C. Forces quelconques

flctO. Ti'aci!^ grapiiiquc pour le ans <le foi*ccj« ii^oléc*::.

— Soient (fig 55) FoFiF^ . . , . les forces données dont ou demande la ligne des résultantes; portons ces forces bout à bout , à partir d'un point quelconque P en PO; 01 , 12, 23...; d'après la règle du polygone des forces, leurs résultantes successives seront représentées en grandeur et direction par les droites PO , PI, P2 , le point A, intersection des forces.Fo , F i , est un point de la résultante de ces deux forces; on obtiendra donc la ligne des résultantes cherchées en

(1) Dans les ouvrages de statique graphique, on compose l^s forces dans un plan par la conii.léraiion du polygone funiculaire ; nous y avons subsiiiué l'idée de la ligne des résultantes auxiliaires; celte idée nous a paru plus simple: elle nous a permis de i-etrouver facilement les constructioi:s de la staiique graphique (139, 140, 141); elle nous a fait découvrir eu outre des construciions nouvelles (144, 145).

Nous avons traité !e cas de forces isolées; le cas de t'orces continûment réparties non parallèles se rencontrent dans la courbe funiculaire et la trajectoire d'un point. Si ë est la coirdonnée géométrique dun point mobile (voir notre cours de mécanique pour la signitication de cette

exnression) si est égal a des constantes connues pendant les inter-

valles qui séparent les instants f „ , f , , ï. . etc....; on peut troaver ë à chacun de ces instants par un polygone circonscrit à la trajectoire au moyen d'une construction c]ui n'est que la généialisaiion de la constructicn du numéro 69. La ligne des résultantes successives de forces isolées est la trajectoire d'un point soumis à des percussions ; c'esi aussi une intégrale seconde géométrique, la première intégration est une addition géométrique. Nous ne pouvons pas ici dévelop[ier ces considérations un peu vagues , elles suffisent pour montrer que les tracés g ra{.hii|ues qu vont suivre sont intimement liés à l'intégration graphique et pour expliquer leur présence dans ce mémoire. Nous considérons la statique graphique comme un ciis jiarliculier de l'intégration graphique appliquée au cas où leb lééiriLLis (ju'il s'agit d ajouter cnt d< s diiections variables.

98 lntÉguatiox graphique.

menant t^ucce.>sivement AB, BC, CD,... i>arallèlement aux directions Po, Pi, P2... La figure P012... est le diagramme des résultantes; P origine commune de ces dernières est le pôle du diagramme.

Si on donne seulement les forces P'i , F, , Fj... , la force Fo devient force auxiliaire et peut être choisie arbitrairement; on obtient alors une ligne des résultantes auxdiaires des forces données. On a donc la construction suivante : pour obtenir une ligne des résultantes auxiliaires de forces données Fi , Fj , F3... , on porte ces forces bout à bout en 01 , 12 , 23... ; on joint les sommets du poh'gone des forces ainsi obtenu à un pôle quelconque P ; partant d'un point arbitraire I , on mène un polj'gone lABCD. . . dont les sommets se trouvent sur les alignements des forces données et dont les côtés soient parallèles aux directions PI, P2, P3; le polygone obtenu est la ligne des résultantes auxiliaires cherchées; PO est la force auxiliaire PI, P2, P3... les résultantes auxiliaires en grandeur et direction"^.

I 40. Thêorëuie .««iir le dé|»laeemeiîl du pôle. — Si OU déplace le pôle du diagranmie des résultantes auxiliaires , on obtient une nouvelle ligne de résultantes dont les côtés coui)ent les côtés correspondants en des points situés sur une droite fixe parallèle au déplacement du pôle.

Soient (fig. 55) lABC D la ligne des résultantes auxiliaires des forces données relative au pôle P, l'A'B'C'D' la ligne des résultantes auxiliaires relative au pôle P'. On peut considérer la nouvelle force auxiliaire P'O comme la résultante de la force auxiliaire primitive P 0 et d'une nouvelle force représentée par P'P en grandeur et direction et agissant suivant une dioite H' passant par l'intersection I des alignements des deux torées auxiliaires ; il résulte de là que pour pour obtenir une résultante B'C il suffit de composer la résultante BC avec la force IF; on en conclut que B'C passe par le point d'intersection des droites BCetir ou, ce qui revient au même , que les deux droites B C , B'C se coupent sur la droite fixe H': c'est ce qu'il fallait démontrer.

