CHAPITRE II

Calcul des surfaces de déblai et de remblai.

§ !«'•. Méthodes g-énérales.

1G.>. Éflielles. — Les surfaces ne déblai et de remblai que nous nous proposons de calculer sont comprises entre deux lignes brisées , savoir: la ligne du terrain naturel et la ligne du projet ; le calcul de ces surfaces se ramène à une simple intégration graphique. En Belgi(iue, les instructions prescrivent de dessiner les profils en travers à FécheUe de 1 centimètre par mètre ; en adoi)tant une base d'intégration égale à 2 centimètres , on obtiendra les surtaces à l'échelle de */2 centimètre par mètre carré. Nous avons adopté des échelles deux fois plus petites.

leo. Exemples. — 1° Cas du déblai. — Nous avons représenté ( fig. 72) une section de déblai et les constructions qui permettent de trouver la ligne S s représentant la surface du profil ; nous avons indique par les chiffres 1,2, 3, 4, 5, les rayons du diagramme , et par les chiffres gras 1,2,3,4,5, le.s côtés parallèles de l'intégrale ; la méthode par ordonnée moyenne que nous avons employée est préférable à la méthode par abscisse moyenne, parce que, en général, les côtés tels que B C , C D , D E , qui limitent le terrain naturel, ne sont pas très inclinés sur l'horizon et qu'alors on peut , sans commettre une erreur sensible sur l'ordonnée moyenne, prendre à vue G, H, I, milieux de ces côtés. Pour la partie extrême D E F rf , nous avons employé la méthode du numéro 46 ; le pôle décrit la ligne des pôles et vient en P, et Pt. Pour l'cUitre partie extrême AB&, nous aurions pu adopter la même construction ; mais toutes les fois que les parties extrêmes sont des triangles, on peut opérer plus simplement ; remarquons en effet que l'ordonnée moyenne MN est égale à la moitié de B& ; pour avoir la direction 1 , nous projetterons

126 INTEGRATION GRAPHIQUE.

le point B sur l'axe du diagramme et nous joindrons le point obtenu à un pôle P' tel que P'o = 2 . P o = 2 / ; en doublant l'ordonnée moyenne , nous obtenons pour le triangle ABb un résultat deux fois trop grand ; en doublant la base d'intégration , nous faisons disparaître cette erreur.

2° Cas du remhlai. — Nous avons indiqué ( fig. 74 ) un profil de remblai ; les constructions sont les mêmes que dans le cas du déblai ; la seule différence c'est que l'intégrale a ses ordonnées négatives.

3"^ Cas (Vun pr-ofil mixte. — Nous avons représenté (fig, 79) un profil contenant du déblai et du remblai ; en appliquant encore la même construction, on obtient l'intégrale A B C ; l'ordonnée extrême Ce est la surface algébrique du profil, c'est cette longueur que l'on doit porter en ordonnée sur le profil en long pour représenter les cubes de déblai et de remblai à effectuer hors-profil. Pour représenter les déblais en profil, il faut porter en ordonnée les surfaces de déblai et de remblai bout à bout comme elles sont placées en c B' et B 'C.

4'^ Modificat/on de la méthode. — Pour appliquer les méthodes précédentes , il faut prendre les milieux des côtés du polygone qui limite la surface; lorsque les côtés sont très inclinés sur l'horizon on peut faire usage du compas de réduction pour obtenir rapidement et exactement ces points milieux. Dans la figure 81 nous avons indiq.ié un procédé d'intégration où l'on évite cette division en deux parties égales. Elle est fondée sur la remarque que la surface d'un trapèze tel que CV> de est la moyenne arithmétique des surfaces de deux rectangles ayant ccJpour base et pour hauteur respective les ordonnées extrêmes Ce et Drf du trapèze. D'après cette remarque, remplaçons chacun des trapèzes qui composent la surface à évaluer par une surface rectangulaire comprise entre les mêmes ordonnées extrêmes et dont la hauteur , soit l'ordonnée extrême de gauche du trapèze , nous trouverons une première surface S' 5 inexacte; remplaçons ensuite chacun de ces mêmes trapèzes par un rectangle compris entre les mêmes ordonnées extrêmes et ayant pour hauteur l'ordonnée extrême de droite de ce trapèze ;

nous obtiendrons une seconde surface S"s inexacte. La moyenne entre les surfaces S'5 etS"s donne la surface exacte; mais il est inutile de chercher cette moyenne ; il suffît de doubler la base d'intégration , ce qui rend les surfaces deux fois trop petites et de porter bout à bout les longueurs S'5 , S"s sur le profil en long.

