IS - SIR

Il en résulte que le triangle ASB a soncentrede gravité sur la même verticale que le trapèze donné ; nous allons démontrer que ce triangle est aussi équivalent au trapèze et par conséquent que c'est le triangle cherché.

Pour y arriver, remarquons que le triangle ASB" et le trapèze ABba ont une partie commune AIE et que les parties communes sont équivalentes; on a en effet: surface AIS=AIa, à cause de aS parallèle à AI; on a aussi : surface BIS = surface Blb à cause des parallèle hS et IB.

On peut donc énoncer la règle suivante : si par les extrémités a, b d'un côté d'un trapèze ABba à bases verticales on mène des parallèles aux droites AI, IB qui joignent le milieu du coté ab aux extrémités de l'autre côté AB , ces parallèles se rencontrent au sommet d'un triangle ASB ayant même ' surface que le trapèze donné et son centre de gravité sur la même verticale.

IIO. Problème inverse. — Supposons que l'on donne le triangle ABS (fig. 50) ; on demande de construire le trapèze ABba ayant un côté commun AB, même surface et le centre de gravité sur la môme verticale que le triangle donné.

Prenons r milieu de AB ; portons IF = ^ ; menons Sa , Sb

parallèlement aux directions AI et IB; on obtient le côté ab du trapèze cherché ; comme vérification ce côté doit passer par le point I.

§ 3. Moments flechissaïUs et efforts tranchants.

l!»0. IK'lînîiîons. — Soient ab (flg. 51) une poutre droite sollicitée normalement à son axe par des forces situées dans le plan de symétrie de la poutre; nous supposons la poutre entièrement libre , les appuis , s'il y en a , étant remplacés

g; INTEGRATION GRAPHIQUE.

par des réactions convenables. Soit c une section quelconque de la poutre ; les forces qui sollicitent le tronçon hc peuvent se transporter au centre de figure de la section c où elles donnent une résultante égale à la somme algébrique des composantes; c'est cette résultante que l'on ai)pelle Teflort tranchant de la section c ; on le désignera par K. En transportant les forces au point c, on introduit des couples dont chacun d'eux a i)our moment le moment de la force autour du point c ; tous ces couples se composeut en un couple résultant dont le moment est la somme des moments des couples composants ou ce qui revient au même, la somme des moments des forces autour du point c; c'est ce moment que l'on appelle moment fléchissant; on le désigne par M. Quant aux signes de l'effort tranchant et des moments fléchissants , ils dépendent de certaines conventions ; nous supposerons toujours que l'on combine l s forces sollicitant le tronçon situé à droite de la section considérée; l'effort tranchant sera positif s'il agit vers lo bas, le moment fléchissaut s'il agit dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre. En portant en ordonnées les efforts tranchants et les moments fléchissants, on obtient «^eux lieux géométriques : ce sont ces lieux que nous nous proposons de construire. Nous adopterons généralement comme axe des œ l'axe de la poutre hx pris dans le sens de droite vers gauche, comme axe des y une perpendiculaire hy à l'axe des x. Dans les applications la poutre est presque toujours horizontale , les forces sont verticales; l'axe des y est pris vers le bas , parce que c'est la direction de la plupart des forces qui sont dues à la gravité.

4*îl. Charges eonlîniienienl réparties. — Supposons que la poutre «/; soit sollicitée par des forces infiniment petites et infiniment rapprochées; pour connaître complètement l'état de sollicitation de la poutre , il faut connaître la charge p par unité de longueur en chaque point ; si nous ))ortons;;en ordonnée , nous obtenons une courbe BA qui est la courbe des charges; soit dx un élément de la poutre, la force qui sollicite cet élément a pour \d\env pdx et est

INTEGRATION GRAPHIQUE. 83

représentée par la surface indiquée sur la figure 51 parties hachures ; il résulte de là que l'effort tranchant en un point quelconque est la surface CBbc , que le moment fléchissant au même point est le moment de cette surface autour de la droite Ce ; on en conclut que l'elTort tranchant est l'intégrale première de la courbe des charges , que le lieu des moments fléchissants est l'intégrale seconde de la même courbe. On est donc ramené aux tracés étudiés dans les deux paragraphes précédents ; il est toutefois nécessaire d"entrer dans quelques considérations au sujet des forces isolées et de la détermination des constantes.

