osculatrices à la courbe intégrale à laquelle elles correspondent. Démontrons , par exemple , que la ligne de repère A« Xn relative à A» B« est la parabole du ^jième fjegré osculatrice à cette courbe An Bn ; pour y arriver , il sufHt de faire voir que ces deux courbes ont un contact d'ordre n (puisque l'équation d'une parabole de degré n contient n 4- 1 paramètres ) ou ce qui revient au même , de faire voir qu'aux environs du point A« , Mn est infiniment petit

72 INTEGRATION GRAPHIQUE.

d'ordre 7î-\-\. Cette dernière propriété est évidente puisque M« est le moment d'ordre n d'une surface infiniment petite par rapport à un axe infiniment rapproché.

fl07. IVIonients d'aune portion de ««iirface coinpri<i>e entre doux ordonnccfii fixes autour d'une ordonnée quelconque. — Soient (fig. 45) A« et Bô deux ordonnées fixes; on veut avoir les moments de la surface ABba autour d'une ordonnée quelconque Ce. Pour fixer les idées , considérons les moments du second degré ; soient Aj cc^ , Bj y^ les paraboles du second degré osculatrice à la courbe Aj Bj aux points A2 et B^ ; d'après le numéro précédent les moments autour de l'ordonnée Ce des surfaces ACea et BeCb sont représentées par C2 x^ et Cj y^; or, le moment que l'on cherche est précisément la différence de ces deux moments ; il est donc représenté par y^ œ^. En générahsantce résultat on reconnaît que le moment de degré n de la surface \Bha autour d'une ordonnée quelconque est représenté par la portion de cette ordonnée comprise entre les paraboles de degré n osculatrices n + 1 de la courbe AB aux points correspondants aux points A et B. Ces paraboles osculatrices s'obtiennent en intégrant les lignes Ao x^ et Bo yo-

f 08. Remarque. — Il arrive que l'on demande le moment d'une surface autour d'une ordonnée fixe; dans la formule

Mn= \f{x'){x—x'rdx')

xo

X est alors une constante : c'est l'abscisse de l'ordonnée fixe. On commencera par construire la courbe ^x' = f{x'){x—x'Y par la construction du n" 80; le problème est alors ramené à une seule intégration

(1) L'idée de ramener à une quadrature le calcul des moments des surfaces n'est pas nouvelle ; elle se trouve exposée dans le traité de sta-

§ 2. Moments statiques, moments d'inertie, centres de gravité.

lOO. llomcnts ftilatiqiies. — Les moments statiques sont les moments du premier degré ; les considérations du paragraphe précédent s'y appliquent complètement. Ainsi ces moments s'obtiendront par une double intégration; si l'on intègre d'une manière quelconque, il faut rapporter l'intégrale A, B, (fig. 45) à la parabole du premier degré osculatrice à cette intégrale au point A, : cette dernière est précisément la tangente au point Aj. Si l'on veut avoir le moment d'une surface ABba comprise entre ces deux ordonnées autour d'une ordonnée quelconque , ce moment est représenté par la portion de cette dernière comprise entre les tangentes à l'intégrale aux points A, et B,.

1 lO. iSIoiuciit»» d'iiierlie. — Les moments d'inertie sont les moments du second degré ; ils s'obtiennent par une triple

intégration; à cause de la formule M2 = 2 f Mi dûo, il faut effectuer la troisième l'intégration avec une base d'intégration deux fois plus petite que si on voulait trouver / Mj dx.

Lorsqu'on se propose de déterminer le moment d'inertie d'une surtàce autour d'un axe connu , il est alors préférable d'employer la méthode du n^ 108.

111. tenires de gravite. — Soit ( lig. 45) à chercher le centre de gravité de la surface AB ^a ; soit AjB, l'intégrale seconde , AiX^^Biyi les tangentes aux points A, et B, ;

tique de M. CoUignon, n" 205, Toute intégrale définie peut d'une infinité de manières se mettre sous la forme f icdv = ffdudv ; uetv dépendent de plusieurs variables dont une seule est indépendante ; les valeurs limites de II , V représentent une courbe qui limite l'aire représentée par l'intégrale. En traçant cette courbe , le problème est résolu ; nous verrons que l'on peut effectuer l'intégration sans la tracer ( voir n° 253 et suivants de ce mémoire).

