Condition!» d'équilibre dCiiit {toly^onc funiculaire

tensions des i>arres. — On appelle polygone funiculaire un polygone forme de barres invariables articulées l'une à l'autre à leurs extrémités, les barres étendues pouvant être remplacées par des cordons inextensibles. SoitABCDEF (fig. 60) un polygone funiculaire fermé supposé eu équilibre ; coupons, par la pensée, la barre AB par une section M et remplaçons l'action de la partie enlevée A M par la tension X de la barre BA ; considérons une barre quelconque DC comme un levier mobile autour du point D ; cette barre est sollicitée par les forces extérieures qui agissent du point C au point M, composées avec la force X ; pour l'équilibre de la barre DC, il faut qu'elle soit dirigée suivant la résultante de toutes ses forces ; on en conclut que le polj^gone ABCD . . . est une ligne de résultantes auxiliaires des forces données, la tension X de la barre B A jouant le rôle de force auxiliaire. Si nous portons les forces bout à bout eu G, 1,2, 3..., si nous prenons PO égal à X, les résultantes auxiliaires seront données en grandeur et direction par les droites P l , P2, P 3... qui représentent les tensions des barres CB, DC, ED. . . Si nous parcourons tout le polygone, nous revenons à la barre B A dont la tension est la résultante auxiliaire de toutes les forces extérieures : cette tension doit d'ailleurs être identique avec la force auxiliaire X, ce qui exige que le polygone des forces soit fermé (P6 doit être identique à PO) ; cette condition, jointe à celle que la ligne des résultantes auxiliaires est fermée, exprime (n" 143) que les forces exté-

106 INTEGRATION GKA.l'HlyUi;.

rieures se l'ont équilibre, indépondamment des tensions des barrais , condition évidente a priori.

Réciproquement , le polygone luniculaire est en équilibre, s"il est établi suivant une ligue des résultantes auxiliaires fermée des forces données supposées former un système en équilibre. Cela résulte évidemment de ce que, si l'on suppose la barre BA sollicitée par la force auxiliaire X, toutes les autres barres seront sollicitées suivant leur direction, la dernière barre Bx\ étant d'ailleurs en équilibre sous l'action de deux elibrts égaux et opposes.

On peut résumer comme il suit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un polygone funiculaire soit en équilibre : si on porte bout à bout les forces extérieures dans l'ordre où on les rencontre en suivant le polygone funiculaire dans un certain sens (sens de la grande tlèclie) , le polygone des forces doit se fermer. En menant ensuite par les somaiets de ce polygone des i)arallèles aux côtés du polygone funiculaire, de telle façon, que par l'extrémité d'une force, on mène la parallèle à la barre qui suit cette force sur le polygone funiculaire, toutes ces parallèles doivent se couper en un pôle fixe. Les longueurs de ces parallèles , en leur donnant ce pôle pour origine , représentent les tensions des barres du polygone funiculaire en donnant à ces barres un sens (celui des petites flèches) op[iose à celui que l'on a suivi pour combiner les forces.

Cette règle permet de trouver avec lacilité le signe des tensions des barres ; il suffit pour cela de suivre par la pensée les barres du polygone funiculaire dans le sens des petites flèches opposé à celui que l'on a suivi pour combiner les forces , de suivre en même temps les droites du diagramme qui représentent ces tensions en partant du pôle : les tensions sont positives ou négatives suivant que l'on marche dans le même sens ou en sens contraire sur le polygone funiculaire et sur le diagramme des tensions.

l-âS». Hieiuarquess. — 1" Si le polygone funiculaire était ouvert et entièrement libre , il n'y aurait aucune force auxiliaire à introduire à l'origine du polygone ; le polygone de-

vrait être établi suivant la ligne des résultantes effectives des forces données ; à Textrémité du polygone la résultante devrait être nulle.

