CHAPITRE III
Tables graphiques pour le calcul des surfaces et des largeurs.
§1. Méthodes de M. Lalannefl).
I ? ? . Ki'pro^onlation «fiine i'oiielion de denx larialilc!».
— Soit à re})résenter une foiiction z , de deux variables œ et y, définies par l'équation
/'iXfjz)-=0.
Prenons deux axes rectangulaires sur lesquels nous porterons X et 1/ , traçons les droites x = \ , x = 2 , x = 'i.... , y = \, 7/=2, y = 3,....; traçons au besoin les droites intermédiaires x = 0,\,x==0,2, etc. , de telle manière que le plan de l'épure soit quadrillé et que l'on puisse immédiatement trouver un point dont on donne les coordonnées ; si l'on imagine un axe o z perpendiculaire au plan des deux autres ox et oy, on peut considérer les différentes valeurs de z comme les ordonnées d'une surface dont l'équation est f\xyz) = 0 ; on représente cette surface par la méthode des plans cotés , en traçant les courbes d'égales cotes ou courbes de niveau dont on obtient les équations en faisant z = I z = 2,z = 'è... et au besoin jT =0,1, ^ = 0,2, ^ = 0,3, etc.. ; ces courbes étant tracées , la table graphique est construite ; si l'on donne x et y, on obtient immédiatement z de la même manière que Ton trouve laltitude d'un point sur une carte militaire.
(1) M. Lalanne a publié ses méthodes à diverses reprises: Appendice à la météorologie de Kaemtz ( 1843) ; Comptes-rendus de l'Académie des Sciences, t. XVII, p. 432; Annales des ponts et chaussées, le"" semestre 1846 et Jei- semestre 1850.
M. Lalaunea inoutré qne l'on i)eui de cette manière représenter toutes les racines dune équation contenant deux coeflicients variables; soit, par exemple, l'équation du troisième degré , mise sous la forme :
z est une fonction des variables i> et q que Ton représente ea portant x =i;, y = q;\a, surface â représenter a pour équation z^ -\-xz +z/^0; les lignes de niveau sont des droites dont on obtient les équations en posant :r = 0, l , :?= 0,2 , etc.
M. Lalanne a construit ces droites au moyen de leur équation; on peut aussi les obtenir comme il suit: on prend (flg. 83 ) OP = 1 , 0 A = ^ , ou mène une perpendiculaire A B sur AP, et une perpendiculaire BC sur AB , BC est la ligne z'''=xz^y = ^\ un premier mouvement d'équerre donne B, un second donne B C.
On obtient ainsi le tableau lig. 83 ; on voit que les lignes de niveau enveloppent une courbe ; si le point dont^; et q sont les coordonnées se trouve à l'intérieur de la courbe, il y a trois racines réelles ; si ce point est sur la courbe , deux racines sont égales; si le point est à l'extérieur, il n'y a qu'une seule racine réelle.
17S. Principe de lu graduation des coordoiiuées ; aiiaiuor|iIio*»c g-voiuctrique. — Lorsque l'on applique la métlioile précédente, il arrive fréquemment que les lignes d'égale cote sont des courbes difficiles à construire ; M. Lalanne a imagine un principe très-ingénieux qui permet, dans certains cas, de transformer ces courbes en ligne droite. Soit à construire une table graphique de multiplication donnant immédiatement z = xy, connaissant x et y ; en appliquant la méthode précédente , on obtient pour lignes d'égale cote des hyperboles équilatères difficiles à construire. Prenons les logarithmes x' = log xy' = logy, 5' = log ^ , on a : log ^ -f log 2/ = log ^ ou x' + y' — z'. Donnons kx,y,z\es valeurs 1 , 2 , 3... à 10 ; construisons les lignes j;'=logi«?, îj' = \ogy, x' -\-y' ^z', on obtient 1^ figure 84.
136 INTEGRATION GRAPHIQUE.
Les lignes d'égale cote sont des droites inclinées a 40" sur les axes. "Les hyperboles, dit M Lalanne, ont été transformées en d'autres lignes, grâce à l'emploi de coordonnées graduées suivant une loi déterminée ; et ce genre de transformation peut être qualifié d'anamorphose géométrique. »
On peut de la même manière re[»résenter les valeurs de
^ = — ; en posant l' = log^, on a :
log y — log X = log t ou y'—x' = V;
les lignes d'égale côte sont des droites perpendiculaires aux précédentes.
En un point de la figure 84 passent 4 lignes, et on peut lire 4 côtes œ , y , z ,t entre lesquelles existent les deux relations z=xy, ^ = - ; connaissant deux de ces cotes , on trouve
le point correspondant et on trouve les deux autres sur le tableau ; en résolvant les deux équations par rapport à deux des variables, on trouve toutes les formules que l'on peut calculer par ce tableau graphique que M. Lalanne a appelé abaque à transversales , ou comjjteur universel. Ces ibrnuiles s(mt les suivantes: 1" On donne j; et y, on
trouve ^ =- ^?/, / = -- . 2" On donne .x* et ^ , on trouve y=^ t x ,
z= tx^. li'^On donne y ett, ontrou\e x = -y, z = --. 4° On donne x et ;; , on trouve y = — ,t^ ■^. 5" On donne y et z ,
on trouve x=^-, t^^ — . 6" On donne z et ^ , on trouve
7j — \l^i ^^\ - • ^^ l'®*-^^ aussi calculer les puissances
y = x^; onsi: \ogy =p \ogx équations d'une droite OA qu''' sort du cadre de l'épure , mais que Ton ramène en A'B ; en lisant y sur A'B, on ajoutera 10.
L'aDamori)lio.se de M. Lalanne s'applique à un grand nombre de fonctions; la forme la plus générale permettant
INTEGRATION GRAPHIQUE. 137
la transformation des lignes d'égale cote en ligne droite, est la suivante :
aœ' -{- by' -{- c = 0 , a,b,c étant trois fonctions quelconques de ^ , ^' = cp (x) ?/ = 'I (//)■ Cette expression contient quatre fonctions arbitraires • x' et y'. Cette reniai que est due à Caucliy ; nous
ajouterons qu'on peut éliminer les fonctions arbitraires : en
éliminant les fonctions — , — on trouve : c c
pY-lqX^R si R = r — — 25 + ^---
Y et X sont des fonctions arbitraires de // et de x que l'on
élimine en calculant
(IR dR d'R , X' ^-, Y'
on trouve -rr~ = S
dx dy dxdy " X Y
d'où les deux équations :
rfS ^ dT -^ = 0, — — =0.
dy dx
Ces deux équations sont du cinquième ordre; la niHliode des coupes linéaires s'applique donc aux fonctions qui satisfont à deux équaticms, aux dérivées partielles du cinquième ordre.
1 79. Tables employée.^ A»ns la rôdacfioii de*» projet de roule. — Lorsque le gabarit d'une route est donné, les surfaces de déldai et de remblai d'un demi-profil sont des fonctions de de ;x variables, savoir la hauteur li de déblai ou de remblai sur l'axe de la route et l'inclinaison i du terrain naturel supposé rectiligne ou brisé sur l'axe. On a donc S = /'(«,/?); M. Lalanne a d'abord (1840) construit des tables graphiques en portant l'inclinaison i en abscisse , la hauteur// en ordonnée et en traçant des lignes d'égale superficie; neuf systèmes de formules sont applicables ; le tableau comprend (fig. 85) 9 régions limitées par des lignes droites: 1 et 5 régions du déblai , 4 et 9 régions du remblai, 2, 3, 8, 7 régions
138 INTEGRATIO>' GRAPHIQUE.
des profils contenant un point de passage , 6 régions des profils contenant deux points de passage. Pour qu'une pareille table soit complète , il laut tracer une série de courbes dans les régions 1 et 2, une nouvelle série dans les régions 4 et 9, deux séries de courbes dans les régions 2, 3, 8, 7, trois séries de courbes dans la région 6. M. Lalanne a construit l'anamoriihose de cette figure ; mais si une anamoi-pliose transforme une série de courbes en lignes droites, les autres lignes restent curvilignes; on peut se borner à obtenir des droites dans les régions les plus vastes , les courbes subsistant dans les autres régions.
