CHAPITRE I

Représentation graphique des cubes de déblai et de remblai

§ l^"". Cubes limités par des surfaces quelconques.

155. Cas du déblai, — Nous supposons les surfaces du terrain et du projet définies par un profil en long et des profils eu travers suffisamment rapprochés. Prenons un point quelconque de Taxe de la route comme origine et soit cù la section , supposée de déblai , d'un profil en travers situé à une- distance x de cette origine. Si nous déplaçons cette section d'une quantité infiniment petite c^ a;, elle engendrera un élément de volume qui peut être considéré comme

118 LNTEGRATION (iKAPHIQUE.

un piisme de section o et de hauteur clx et qui a pour mesure MfJ.x. Le cube de déblai compris entre deux sections quelconques a pour valeur :

o)dx

Xo, x^ étant les abscisses des sections extrêmes.

Prenons (fig. 66) deux axes coordonnés ox, oS; portons sur 0 X les abscisses x des profils eu travers , sur o S les sections de ces mêmes profils ; nous obtiendrons une courbe telle que AB. Soit M m une section quelconque co, le cuheudx sera représenté par la surface élémentaire M M' i/i' in ; on en conclut que le cube de déblai compris entre deux sections quelconques A a, Bb est représenté par la surface ABba. Cette surface se calculera au moyen d'une intégration graphique.

15G. tas du remblai. —Le raisonnement du numéro précédent s'aitplique en tout point au cas du remblai ; seulement nous considérerons les sections et les cubes de remblai comme des quantités négatives; les sections de remblai seront portées dans le sens des w négatifs; les cubes de remblai seront représentés par des surfaces telles que CI) de situées en dessous de l'axe des x. Entre deux sections de signes contraires B & , Ce se trouve une section nulle qui doit se réduire à une ligne; c'est la ligne qui sépare le déblai du remblai et que l'on appelle pour ce vnoiiï ligne depassage.

157. Profils mixtes. — Les profils mixtes sont ceux qui contiennent à la fois du déblai et du remblai ; en considérant séparément le cube de déblai et le cube de remblai , on est ramené aux cas précédents. La méthode qui suit nous paraît plus élégante que celle que l'on donne habituellement.

Portons en ordonnée la surface de déblai et de remblai bout à bout dans le sens qui convient à leur signe ; ainsi par exemple (fig. 66^'sj ]\py;^ sera la section de déblai; M' M la section de remblai d'un profil; le point M' engendrera la courbe A' B' des surfaces de déblai , le point M engendrera la

INTÉGRATIONS GRAPHIQUE. 119

C(jurbe A B des surfaces de remblai en prenant la courbe A' B' conune ligne de repère; entlu cette courbe AB, rapportée à Taxe ox, représente les sections totales au point de vue algébrique , c'est-à-dire la différence entre les surfaces de déblai et de remblai. Sur une longueur mn = clx le cube de déblai est représenté par la surface M' N'nwi, le cube de i^emblai par la surface M'N'NM ; la partie commune à. ces deux surfcices, que nous avons indiquée par des hachures, représente le déblai à effectuer en profil, c'est-à-dire par un transport perpendiculaire à l'axe de la route; la partie non commune MN;?»2 représente le déblai à transporter hors profil, c'est-àdire parallèlement à l'axe de la route. Dans la figure 66'^'^ les surfaces de déblai sont plus grandes que les surfaces de remblai ; dans la figure 67 , au contraire , les surfaces de remblai sont sup[)Osées plus grandes que celles de déblai ; dans ce dernier cas, le remblai à effectuer hors profil est représenté par la surface MNn«2 , le déblai à effectuer en profil par la surface WN'nm. En résumé, si on porte bout à bout une ordonnée proportionneUe à la surface de déblai, une ordonnée proportionnelle à la surface de remblai , la partie commune à ces deux ordonnées engendrera une surface représentant le cube de déblai ou de remblai à effectuer en profil , la partie non commune engendrera une surface représentant le cube de déblai ou de remblai à effectuer hors profil ; lorsqu'on ne se propose que de représenter ce dernier cube il suffît de porter en ordonnées les sections totales , c'est-à-dire les différences entre les sections de déblai et de remblai.

§ 2. Hypothèses sur la forme du terrain et du projet

15S. Ilypollièse londauientalc. — Pour appliquer la méthode qui vient d'être exposée, il faudrait avoir des profils en travers très rapprochés pour pouvoir tracer les courbes des sections de déblai et de remblai. En pratique, on prend des profils en travers assez éloignés; mais, comme on a soin de prendre ces profils en travers , là où le terrain change de direction , on peut supposer , sans erreur sensible , qu'entre

deux proHls en travers consécutifs, les surfaces du terrain et du projet ne présentent pas de courbure parallèlement à l'axe de la route; en d'autres ternies, que ces surfaces peuvent être engendrées parle mouvement d'une droite s'ai)iiuyant sur les deux profils voisins en restant parallèle au i)lan vertical projetant l'axe de la route. C'est de cette hypothèse qu'on déduit la loi des sections transversales.