2^^ Si le polygone funiculaire était ouvert mais fixé à ses deux extrémités, la tension de la première barre jouerait encore le rôle de force auxiliaire ; le polygone devrait être établi suivant une ligne des résultantes auxdiaires des lorce.s extérieures ; les tensions des barres extrêmes seraient les réactions des points fixes.

1 40. Polygone fiiiiiculairu avvc barre:» ^!»n|>|tléineiilaire:^. — Soient ABCDEFGHIK (fig. GI)un polygone funiculaire fermé, CF une bari-e supplémentaire; nous pouvons par la pensée enlever la barre G F et la remplacer par des efforts Y, — Y , agissant en C et en F et égaux aux tensions de la barre CF et de la bari'e FC. Coupons par la pensée la barre KA , prise comme première barre, et introduisons sa tension X; considérons d'abord la partie X ABC qui précède la barre sup[)l>mentaire ; une barre quelconque BC sera sollicitée par la résultante des forces qui agissc>nt aux points B et A combinées avec la force auxiliaire X; la [tai'tie XABC doit donc être établie suivant une ligne des résultantes auxiliaires des forces données, la tensicm de la première barre A X jouant le rôle de force auxiliaire. Soit 0 123456 7... le polj'goce des forces extérieures, I 0 la force auxiliaire, PI, P2 donneront les tensions des barres BA et CB. Ce raisonnement peut aussi s'appliquer à.la partie FGHIK qui suit la barre supplémentaire ; il faut alors introduire les deux forces Y et — Y , mais comme elles se font équilibre, il est inutile d'en tenir compte; la partie F GHIK doit donc encore être établie suivant la ligne des résultantes des forces extérieures relative à la force auxiliaire X. En suivant cette ligne F GHIK on revient à la barre AK dont la tension est la résultante auxiliaire de toutes les forces données ; cette tension doit d'ailleurs être égale à la force auxiliaire X , ce qui exige que le polygone des forces soit fermé ; cette condition, jointe à celle que la ligne des résultantes auxiliaires est fermée , exprime que les forces données forment un système en équilibre.

108 INTEGRATION^ GRAPHIQUE.

Il nous reste à^cori>i(]érer la partie C DEF ; si nous considérons , par exemple, la barre ED, elle est sollicitée par les forces qui agissent aux points A, B, C, D combinées avec les deux forces Y et X, ou , ce qui revient au même , combinées avec une force X' résultante des deux forces Y et X ; eu d'autres termes, la partie CDEF doit être établie suivant la licne des résultantes auxiliaires des forces données relative à la force auxiliaire X'. Cette force X' s'obtient en grandeur et direction en portant P' P égale et parallèle à Y , P'O est la force X' ; il résulte de là que P'3 , P'4 , P'5 donnent les tensions des barres DC, ED, FE.

En résumé, nous pouvons dire que le contour FGHIKABC fait partie d'une ligue des résultantes auxiliaires des forces extérieures relative à uu pôle P; le contour COEF fait partie d'une autre ligue des résultantes auxiliaires des forces données, relative à un pôle P' ; la droite qui joint le nouveau pôle P' au pôle P représente la tension de la barre CF. Si , faisant abstraction des forces Y et — Y , on prolongeait la ligne des résultantes relative au pôle P, on obtiendrait le polygone fermé ABC D'E'FGHIK A ; de même, en prolongeant la ligne des résultantes relative au pôle P', ou obtiendrait le polygone CDEFG'H'I'K'A'B'C ; ces deux lignes ont une corde commune CF et comme elles satisfont à la propriété du 11° 140, leurs côtés correspondants doivent se couper sur une droite tixe qui n'est autre que CF.