74 INTEGRATION GRAPHIQUE.

nous avons vu (n" 109) que le moment de premier degré de la surface AB &a autour d'une ordonnnée quelconque C c était représenté par y, x,, portion de cette ordonnée comprise entre les tangentes xV, a'j et B, ?/, ; il résulte de là qu'autour de Fordonnée G^qui passe par le point d'intersection de ces tangentes le moment est nul, et par suite G^ passe par le centre de gravité. De là le théorème suivant : la ligne d'ordonnée du centre de gravité d'une surface AB &a passe par le point d'intersection des tangentes à l'intégrale seconde de AB aux points correspondants aux points A etB.Ce théorème permet de trouver la ligne d'ordonnée du centre de gravité de la surface considérée ; en général , cela suffit dans les applications, mais si on voulait déterminer complètement le centre de gravité, il faudrait en chercher la ligne dabscisse par la même méthode.

11*?. y4p|ilicatioii d''uiie surface puly^oiiaEc. — Soit (flg. 46) le polygone \BCDdcba; nous nous proposons d'en trouver le moment, la surface et le centre de gravité. Divisons la surface en trapèzes au mo3'en d'ordonnées que nous désignerons par verticales pour simplifler le langage. Nous considérons la ligne ABCD comme une ligne primitive rapportée à la ligne a Oc cl prise comme ligne de repère; la surface clierchée s'obtiendra par une simple intégration, cette intégration s'effectuera par l'un ou l'autre des procédés des n"* 35 et 36; il y a une petite modification à introduire: il faut recourir à une ligne des pôles (^n° 46). Appliquons par exemple la méthode du polygone circonscrit ; soit , à cette fin, A, X, la ligne de repère de la première intégrale, op l'axe du diagramme, p P la ligne des pôles ; projetons les points A, B, C, D en A', B', C, D' sur oy, les points a, b,c, cl, en a', b', c',cl' sur i>P ; les lignes ci' A', ^'B', c' C, cl' D'donnent les directions des tangentes à l'intégrale. Les arcs A B, BC, CD de la ligue primitive ont pour abscisse moyenne, l'abscisse de leurs points milieux ; on en conclut que les verticales R\ri , SiSi , Tiii , des sommets du polygone circonscrit à l'intégrale cherchée sont à tgale distance des ordonnées extrêmes des arcs de la courbe primitive ; ayant tracé ces ver-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 7o

ticales, on obtient aisément le polygone Ai Ri Si Ti Di en partant du point Ai où l'intégrale est nulle; la surface cherchée est représentée par la droite Di ch. La ligne intégrale Al Bi CiDi permet aussi de trouver la surlace comprise entre deux ordonnées quelconques ; cette surface est donnée par l'accroissement de l'intégrale entre les ordonnées dont il s'agit ; il est nécessaire alors de tracer exactement les points de l'intégrale situés sur ces ordonnées, ce qui se fait très facilement soit en subdivisant les lignes AB , BC , CD en plusieurs segments, soit en remarquant que les arcs de l'intégrale sont des arcs paraboliques complètement déterminés.