En 1845, l'ingénieur Davaine publia dans les mémoires de la Société des sciences de Lille un tracé gra[)hique donnant sur le même tableau les surfaces de déblai , de remblai , les largeurs d'emprises et les longueurs des talus; l'auteur •-mnonçait que ses tables pouvaient servir quelles que soient la largeur de la voie et l'inclinaison des talus. M. Lalanne montra que ces tables n'avaient pas la généralité qui avait été annoncée; il perfectionna ces tables en transformant, par ranamori)hose , les hyperboles qu'elles comportaient en droites parallèles.
ISO. Inconvénients des tables de .11. L.alannc. — Les tables de M. Lalanne ont un inconvénient grave, c'est d'exiger beaucoup de temps pour les construire. Nous lisons ce qui suit dans un des derniers écrits de ce savant ingénieur ( 1 ) :
'. M. l'ingénieur en chef Ricour ayant un gabarit à une seule voie , différent , par conséquent . de ceux qui avaient été l'objet de publications antérieures, a établi sur quatre planches de û"',70 sur 0'",3û, autant de tables qui font connaître les superficies de déblai et de remblai, les largeurs d'emprises et les longueurs des talus pour des cotes sur l'axe allant jusqu'à 20 mètres et pour des déclivités du profil trans-
(1] Exposilion uiiiv<-rselle à Paris en 1878 ( France). Notices sur les loilèles, cartes et dessins j-elaiifs aux ira vaux ,les ponts et rehaussées, p. 446.
versai jusqu'à 0,40. . . . L établissement de chacun des tableaux a exigé quatorze lieures de calcul et vingt heures de dessin. «
Ainsi les quatre tables de ce système exigent 56 heures de calcul et 112 heures de dessin, soit en tout 168 heures de travail. Si, [)Our des raisons quelconques, le gabarit subit une modification, il faut recommencer ce travail. Aussi M. Lalaune ajoute- t-il que si un gabarit ne s'appliquait qu'à un petit nombre de profils, il faudrait renoncer à l'exécution de ces tables ; il propose alors de se servir des formules analytiques , mais en simplifiant les calculs par l'emploi de sou compteur universel.
Lorsque l'on emploie nos méthodes d'intégration graphique, le calcul des cubes et des distances de transport sont remplacés par des opérations graphiques ; si donc on lit sur une table une superficie en mètres carrés, il faudra la représenter par une ligne droite ; il serait plus utile d'obtenir immédiatement cette droite sur la table graphique; on supprimera ainsi deux causes d'erreur, une erreur de lecture et une réduction à l'échelle de surfaces. Les hauteurs de déblai et de remblai sont indiquées sur le profil en long, pourquoi faut-il les calculer? il serait plus commode de jiouvoir les porter en vraie grandeur sur le tableau.
Nous supposerons aussi, qu'au lieu de donner les inclinaisons du terrain en nombre , on ait tracé les profils en long du terrain à une certaine distance de l'axe de la voie; en choisissant, pour cette distance, la distance à l'axe des points nivelés transversalement, il n'y aura aucun calcul à faire pour dresser ces profils en long. Nous sommes ainsi amenés à poser le problème d'une autre manière : on parcourt le profil en long en ])ortant sur une bande de pai)ier les hauteurs de déblai et de remblai , et les déclivités du terrain naturel , construire une table sur laquelle on puisse prendre immédiatement, sur une autre bande de papier, les largeurs d'emjirises , les longueurs des talus , les superficies de déblai ou de remblai. Avant d'exposer le moyen de construire une table de cette espèce , nous devons faire connaître quelques })rincipes nouveaux ur la représentation des fonctions.
§ 2. Principes nouveaux sur la représentation des fonctions.
1 $1 . Emploi d^in système général de coordonnéeis. —
Soit à représenter la fonction w définie par l'équation :
Construisons deux séries de courbes :
r,{œyu) = 0. (2)
r,{œyv)==0. (3)
Ces premières sont les lignes des ic , les secondes sont les lignes des v. A chacun des points du plan correspondent des valeurs de u et de v qui peuvent être considérées comme les coordonnées curvilignes de ce point. Si on donne à w des valeurs déterminées , on obtient les lignes des w dont l'équation générale en coordonnées ii et v est l'équation (1); on obtiendrait l'équation de ces lignes en coordonnées rectangulaires a; et y en éliminant u etv entre les équations (1) (2) (3). Pour comparer la généralité de cette méthode à celle de M. Lalanne , cherchons quelles sont 1 s fonctions que l'on peut représenter au moyen de trois systèmes de droites; on a alors :
ligne des u, aœ -\- b?j -\- c =0, a, h, c fonctions de u, ligne des 1', a'x -\- b'i/ -\- c' = 0, r^V^'r-' fonctions de i?, ligne des w, a"œ -\- h" y -\- c" = 0, r("b"c" fonctions de w.
En éliminant ûc et y on obtient 'a relation entre les trois variables it, v, lo, on trouve le déterminant :
(rf6'c") = 0.
Cette équation contient 6 fonctions arbitraires : — , — ,
c c ni y a'' //'
— , —, —, — ; la généralité de notre méthode esta celle d c' c" c"
de M. Lalanne comme 6:4.
On peut d'ailleurs remarquer que cette méthode contient
la méthode de :M. Lalanne comme cas particulier; il suffit de
INTEGRATION GRAPHIQUE- 141
prendre pour ligne des u : x =^^u , pour les ligues de v : X — (p(r). Mais si l'on arrive au même résultat, les principes sont différents , car pour M. Lalanne u et v sont toujours les coordonnées. Mais il suppose que, la table ayant été régulièrement construite, on lui applique l'anamorphose. Nous allons voir que l'on peut aussi considérer les tables en coordonnées générales comme résultaut d'une transformation d'une table dressée en coordonnées cartésiennes, de sorte que la méthode nouvelle n'est qu'une transformation plus générale que ceUe de M. Lalanne, mais a^'ant avec cette dernière une très grande analogie.
i8!î. Transfornialion des lablcs. — Si une table graphique était dressée sur une feuille élastique , on pourrait la déformer comme on voudrait, la fonction représentée restera la même , car si trois lignes, telles que u = 2,v = 'i,iu = d, se coupent en un même point avant la déformation , elles se coupent encore en un même point après la déformation; on trouve , avant et après la déformation , que i)Our z< = 2 et t' = 3 , on doit avoir lo = 5. Si on construit une table en portant x = u, 7/ = v, en la déformant , les lignes coordonnées x = u, y = v deviennent des ligues quelconques ; on obtient une table en coordonnées générales. Pour obtenir la transformation que M. Lalanne a appelée anamorphose géométrique, il suffit de supposer que la table subisse des allongements ou raccourcissements suivant les x et les y, de telle sorte que la table étant quadrillée par les lignes x = u , y = t",elle est, après la déformation, quadrillée par les lignes
On peut définir la transformation des tables d'une manière plus précise. Étant donné (fîg. 87 A) un point M dont les coordonnées soient u, v, déterminons un point M' dont les coordonnées xety soient x = 's, {u , v) , y = '^ {u , v) . A tout point , à toute ligne de la figure A correspond un point , une ligne de la figure B ; si trois lignes se coupent en un même point sur la figure A, les transformées de la figure B se coupent aussi en un même point ; une table graphique étant tracée dans la figure A, sa transformée de la figure B repré-
sentera la même fonction. Plus généralement, toute propriété basée sur Tintersection de certaines lignes de la figure A , existe encore pour les transformées de la figure B. Ainsi, par exemple , si nous traçons dans la figure A la perspective d'un angle trièdre coupé par deux plans , nous obtenons deux triangles dont les sommets se trouvent sur 3 droites convergentes et dont les côtés correspondants se coupent sur trois points en ligne droite. A toute droite de la figure A correspond une courbe de la fig. B, dépendant de deux paramètres et déterminée par deux points ; la même propriété existe pour la figure curviligne ; on obtient deux triangles curvilignes dont les 3 sommets se trouvent sur 3 courbes convergentes et dont les côtés correspondants se coupent sur une même courbe, toutes ces courbes étant de la famille des transformées des droites.