Il est à remarquer que les deux intégrales se tracent simultanément : les côtés portant les mêmes chiffres s'obtiennent ])ar le même mouvement d'équerre.

1G7. illôlliode par liaiide de papier. — Toute surface de déblai ou de remblai peut so dé<:omposer par verticales équidistantes en trapèzes ou surfaces qui s'y ramènent aisément ; si nous appelons y», l'ordonnée moyenne de ces trapèzes, la surface cherchée S est donnée par la formule

/ étant la distance des verticales ; si, en particulier, 1 est la base d'intégration, la surface sera représentée par lijm (n°6, 3°). Il suffit donc de porter sur une bande de papier (fig. 73) les longueurs ?/„ à la suite les unes des autres pour obtenir la droite représentant la surface cherchée.

Lorsqu'un sommet M tombe entre deux verticales , il suffit de transformer la surface BMCcô en un trapèze équivalent BC'cC; on obtient le point C en menant MC parallèlement à B C. Une transformation analogue s'appliquerait au cas où il y aurait plusieurs sommets entre deux verticales voisines.

A l'extrémité du profil on trouve une surface triangulaire ou s'y ramenant aisément ; soit AB b le triangle à évaluer ; on transforme ce triangle en un autre triangle A'B'b, équivalent au triangle connu et dont l'une des dimensions soit / ; il suffît, pour y arriver, de mener A B' parallèlement à A'B et de joindre A' B'. Généralement ce>; transformations peuvent se faire à vue avec une exactitude suffisante.

128 INTEGRATION GRAPHIQUE.

§ 2. Cas d'un terrain horizontal dans la direction des profils en travers.

10^. Application de la méthode générale. — Soit AB CI) (fig. 09 j im profil en travers ; il est facile de reconnaître que la surface de ce profil est équivalente au rectangle A'CC'A. Prenons des lors >. P-=A, base d'intégration; menons la droite FA', on obtient en SC la surface cherchée.

1«». .Mélliode particMilsère. — Pour un même projet de rouie, la largeur de la iilate-forme des terrassements reste constante d'une part {)Our tous les profils de déblai ; d'autre part pour tous les profils de remblai ; il en résulte que dans le cas qui nous occupe, les surfaces des profils ne dépendent que de la hauteur de déblai ou de remblai. Les relations entre cette hauteur et la surface de déblai et de remblai peuvent être représentées par deux courbes en portant la hauteur en abscisse, et les surfaces de déblai et de remblai en ordonnée. Ces courbes étant construites, le calcul des surfaces se fait rapidement sans qu'il soit nécessaire de tracer les pronls en travers ; il suffit de prendre sur le profil en long la hauteur de déblai et de remblai et de la porter en abscisse sur l'une ou l'autre courbe selon le cas ; l'ordonnée donne la surface cherchée.

Nous avons représenté, fig. 77, la construction de la courbe des surfaces de déblai pour une route de 8 mètres de largeur en couronne avec fossé de l'",20 de longueur en gueule et talus à V^. Soient ox, oy deux axes coordonnes. ABZ/o le demi-profil tj'-pe ; la courbe cherchée est évidemment la ligne qui représente le double de l'intégrale de la droite AB; la figure indique sufiiîsamment la méthode d'intégration graphique emplo3'ée.

Xous avons représenté, figure 78, la construction de la courbe des surfaces de remblai pour la même route ; nous aurions pu employer la même construction que pour les déblais , mais nous avons employé une autre méthode. Soient ox , oy deux axes coordonnes , A B C 0 le profil type

des remblais; la surface de ce profil est équivalente au rectangle B'B bo dont la surface S est donnée par la formule g ^ yx. y, X étant les coordonnées du point B. Il sufllt donc de multiplier les ordonnées de la droite A B par les abscisses (n" 70) pour obtenir la courbe des surfaces cherchées; la courbe est rapportée à Taxe Ax'.

Dans les méthodes suivantes nous ne considérons que le cas du déblai , mais le cas du remblai se traite de la même manière.

1 70. Cas où ies viAitu» soiil «loiiiiêcs en nombre. — Dans ce cas, il est préférable de porter, sur l'axe des S (flg. 77) ou sur un axe o'S' qui lui est parallèle , les longueurs qui représentent les surfaces relatives aux côtes successives 0, 0,1, 0,2, etc.. ; on obtient ainsi une échelle à divisions inégales; les chiffres de la graduation , située à droite de l'axe, Tndiquent la côte dedèblai,mais les longueurs portées à partir des points o' représentent les surfaces de déblai ; ou obtient ainsi les surlaces en longueur .