l'ai, Moment «les foroos niitoiii' d'un {loiatt. — Soit (fig. 55) à clierclier la S(3mme des moments des forces F^, F3, Fi autour du point K ou, ce qui revient au même, le moment de leur résultante autour du même point. Cette résultante est représentée en grandeur et direction par 14; si par le point K on mène une droite NN' parallèle à 14, les forces F2F3 Fi donneront même moment total autour de tous les points de cette droite ; nous [)rendrons le [)oint N sur la ligne des résultantes auxiliaires comme centre des moments. En exprimant que la somme des moments autour du point N des composantes de la résultante DC est égale à C, on obtient l'équation :

M-FZ,

formule dans laquelle M désigne le moment cherché , F la force auxiliaire AB, Z la «listance du roint N à la force auxiliaire AB. Il résulte de cette équation que le moment cherché est proportionnel à la distance Z ou N N" ; on eu conclut que NN" représente le moment cherche à une certaine échelle.

Pour calculer cette échelle , rendons homogène l'équation précédente, ou obtient :

Ibrmule dans laquelle a, b, c désignent resiicctivement les

unîtes des échelles des longueurs, des forces et des moments,

et m,f, z les longueurs qui représentent les quantités M, F, Z.

Pour que N N" ou Z représente le moment M, on doit avoir

m = z, ce qui exige que l'on ait :

1 / 1, , ub

- = — - d ou c = — — .

c ab f

11 résulte de cette valeur de c qi;e Tinfluence de la longueur /"sur 1 "échelle des moments est la même que si /'était une base d'intégration.

100 INTEGRATION GRAPHIQUE.

14». Siih^tiliition à un gjroiipc de forces snccessHes

«Fuii système équîviilenl. — Si on remplace un groupe de forces successives par un système équivalent, les résultantes auxiliaires qui précèdent et qui suivent les forces modifiées , ne sont pas changées. Réciproquement, on peut modifier à volonté une partie de la ligne des résultantes auxiliaires des forces données; si on se donne à volonté les résultantes auxiliaires qui agissent suivant les côtés de la nouvelle ligne, cette dernière correspond à un système de forces que Ton déterminera aisément en menant les rayons du diagramme représentant les nouvelles résultantes auxiliaires. Si les résultantes auxiliaires qui précèdent et qui suivent les côtés modifiés, ne sont pas changées, le nouveau système est équivalent au système donné. Quelques exemples éclairciront ces généralités.

1° Nous pouvons remplacer le polygone BCD E (fig. 55) par les côtés BC,D E prolongés jusqu'à leur point d'intersection M ; les forces Fj, F^ sont alors remplacées par une force unique appliquée en M et qui est représentée en grandeur et direction sur le diagramme i)ar 24.

2° Nous pouvons remplacer le polygone F CD E par la corde EF ; menons PJ [tarallèle à EF et égale à la grandeur arbitraire de la résultante auxiliaire dirigée suivant FE; les forces F3, F4 sont remplacées par deux forces F'j, F'^ passant respectivement par les points F et E et représentées en grandeur et direction par2JetJ4; en faisant varier la résultante auxiliaire PJ, on obtient une infinité de systèmes de deux forces passant par les points F et E et équivaleut au système des deux forces données F,, F^ ; les deux nouvelles forces F'3, F'4, doivent se couper sur la résultante des forces qu'elles remplacent. En résumé, en remplaçant un contour d'une ligne de résultantes auxiliaires par sa corde , on concentre les forces qui agissent sur ce contour en deux résultantes passant par les extrémités der cette corde , mais il y a une infinité de modes de concentration.