18«$. Eliuiination ^ra|>lii(|ue. — Soient les trois équations :
Si on élimine t et i' entre ces trois équations, on reconnaît que 10 est fonction des variables ii et v; on peut représenter cette fonction sans procéder à l'élimination analytique; c'est cette opération que nous appelons élimination graphique. Pour y arriver, il suffit de représenter sur le même tableau les trois relations données en prenant naturellement les mêmes systèmes de lignes pour les mêmes vaiiables; en un point de la figure, on devra considérer 5 lignes, et ion obtiendra 5 cotes u vtt'w satisfaisant aux trois relations , donc u, V, w satisfont à la relation cherchée; l'élimination s'opère en supprimant les lignes des t et des V. Ce principe de l'élimination graphique a été appliqué par M. Lalanne dans son compteur univer.sel, mais il nous a i»aru utile de l'énoncer.
184. Cas où les variables sont des longnears. — Supposons (fîg. 86) que a soit la longueur d'une ligne droite; on pourrait trouver la ligne correspondante en mesurant cette droite , si les lignes des u sont convenablement graduées ;
mais on peut aussi la trouver par le tracé d'une courbe que nous appellerons Taxe des ii. D'un point o de la ligne ii = 0, avec des rayons iù=l, u==2, etc., traçons des circonférences coupant les lignes i« = 1 , m = 2 , etc. ; l'axe des ii est le lieu de ces intersections ; ayant tracé cet axe o U , on obtiendra la ligne u = l, en portant ^ en OA , la ligne demandée est celle qui passe par A. Si la ligne u = 0 se transportait à l'infini, on pourrait prendre un point o quelconque; quelquefois il est plus utile déporter oA = i« -h constante. On peut aussi tracer une échelle des î^en OU' et infléchir les ligues des u à l'extérieur de la partie utile du tableau vers les points correspondants do cette échelle: on peut aussi mener, par les points de division de cette échelle , des parallèles coupant les lignes des u suivant une courbe de rebroussement comme l'indique la figure; il convient que cette courbe reste en dehors de la partie utile du tableau ; on peut recourir à plusieurs échelles OU' et 0"U", si la première sort des cadres de l'épure.
1^5. Représentation d'une fonction «le trois variables. — Soit la fonction
10== f{t,ti,v).
En portant sur trois axes rectangulaires x = t,y = n et z = v , on obtient pour chaque valeur de oo une surface d'égale cote; si ces surfaces sont des plans, on peut les représenter par la géométrie descriptive au moyen de leurs traces; on peut de cette manière représenter les racines d'une équation à trois coeflicients variables :
Prenons (fig. 83) deux axes rectangulaires ox ei oy dans le plan de la figure que nous considérerons comme jAau horizontal; les traces des plans d égale cote s'obtiennent en faisant ^ = 0 , on trouve :
10^ + xio -\- y = 0
On obtient précisément l'abaque des racines de l'équation du 3^ degré construite par M. Lalanne , seulement les lignes
144 INTEGRATION GRAPHIQUE.
tracées doivent être considérées comme les traces des plans d'égale cote. Il est inutile de représenter plus complètement ces plans. Soit à chercher les racines de l'équation du quatrième degré pour ^ = 0,6, ?/ = 0,4 , ^ = 0,3; on trouve immédiatement la projection horizontale in du point de l'espace ; pour déterminer plus complètement ce point , imaginons un plan de profil EF que nous transportons en E'F' et que nous rabattons sur le plan de la figure , en portant M'M = :? = — 0,3, on obtient le rabattement; le plan de profil E F coupe les plans d'égale cote, suivant des lignes d'égale cote, dont on obtient immédiatement les traces; il est facile devoir que l'on obtiendra ces lignes en rabattement, en les menant perpendiculairement aux traces des plans correspondants.
En effet , la trace d'un i)lan d'égale cote a pour équation w^ -{- xw -\- y = 0; elle fait avec OiC un angle dont la tangente est 10; la ligne d'égale cote dont il s'agit a pour équation !€'■ -\- 0,fi w^ + y tv -j- 2 = 0 , elle fait avec l'axe o^ un
angle dont la tangente est ; mais l'axe oz eu rabatte-
ment est dirigé en sens contraire de ox, donc la ligne d'égale cote fait avec o x un angle dont la tangente est — ; : le produit des tangentes étant égale à — 1 , la propriété est démontrée. Si on trace les lignes d'égale cote , on obtient facilement les racines réelles. On voit que pour chaque racine, il faut une épure particulière, mais on peut éviter cette construction; on prend mm' = — 0,3; on fait mouvoir une équerre dont le sommet décrive EF et dont l'un des côtés soit constamment dirigé suivant les traces des plans d'égale cote; on s'arrête quand l'autre bord de l'équerre passe par le point N, on obtient la racine en lisant la côte de la ligne effleurée par le premier bord de l'équerre.
1S«. Kmploi «le foHÎlles molules. — Si nous traçons: sur un plan les lignes j\ {œyw) = 0 , sur une feuille transparente les lignes /i ixyic) = 0, et .^ur une autre feuille transparente les lignes /^ ixyu), la position de chacune des
INTEGRATION GRAPHIQUE. 145
feuilles transparentes mobiles sur le tableau des lignes des w dépend de 3 variables ; on peut de cette manière représenter certaines fonctions de 8 variables.
■ S7. i£iu|>loi de |»lii!«ieiir!^ tableaux. — Soient les équations :
/; {x, !/, t) = 0, /, [izl'} = 0, f, [Vut") = 0, l\[t"vw) = 0
Si on donne œ,y,z, u , *; , on peut successivement calculer l, t , i" et 10; donc la variable tv est fonction de o variables indépendantes. Comme chacune des quatre relations qui la définissent est susceptible d'être représentée graphiquement, on pourra , au moyen de quatre tableaux calculer la fonction w. Si on construit quatre tableaux séparés , on est obligé de lire successivement les cotes t ,t' ,t" ; on i)eut éviter ces trois lectures de deux manières. On peut d'abord représenter les quatre relations sur une même épure en prenant des courbes des t , t' , t" qui conviennent aux deux tableaux où ces variables interviennent; ce procédé conduit le plus souvent à une épure confuse et difficile à construire. Presque toujours, il sera plus avantageux de représenter chaque relation par une e[ture spéciale; le tableau des a)pt et celui des tzt' étant placés l'un à côte de l'autre, on prolonge les deux courbes des ^ relatives à une même cote jusqu'à leur rencontre ; on trace le lieu des points de rencontre ; on peut alors considérer les deux courbes comme une seule courbe présentant un point angulaire; on passera du premier tableau au second sans lire la variable t. On passera de même du deuxième tableau au troisième et du troisième au quati-ième sans lire les variables i' et i". Le procédé que nous venons d'exposer peut être généralisé comme il suit : Si une équation entre un nombre quelconque de variables est susceptible d'être considérée comme le résultat de l'élimination de certaines variables auxiliaires entre plusieurs équations à trois variables , il est possible de remplacer la relation par un certain nombre de tableaux graphiques.