4^*î. Cas où il y a dos forces isolées. — D'une manière rigoureuse, il n'y a jamais de forces isolées en pratique; mais il arrive que, sur une longueur assez petite pour être négligée, agit une charge tellement grande par unité de longueur que , malgré le peu d'étendae sur laquelle elle existe , elle donne lieu à un effort de grandeur finie : telles sont les reactions des appuis , l'action des roues d'un véhicule. Si dans un cas semblable on connaissait la courbe des charges, on opérerait comme précédemment; mais habituellement on suppose les actions de cette espèce concentrée en un point où on les remplace [)ar une force isolée. La ligne des K est toujours l'intégrale de la courbe des charges , mais pour tenir compte des charges fictivement remplacées par une force isolée, l'intégrale doit subir au droit de chacune de ces forces , une augmentation brusque égale à chacune d'elles. Le lieu des M est toujours l'intégrale du lieu des K; au droit des forces isolées, il y a deux efforts tranchants différents; le diagramme donne deux tangentes au lieu des M qui présente ainsi un jarret à chaque force isolée.

l^ât. Conslanles <rinlé.:;raiioii. — Lorsqu'une poutre n'est sollicitée que par des forces connues , la détermination des constantes se fait comme pour les courbes des moments statiques des surfaces (106 et 109). A l'origme droite de la poutre oii aucune action n'agit, il est évident que K et M sont nuls ; les lieux des K et des M partent donc de cette origine si on rapporte ces lieux à l'axe de la poutre. On peut

84 INTEGRATION GRAPHIQUE.

aussi intégrer d'une manière quelconque ; la courbe de repère relative au lieu des K est une parallèle à Taxe des x complètement déterminée par la condition que l'effort tranchant est nul à droite de la première force. Celle qui est relative au lieu des M est la tangente à l'élément de ce lieu qui précède la première force. Les moments des forces agissant sur une certaine longueur de la poutre sont représentés par les ordonnées comprises entre les tangentes aux éléments du lieu des M qui précèdent et qui suivent les forces dont il s'agit ; le point d'intersection de ces deux tangentes est un point de la résultante de ces forces (110).

l!J4. Cas où il y a des réactions inconnues. — Supposons qu'à l'extrémité droite de la poutre ou portion de poutre considérée, il y ait appui avec ou sans encastrement ; en ce point onaK = Ko ,M = Mo , les valeurs Ko, Mo dépendent des conditions des appuis et ne sont pas connues a priori ; dans ce cas on intègre d'une manière quelconque ; les lignes de repère relatives aux intégrales que l'on obtient dépendent des valeurs Ko et Mo ou ce qui revient au même des conditions des appuis de la poutre. Dans certains cas la détermination de ces lignes de repère se fait avec la plus grande facilité ; ainsi dans le cas d'une poutre sur deux appuis les moments fléchissants sont nuls aux extrémités de la poutre, la ligne de repère du lieu des M est la corde de ce lieu. Dans d'autres cas les lignes de repère dépendent de la déformation de la poutre et se déterminent plus difficilement.

Ces questions qui se rapportent plus spécialement à la stabilité des poutres droites seront traitées en détail dans le livre V.

I'î5. E.xeiupie. — Forces isolées san*cliarfçe continue. — Soient (fig. 52) PP'P"... les forces données; prenons Ao comme premier point de l'intégrale première ou lieu des K; à chaque force isolée la courbe présentera un saut brusqueégal en grandeur et en signe à la force isolée ; la charge continue étant nulle, l'effort tranchant reste constant entre deux forces isolées consécutives ; le lieu des K est donc formé de

INTÉGRATION GRAPfflQUE. 85

lignes parallèles à Taxe des x : ce lieu Ao A Bo B Co... s'obtient en portant Ao A -= P, Bo B = P', Co C = P". . .

L'intégrale seconde se trouve par la construction du n° 34. Projetons Ao, Bo, Co en A\ B', C, sur l'axe du diagramme o'i/'; prenons 0' P = /, PA', PB', PC' donne les directions des côtés du polygone n , Ai Bi C i Di (fi , lieu des moments fléchissants.