30 Si nous admettons un mode de concentration déterminé soit, par exemple, le système des forces F'j, F'^ remplaçant

les forces qui agissent sur le contour F CDE /si nous conservons ce même mode de concentration pour une autre ligne des résultantes auxiliaires A'B'C'D'E' des; mêmes ibrces données, les cordes E F et E' F' peuvent être considérées comme deux côtés correspondants des lignes de résultantes ABFE etA'B'F'E', et se coupentsur la droite fixeir(n°149). Par l'absurde on démontrerait aisément que si les cordes EF, E'F' s'appuient sur deux côtés correspondantsïle deux lignes des résultantes auxiliaires des mêmes forces et se coupent sur la droite flxe II', ces cordes correspondent à ;un même système de concentration d'un groupe des forces données en deux résultantes. On peut remarquer que contrairement à ce qui se passe dans le cas de forces parallèles , les cordes qui joignent des sommets correspondants telles'que AD,A'D' ne se coupent généralement pas sur la droite .fixe II' ; pour que cela arrive , il faudrait qu'il fût possible de concentrer les forces qui agissent dans l'étendue de ces cordes , en deux forces dirigées suivant A A' et DD' ou, ce.- qui revient^ au même, que la résultante du groupe des forces données dont ilsagit, passât par l'intersection des droites ;A A' et DD'; cette circonstance ne se présentera que dans certains cas particuliers, notamment dans celui des forces concourantes ou parallèles (1 >.

143. Équilibre et eoiu|>o<»ition des forces. —Nous avons vu au n" 130 que la résultante effective desTorces données est égale à la résultante auxiliaire de ces forces , combinée avec la force auxiliaire changée de sens ; cette résultante est donnée en grandeur et direction par' la droite qui forme le polygone des forces ; en position elle passe par le point d'intersection des côtés extrêmes de la ligneMes résultantes au xiliaires.

( I) Parmi tous les modes de coucentration, le plus simple est la conceutraiioa par forces parallèles; soit E, F, une corde, les forces données Fj F^ ont une résultante représentée sur le diagramme par 2J,, ; les forces concentrées doivent être parallèles k celle résultante; menons PJ, parallèlement à E, F, , on obtient les forces concentrées en 2 J, et J, 4.

102 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Si les forces données forment un poly^jono fermé, la résultante auxiliaire est égale et parallèle à la force auxiliaire ; les forces données se ramènent à un couple, savoir: la résultante auxiliaire et la force auxiliaire changée de sens.

Si non-seulement les forces données forment un i)olygone fermé, mais si, en outre , la résultante auxiliaire agit dans le même alignement que la ligne des résultantes, ou , ce qui revient au même, si la ligne des résultantes se ferme par la résultante auxiliaire prolongée , le couple dont il vient d être question s'annule, les forces se font équilibre. Les réciproques de ces propriétés sont évidentes.

1-11. Problèmes divers. — Comme dans le cas de forces parallèles, les différents i)ioblèmes que l'on peut poser sur la détermination d'une ligne de résultantes auxiliaires de forces données se ramènent à celui-ci : connaissant trois conditions dont une déposition, trouver la ligne des résultantes auxiliaires de forces données. L'exemple qui suit montre suffisamment la marche à suivre pour résoudre tous ces problèmes.

Exemple. — Construire une ligne des résultantes auxiliaires des forces données connaissant trois points de cette ligne. Soit I ABCD E (fig. 55') une ligne des résultantes auxiliaires quelconque des forces données ; proposons-nous d'en déduire une autre telle que les côtés correspondants aux côtés lA, BC, ED passent respectivement par les trois p.oints connus K', F', E'. En prolongeant les côtés AL CB, ED TOUS remplaçons la ligne des résultantes connue par I LME, relative à deux forces LR, MR dont les grandeurs et directions sont données sur le aiagramme i)ar 02 et 24 ; joignons le point R, intersection de ces deux forces, aux points K', F', E' ; ces droites déterminent les cordes F K, F E de la ligne connue. Nous pouvons décomposer la force LR suivant les droites RK etRF, les cordes FK et F' K' correspondent donc à un même mode de concentration des forces données ; il en est de même des cordes EF et E'F'. On en conclut que ces cordes se coupent mutuellement en des points T et S qui déterminent la droite fixe H' sur laquelle se coupent les côtés

INTEGRATION GRAPHIQUE. 103

correspondants de la ligne connue et de la ligne cherchée. Au moyen de cette droite on peut obtenir successivement tous les côtés de la ligne cherchée; ainsi le côté AK coupe la droite TS au point 1 , enjoignant IK' on obtient le côté K'A' correspondant au côté AK ; le côté AB coupe la droite TS au point 1', enjoignant l'A' on obtient le côté A'B' corresfiondant au côté AB et ainsi de suite (1).