On obtient les moments par une deuxième intégration; nous pouvons , par exemple , effectuer cette deuxième intégration par la mtthode du polygone circonscrit. Soient o' y' l'axe du diagramme, P, le pôle. A/, B/, C,', D/ les projections sur cet axe des points A,, B,, Ci, D, ; PiA/, P,Bi', PiCi' PiDi' sont les directions des tangentes à l'intégrale seconde; les verticales R^r^, S^s^, T^^fs tles sommets du polygone circonscrit cherché ont pour abscisse les abscisses moyennes des arcs AiBi, BiCi , CiDi. Considérons, par exemple, l'arc CiDi; son ordonnée moyenne est l'ordonnée du centre de gravité h du triangle Ci Ti Di (n» 19); en menant (no 31) une horizontale \t^ par le milieu de la corde Cl Di et une parallèle à cette corde par le point K, on détermine le point t^ qui donne l'abscisse moyenne de l'arc Ci Di ; ayant de cette manière trouvé les ordonnées W)\, "è^s^, T^ti, on obtient aisément le polygone A2 R2 S2 'i\ D^ en partant d'un point quelconque A^ ; ce polygone détermine complètement l'intégrale seconde cherchée qui est formée d'arcs paraboliques du troisième degré, dont on connaît les extrémités et les tangentes extrêmes.

Si on veut obtenir les moments des surfaces comprises entre l'ordonnée fixe Aa et une ordonnée quelconque prise pour axe des moments , il faut adopter comme ligne de repère la tangente AjR^ au point Aj ; ainsi D^d^ représente le moment de la surface ABGDdcba autour de l'ordonnée Dd ; CjCa donne le moment de la surface ABCcbd autour de Ce.

76 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Les moments de la surface ABCDdcba comprise entre les deux ordonnées fixes Aa et Dd autour d une verticale quelconque Mw^ , sont donnés [tar les ordonnées M^m^ de la tangente T2 D2 par rapiiort à la tangente A2R2 ; la verticale Gç, qui [lasse par l'intersection de ces deux tangentes, est la verticale du centre de gravité de la surface.

Enfin la verticale du centre de gravité d'un trapèze tel que ABba est la verticale R^r^ dont l'abscisse est l'abscisse moyenne de l'arc de l'intégrale première, puisque c'est sur cette verticale que se coupent les tangentes aux points Aj et Bj de l'intégrale seconde.

113. Autre consii'uotioii. — On peut construire l'intégrale seconde par un autre procédé qui repose sur le principe suivant: étant donné (fig. 47) un arc de courbe AB, la direction de la courbe A,B, de l'intégrale de cet arc de courbe ne dépend que de l'ordonuéû moyenne de l'arc AB , ou ce qui revient au même , de la surface ABba ; il suit de là qu'on peut remplacer l'arc AB par tout autre, donnant une surlace équivalente; l'arc Ai Bi sera modifié, mais les points Al et Bi ne seront pas changés. Si en particulier l'arc modifié part du point A pour aboutir au point B, les tangentes aux points Ai , Bt de l'intégrale seconde ne seront pas changées, les directions de ces tangentes dépendant seulement des ordonnées A.a et Eb.

Appliquons ce principe général au cas d'un arc parabolique du second degré déterminé par ses tangentes extrêmes AT et TB (fig. 47). A cet efiét, divisons l'espace compris entre les ordonnées Aa , B^ en trois parties égales par les ordonnées nwi', nn'; menons par les points A, T, B les parallèles à Taxe des x Am, rn'n', uB, nous allons démontrer que l'on peut remplacer l'arc AB par la ligne brisée Amm'n'nB.

Cette propriété résulte déjà de la construction générale du n° 69 , mais il n'est pas inutile d'en donner ici une démonstration moins abstraite.

Soient t/o , yi , 2/2 Its oidunnées respectives des points

INTEGRATION GRAPHIQUE. 77

A, T, B ; l'ordonnée moyenne de l'arc AB étant l'ordonnée du centre de gravité du triangle, ATB a pour valeur

on en déduit que :

surface KBba = ^-^« + ^^ "^ ^^ x ah. La figure montre immédiatement que l'on a aussi : surface A inm'n'nBba = ?/o -r + 2/i -: — f- ?/3 -ret on en déduit que :

surlace AB&a == surf. Amni'^i'uBba.

Nous pouvons donc énoncer la règle suivante : L'intégrale d'un arc de |>arabole AB (fig. 47) déterminé par ses tangentes extrêmes AT et TB , s'obtient en remplaçant le trapèze curviligne ABba par trois rectangles de base -7- et ayant

pour hauteurs respectives les ordonnées des points A, T et B; on obtient ainsi une ligne brisée de trois côtés dont les extrêmes sont les tangentes aux extrémités de l'arc de l'intégrale cherchée.