D'après les lignes de repère que l'on choisira, ces lieux pourront avoir plusieurs significations : 1° S'il s'agit d'une poutre libre on prendra Ao Xo parallèle à l'axe de la poutre pour ligne de repère du lieu des K, la tangente Ai «i pour ligne de repère du lieu des M ; 2° si l'on veut avoir les moments des trois forces P P' P", on prendra les ordonnées de la tangente Ci Di par rapport à la tangente Ai «i ; le point T d'intersection de ces deux tangentes est un point de la résultante de ces trois forces.

Remarquons qu'on peut se passer de tracer le lieu des K et construire immédiatement le diagramme des inclinaisons du lieu des M ; il suffît de porter les forces bout à bout , de prendre un pôle quelconque P et de joindre ce pôle aux extrémités des forces ainsi portées (1).

(1) Ce tracé graphique des moments fléchissants dans le cas de forces isolées est exposé dans les ouvrages de statique graphique où on le déduit du polygone funiculaire.

Depuis longtemps déjà M. Boudin, notre savant professeur, donne à l'Université de Gand , une démonstration de ce procédé qui, à l'élégance et à la simplicité, joint l'avantage très grand de ne reposer sur aucune idée étrangère à la question. Celte démonstration remarquable a été le point de départ de nos recherches sur l'intégration graphique. Il suffisait, en effet , de remarquer que le moment fléchissant est la surface couverte par les efforts tranchants pour reconnaître que le tracé graphique des moments des forces isolées n'est autre qu'une double intégration graphique dans le cas particulier où la première intégration se réduit à une addition.

Une fois en possession de l'idée de l'intégration graphique, il était bien naturel que nous cherchions à en tirer tout le parti possible et il ne nous

86 INTEGRATION GRAPHIQUE.

fl'ÎO. Deuxièint' cxcuiplo. — Forces ii^oléos el charges coulinue!» iiiiiforuiéiMenl répai lies. ^ — Soient (fig. b'.i), A Co CEflEG la courbe des charges, P, P', P" les forces isolées; la première intégration qui donne le lieu des efforts trancliants s'effectue par le procédé du n° 34. Soit Pi Oi yi , le diagramme relatif à cette intégration; projetons A, C, B] sur Oi 2/1 en A' C E' ; PA', PC, PE' donnent les directions des côtés du lieu des efforts tranchants; on obtient ce lieu Ai Bo Bi Cl Do Di ... en menant Ai Bo parallèlement à PA', en ])ortant Bo Bi égal à P. en menant Bi Ci parallèlement à PA' , en menant Ci Do parallèlement à PC, en [)ortant Do Di égal à P' et ainsi de suite.

La seconde intégration qui donne le lieu des M s'effectue par le procédé n° 36 ; les intégrales des côtés Ai Bq, Bi Ci, Cl Dq... sont des arcs paraboliques que Ton détermine par leurs tangentes extrêmes.

Soit Ba O2 2/2 le diagramme relatif à cette seconde intégration; soient A,' , Bo' , B/, C,'. . . les projetons O22/2 des points A|, Bo, Bi , Cl . . .; on obtient le lieu des moments fléchissants cherchés A2 r B^ sC^. . . en menant A^ r parallèlement à PA,', rBa parallèlement à PB'o, B^s parallèlement PB,', etc. . . Les points r, 5, /. . . étant sur les lignes d'ordonnées qui divisent ab , Jjc, cd... en deux parties égales. Le poljgone que l'on obtient est un pohgone circonscrit au lieu cherché; pour le déterminer par un plus grand nombre de points, on peut subdiviser les arcs A, Bo, B, Cj.., avant l'intégration en autant de ])arties que l'on veut.

a pas fallu beaucoup d'efforts [>our eu déduire les différentes applications de ce mémoire.