146 INÏEGRATIOxX GRAPHIQUE.
iS8. Applications et marche à suivre. — Dans tout problème , il }' a des données et des inconnues ; en représentant les données ])ar des lettres, on établira des formules qui donneront la solution de tous les problèmes de même espèce ; les inconnues sont donc des fonctions de certaines variables. Ainsi , par exemple, l'épaisseur à la base d'un mur de soutènement est une fonction de 6 variables : la hauteur, les fruits des deux parements, les poids spécifiques des terres et des maçonneries, le talus naturel des terres; de même les dimensions des parties d'un pont d'un type donné, les dimensions des pièces d'une machine d'un système connu , etc. , sont des fonctions de certaines données. Dans toutes ces questions il sera presque toujours possible de dresser, par les méthodes précédentes, des tables graphiques donnant immédiatement et sans calcul les inconnues du problème. Si le problème ne comporte que trois variables , une inconnue et deux connues , il n'y a aucune difficulté; s'il comporte plus de deux variables indépendantes , il faut , s'il est possible , ramener la formule à un certain nombre d'équations à trois variables et chacune de ces dernières donnera lieu à une table graphique. Dans cette recherche , il est difficile d'énoncer des règles absolues , mais les observations suivantes conduiront souvent au résultat : 1° Lorsque l'équation finale contient un grand nombre de variables , elle provient généralement d'équations plus simples; en remontant à la source de l'équation finale , en introduisant au besoin des variables auxiliaires, on constituera souvent les équations à trois variables que l'on cherche ; 2'' dans une équation homogène par rapport à deux ou plusieurs des variables , on en diminue le nombre d'une unité en introduisant leurs rapports à l'une d'entre elles; 3° si une équation résiste à ces; procédés , on prend un cas particulier où le nombre de variables est trois ; de là on remonte au cas général en passant au besoin par des cas intermédiaires. Il ne nous serait pas possible d'aborder les innombrables questions auxquelles ces tables graphiques s'appliquent; les observations qui précèdent et les exemples que nous traite-
INTEGRATION GRAPHIQUE. 147
TOUS suffisent i)our tracer la voie à suivre ; le nombre de variables ne doit pas rebuter le lecteur; ainsi la question des murs de soutènement comprend sept variables et cependant nous sommes parvenus à la solution.
Lorsque le jiroblème est ramené à des relations à trois variables, chacune d'elles donne lieu à une table graphique ; mais cette table graphique peut être établie d'une infinité de manières; il faut autant que possible que les lignes d'égale cote soient des droites ou des courbes faciles à ci 'nstruire ; nous allons donner quelques principes sur l'emploi des systèmes de droites.
fl 80. Oegrc d'nn M>lèuie de droites. — Si U est une
des variables, on peut adopter, comme ligne des u, les droites ayant pour équation :
ax -\- hy -\ c = 0,
ûc , y étant les cordonnées cartésiennes , a, h, c, trois fonctions de u.
Si ces trois fonctions sont des fonctions entières de degré n, nous dirons que le système est de degré n. Les lignes des m enveloiq)ent une courbe de classe n, car à tout point x,y du plan correspond n racines de u , c'est-à-dire que par tout point on p.eut mener n tangentes à l'enveloppe. Une droite quelconque est coupée par les lignes des u suivant une échelle à divisions inégales si l'échelle des u est à divisions égales ; en prenant sur cette droite une origine quelconque, la distance u' d'un point de cette échelle à l'origine est liée à la variable ii par une relation de la forme :
Uu'"-\- NîC'^-i ... 4- T
M'iV'-h JN'if"-! +T'
Cette formule s'obtient aisément par l'analyse en mettant les équations de la droite sous la forme œ = Xq + ku', y =y^ + mu' et portant ces valeurs ùe œ,y dans l'équation de la ligne des u ; mais on y arrive aussi en remarquant que l'équation entre u et u' est algébrique, que si u est donné, on a une seule valeur deu', que si u' est donné, il y a n valeurs de II. Supposons que la sécante considérée soit la droite u = u^
148 INTEGRATION GRAPHIQUE.
du système; la valeur de ii' doit devenir indéterminée pour u = Mo , en divisant les deux termes de la fraction qui donne u' par u — Uq , on abaissera le degré de la variable d'une unité. Pour une tangente multiple, le degré diminuerait davantage.
flOO. Système du premier degré. — Lorsque la variable li est au premier degré , 1 équation de la ligne des u est de la forme :
a'x -j- b'y 4- d = u {aœ -{- by -\- a) ou (3 = ua.
Prenons ( fig. 89 ) les droites a = 0, |S = 0 comme nouveaux axes coordonnés C^', Cx'; on sait que les nouvelles coordonnées sont fi et a multiplies par des constantes ; on obtient une équation de la forme :
Ces droites passent par la nouvelle origine et pour les déterminer plus complètement faisons ^' = /. , on a g/' = u. Soit 0 U la droite x' = / ; en portant u sur cette droite , on obtiendra un point de la ligne it. Si sur OU on construit une échelle des u, le laisceau des droites joignant le point C aux divisions de cette échelle sont les droites des u. La droite OU est ce que nous avons a))pelé (184) Taxe des it.
101. Construetion d^un isystème du premier degré. — On trace les droites Cy' on a = 0 , Cx' ou |3 = 0 ; ce sont les ligues it = oc , u = 0; au lieu de déterminer À par l'analyse, on peut tracer une troisième droite CA relative à te = Woi cela étant, l'axe 0 U est une parallèle à C?/' telle que oM = Uq ; on trouve le point M de l'axe 0 U en portant CN = Wq , et en menant NM parallèlement à Cx'. L'axe des 11 étant déterminé , on opère comme précédemment.
iO'i. Problème. — Construire le système connaissant trois lignes des u. Soient CA, CB , CD les droites Uq, iii, u^. Nous déterminerons la position de l'axe 0 U par la condition MN == Hi — Uq , PX = u^ — Ui ; une parallèle oT' à l'axe des u satisfait à la condition :
M'JN' CQ u. — Uq
ou
N'P' QP' u^ — u.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 140
On obtiendra cette parallèle en portant deux longueurs CQ, Il — if QP' dans le rapport — ' — , en menant QN' parallèlement
à CD , et en joignant P'N'. Portons M'K = ii^ — u„ , et menons KN parallèlement CA, on obtient le point N de Taxe des u qui est complètement déterminé. On obtient l'origine 0 en portant o M = Uq ; le système est facile à construire.
Iî)3. Tliéorèmo. — Une droite quelconque est coupée par un système du premier degré suivant une échelle liomogra[)hique de 1 échelle des it.
Si dans l'expression générale de it' ( 1 89 ) on fait 7i= 1 , on a :
Mm -I- N
L'échelle des u' est dite alors liomographique de l'échelle d s it.
Si on donne la droite x' = œ'o -\- k vJ , ?/' = //'o + m u' , on obtient la relation :
Si on donne les paramètres A, B, C, D de la relation entre u et u' , on déterminera la sécante par les équations :
Le coefficient angulaire de la droite ", est ^.— ; on en
déduit m, k, puis x'o et ?/'o.
Si, au lieu de donner les paramètres A, B, C, D, on donnait trois valeurs de iC relatives à trois valeurs de u, on serait conduit au même problème de géométrie que dans le numéro précédent.
f 04. Syslèmes particuliers du premier degré. — Il
peut se faire que les droites a == 0. [5 = 0 soient parallèles le centre de convergence des droites se transporte à l'infini; les lignes des u sont parallèles. Si on prend un axe des x
150 INTEGRATION GRAPHIQUE.
parallèle à ces droites et un axe des y quelconque , on a : Çj=y y -]- c' a= l)y -; c ; les lignes des u ont pour équations :
by -\-c^ {b'y-\- c')u d'où y =— — — ^ .