Rien n'est plus facile que d'étendre les considérations qui précèdent au cas de plusieurs barres supplémentaires ; il ne sera pas même nécessaire de faire une nouvelle figure. Coupons Tune des barres extérieures prise comme première barre, et introduisons sa tension X, que nous considérons comme force auxiliaire ; suivons les autres barres extérieures dans un certain sens ; il est évident que si nous ne rencontrons aucune barre intérieure, les tensions des barres extérieures prises en senscontraiie de la marche suivie sont les résultantes auxiliaires des forces données combinées avec la force auxiliaire X; lorsque nous rencontrerons une barre intérieure dont la tension est Y ., les barres qui suivent se-

ront sollicitées par les résultantes auxiliaires des forces données relatives à une nouvelle force auxiliaire X', résultante des forces X et Y ; lorsque nous rencontrerons une seconde barre intérieure dont la tension est Z, les barres qui suivent seront sollicitées par les résultantes auxiliaires des forces données relatives à une force auxiliaire X", résultante des forces XYZ, et ainsi de suite. Il résulte de laque si on construit le polygone des forces extérieures , les tensions des barres seront représentées par des droites aboutissant à ce polygone et ayant pour origine certains pôles P, P', P".. . dont les positions dépendent des forces auxiliaires X,X',X"...

Ces pôles P, P', P" ont entre eux certaines relations ; lorsque, en suivant le polygone extérieur, nous rencontrerons une hRYi-e intérieure, le pôle des tensions subira un déplacement, et la droite qui joint le nouveau pôle à l'ancien représente l'action de cette barre intérieure sur le polygone; un déplacement de ce genre se produira à chacune des barres intérieures; si donc, nous considérons deux barres quelconques du polygone funiculaire, telles qu'en marchant de l'une à l'autre, on rencontre plusieurs barres intérieures; la distance du pôle de la seconde barre à celui de la première est la résultante des actions sur le polygone de toutes les barres intérieures rencontrées ; remarquons d'ailleurs que toutes les barres complètes que l'on rencontre, c'est-à-dire les barres dont on rencontre les deux extrémités, n'exercent aucune influence sur la distance des pôles dont nous nous occupons , puisque ces barres donnent lieu à deux déplacements égaux et contraires du pôle des tensions.

Nous appellerons barres incomplètes les barres dont on ne rencontre qu'une seule extrémité en suivant un contour déterminé du polygone funiculaire, et nous donnerons à ces barres un sens partant des extrémités rencontrées.

En résumé, pour qu'un polygone funiculaire formé avec barres supplémentaires soit en équilibre , il faut et il suffît que les conditions suivantes soient satisfaites : on suit le contour du polygone funiculaire dans un sens déterminé que nous appelons sens de la composition des forces , et l'on

110 INTEGRATIOX ( iUAI'WIQUi:.

porte bout à bout les forces extérieures que l'on reDconlrc : le polygone ainsi formé doit être fermé. On mène par les sommets de ce polygone des parallèles aux. cotés du polygone funiculaire comme s'il s'agissait de vérifier l'équilibre d'un polygone funiculaire sans barre sui)plémentaire; les tensions des barres du polygone funiculaire prises en sens contraire du sens de la composition des forces , sont représentées par ces parallèles en leur donnant pour origine certains pôles. Si , en marchant dans le sens de la composition des forces , on passe d'une barre à une autre sans rencontrer de barres supplémentaires ou en ne rencontrant que des barres complètes, les tensions de ces deux barres ont même pôle ; si, au contraire , on rencontre une barre incomplète , les tensions de ces deux barres ont deux pôles différents et la droite qui joint le pôle de la seconde barre à celui de la première , représente la tension de la barre incomplète rencontrée; si, enfin, on rencontrait plusieurs barres incomplètes, la droite qui joint le pôle de la seconde barre à celui de la première , représenterait la résultante des tensions de ces barres incomplètes.

150. Poutre trianguléc. Recherche tle.s ten<«ions par la luélhode du polygone des pôles. — Soit (fig. 62) une poutre formée d'une lisse supérieure et d'une lisse inférieure réunies par des barres intérieures décomposant la poutre en triangles articulés ; les forces extérieures , qui forment un système en équilibre, sont supposées agir sur les articulations. Nous considérerons le contour extérieur formé des deux lisses comme un polygone funiculaire ; les barres intérieures seront assimilées aux barres supplémentaires et nous appliquerons la méthode du numéro précédent.