Vers l'époque où nous nous occupions de ces recherches , paraissait, dans leb Annales des ponts et chaussées de Finance, la notice bien coii'jue de M. Collignon sur l'intégromèire de M. Deprez ; cette notice se termine par des considérations d'un ordre très élevé sur l'importance de l'intégration el les différentes opérations qui s'y rattachent; ces considérations ont facilité beaucoup notre travail.

intÉgratio>' graphique. 87

Les deux intégrales étant tracées, on peut leur donner plusieurs significations : 1° S'il s'agit d'une poutre entièrement libre, on prendra pour lignes de repère A, .x, parallèle à l'axe des x pour les efforts tranchants , Aj x.^ tangente à Tare Aa B^ pour les moments fléchissants ; 2° Si l'on veut avoir les moments des forces qui agissent sur une certaine longueur &e, force P comprise , on mènera les tangentes BjL' et E.2L' aux arcs qui précèdent et qui suivent ce groupe de forces; le moment de ce groupe autour d'une ligne d'ordonnée quelconque M;>i est représenté en grandeur et en signe par la portion de cette ordonnée comprise entre la tangente EjL' et la tangente B2 L'. Si la force P n'était pas comprise dans le groupe des forces considérées, il faudrait remplacer la tangente BL' par BL

Le point L' intersection de deux tangentes au lieu des M est un point de la résultante des forces comprises entre les points de contact de ces deux tangentes.

1»»7. Coiiiiaiiiisaiil le lieu «k's M, trouver le lieu «les K cl réial de sollicitation. — Il suffit pour résoudre ce problème, d'effectuer deux dérivations successives.

1° Si le lieu des M est un polj-gone a^ A, B, C,. . . (fig. 52), on trace l'axe du diagramme 0'?/' , on prend Po' égal à une base qui dépend des échelles, on mène par le pôle P des parallèles PA', PB', PC... aux côtés du lieu des M; on en déduit aisément le lieu des efforts tranchants ko A Bo B... ; les forces sollicitantes sont des forces isolées représentées A'B', B'C... La ligne de repère du lieu des K est la dérivée de celle du lieu des M ; si A, x, est la ligne de repère du lieu des M , celle du lieu des K sera Ao Xo.

2° Si le lieu des M est une courbe quelconque, il suffit de mener les rayons du diagramme parallèles aux tangentes à cette courbe; les ordonnées du diagramme relatives à ces rayons donnent les efforts tranchants ; en faisant la même opération sur le heu des K on obtient la courbe des charges. Lorsque le lieu des M présente un point angulaire, les deux tangentes en ce point donnent chacune un effort tranchant; la différence de ces deux efforts tranchants est la force isolée

88 INTEGRATION GRAPHIQUE.

qui agit au droit du jarret. Lorsque le lieu des M est formé d'arcs paraboliques du second degré, on n'applique la construction qu'aux tangentes extrêmes de chacun des arcs ; on obtient ainsi les extrémités de l'arc correspondant du lieu des K ; ce dernier arc étant une ligne droite e.st complètement déterminé par deux jjoints. Soit (fig. ô'.i) un lieu des M, Aî/'BjiCj... formé d'arcs paraboliques A^Bj, BjCj .. ; on mène PAj' PBo PB,'... parallèlement aux tangentes A^r, B^r, B2.9. .. ; on en déduit aisément le lieu des K, A, BoB, C,... En menant sur un nouveau diagramme PA', PC... parallèlement aux côtés A,Bo, B, C,..., on obtient la courbe des charges ; les forces isolées sont données par les variations brusques de l'effort tranchant.

1»*S. Reiiiar(|iic^. — 1° Il résulte des considérations qui précèdent qu'en intégrant deux fois la courbe des charges, on obtient les lieux des K et des M quelles que soient les conditions des appuis , la position et la grandeur de la poutre , ces éléments n'exerçant une influence que sur les lignes de repère.

2" Les mêmes charges peuvent donner lieu à une infinité d'intégrales premières et secondes qui ont entre elles les relations étudiées aux n*>s 12 et 64, savoir : les intégrales secondes ont leurs côtés et tangentes correspondants qui se coupent sur une droite fixe.

Pour passer d'une intégrale seconde à une autre, il suffit d'ailleurs de déplacer le pôle du diagramme et le déplacement du pôle est parallèle à la droite des points d'intersection des lignes correspondantes des deux intégrales. Par rapport à cette dernière droite, considérée comme ligne de repère, les deux intégrales secondes représentent une même fonction à des échelles différentes (55).