L'axe des?/, et par conséquent toute autre droite, est coupée suivant une échelle liomograpliique de celle des u ; toutes ces échelles sont proportionnelles ; il n'y a plus d'axe des u. On construira dans ce cas les valeurs de ?/ en se servant d'un sj'stème convergent auxiliaire. Toutefois si &' = 0 , on a
?/= î , toute droite est un axe.
195. Fonction représentée par trois système.'-» du premier degré. — Soient u, v, w les variables; par un changement d'axes coordonnés, ou peut mettre l'équation des lignes des IV sous la forme :
Soient ay-\-l)x = c
les équations des Ugnes des u et des lignes des r. L'élimination de œ et de y conduit à la relation :
w b'c — bd
). a c' — a' c Cette équation est de la forme :
A + Bu-^Cv-j-Duv ,^,
En chassant le dénominateur, on obtient la forme générale d'une équation du troisième degré contenant u, v, iv au pre= mier degré.
On peut poser le problème inverse : connaissant l'équation (2), construire un tableau graphique des valeurs de ^^ au moj^eu de trois systèmes du premier degré. L'idée la plus naturelle e>^t d'identifier l'équation (lia l'équation (2j; l'équation (1) contenant plus de paramètres que l'équation (2), il y a
INTEGKATIOX GRAPHIQUE. 151
iDcléterinination ; les calculs montrent que le iiroblèuie n'est possible que dans certains cas; mais ces calculs sont si laborieux que nous préférons arriver d'une autre manière aux résultats.
Remarquons que la valeur de lo tirée de l'équation (1) devient indéterminée pour c; = 0, c' = 0; il doit en être de la valeur de w tirée de l'équation (2). Donc posons :
A + Bi«H- Cv-{- J)uv = 0,
A' + B' M -f C't' -4- D' ley = 0.
Ces équations conduisent à une équation du second degré en II et une autre en v ; si les racines sont imaginaires, il y a impossibilité de résoudre la question ; considérons le cas où les racines sont réelles. Soient Uo, l'oun système de valeurs; on prendra c = u — Uo d = v—Vo. Mais il est préférable de transformer l'équation (2) en posant u —Uq =u\ v—Vo^ v\ alors on prendra c =m', c' = v' ; les équations (I) et (2) qu'il s'agit d'identifier deviennent :
 ~av'—a'u'
Bu'j-Gv'-^Dîi'V
B'îi'-{-C'f'-\-D'ii'v'
L'équation (2) peut être identifiée à l'équation (1) d'une infinité de manières en la mettant sous la forme :
to __ {B-\-Ev')u' -^v'[C + {D—E)ic'] A ~'{B'-i-E'v')u'-\-v' lC'-\-(.B'—E')u']
E et E' étant des quantités quelconques ; on prendra :
—b=C+{I)-E)u> ■ b' = B-hEv'.
Si l'on choisit E = 0, E' = 0, X = 1 , des simplifications sa produisent ; les trois systèmes sont alors :
y — wx,
Chj — Cx^u' {Dhj — D^ — 1) = 0 , B'^ -[- B^ + V' = 0,
10 = ■ — -— î- fî>)
152 INTEGRATION GRAPHIQUE.
I04». .^Sè:ii4> |»rol>lèiii(^ traité au iuoy«ii <lo<^ l'ooriloiiiiees trilinéaire»». — Soient (flg. 93) A, B, C les centres de
convergence des lignes des u , des v et des w\ soient a = 0, (3 = 0, y = 0 les équations des droites BC, CA, AB ; a, (i, •/ étant des fonctions du l*'"' degré de la forme p — ^ sin w — y cos w ; pour un point quelconque du plan, a, ': , y sont les trois coordonnées trilinéaires de ce point ; le triangle ABC est le triangle de référence. On a alors :
ligne des ii, 6 (3 = c y (1)
ligne des v, c'y = a'a (2)
ligne des w, a!' a. = &"^ (3)
En éliminant o.{t-/ on obtient :
a"eb = a'U'c. (4)
Si les fonctions «", c', &, a\ U\ c restent les mêmes , et si on déforme le triangle de référence de toutes les manières possibles, l'équation (4) ne change pas; donc, pour représenter une fonction donnée, on peut prendre arbitrairement les trois points A, B, C. Soit à construire un tableau graphique représentant la relation
\y-\-kuA B^?-|-C^^-{-A'^;^^;-l-B'^^^«4-C'MW-i-E^^î;^^=0. (5)
Cette équation contient 7 paramètres; l'équation (4) en contient 9 (trois pour chaque ligne) ; donc on peut identifier l'équation (4) à l'équation (5) tout en se donnant arbitrah'ement deux conditions ; on peut , par exemple , se donner le point M qui correspond à un système de valeurs u,v,w. Au lieu d'identifier l'équation (4) à l'équation (5) , ce qui conduit à des calculs laborieux , nous allons faire voir que l'on peut déterminer a priori par l'équation (5; les valeurs de il, v, w relatives aux trois côtés du triangle de référence ; on aura alors deux lignes de chaque système ; le point M étant choisi, on aura une nouvelle ligne de chaque système qui sera complètement déterminé par trois lignes (192).
bupiiosons le problème résolu ; pour les valeurs ii' et v" lelatives au cote AB, tu est indéterminé sur le tableau gra- } liique ; il en est de même des valeurs u" et v' relatives aux
INTEGRATION GRAPHIQUE. 153
côtés AC et BC; on trouverait de même que deux grou[)es de valeurs rendent u et v indéterminés. Ces valeurs peuvent se déterminer par Téquation (5^ ; ainsi les valeurs qui rendent îv indéterminé doivent satisfaire aux équations suivantes :
D + Au 4- By + C'??y = 0 (fi)
C + A'y + B'u + Em- = 0. (7)
En éliminant r, on obtient l'équation :
î«*(AE — B'C') + n(AA'+DE — BB' — CC')-|-A'D — BC = 0. l'R)
Si Ton cherchait les valeurs qui rendent r indéterminé, on trouverait les mêmes valeurs de ii; en efïét, il faut alors changer B, B' en C, C et vice- versa ; Téquation reste la même. On trouverait deux équations semblables à l'équation (8) , en
V et tv, en cherchant les valeurs qui rendent les autres variai les indéterminées ; ces trois équations du second degré déterminent les valeurs u'u", t''ii", la'iv". Mais il faut savoir grouper ces racines ; on y arrive par la méthode suivante , qui a l'avantage de n'exiger que la résolution d'une seule équation du second degré. Si on résout l'équation (8), on trouve u',îi" ; on attribuera ii' au côté AB, u" au côté AC; l'équation (6) permet de calculer les valeurs correspondantes de V; la valeur v" qui correspond à ii' sera attribuée au côté AB; la valeur r' qui correspond à u" sera attribuée au côté BC. Pour obtenir les valeurs vy, iv", exprimons que
V est indéterminé ; on tiouve deux équations dont l'une est :
D + Au + Cic -f B'u w = 0. (9)
La valeur w' qui correspond à u" sera attribuée au côté CA ; la valeur a»" qui correspond à u' sera attribuée au côté BC. Les valeurs u, r, lu, ainsi calculées, doivent satisfaire encore à trois autres équations analogues aux équations (6) (7) et (9) ; mais il est inutile de vérifier si ces équations sont satisfaites ; nous savons déjà que les six équations analogues à (6) se ramènent à trois équations analogues à (8).