Pour obtenir les surfaces en nombre, il sufht de. juxtaposer à gauche de l'axe o'S' une échelle des mètres carrés.

171. Cùles en longueurs , surfaces en nombres . — On peut aussi porter sur l'axe OX des côtes de déblai ou sur un axe 0"X", qui lui est parallèle, les côtes relatives aux surfaces 0, 1,2,3.... mètres carrés; on obtient une échelle à divisions inégales indiquées au-dessus de Taxe 0"X" ; connaissant la côte en longueur, on la porte sur 0"X"; le chiffre de la graduation supérieure donne la surface en mètres

carrés.

Si l'on construit une écheUe des mètres à partir de 0", on pourra obtenir la surface de déblai relative à une côte donnée en nombre.

lî*î. Cotes et surfaces en longueurs. — L'emploi des échelles o'S", ou o'X" ne supprime pas tous les calculs ; dans le premier cas , il faut calculer les côtes de déblai ou de remblai; dans le second cas, il faut portera l'échelle les surfaces obtenues en nombre. L'emploi des courbes des figures

130 INTEGRATION GRAPHIQUE.

77 et 78 supprime tout calcul ; on prend sur une bande de papier les côtes de déblai et de remblai ; on la fait glisser parallèlement à l'axe ox; sur une bande de papier que l'on place parallèlement à l'axe OS on prend immédiatement les surfaces que Ton porte ensuite sur le profil en long pour procéder à l'évaluation des cubes. Lorsque la largeur de la plate-forme de la voie varie , les mêmes courbes peuvent servir avec un changement d'origine , mais il faut une nouvelle épure si Finclinaison des talus sur Tliorizon vient à changer. Dans la méthode suivante, on transforme les courbes en lignes droites et la même é[>ure s'apidique quelles que soient la largeur du profil et Tinclinaison des talus.

Portons les côtes de déblai ou de remblai sur un axe quelconque cCSi (fig. 82), les .surfaces sur un autre axe &N ; soient a A= /^ &B = 5 ; joignons les points correspondants par des droites A B que nous supposerons suflSsamment rapprochées pour pouvoir à vue mener la droite qui correspond à une côte donnée. La figure que l'on obtiendra de cette manière donne la solution du problème ; car si l'on fait glisser la bande de papier portant les côtes sur «A , en plaçant une autre bande de papier suivant &B, on pourra y porter les surfaces de déblai ou de remblai. Les axes «M et ôM sont quelconques ; mais dans la figure 82 nous avons choisi une disposition qui permet de construire facilement les droites AB. En ajoutant une constante on peut transformer la surface déblai ABCD (fig. 76 ) en un triangle ODC ; soit H = 01, ce qui donne la côte dans cette hypothèse , soit T l'inclinaison des talus sur l'horizon , on a :

Portons OA = H,OB = S ; pour obtenir la relation entre la côte 11 = IK et la surface 5 = ABCD , il suffit de déplacer l'origine de 0 en a et h , points que l'on obtient en prenant 0«=0K.

Pour construire les droites AB , on prend 0P= /, OA =H, on mène AB perpendiculairement à PA, on a : OA"^ = OB x OP

INTEGRATION GRAPHIQUE. 13l

<]'ofi OB = ^- ; OB représente la surface S = — aune échelle

qui dépend de /.. On peut démontrer par la géométrie analytique (voir n° 203) que les droites A B enveloppent une parabole et que deux ou plusieurs de ces droites telles que CN et OM sont divisées par les autres en segments proportion-

r . + CD CN , ^, , ,^

nels; en d autres termes , ona— -=— - = k. Il resuite

de là que Ion peut supposer que CD représente lia une échelle k fois plus grande que o A. Plaçons-nous à ce point de vue ; supposons CD = H, OB = S, ON=S,; on a

S = -^^ , or, 0 A= — , donc S = ^^.- . Si u est la base d'in- / lî /v /.

tégration adoptée pour représenter la surface — i)ar une

ligne S, on a S it = -—- ou S = -- — ; les deux valeurs de S r Fît

devant être identiques , on a : Tic = k^A. Remplaçons /V^ par

, ,, CN' MN' PNxON X-f s, .. . sa valeur A- = 3:^ — „ = = — ■ — -,[l vient

OM OM OPxON /

Tii= 1 -[ Sj d'où Si= Tu — /. On détermine u au moyen des échelles des longueurs et des surfaces ; on se donne 1 ; on obtient S, qui détermine l'axe des HCN. Si T varie, S, varie, on obtient un autre axe des H, mais l'épure ne change pas.