30 Si sur une certaine longueur de la poutre, on remplace les forces données par un système équivalent , c'est-àdire un système donnant la même résultante , l'effort tranchant et le moment fléchissant ne changent pas en dehors de la partie de la poutre où les modifications ont été faites ;

INTEGRATION GRAPHIQUE. 89

le lieu des M et des K ne sont modifiés que sur la partie où les forces ont changé.

Réciproquement si on remplace un arc du lieu des M par un autre ayant mêmes extrémités, cet autre lieu correspond à un groupe de forces équivalent au groupe des forces données qui agissent dans l'étendue de cet arc; cela résulte de de ce que , autour de tous les points situés en dehors de l'arc modifié, les moments de ces deux groupes sont identiques. Soit, par exemple (fig. 54)!, A2 B2 un lieu des M; remplaçons l'arc A.2 Bj par le polygone Aj C^ B.^ ; les forces nouvelles qui donnent le lieu à A» C^ B2 sont évidemment trois forces isolées ; on en obtient les grandeurs au moyen du diagramme.

Menons PA', PB' parallèlement aux tangentes en A^ et en Bj ; Pa', V'/ parallèlement aux côtés A^ C2 et C^ B2 ; A'a' : a'y , y'B sont les trois variations brusques de l'effort tranchant, c'est-à-dire, les trois forces isolées agissant en Aj , C2, Bg et faisant un système équivalent aux gi^oupes des forces données qui agissent sur l'arc AjBj. Si les côtés A2C2, C2B2 étaient dirigés suivant les tangentes en A2 et en Bj, les forces seraient nulles en ces points , c'est-à-dire que les forces données seraient remplacées par une force unique.

Si on remplace l'arc A2B2 par sa corde, la force ay est nulle, les forces données sont remplacées par deux forces passant par les extrémités de l'arc.

La modification du lieu des M entraine une modification du lieu des K ; au lieu A^ C^ B2 correspond le lieu Aj ajS y aB, ; il est à remarquer que les directions AjCa, C2B2 sont arbitraires, mais que la ligne A,a(3y!5Bi doit satisfaire à une condition et qu'on ne pourrait pas la tracer arbitrairement. Il faut, en effet, que les moments ne soient pas changés en dehors de la modification; comme les moments sont les surfaces couvertes par les efforts tranchants, cela exige que ces surfaces ne soient pas changées ; il faut par conséquent que les surfaces hachurées, situées au-dessus de l'arc A, B,, soient équivalentes aux surfaces hachurées situées en dessous de cet arc.

(JO INTEGRATION GRAPHIQUE.

§ 4. Ligne des résultantes successives des forces situées dans un plan.

A . Définitions . usages.

I»îO. IK'finîlîons. — Soient (fig. 55) Fo F, F2 F,, une série de forces s.i tuées dans un plan ; si on compose les forces Fo , F,, on obtient une première résultante partielle dirigée suivant une droite telle que AB ; si on compose cette première résultante avec F^ , on obtient une seconde résultante partielle dirigée suivant une droite telle que BC; cette seconde résultante composée avec F3 en donne une troisième et ainsi de suite ; la ligne ABCD sera appelée ligne des résultantes successives des forces données. Cette définition s'applique également au cas de forces infiniment petites et infiniment rapprochées ; la ligne des résultantes change alors continûment de direction sauf aux points où une force isolée intervient, où la courbe présente un jarret.

ISO. liîgnes de-» réiiiiillanle»» auxiliaires. — Il arrive souvent que les forces sont parallèles ou à peu près; dans ces conditions la ligne des résultantes se transporterait à l'infini ou du moins en dehors des limites du dessin,- c'est pour ce motif qu'il est souvent utile et prtsque toujours plus élégant d'introduire une force auxiliaire et de construire la ligne des résultantes de cette dernière avec les forces données. On obtient alors une ligne que nous désignerons par ligne des résultantes auxiliaires des forces données. Ainsi, par exemple, dans la fig. 55, supposons que F, , F2, F3... soient les forces données ; Fo la force auxiliaire ; la ligne ABCD est une ligne des résultantes auxiliaires des forces données.