Déterminons un système de valeur satisfaisant à 1 équation (5) , par exemple u = 0 ,v = o, io= ; prenons un
[joint M (luelconqiie pour représenter ces trois valeurs; le système u est déterminé par les droites AM, AC, AB relatives à i« = 0 , u = u' , u = II" ; les autres systèmes sont aussi déterminés par trois droites; le problème est résolu. Au lieu de se donner le point même M, on pourrait se donner les axes des it et des v , déterminer les origines de ces axes d'après les valeurs connues de n et de v; on retrouve le point M , u = 0, v = 0; on attribue à la droite
CM la valeur w = ; et le système w est déterminé par
trois droites.
Nous remarquerons que les valeurs u" et u' de l'équation (8) auraient pu être attribuées aux droites AB et AC; on a alors la disposition de la figure 93 bis. Nous remarquerons aussi que l'on peut déformer le triangle A , B , C comme on veut ; on peut supposer que le point A s'éloigne à l'infini ; les lignes des u forment un système parallèle et l'on peut choisir le point M de telle manière que toute droite soit un axe des u.
lîlî. Sysièiîi«s (Iti «»econil degré. — L'équation d'utie ligne des ii est de la forme :
;aw« 4- m|3w -[ ny = 0 (1)
l , 771 , 71 sont des paramètres constants , « , |3 , -/ soEtt des fonctions du premier degré des coordonnées cartésiennes r ectangulaires du point , fonctions que nous supposerons de la forme p — ^ cos w — 2/ sinw; soient BC, CA, AB les droites a = 0, ,S = 0, 7 = 0 (flg. 95).
On peut aussi considérer a , (5 , •/ comme les coordonnées trilinéaires du point en prenant comme triangle de référence le triangle ABC. L'équation d) de la ligne des i( est donc écrite en coordonnées trilinéaires ou cartésiennes selon que l'on conserve a, |S, 7 ou que l'on remplace a, (3, 7 par leurs valeurs. On remarquera que l'équation de la ligne u contient neuf paramètres arbitraires ; il faut donc neuf conditions p our déterminer un système du second degré.
Los lignes des u enveloppent une courbe de seconde classe, donc du second dogre; en donnant renvelo])pe, cela équi-
vaut à cinq conditions; on pourra encore se donner trois conditions; on pourra par exemple se donner les valeurs de u relatives à trois tangentes.
IttS. Enveloppes des lignes des u. — L'enveloppe des lignes des u est une courbe du second degré tangente en A et C aux droites AB et CB (fig. 95); les points de l'enveloppe s'obtiennent par les intersections des droites de deux systèmes du premier degré convergent en C et A. En effet, en appliquant la théorie des enveloppes à l'équation (1), c'est-àdire eu prenant la dérivée de l'équation de l'envelopi^ée i)ar rapport au paramètre variable, on trouve que le point de l'enveloppe touché par la ligne u est donné par les deux équations : lait^ VmÇ)U -\- ny =-0, 2tait -f- ni^ = 0; en portant ZaM, tiré de la seconde équation dans le terme lau'^ delà première, on remplace ces équations par les deux suivantes :
m(3w -[- 2ny = 0 (2)
2lau -t- m^ = 0 (3)
Ces deux équations représentent deux droites dont l'intersection est le point de l'enveloppe; la première représente un système du premier degré convergent en A, la seconde un système du premier degré convergent en C.
L'équation de l'enveloppe s'obtient en éliminant u des équations (2) et (3); on trouve :
m^^^ — 4l7îay =^ 0. (4)
Cette équation est du second degré; on aurait pu l'obtenir autrement en exprimant que les valeurs de it de l'équation (1) sont égales.
De l'équation de la ligne des u , on déduit que la droite u = 0 est y = 0 ou A B , que la droite z« = x est a = 0 ou BC ; les équations du point de contact donnent : pouri<-=0, 7 = 0, |3 = 0 ou le point A ; pour u = ce ,a = 0, 3 = 0 ou le point C.
100. Théorème. — Toute droite ii = Kq du système est coupée par les autres suivant une échelle homographique de l'échelle des u dont les ])oints se trouvent sur le système
156 INTEGRATION GRAPHIQUE.
auxiliaire du premier degré ^Ua -f- m|3 = 0 où U = u + iif, ; la ligne des u parallèle k u = oo est coupée suivant une échelle proportionnelle à celle des u et peut servir d'axe des u.
L'intersection des lignes u etUo satisfait aux deux équations :
lu'* a 4- jnu^ -H ny = 0 lu^oOL +mi(o(3 + ny ^ 0.
Elle satisfait aussi à l'équation que Ton obtient en soustra\'ant ces deux équations; on trouve en supprimant le facteur commun u — Uq ;
l{u + Wo) a + m|3 = 0.
Ce sont les droites d'un système du premier degré convergent en C ; faisons U = u -\- u^ , nous obtenons
/Ua-fm/3 = 0. (5)
Si on construit ce système du premier degré, on pourra obtenir l'intersection de la droite Ug avec toutes les autres en faisant U = u -\- Uq , ce qui revient à déplacer l'origine des U d'une quantité u^ pour avoir celle des u. Le système (5) est facile à construire ; l'axe OU est parallèle à CB ; on peut le prendre à volonté, si on laisse l'échelle des U indéterminée, si D E est la droite Uq , 01 doit représenter U -^ îi-\-Uo = Uo ; cela détermine l'échelle des U. La propriété remarquable du système (5) est de donner les intersections de deux lignes u et Uo ; on peut la mettre en évidence en construisant les lignes des u pour des valeurs de u en progression arithmétique : M = 0, ±Ji ±2h, etc.. ; ces lignes décomposeront la partie du plan extérieur à renvelopi)e en quadrilatères; les sommets de ces quadrilatères se disposeront alors sur les droites du système (5); ainsi sur la droite U = 10/^ se couperont : u = lOh et u -=0,11 = 9h et ii = h , etc. ; les lignes des U sont les diagonales des quadrilatères formés par les lignes des u.
Puisque la division d'une ligne u^ s'obtient au moyen du s^^stème (5) qui est du premier degré, cette division formera une échelle homographique de l'échelle des u; mais le sys-
INTEGRATION GRAPHIQUE. 157
tème ( 5 ) a un axe, les droites parallèles à cet axe sont coupées proportionnellement à 1 échelle des u ; donc la ligne des u parallèle à cet axe , c'est-à-dire la ligue des ii parallèle à la ligne Z6 = 00, est coupée par les autres suivant une échelle proportionnelle à celle des u et qui peut servir d'axe des ic , en choisissant convenablement l'échelle des ii ; c'est ce que nous avons supposé sur la figure 95.
!^00. Déteriui nation analyliqiio d'tin <«y!«lônio du jiieeond deg;ré. — Nous avons déjà dit qu'il faut 9 conditions pour déterminer un .système du second degré ; que la détermination de la conique enveloppe exige 5 conditions ; on peut se poser un grand nombre de problèmes sur cette détermination; nous donnerons un seul exemple.
On donne les trois tangentes CB , AB , DE, les points de contact C et A des deux premières, les valeurs it=oo,it = o, u = Uq relatives à ces trois tangentes; trouver le système.
Dans l'équation de la ligne des u, on connaît a, |3, y par les droites C B, C A, A B ; on déterminera les paramètres l, m, n en établissant que la ligue DE est la ligne u^^ ; supposons que l'équation de la ligne DE soit mise sous la forme :
Aa-i-B(3-|-Cy = 0.