Ayant porté les forces bout à bout et mené par les sommets du polygone ainsi obtenu des parallèles aux barres extérieures, le problème revient à chercher les pôles des tensions de ces barres; il est facile de reconnaître avant de faire aucun tracé que les propriétés qui font l'objet du numéro précédent sutïisent pour déterminer ces pôles ; en effet , les barres AB , B C n'étant séparées par aucune barre intérieure.

INTÉGRATION GRAPHIQUE. Hl

leurs tensions ont même pôle : ce pôle se trouve à 1 intersection (le deux droites connues; en partant de la barre AB on peut passer à la barre DC en ne rencontrant qu'une barre incomplète AC , on déterminera le pôle de la tension de a barre DC en menant par le pôle de AB une parallèle a la barre AC; de la barre CD on passerait à la barre E A et ainsi de suite. En résumé les pôles forment un polygone dont les œtés représentent les tensions des barres intérieures; c'est ce polygone que nous appelons polygone des pôles. Nous pouvons dès lors énoncer la règle suivante : désignons par les cliifïres gras O et 1 les barres de la lisse supérieure et inférieure qui se joignent à l'extrémité droite de la poutre ; en partant de la barre 1 menons la ligne tracée en pointillé sur la fioure 62 de manière à joindre les barres extérieures en ne rencontrant qu'une seule barre intérieure ; désignons par les chiffres gras », » , 4.- les barres extérieures que nous rencontrons successivement de cette manière et par les doubles chiffres 1'^, «», 34... les barres intérieures que nous coupons en allant de t à « , de » à 3 , de » a 4... Suivons le polygone extérieur dans le sens des grandes flèches et portons bout à bout les forces que nous rencontrons ; menons parles sommets du polygone ainsi obtenu des parallèles aux barres extérieures, comme s'il s'agissait de vérifier l'équilibre d'un polygone funiculaire ordinaire, c est-adire que par l'extrémité de chacune des forces nous mènerons des parallèles aux barres comprises sur le polygone entre cette force et celle qui la suit ; soit 1,3,5,6,810, 11,9, 7 4 2,0 parallèles à 1 , 3 , a , O , S , lO, 1 1 ,», ï , 4, .»' O Les tensions des barres extérieures prises dans le Lns contraire à celui que l'on a suivi pour combiner les forces sont représentées par ces parallèles en leur donnant comme origine certains pôles que l'on détermine comme suit : les barres O et 1 ont un même pôle qui se trouve a 1 intersection des droites 0 et 1 ; par ce pôle 1 menons un polygone 1234.... dont les côtés 12, 23, 34... soient parallèles respectivement aux barres intérieures de la poutre 1«, '^» , 34. ... ; le polygone 1 234.... est le polygone des pôles qm ,

112 INTEGRATION GRAPHIQUE

comme vériflcation doit aboutir au pôle commun des barres lOet II. Les tensions des barres intérieures prises dans le sens des petites flèclies, c'est-à-dire dans le sens des barres incomplètes que l'on rencontre en passant successivement de f à ^ , de ^ à 3. , . . dans le sens de la composition des forces sont représentées par les côtés du polygone des pôles pris dans le sens de 10 à 1.

151. Uétcrmiiialion directe de la tension d^une barre extérieure.— Soit à déterminer la tension de la barre A.B (fig. 63); menons une section MN coupant cette barre et deux autres barres CB et CD; l'équilibre du tronçon situé à droite de cette section exige que les forces extérieures qui le sollicitent soient équilibrées par les tensions des barres AB, CB, et CD ; en décomposant les forces extérieures dont il s'agit en trois composantes dirigées suivant les alignements de ces trois barres , on obtiendra ces tensions prises en sens contraire; on est ramené aux problèmes des n°^ 138 et 145.