Si après ces préliminaires nous reprenons la flg. 46, en appliquant la méthode précédente aux arcs AjB, , B,(', , C,Di, on obtient le polygone A-, m ni^ qrsD^; les côtés indiqués en trait plein sont tangents à l'intégrale ; les côtés indiqués en trait pointihé sont des lignes auxiliaires n'ayant aucune signification.

114. Prolilènie. — Construire un trapèze ABba (fig.48) à bases verticales , connaissant la surface , la verticale du centre de gravité et Vun des côtés non parallèles ab. — Supposons le problème résolu et proposons-nous de trouver la surface et la verticale du centre de gravité du trapèze connu ABba. Ces éléments s'obtiendront par la construction du n° 112. L'intégrale i)remière Ai rBi donnera la surface du trapèze en Bi bi ; la verticale du centre de gravité est la verticale qui passe par le point d'intersection des tangentes

78 I^■TEGKATIO^■ (iR.VPHIQUE.

extrêmes de l'intégrale secoDde, mais nous avons déjà fait reinai-quer que cette verticale est précisément celle qui détermine l'abscisse moyenne de l'arc A,B, , de sorte qu'il est inutile dans ce cas d'effectuer la deuxième intégration.

Si maintenant nous reprenons le problème qui nous occupe, nous reconnaîtrons qu'il suffît de tracer dans un autre ordre les lignes de la fig. 48. Nous connais.sons la ligne B,/j, qui représente la surface, on en déduit la curde A,B, et son point milieu I; on connaît la verticale R^r^, on mène Ir, horizontalement, rjv parallèlement à la corde AjB, et l'on obtient ainsi le point K, centre de gravité du triangle A,>'B,. Ce triangle détermine aisément en prenant Kr = 2IK. Connaissant l'intégrale AirBj , une simple dérivation d>mne la droite AB. Soient y;P la ligne des pôles, oy l'axe du diagramme; on mène par les points a' et b' , projections des j>oints connus atb sur la ligne des pôles, a' A' parallèlement à A,'/', b'B' parallèlement à Bj/'; les points A' f't B' donnent immédiatement les points A et B.

I I *>. .liiti'u eonslriictioii <lo la verticale «lu centre «le gravité «ruii trapèze à bases verticales. — Cette verticale peut s'obtenir par le procédé du numéro précédent ; mais on peut aussi la trouver par la construction élégante qui suit: divisons (fig. 49) le côte ab d'un trapèze à bases verticales en trois parties égales; soient ee' les points de division ; les droites A e, e'B se coupent en un p< >int de la verticale cherchée.

Pour démontrer cette propriété, nous allons faire voir que Aee'B est l'intégrale seconde de AB ou plutôt le polygone de trois côtés , analogue au polygone A^mi^i^B^ de la fig. 46 , dont les côtés extrêmes sont les tangentes à cette intégrale. Pour y arriver prenons I , milieu de ab , comme pôle de la première intégration , ^B comme axe du diagramme; IB , lA', sont les directions des tangentes extrêmes à l'intégrale première; si nous prolongeons lA' en lAj , A,IB sera cette intégrale première si on prend Ai comme premier point et pour ligne de repère une parallèle à ab. Effectuons la seconde intégration par la méthode du n° 113 en prenant le point e' comme pôle et bB comme axe du diagramme ; le polygone qui déter-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 79

mine rintégrale seconde a ses trois côtés parallèles à ^'A', , e'b, (?'B, les points A',, è, B étant les projections parallèlement à ab des points A,, I, B. On peut démontrer tacilement que la direction e'A,' est parallèle à ke\ remarquons en effet que les triangles kea et &e'A,' ont deux côtés égaux et parallèles à cause de :

ka = A'^ = A,a -= k\l) ;

on en conclut que les troisièmes côtés sont aussi parallèles , c'est-à-dire que A^ est parallèle à kJ^e'. Si pour tracer l'intégrale seconde, nous partons du point A comme premier point, nous trouvons le polygone A<:'^'B ; les côtés ke, e'B sont donc les tangentes extrêmes à l'intégrale seconde et se coupent en un i)oint de la verticale du centre de gravité: c'est ce qu'il fallait démontrer.