Cette équation doit être identique à l'équation de la ligne Uq :
/^«o^a 4- r,iii^ib-\- ny = 0.
lu^;^ m lia '>i , , A B
On a donc ~- = " = — : on prendra / =
n = C; l'équation d'une ligne quelconque devient
+ B - 8 + Cv = 0.
lia ' '
On remarquera que les 5 premières conditions déterminent la conique ; il en résulte qu'une conique quelconque peut être considérée comme l'enveloppe d'une infinité de systèmes du second degré; pour achever la détermination du .système, on se donne la tangente u =^ ce , cela revient à donner l'axe FI ; on se donne la ligne // =- 0, cela revient à donner l'origine
158 INTEGRATION GRAPHIQUE.
des i< ; on se donne la ligne u = Uq, cela revient à donner l'échelle des u. Si sur une tangente à une conique, on établit une échelle des u à partir d'une origine quelconque ; si par les points de cette échelle on mène des tangentes à la conique, on obtient un S3'stème du second degré. Si sur une autre tangente , on établissait une échelle des v , on aurait un autre système du second degré ; une tangente est alors à la (bis une ligne des u et une ligne des v; quelle est la relation entre les valeurs ii et v relatives à une même tangente? L'axe des v étant coupé par les lignes u suivant une échelle homographique de l'échelle des tt , on a
Aî<t7 + Bu -i-Cv-hD = 0.
On déterminerait les paramètres si on connaissait trois valeurs de v relatives à trois valeurs de u.
*Î01. Ilétcrniiiiakion gconiétrique (fun »>y«»tèiuc da <«eoond dt'gré. — Pour construire le système, on donne à u des valeurs successives telles que it = 0 , 0,1 , 0,2, 0,3, etc. ; on déterminera les lignes des u en traçant les divisions qu'elles déterminent sur deux droites quelconques du système, au moj'en du système auxiliaire (5). Le système (5) ne permet pas de trouver la division de la droite BC par les antres droites ; mais on l'obtient directement en faisant a = G dans l'équation { 1 ) ; on trouve
mw|3 +ny =0, (6)
Si l'on cherche la division de la droite BA, on fera Uo = o, Jj = u +Uo = u;\e système (5) devient :
/2<a-f-mf3 = 0. (7)
Soit DE la ligne u; les rayons CE, DE ont pour équation
les équations (7) et (6) ; les rayons C M et A M ont pour éq-ia-
tion les équations (2; et (3); or, ces dernières se déduisent des
u éqi.iations (6) etCl) en faisant dans la première w = - , et dans
la seconde u = 2 n ; on voit, quà part un changement dans la graduation , les systèmes qui déterminent les points de lenveloppe, déterminent les points 0 et E des enveloppées. De là résultent des [propriétés géométriques faciles à énoncer.
Problème I. — Construire une conique connaissant 3 taagentes CB, A B, DE et les points de contact des deux premières ; construire un système du second degré enveloppant cette conique, en attribuant aux tangentes C B , D E , B A les valeurs u = oo , it = iio, u = 0.
Les systèmes du premier degré qui déterminent les divisions des droites CB , D E , B A par les autres lignes des u sont déterminées par 3 droites ; de là trois méthodes. On peut aussi déterminer Taxe OU qui satisfait à la condition 0 1= 0 H ; on est ramené à un problème de géométrie élémentaire facile à résoudre : la solution est indiquée en pointillé sur la figure.
Problème II. —Construire une conique connaissant 5 tangentes ; si 3 tangentes sont graduées u =a, u = b , u = c, construire le système du second degré.
Les tangentes non graduées sont coupées par les trois autres suivant deux échelles horaographiques des u déterminées par trois {)oints.
'^O'i. Sur un nouveau syslèine de coorilonnétes. — Puisque u détermine une droite, deux valeurs u et u' déterminent un point; Une équation fin, u') détermine une courbe; l'équation u-^u' représente l'enveloppe. Les coordonnées u et iC sont unies aux coordonnées trilinéaires par les équations :
m^ , ny
la. ly.
L'équation d'une droite quelconque peut s'écrire : Aa r B,5 +C'/=0.
ou bien - — ^^ {u -^ic' ) + ^uu' = 0. (8)
Les coordonnées u et u' sont portées sur l'axe des u ; on obtient les lignes u et u' en menant des tangentes à la conique. On peut énoncer le théorème suivant : si suf une tangente à une conique on porte, à partir d'une origine, des distances u et it' satisfaisant à l'équation (8) (ou si l'on porte deux systèmes de points en involution) le lieu des intersc c-
160 INTEGRATION GRAPHIQUE.
tions des tangentes menées à la conique par les points conjugués est une ligne droite.
On peut remarquer aussi que les équations u-^-u'^XJ, uîi' = \j' représentent des droites des systèmes (6) et (7).
*iOS. Sysiènies pnrliciilior*!! du second degré. — On peut supposer que Tune des expressions a , (3, y soit constante.
1° a constant. La droite a = 0 ou C B se transporte à l'infini ; l'équation de l'enveloppe wi* 5* = 4 / n a y indique que c'est une parabole dont la droite C B est un diamètre. Le système auxiliaire du premier degré lU y. -h m [i = 0 représente un système de droites parallèles dont toute sécante est un axe ; en effet en prenant fi = 0 comme axe des x, l'équation
ly.
devient ii = — — U. Il résulte de laque toute ligne des u m
est coupée par les autres suivant une échelle proportionnelle à celle des u et peut servir d'axe des u. On construit le système en traçant deux lignes des it et le système auxiliaire. 2° |3 constant. L'enveloppe m^ (5* — 4 îz ^ a -/ -= 0 est une hyperbole dont les droites a = o, y = 0, sont les asymptotes, ce que l'on pourrait prévoir a priori, puisque les points de contact A et C se transportent à l'infini. Le système auxiliaire Œa. + m (3 = 0 représente des droites parallèles à a ;
m fi en prenant a comme axe des ^, on a ^ = — —--; l'axe des?/
et toute autre sécante est coupée suivant une échelle des
— ; il n'y a pas d'axe des U et, par conséquent, il n'y a pas
d'axe des u.
S'» y constant. On retombe sur ie premier cas en remplaçant
u par - ; donc toutes les lignes des u sont coupées suivant
les échelles des valeurs de — ; aucune n'est axe des u.
^04. Foiiolîoiis roprosenlêcs par Iroiis ««y»»tènio«i> «In
•iceoiid degré.— Nous avons vu (181) qu'au moyen de
trois systèmes de droites on peut représenter une relation de
la forme :
{a/yc") = 0.
Ces quantités «, a\ a' . . . représentent ici des fonctions du second degré des variables u, r, iv, cette relation est une équation du sixième degré contenant au premier degré u, v, IV , u^, ^,•^ IV-. Si l'un des systèmes était du premier degré , le degré de la variable correspondante descendrait aussi au premier degré . On peut se proposer le problème inverse: donner entre ic, v, iv une équation de cette forme et construire le tableau graphique qui la représente. La méthode générale qui consiste à identifier la relation donnée avec l'équation (a&'c") = 0 conduit à des calculs laborieux; nous nous contenterons de traiter autremcntlesexemples suivants.
•305. iei- Exemple. — Représenter la fonction :
a + bu A- cv I duv
~ cO -r b'ii + c'v -f- cl'uv ^'^
Nous avons vu (195) que, dans certains cas, on peut représenter cette fonction par trois systèmes du pi-emier degré ; la solution suivante convient toujours.
Prenons deux axes rectangulaires et posons :
X = bu + cv + duv (2)
î/ = b'u -H c'v -h d'uv (3)
L'équation ( 1 ) devient :
w ip -h a'} = X + a (4)
La ligne dese<) forment un système du premier degré. Des équations (2) et (3) éliminons v, puis u\ nous obtenons les lignes des M et les lignes des v :
X — bu y ~ b'u
c -I- du ~ d + d'u ^^^
x — cv V — c'v
b + dv ~ b' -h d'v ' ^^)
La première représente un système du second degré en u, la seconde un système du secord degré en v ; la représentation de la fonction s'opère aisément.