On peut aussi obtenir la ligne cherchée, sans utiliser la droite TS, en déterminant le nouveau pôle P' qui iburnit la ligne des résultantes auxiliaires demandée ; pour y arriver , remplaçons la ligne connue lABCDE par le polygone IKFE; nous concentrons ainsi les forces données en trois forces (juc nous supposerons dirigées suivant les droites KR, FR, ER ; le polj'gone de ces trois forces s'obtient en menant i^ar les points 0, 2, 4 rcsiiectivement les droites OH, HJ, J A parallèlement aux droites KR,FR, ER ; comme véritication les droites PH, PJ doivent être parallèles aux droites K F et FE. Le polj'gone l'K'F'E' correspondant aux mêmes forces, on obtiendra le nouveau pôle P' en menant H P' parallèlement à K'F' et JP' parallèlement ù EF. Connaissant le pôle P' on obtient aisément la ligne des résultantes auxiliaires I A' B'C D' E' qui y correspond.

145. Eléeoiiipo>>er un |£;ron]>o de foi'CfM en troix eoiiiposantc»» dont on connait les alignenienliiï. — Soit (fig. 58) X'ABCDE la ligne des résultantes auxiliaires des forces données relative à un pôle P; soient X, Y, Z les trois composantes cherchées dont on connaît les alignements. Il faut que la résultante des forces X, Y , Z soit identique avec la résultante des forces données , ou, ce qui revient au même , que la résultante des forces combinées avec la force —X soit

( 1 ) On peut simplifier cette construction en opérant une concentration [)arallèle ; les forces F, P^ se concentrent en deux forces parallèles,- [)assant respectivein^-nt par E' et F', on obtient la corde E, F, qui correspond à E'F': on trouve de même la cor le F^ K, qui correspond a F' K' ; la construction s'achève alors sans difficulté.

104 INTEGRATION GRAPHIQUE.

identique avec la résultante des forces Y et Z; en d'autres termes, en prenant — X comme force auxiliaire, la résultante auxiliaire des forces données doit passer par le point E' intersection des forces Y et Z. Le problème est ramené à un cas particulier du problème général du numéro précédent , savoir : construire une ligne de résultantes auxiliaires des forces données , connaissant un point E du côté correspondant au côté D E et l'alignement X de la force auxiliaire.

Pour résoudre ce problème, concentrons les forces données en deux [)oints E et I des côtés XA et DE , de telle sorte que l'une des forces soit dirigée suivant EP7; il suffît pour cela de mener PH parallèlement à El, et 4 H parallèlement à EE', on obtient en OH la direction de l'autre force dont H' est l'alignement ; les cordes El et E' F corresi)ondent au même mode de concentration des forces données. On obtiendra le pôle P' de la ligne cherchée en menant HP' parallèlement à ET et OP' parallèlement à la force X; on obtient ainsi la force — X en P'O, OP' représente la force X. La droite P'4 reprérentela résultante des Y et Z, que l'on trouve par la règle du polygone des forces , en menant P' P" parallèlement àZ et 4 P" parallèlement à Y. En résumé, on a : X=OP,Z=P'P", Y=P"4.

Lorsque les forces données se ramènent à une résultante unique connue de grandeur et de position , la construction du cas particulier du n'^ 138 peut s'appliquer.

§ 5. Équilibre des systèmes articulés.

148. UéGnition<iot contention!». — Un système articulé est formé de barres invariables articulées à leurs extrémités; chacune des barres, pour être en équilibre , doit être sollicitée suivant sa direction par deux efforts égaux et de sens contraire. Soit AB une barre quelconque (fig. 59) ; si nous coupons cette barre par une section xM, l'action du tronçon B M sur le tronçon A M est appelée la tension de la barre AB et quand nous nous proposerons de chercher cette tension, nous donnerons à la barre le sens de A vers B. Au con-

INTEGRATIO.X GRAPHIQUE. 105

traire , la force qui sollicite le tronçon BM sera appelée tension de la barre B A , et quand nous nous proposerons de chercher cette tension, nous donnerons à la barre le sens de B vers A. Ces conventi'»ns étant admises , il est facile de voir qu'une barre sera étendue ou comprimée suivant que sa tension sera de même sens ou de sens contraire à ellemême, ce que l'on peut encore exprimer en disant que la tension est positive ou négative, suivant qu'elle est de même sens on de sens contraire à la barre qu'elle sollicite.