159. i^oî des !i«oetioiL«« dan!< un enlre-profil. — Soient (fig. 68) ABba et CJ) cd deux profils en travers consécutifs; menons deux plans verticaux yilS^nm et WN'n'm' parallèles à l'axe de la route et distants l'un de l'autre d'une quantité infiniment petite i; ces plans couperont les surfaces du terrain et du projet suivant les génératrices MM', wm' , NN, 7in'. Cherchons d'abord la loi des sections transversales du cube infiniment petit compris entre ces deux plans. Soit x l'abscisse d'une section quelconque EE'e'e; en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur , cette section peut être considérée comme un rectangle de base constante t et de hauteur variable Ee; cette hauteur Ee étant comprise entre deux droites MN et mil est une fonction du premier degré de l'abscisse x ; en multipliant cette hauteur par la constante t, on obtiendra la section EE'e'e qui dès lors s'exprime aussi par une fonction du premier degré en x.

Si nous considérons deux plans verticaux parallèles à l'axe de la route et situés à une distance finie , nous pourrons décomposer le cube compris entre ces deux plans en tranches infiniment minces de la nature de celle qui vient d'être considérée ; on en conclut que la section transversale du cube considéré est aussi une fonction du premier degré , somme des fonctions du premier degré qui expriment les éléments de cette section. Il est évident d'ailleurs qu'il s'agit ici d'une somme algébrique , c'est-à-dire que si la section renferme du déblai et du remblai , c'est l'excès de la surface du déblai sur celle de remblai qui s'ex]irime par une fonction du premier degré.

Enfin nous [louvons étendre cette loi à la section totale du profil en travers; à la vérité , si les largeurs d'emprises sont

INTEGRATION GRAPHIQUE. 121

différentes, il y aura vers les arêtes extrêmes des talus deux cubes qu'il sera impossible de comprendre entre deux plans verticaux parallèles à l'axe de la route; mais comme ces cubes sont peu importants, on peut, sans erreur sensible, supposer que la section totale d'un profil en travers est une fonction du premier degré de l'abscisse. Il résulte de ces considérations que la loi des sections totales ou des sections partielles comprises entre doux plans verticaux parallèles à l'axe de la route est représentée graphiquement par une ligne droite dans chaque entre-profil.

lOO. Héblais et rcmblnis à cflcetiioi* horiii proiil. —

Pour représenter graphiquement les cubes de déblai et de remblai à effectuer hors [)rofil , il suffît de calculer algébriquement les sections totales des profils en travers , de porter ces sections en ordonnée et de joindre les points obtenus : les surfaces comprises entre le polygone ainsi tracé et l'axe des abscisses représentent les cubes dont il s'agit.

161 ■ llcl>la!s à clTL'cdier en proiil. .liéthotle dilc expôdilîve. — Soient (fig. 70) trois profils mixtes ajj, c; soient I, r, I" les points de passage de ces trois profils; menant les droites II', l'I", la ligne brisée II' F' divise les volumes à évaluer en deux parties que Ton considère séparément ; on suppose, pour faciliter les calculs, que dans chacune de ces parties , la loi des sections transversales en deux profils en travers consécutifs est représentée par une ligne droite. Considérons d'abord la partie située à droite de la ligne II'I" et portons en A'« , B'b , Ce les sections Wj , «^ , w^ de ce volume par les profils en travers ; joignant les points A', B', C, le volume dont il s'agit sera représenté i)ar la surface comprise entre le polygone A'B'C et l'axe des x. Considérons ensuite la partie située à gauche de cette ligne II'I" et portons à la suite des ordonnées précédemment tracées , c'est-à-dire en A' A, B'B, ce les sections w,' , «* , wi de cette partie" de volume par les profils en travers; enjoignant les points A, B, C, ce volume sera représenté i^ar la surface comprise entre les polygones ABC et A'B'C. Nous savons déjà que la surface comprise entre le polygone ABC et l'axe des œ repré-

sente les déblais et remblais à effectuer hors profil ; les autres surfaces que nous avons représentées par des hachures , c'est-à-dire les surfaces engendrées par les parties communes des ordonnées de déblai et de remblai , représentent le cube de déblai à effectuer eu profil.

10*$. llèine qui'slîon. méthode dite exacte. — Soient (fig. 71) les deux profils a et b; menons par les points de passage I , F des plans verticaux parallèles à l'axe de la route ; nous diviserons l'entre-profll en trois parties que nous désignerons par Vj , Vj , V3.

Soient w, , oV, les sections extrêmes du volume V.^, Wj , oj'a les sections extrêmes du volume Vj , Wj, W, les sections extrêmes du volume V3 ; portons en ordonnée aA.' = Wj A'A" = M2. A"A= Wj-, portons de même &B' = c.)'j, B'B" = &y2, B" B = to's ; menons les droites A'B', A"B" et AB ; le volume V, est représenté. [)ar la surface comprise entre la droite A'B' et l'axe des .jc , le volume V2 par la surface comprise entre les droites A"B" et A'B', le volume Y,, par la surface comprise entre les droites AB et A"B".