I lO. lîeuiarqiies. — 1'^ Si au lieu de prendre c' comme pôle de la seconde intégration, on i)rend un point quelconque de ab, e'h ne changera pas de direction; on peut donc supposer que le côté ce' da l'intégrale seconde reste invariable; les deux autres côtés Ac, cB changeront de direction et se placeront par exemple en Ce et e'D et il est évident que Ce et e'D se couperont encore sur la verticale du centre de gravité du trapèze. Les deux intégrales secondes kee'B et Cee'D jouissent de la propriété du n" 65 savoir : que les tangentes et cordes correspondantes se coupent sur une même ligne droite; cette droite est évidemment la droite ah , puisque e et e' sont les points d'intersection des côtés correspondants ke et eC, Be' et e'D ; on en conclut que les cordes correspondantes A B et CD se coupent en un point o sur le prolongement de ab.

2° L'intégrale Qee'T) peut être examinée à un autre point de vue ; on peut la considérer comme lïntégrale seconde de CD et on en conclut que les trapèzes AB&« et CDba, qui ont leurs centres de gravité sur la même verticale, ont les côtés non communs AB et CD qui se coupent en un même point du côté commun ab,

80 INTEGRATION GRAPHIQUE.

3° Si eu particuliei- on prenait le point I comme pôle de la deuxième intégration , les tangentes extrêmes Ce , De' auraient pour direction IB et lA/; cette dernière direction lA,' est d'ailleurs parallèle à AI à cause de l'égalité des triangles Ala et &IA,'. Ou obtient donc aussi aussi un point de la verticale du centre de gravité en menant par les points e, e' des parallèles aux droites AI et IB.

117. .4iilrc con!»lruotion du probièuie du n'^ 114. — Soit à chercher (fig. 49) le trapèze XBOa , connaissant ab, la surface de ce trapèze et la verticale Rr du centre de gravité. Au moyen de la suriace , on obtient aisément l'ordonnée moyenne II' du trapèze inconnu : il suffit, pour y arriver, de diviser graphiquement cette surface par la distance des bases du trapèze ; on connaît donc déjà le point I' de la droite AB. Joignons un point quelconque 5 de la verticale donnée Rr aux points e et e' qui divisent ab en trois parties égales ; d'après la remarque précédente la droite CD que l'on obtient de cette façon va rencontrer ab au même point O que la droite cherchée AB ; cette dernière est donc déterminée par les deux points 0 et I.

1 18. Étant donné un trapèze à bases lerlîcales ABba (ii^. ôO) construire un triangle sur AB eoniiue base ayant même surfaee et son eentre de gravité sur la même verticale que le trapèze. — Première '//léthocle. — On cherche par les procédés connus la verticale Rr du centre de gravité du trapèze donné et par conséquent aussi du triangle cherché ; en prenant I'^ = 3Vr, on obtient en 5S la verticale du sommet de ce triangle : cela résulte de ce que le centre de gravite de ce triangle est au '/jde la médiane SI' à partir de IT. En prenant Ss = 211', on obtient le sommet inconnu du triangle.

Deuxième méthode. — Par les points e, e' (fig. 50) qui divisent ah en trois parties égales , menons eR,e'R parallèlement à A I et à I B ; d'ai rès la troisième remarque du n"^ 116, le point li est sur la verticale du centre de gravité du trapèze. Si Lous menons aussi «S et S& parallèlement aux directions AI et IB, les; ligures Ree' et S ah ainsi obtenues .sont

INTEGRATION GRAPHIQUE. 81

semblables et ont I comme centre de similitude ; le rapport de similitude est 3; on en conclut que I, R, S sont trois points en ligne droite et que