Connaissant la résultante auxiliaire d'un groupe de forces, on peut en déduire la résultante efiective ; il suffit de composer cette résultante auxiliaire avec la force auxiliaire prise en sens contraire ; on fait disparaître de cette façon la force auxiliaire que l'on avait introduite pour faciliter la construction.

Soit , par exemple , à chercher la résultante des forces F, , Fa, F3, F4 (flg. 55), DE est la direction, de leur résultante auxiliaire; en composant cette dernière avec la force Fq changée de sens , on trouvera leur résultante effective qui passe évidemment par le point G intersection de DE et deFo. Pour simidifier le langage , nous énoncerons cette propriété en disant que : la résultante effective des forces données est égale à la résultante auxiliaire diminuée de la force auxiliaire , le mot diminué étant pris dans un sens statique et signifiant que l'on compose la première force avec l'autre changée de sens.

131. La ré«*ultante efTectiio «fiiu groupe de forcct!» !iiiicce»ti<>ives e»<it ôg;ale à la ré.^iillaiile auxiliaire qui .«uit ce groupe dimiuuee de celle qui précède. — Soit, par exemple , à chercher la résultante des forces F^ , F3 , F4 ; si nous considérons la résultante dirigée suivant la ligne A B qui précède les forces à composer, comme une force auxiliaire , A B C D E devient la ligne des résultantes auxiliaires des seules forces F2 , F3, F4 ; on en conclut que la résultante effective de ces forces est la résultante DE diminuée de la résultante AB : c'est ce qu'il fallait démontrer.

13*». Usages.— La considération des lignes de résultantes eftéctives ou auxiliaires est très importante et s'applique à un grand nombre de questions qui intéressent l'art de l'ingénieur. Nous venons de voir qu'elle permet de composer les forces dans un plan. La ligne des résultantes auxiliaires est aussi la forme d'équilibre d'un fil ou polygone funiculaire sollicité par les forces données, la force auxiliaire étant la tension du premier cordon ; il résulte en effet de la définition même de la ligne des résultantes, que chaque élément du fil dont il s'agit, sera sollicité suivant sa direction. Le polygone des pressions d'une voûte est aussi une ligne des résultantes auxiliaires dans laquelle les forces données sont les poids des voussoirs , la poussée jouant le rôle de force auxiliaire.

92 INTEGRATION GRAPHIQUE.

B. Forces parallèles.

133. Lia ligne Aqs rcitultanlos auxiliaires de forées parallèles eontiiiùnient réparties ou isolées esl une inlé§;rale seeonde des forées données ; les ordonnées el les rayons du diagramme de la seeonde intégralion représentant respeelivement les résultantes eflTeetives et auxiliaires des forces données. — Supposons par la pensée que les forces données (fig. 51) agissent sur une poutre droite per- ])endiculaire à leur direction; nous représenterons les forces continûment réparties par une courbe A B, dite courbe des charges, dont les ordonnées représentent les forces par unité de longueur delà poutre. Effectuons une première intégration de la courbe AB , en tenant compte des forces isolées , comme s'il s'agissait de déterminer les lieux des efforts tranchants delà poutre ab , supposée entièrement libre ; soit Bi Al l'intégrale ra[tportée ù la droite B, x^ parallèle k ah ; l'ordonnée C, t\ d'un point quelconque de cette intégrale représente la somme algébrique des forces qui agissent à droite de cette ordonnée ; c'est précisément la résultante effective des forces dont il s'agit.

Effectuons une seconde intégration, en adoptant pour pôle du diagramme un point P', tel que le rayon P' B'j qui donne la direction du premier élément de l'intégrale seconde, représente en grandeur et direction la force auxiliaire X. Soit P' C'i le rayon du diagramme qui donne la direction de la tangente en un point C^ de l'intégrale seconde ; d'après ce qui précède, P' B', représente la force auxiliaire X, B', C, la résultante effective des forces qui agissent à droite du point c ; on en conclut en vertu de la règle du polygone des forces, que P'C'i représente en grandeur et direction , la résultante auxiliaire de ces mêmes forces.

Enfin, si l'intégrale seconde BjAs est tracée de manière que son premier élément soit dirigé suivant l'alignement de la foroe X, tous les autres éléments de cette intégrale seront dirigés suivant les résultantes auxiliaires successives des

INTEGRATION GRAPHIQUE. 93

forces données; c'est donc la ligne des résultantes auxiliaires cherchée : cela achève la démonstration du théorème énonce (Ij.