Considérons comme application le cas de la poutre indi quée figure 64 ; pour pouvoir appliquer à cette poutre la méthode du polygone des pôles , nous devons enlever la barre 6 et remplacer son action par une force que nous considérerons comme une force extérieure ; ce n'est qu'alors , en effet . que la iioutre se réduit à un contour polygonal avec barres supplémentaires. Si nous menons une .'section coupant les barres 6, 4 et 5, nous voyons que la tension de la barre 6 combinée avec les forces extérieures doit faire équilibre aux deux autres tensions, c'est-à-dire qu'en prenant la tension X de la barre G comme force auxiliaire , la résultante auxiliaire des forces extérieures doit passer par le point D commun aux barres 4 et 5. Soit r A'B' CD' une ligne des résultantes auxiliaires , relative au pôle P, des forces extérieures P, , Pj , P3 supposées parallèles ; soit DK une corde quelconque de la ligne cherchée . D'K' la corde correspondante de la ligne connue, PJ la direction de D'K'; en menant OP' parallèlement à la force auxiliaire X, JP' parallèlement à la corde DK, on obtient le nouveau pôle P', P'O est la tension cherchée de

INTEGRATION GRAPHIQUE. 113

la barre G. Connaissant la force X , on peut appliquer la règle du numéro précédent ; on obtient le polygone des pôles 12 34, les droites 4,2,0, 1,3, 5 représentent les tensions des barres 4,^,0, 1,3, 5 ; les côtés du polygone des pôles pris dans le sens 4,3,2, 1 donnent les tensions des barres intérieures 34, 93 , l!î (1).

Indications complémentaires.

159. Assioiilalion du polygone des pôles à une ligne de résultantes. ~ Reprenons la figure n° 62 et considérons les barres extérieures prises dans le sens des petites flèches

(1) On peut aussi déterminer les tensions d'un système articulé au moyen des procédés de la statique graphique; ces procédés, qui conduisent d'ailleurs aux mêmes figures que celles que nous venons d'établir différemment, consistent à utiliser le polygone des forces et subsidiairement le polygone funiculaire, pour exprimer : soit l'équilibre des forces et tensions autour de chaque articulation ( Rankine, Taylor, Maxwell . Cremona, Maurice Levy, Favaro), soit l'équilibre d'un tronçon de poutre (Culman et Bauschinger). Le point le plus important et aussi le plus difficile est de déterminer l'ordre dans lequel il faut placer les forces pour que les différents polygones s'enchevêtrent de telle façon que la tension d'une barre ne soit représentée qu'une seule fois , condition indispensable pour arriver à une épure élégante. La statique graphique résout cette difGculté au moyen de la théorie des figures réciproques ; mais malgré les travaux de M. Maurice Lévy, qui est parvenu à readre cette théorie indépendante des considérations complexes de la géométrie supérieure , elle constitue toujours une théorie longue et difficile; elle conduit d'ailleurs dans l'application à une méthode assez pénible, vu que pour déterminer une tension, il faut considérer un polygone fermé sur le diagramme des tensions et sur la poutre les deux polygones fermés réciproques des nœuds situés à l'extrémité de la tension à déterminer.

Nous pensons que la méthode que nous venons d'exposer ne présente pas ces inconvénients ; elle conduit à une règle que l'on peut appliquer machinalement sans aucune indécision sur l'ordre des lignes à tracer et sans qu'il en résulte aucune fatigue d'esprit.

114 INTEGRATION GRAPHIQUE

comme représentant <li:;.s forces fictives en grandeur et direction, les alignements de ces Ibrccs (ictives étant les lignes 1,2, 3..., da diagramme des tensions; à ce nouveau point de vue les barres intérieures fi'^, ^3,31.... deviennent les résultantes successives en grandeur et direction de ces forces Actives combinées dans Tordre O, 1 ,*i,S.. .; le polygone des pôles est la ligne des résultantes de ces forces fictives. Ces forces fictives se font d'ailleurs équilibre puisque la résultante finale passe par le point 10 et se réduit à zéro , le polygone de ces forces fictives étant fermé.