Nous savons déjà que la surface comprise entre la droite AB et l'axe des œ représente les déblais et remblais à effectuer hors-profil ; les autres surfaces que nous avons représentées par des hachures sont les surfaces engendrées par les parties communes des ordonnées de déblai et de remblai et représentent le déblai à effectuer en profil.

103. Comparaison des deux luélhodes précédentes. — Quoique la méthode du numéro précédent ait été désignée sous le nom de méthode exacte , il est facile de reconnaître que l'on commet encore une certaine erreur en l'appliquant. Le volume V2 est , en effet , engendré par une section mixte ; en supposant que sa section transversale varie comme les ordonnées comprises entre les droites A'B" et A'B' (fig. 71 ) on obtient la loi exacte des sections algébriques de ce volume ; on néglige , par conséquent, un certain volume de déblai et un volume de remblai équivalent.

Pour opérer d'une manière complètement exacte , il faudrait déterminer la loi de la variation de la section w' de déblai

INTEGRATION GRAPHIQUE. 123

et de la section m" de remblai du volume Vj ; en portant la section w' en ordonnée an-dessus de la ligne A'B' , on obtiendrait une courbe A'MB" ; en portant ensuite la section o)" en ordonnée au-dessous de la courbe A'M"B on retomberait sur la droite A"B", cette droite représentant la loi des sections totales du volume Y^ : la courbe A'MB" limite la surface représentant exactement le déblai à effectuer en profil.

Pour tracer la courbe A'MB" subdivisons le volume Y^ par des plans verticaux parallèles à Taxe de la route et très rapprochés les uns des autres; nous obtiendrons un résultat très approché en supposant qu'entre deux plans consécutifs la section transversale reste homogène. Portons en A'I, 12, 2.3, 3 A" les parties de la section «j ; portons de même en B'I', l'2', 2'3', 3'B" les parties correspondantes de la section oo'^; menons les droites A'B', 11', 22', 33', A"B"; ces droites, par leurs intersections successives, déterminent un polygone qui s'approchera beaucoup de la courbe A'MB' ; si ces droites étaient infiniment nombreuses et infiniment rapprochées, l'erreur serait nulle; on en conclut que les droites A'B', 11', 22', 33', A"B" ont pour enveloppe la courbe cherchée A'MB",

Cette méthode est tout-à-fait générale; mais lorsque les surfaces w., . «'i sont des triangles , on peut opérer autrement ; au mo3'en d'un calcul analytique qui n'est pas très compliqué, on démontre que la section wde déblai du volume Vj, à une distance x du profil a, est donnée par une expression de la forme

aX -h (5œ^

La courbe A'MB" est donc une hyperbole dont Tune des asymptotes est verticale ; cette hyperbole est complètement déterminée par les deux points A', B" et les tangentes en ces points; si nous appliquons la méthode du n" 102 nous trouvons la construction suivante : menons A"F parallèlement à A'B" ; menonsdes ordonnées divisant A'B" en ]i parties égales ; divisons également B"F en n parties égales et menons les rayons joignant A' aux points de divisions; ces rayons

124 INTEGRATION GRAPHIQUE.

détermineront sur les ordonnées tracées les points de l'hyperbole cherchée.

Nous pouvons actuellement reconnaître les erreurs que l'on commet en appliquant les méthodes des deux numéros précédents ; en appliquant la méthode expéditiveon remplace la courbe AM'B" par sa corde ; en appliquant la méthode dite exacte, on remplace la courbe par ses tangentes extrêmes. Quoique cette dernière méthode soit la plus exacte , la première est plus avantageuse parce qu'elle conduit à une évaluation trop forte des déblais en profil , tandis que la seconde donne évaluation trop faible.

Nous avons supposé que les profils consécutifs a et tétaient disposés de telle façon que les sections de déblai soient du même côté; dans le cas contraire, on peut reconnaître, en suivant la même marche, que les deux méthodes des numéros précédents donnent toutes les deux un résultat trop faible. Ajoutons enfin que la marche que nous avons suivie permet aussi d'évaluer d'autres erreurs commises dans le cas oti les profils sont homogènes, telles que les erreurs commises par suite de l'inégalité des largeurs d'emprises , erreurs qui résultent de ce que les lignes de passage ne sont pas perpendiculaires à l'axe de la route.

Dans certains cas, il est indispensable d'assimiler la surface du terrain à une surface gauche dont les génératrices sont parallèles à un plan directeur non vertical ; les lois des sections algébriques totales ou partielles sont alors représentées par des arcs de paraboles; en prenant un profil auxiliaire dans chacun des entre-profils on détermine ces arcs de parabole par trois points et la représentation des cubes peut encore se faire.

lOl. Elément»* à déteruiiner. — Les différentes opérations de calcul graphique nécessaire pour étudier un projet de route sont les suivantes :

1" Il faut calculer les surfaces de déblai et de remblai : ce sera l'objet du chapitre II et du chapitre III.

2° Il faut calculer les cubes de déblai, de remblai et évaluer la dépense à faire : ce sera l'objet du chapitre IV.