131. l*ro|»riêié!« diierses. — Une ligne des résultantes auxiliaires étant une intégrale seconde des forces données , peut être aussi considéi'ée connne une courbe de moments fléchissants et jouit par conséquent des propriétés de cette dernière; ces propriétés se démontreraient d'ailleurs directement avec la [dus grande facilité; nous nous contenterons de les énoncer :

1° Pour passer d'une ligne de résultantes auxiliaires à une autre , il sulïlt de dei)lacer le pôle ; les côtés , cordes et tangentes correspondants des deux lignes se coupent sur une droite fixe parallèle au déplacement du pôle.

2'' Si on remplace un arc de la ligne des résultantes auxiliau^es par un autre , on obtient une ligne des résultantes relative à un système de forces équivalent au système des forces données ; réciproquement si on remplace un groupe de forces par un système équivalent, la ligne des résultantes n'est moditiee que dans l'étendue oii les forces ont changé.

3'^ Si, en particulier, on remplace un groupe de forces par leur résultante, l'arc correspondant est remplacé par les tangentes qui précèdent et qui suivent les forces modiliées.

4'^ Si on remplace un groupe de forces par des foi ces donnant même résultante et agissant aux extrémités de l'arc où les moditications se produisent , cet arc est remplacé par sa corde.

135. Problèmes. — Pour qu'une ligne de résultantes auxiliaires soit déterminée, il faut connaître la grandeur, la direction et la position de la force auxiliaire ou bien ti-ois conditions qui remplacent ces éléments. On peut se donner

(1) Appliquée au cas de forces isolées, cette coostructioa conduil au tracé cunnu du polygone fuuiculaire au moyen du polygone de Vaviguon , tracé dout il est fait grand usage dans les traités de statique graphique , pour étudier l'équilibre des forces, leur composition et déconapositiou.

comme coiidition soit la direction d'une tangente ou résultante , la direction d'une corde, la grandeur d'une résultante ; mais à ces conditions de grandeur et de direction, il faut toujours ajouter une condition de position telle qu'un point de la ligne, sinon on i)ourrait déplacer cette dernière j)arallèlement à la verticale sans modifier les autres conditions, et il .y aurait indétermination. Cela étant, tous les problèmes que l'on [)eut poser relativement à une." ligne de résultantes se ramènent à celui-ci: connai.ssant deux conditions de grandeur ou direction et une condition de position , trouver la ligne des résultantes auxiliaires des forces données. Pour résoudre ce problème, on commence par effectuer la première intégration, on obtient de cette façon les ordonnées du diagramme de la seconde intégration; pour déterminer complètement ce diagramme, il faudrait en connaître le pôle; les conditions de grandeur et de direction suflisent pour déterminer ce point. Si, par exemple, on donne les directions des deux résultantes PA',, PC, (fig. 51) le pôle P se trouve à l'intersection de deux droites connues; si on donne la grandeur PA'i et la direction P'C',, le pôle P se trouve à l'intersection d'une droite et d'un cercle. Le diagramme étant déterminé, la condition de position détermine complètement la résultante.

136. Exea»|»le. — Étant donné un système de forces parallèles isolées, construire une ligne de résultantes dont trois côtés passent par trois points donnés. Soient (fig. 56) P,, P2, P5. . . les forces données, L, K, H les points donnés de ligne des résultantes auxiliaires cherchée. Commençons par construire une intégrale seconde quelconque ; la première intégration se réduit à une simple addition ; en portant les forces botit à bout en 01, 12, 23..., on obtient en 01, 02, 03... les ordonnées du diagramme de la seconde intégration (n'' 126) ; si nous prenons un pôle quelconque P, on en déduit l'intégrale HA'.B' C. . .; il s'agit de déduire de cette intégrale une autre intégrale seconde HABC... passant par les 3 points H, Kl L. Pour y arriver, menons sur le diagramme PI, P'J parallèlement aux cordes H K', KL' qui correspondent aux

INTliGilATION Gll.VPHKiUE. 05

cordes connues HK,KL de lintégmle seconde cherciir>e ; le pôle du diagi-amnie relatif à cette dernière se détermine eu menant PI parallèlement à la corde HK et P J parallèlement à KL; connaissant le pôle P on obtient aisément Tintégrale cherchée H A B C. . .