Nous pouvons dans cet ordre d'idées considérer le dessin de la jioutre comme un diagramnij des résultantes des forces fictives, mais ce diagramme diffère des diagrammes ordinaires en ce que les résultantes n'émergent pas d'un pôle fixe; cela provient de ce que les forces fictives ne sont pas placées dans l'ordre de leur combinaison ; si on les porte bout à bout dans l'ordre 0, 1, 2, 3 . . ., on obtient la figure 65 dans laquelle les résultantes ou barres intérieures émergent toutes du pôle A ; cette nouvelle figure étant construite à une grande échelle, peut mieux que le dessin de la poutre , donner les directions nécessaires pour appliquer la méthode du polygone des pôles (1).

(1) Si on ajoute à la figure 64 la forme d'équilibre d'un polygone funiculaire sollicité par des forces contraires à celles qui sollicitent la poutre, on peut remplacer chaque groupe de deux forc-s opposées par des barres, on obtient alors un système où toutes les barres sont tendues ou comprimées quoiqu'il u y ait pas de force : c'est un système à une barre surabondante ; la tension de coite barre surabondante peut varier, les autres varient dans le même rapport. On reconnaît alors que le diagramme des tensions se composent : d'une poutre fictive triangulée représentée par le diagramme des forces etdestensions du polygone funiculaire, d'un polygone funiculaire fictif représenté par la ligne des pôles, de barres réunissant la poutre fictive et le polygone fictif. Les deux figures sont récipro^iues ; l'une d'elles étant prise comme poutre, l'autre donne les lensioi.s et réciproquement; on vérifie ainsi à posteriori la réciprocité de» figures. La démonstration a priori de ce principe est la base de Ir. statique graphique.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 115

a.>;{. Application. — Reprenons le cas de la fij^. 64 et considérons la tension 6 comme une force inconnue. Nous pouvons toujours construire le polygone des forces données et mener les alignements 6, 0, 1, 3, 5 ; mais la force 6 étant inconnue, le point P' n'est pas donné a priori et l'on ne peut tracer les alignements 2 et 4. Or remarquons que toutes les forces fictives devant se faire équilibre , en combinant les forces 0, 1, 3, 5. on doit trouver une résultante équilibrant les forces 2 et 4 et passant par conséquent i)ar le point P' ; on obtient ainsi le polygone 1 2' 3' P' dont les côtés sont parallèles aux droites l*î, KC et KO ; connaissant le point P' on peut alors procéder à la construction du polygone des pôles

15€. SysCèmes articiilé.s dii-crs. — On peut imaginer des systèmes articulés beaucoup plus compliqués que ceux que nous avons considérés jusqu'à présent ; l'application de la méthode du polygone des pôles peut offrir certaines difficultés que l'on parvient à faire disparaître en décomposant le système en plusieurs autres au moyen de sections conduites convenablement. L'étude de ces systèmes compliqués n'offrant qu'un intérêt spéculatif, nous nous contentons d'énoncer le principe .suivant : dans un système articulé toute partie indéformable peut être remplacée par une autre s'appuyant sur les mêmes barres du reste du système, pourvu que cette autre partie indéformable soit sollicitée par un système de force équivalent au système supprimé ; les tensions des barres restantes ne sont pas changées. Comme application de ce principe , nous pouvons dans la fig. 64 enlever la partie invariable DB K et la remplacer par une nouvelle partie indéformable formée des barres 3, 5 , ^' et ■1'; on reconnaîtra aisément que la nouvelle poutre admet comme polygone des pôles 1 2' 3' P' ; la tension de la barre O n'ayant pas changé, on retombe sur la construction du numéro précédent. On pourrait aussi remplacer la poutre D KA par une seule barre DL tracée de façon que le sommet L' soit sur la résultante de toutes les forces extérieures; on trouve ainsi la tension G d'une autre manière qui serait

116 INTEGRATION GRAPHIQUE.

très simple si elle n'exigeait au préalable de composer les forces en une résultante unique, qui souvent sort des limites du dessin.