§ 3. Cas où le profil du terrain est une ligne droite quelconque.

173. Cas du déblai. — Soit ABCD (fig. 75) le profil de déblai qu'il s'agit d'évaluer ; on appliquerait aisément la méthode générale à ce cas particulier ; nous nous contenterons défaire connaître une méthode particulière applicable aux profils de la nature de celui que nous considérons. Menons à cet effet la droite A F qui divise la surface en'deux parties que nous évaluerons séparément. La partie AFCB est formée de deux triangles, l'ordonnée moyenne est don

132 INTEGRATION GRAPHIQUE.

- B F , en einplo^'ant le procédé exposé au numéro 160 pour

l'évaluation des triangles extrêmes des profils ordinaires, nous sommes conduits à la construction suivante : prenons B P == 2 / , À étant la base d'intégration ; menons A G, parallèlement à BF, nous obtiendrons en G, C la surface AF C B.

AB Si en particulier nous prenons —^ pour base d'intégration ,

le point P se confond avec le point A; il suffit alors de joindre A F, on obtient en GC'la surface AFCB. La surface DFA

s'obtient de la même manière; en prenant -^- pour base

d'intégration, cette surface est représentée par H D', le point H étant sur le prolongement de la droite BE; la surface totale est donc GC -f HD'.

La construction devient d'une simplicité remarquable , remarquons en effet que les droites B F et A E sont tracées avant de passer au calcul des surfaces ; ces droites sont nécessaires au tracé des profils du projet; les droites GC et HD' doivent être tracées également pour la détermination de la largeur d'emprise ; la construction se réduit donc à tracer les droites BF et A E ou plutôt , en évitant de tracer ces droites , elle se réduit à marquer les points G et H que l'on obtient en plaçant une règle suivant A F et B E ; l'addition (jC ^ HD' ne s'effectue que lorsque l'on représente graphiquement les cubes de déblai et de remblai ; on porte à cet effet les longueurs G C et H D' bout à bout en ordonnée sur le profil en long.

114. Cas du rouihlai. — La construction précédente s'applique aux profils de remblai; seulement la largeur de la plate-forme des terrassements étant différente pour les déblais et les remblais , on obtiendrait ainsi les surfaces à deux échelles différentes. Cette difficulté se résout facilement en employant un compas de réduction pour ramener toutes les surfaces à une même échelle. Si l et l' désignent la largeur des plates-formes de déblai et de remblai , si 1 est la base d'intégration unique que l'on veut adopter , on mettra

les branches du compas de réduction dans le rapport -r-

l' l)0ur pivndre les surtaces de déblai, dans le rapport— -r-i)Our

prendre les surfaces de remblai.

175. €aN «l'un lu-ofil mixte. — Soit ABCI) ( fig 76) le profil mixte donné; lorsque les talus de déblai et de remblai ont la même inclinaison et qu'il ne s'agit que de chercher la section totale algébrique, on peut remarquer que cette section totale est équivalente au parallélogramme A A' BB' dont le côte A' E' passe par le milieu I' de la ligne C D. En effet, on a :

Surface A' l' D = Surface I' C B'

ou bien en appelant w<i la surface de déblai, w,- la surlace de remblai ,

wci — Surface 0 I' B'B = oh- -\- Surface A A' l'O

d'où Wfi — Mr = Surface A A' B' B.

Soit r I" la distance du point I' à la droite A B, la section algébrique cherchée a pour valeur

et pour l'obtenir à une échelle déterminée correspondante à une base d'intégration donnée 1 , il suffit de multi-

A B plier r 1" dans le rapport — y- au moyen des compas de réduction ou autrement.

Lorsque les talus ont une inclinaison différente ou bien lorsque l'on veut obtenir wd et w,- , on emploie la méthode générale. On prend B P = 2 À , on mène 0 G parallèlement à P E, G C donne la surface cod ; de même on prend A P' = 2 / , on mène 0 H parallèlement à P F, on obtient en H D' la surface Wr.

t îô. — Les méthodes qui précèdent s'appliquent aussi au cas où la ligne du terrain est brisée sur Taxe ; on divise alors la surface en deux demi-profils, dont chacun se calcule séparément ; ainsi , dans la figure 82 ,

co = AB 4- CD , co' = A B 4- EF

134 INTEGRATION GRAPHIQUE.