Autre construction. — Ou peut aussi déduire l'intégrale cherchée ABC... de l'intégrale connue A'B'C... de la manière suivante :

Les côtés correspondants HK, HK' se coupent au point H ; les cotés correspondants KL , K' L', au point iM ; la droite H M est donc le lieu des points d'intersection des cordes et tangentes correspondantes des deux intégrales. Soit à chercher le i)oint F de l'intégrale inconnue; menons F' K' jusqu'à la rencontre N de la droite HM; en menant NK on aura la corde correspondant à F'K' et par suite le point F. On obtiendrait de cette laçou autant de points que l'on voudrait.

IS?. Kqiiiliure et coiuiiosilion de»» force!» parallèle!».

— Pour que les lorces parallèles données se lassent équilibre, il faut et il suffit que la résultante auxiliaire de toutes les lorces données soit identique avec la lorce auxiliaire; en d'autres termes, les tangentes extrêmes de la ligne des résultantes se confondent et iermenl en les prolongeant la ligne des résultantes auxiliaires.

Lorsque les tangentes extrêmes se coupent , les forces donnent une résultante qui passe par le point d'intersection de ces tangentes : cette résultante est donnée en grandeur par l'ordonnée du diagramme. Si enfin, les tangentes extrêmes sont parallèles sans se confondre, les forces données se ramènent à un couple, savoir: la résultante auxiliaire des forces données et la force auxiliaire prise en sens contraire.

Ces considérations s'appliquent aussi à un groupe quelconque de forces successives; ainsi, par exemple, pour qu'un groupe de forces successives soit en équilibre, il faut et il suffit que les résultantes auxiliaires qui précèdent et qui suivent les forces considérées soient identiques et fassent avec l'arc de la ligne des résullantes un contour lérme,

13$. décomposer un i«y!«>tèiiic de forces |>aralléles en trois composanfes dirigées suivani Irois droites connues.

— Soit X' C'A' (fig. 57'j la ligue des ré.sultantes auxiliaires des forces données relative au diagi'amme P'OI ; soient X, Y, Z les trois composantes cherchées dont on connaît les alignements; il faut que la résultante des forces X, Y, Z .soit identique avec la résultante des forces dounçes , ou , ce qui revient au même, que la résultante des forces Y, Z soit identique avec la résultante des forces données combinées avec la force — X; eu d'autres termes, en prenant— X comme force auxiliaire, la résultante auxiliaire des forces données doit passer par le point A intersection des forces Y et Z. Le problème est ramené à un cas particulier du problème du n° 135, savoir: construire une ligne des resultautes auxiliaires, connaissant un point A et un côté BX alignement de la force auxiliaire.

Menons AB, corde quelconque de la ligne cherchée; soit A' B' la corde correspondante dans la ligne connue. Soit sur le diagramme P'O , P'I les directions des côtés X'B' et B'A'; ces côtés ont pour correspondants dans la ligne des résultantes inconnues les côtés connus XB et BA ; on obtient le pôle P de l'intégrale cherchée en menant IP et OP parallèlement à AB et BX ; PO est la force — X , OP la force X.

Soit Va' la direction de la tangente au point A' ; Pa' sera la direction de la tangente en A et par conséquent la résultante des forces Y , Z , forces que l'on trouve par la règle du polygone des forces, en menant PP. parallèlement à Z et fl'Pi parallèlement à Y. En résume on a :

— X = POouX -- OP,Z = PPi, Y = Pi«'. Cas 2icii'ticiiliei-. — Supposons que les forces données se réduisent à une tbrce unique R connue, coupant la force X au point D ; la résultante des forces R et — X doit passer parle point A; en remplaçant les forces données par leur résistante R , la ligne des résistantes auxiliaires de ces forces et de la force — X seréduit au polj'gone XDA; soient donc Oa' = R, a'P itarallèle à AU , OP parallèle à DX ; on a PO = — X; Pa'; comme précédemuient , donnerait Y et Z jjar une décomposition.