Toutefois une anomalie se présente ; si entre les équations (4) (5) et (6) on élimine ^ et ?/, on trouve une équation con-
162 INTEGRATIOiN GRAPHIQUE.
tenant u et v au second degré ; donc on a introduit une solution étrangère, et cette solution contient u et v au {)reniier degré ; elle est de la forme :
Auv + Bu + Cv -+-!) = 0 (!)
Le tableau graphique, qui est la traduction géométrique des équations (4) (5) (6), devra donner cette solution étrangère : c'est-à-dire que si u et v satisfont à l'équation (7), le tableau indiquera que w est indéterminé; mais cela n'est possible que si les lignes ii et v coïncident ; nous arrivons donc ainsi à cette propriété inattendue; les lignes des u et des v enveloppent la même conique ; pour une même tangente les valeurs àeiieiûev satisfont à une équationdelaforme( 7). Rien n'est plus facile que de faire disparaître la solution étrangère du tableau ; si on donne les valeurs de m et î; , et si elles satisfont précisément à la relation (8) le tableau donnera une seule
ligne pour u et v; il faut rejeter la valeur w = r:'->^^ vraie
valeur de tv est celle qui correspond au point de contact, on s'en aperçoit en prenant provisoirement des lignes des u et des V très voisines l'une de l'autre et en les faisant rapprocher indéfiniment.
Ces inductions peuvent être vérifiées par le calcul, et l'on peut déterminer la solution étrangère introduite. Si en effet des équations (5) et (6) on calcule ^ et ?/, on ne retrouve pas les valeurs ( 2 ) et (3 ) ; il y a un dénominateur ; ce dénominateur est la solution étrangère ; c'est :
(c' ■+■ d'u) (& + du) —{b' + d'v) {c-\-du) = 0
ou {l)c' — b'c)-\-u{M — b'd)+vic'd — cd') = 0. (7'"8)
L'équation (5) des lignes des w peut se mettre sous la forme :
~u*{bd' — b'd) + u[œd'—^d — {bc' — b'c)] + œc — pc = 0.
On se trouve dans le cas a. constant ( 203; ; l'enveloppe est une parabole ; l'équation de cette enveloppe est :
[œ a — îjd — {bd — b' c)]^ -{- 4{bd' — b' d) {œc' — yc) ^ 0
ou bien en faisant quelques calculs :
{xd' — vd)--]^{bc' — bfcY-{-2{ljci-]-b'c){xd'-{-vd)—ib'c'xa — 4bci/d' = Q
INTEGRATION GRAPHIQUE. 163
Pour obtenir l'enveloppe des lignes des € , il tant changer en c et réciproquement ; on i^econnaît que l'équation reste la même.
•ÎOO. Deuxième exein|»le. — Représenter une équation contenant w au second degré ,îie%v au premier.
N P Soit 1 équation : u'* -\- vj -— -|- — - = 0 ( l )
M , N , P sont des fonctions du premier degré des quantités u,v, u V.
N Posons : ûc = -rr- (g)
On a : lo^ -\- tv x -{- ij ^ 0 (4)
L'équation (4) montre que les lignes des iv forment un système du second degré très tacile a construire ; on se trouve dans le cas a oonstaïit(203); les lignes enveloppent une parabole; le système auxiliaire est lu -^ œ = 0, l'axe des œ est la droite u; = 0 , et peut servir d'axe des w ; pour îi' = I on a : 1 -\- x -\- p = 0 ; ces deux droites sont coupées par le système auxiliaire en des points qu'il suffît de joindre pour obtenir les lignes de w.
Des équations (2) et (3), nous déduirons les lignes des u et des V , en éliminant v ou ti ; pour éliminer v , écrivons les équations (2) et (3) plus explicitement :
a -\-bv a'-i-b'v ^~ a"-{-b"v ^~ a"-\'b"v '
On trouve :
X {a"b' — a'b") + y {ab" — a"b) ^{a'b — ab') = 0 (5)
Ces lignes forment un système du second degré , car « , & , a',b', a", b" contiennent u au premier degré ; on trouverait de même que les lignes de v forment aussi un système du second degré.
INTEGRATION GRAPHIQUE.
Il se présente ici la même anomalie que dans l'exemple précédent ; si entre les équations des lignes des u , des v , des w , on élimine xety , on obtient , au lieu de l'équation ( 1 ) , une équation contenant u , v , w au second degré ; donc on a introduit une solution étrangère de la forme :
Auv-i-Bu-^Cv \ D = 0
En raisonnant comme au numéro précédent . on démontrera que les lignes des u et des v enveloppent la même conique , mais que les valeurs de u et v relatives à une même tangente satisfont à l'équation (7). On obtiendra la relation (7) en remarquant que si de l'équation (5) et de l'équation correspondante en v, on tire x et y, on obtient un dénominateur du second degré ; en le divisant par M on obtiendra la solution étrangère. En identifiant les équations des lignes des u et des lignes des v, on trouverait aussi la relation (7) , enfin, en cherchant l'équation de l'enveloppe, on vérifierait qu'elle est la même pour les deux systèmes. Les calculs ne deviennent simples qu'en se servant des déterminants.
!î©7. llèuic qiie»>tioii par les détei*uiinant!!>. — En écrivant plus exi)licitement les valeurs de M , jS , P , les équations (2) et (3) peuvent être remplacées par :
M = a -\-bu + c V -\- cluv Mœ == a' -\-b'ii + a' v + cl' u v My = a" + b"it + c"v+ clHtv.
En éliminant M et v , on trouve l'équation des lignes àesu En éliminant M et u , on trouve l'équation des lignes des v :
(gbis)
a + bu a' + b'u
c -{■ du c' + d' u c" + d" u
a-{-cv a' -h d V
b-]~dv b'-\- dv b"A d"v
On peut aussi mettre ces équations sous forme de déterminant de 5"^ éléments ; ou peut écrire :
Mœ = a' f !)' u + C v + cl' u v
Eu éliminant Mu, v,uv on obtient :
(5ter)
de même
pour
la lig
ue des
(gter)
Pour chercher la solution étrangère, nous nous servirons des équations (5'^'^) et (G'''^); ces équations sont des conséquences des équations (2) et (3); la solution étrangère est une solution qui satisfait aux équations (5''''') et (6'"^) sans satisfaire aux équations (2) et (3). En multipliant la 3« colonne du déterminant b^'"' par v , en ajoutant alors la seconde colonne à la troisième; en opérant «le même sur Téquation (6^'^) ou obtient :
ou bien :
A{a + bu) -+- A' A{a + cv) ■+■ A' on a aussi :
a -h CV
{a> -\-b'u) + A"(a" la' + c'v) + A"ia"
INTEGRATION GRAPHIQUE.
Ces équations sont satisfaites par A = 0, A' = 0. A" = 0 et il est facile de voir que cela donne les équations (2) et (3); mais on peut aussi satisfaire à ces équations d'une autre manière si Ton a :
îtv
a -h bu a' -+■ b'u a" -f- b"u a 4- c V a' + c'v a" + c"v = 0 (7'''« ) MNP
Cette relation est la solution étrangère ;
Nous avons divisé par uv pour faire disparaître les nouvelles solutions introduites dans le calcul; on peut aussi mettre l'équation (7*''^) sous la forme :
uv
citer]
Les transformations à faire pour arriver à cette nouvelle forme sont basées sur les propriétés des déterminants ; mais on peut aussi y arriver en éliminant d'une autre manière A, A', A" des équations (8); en introduisant une inconnue auxiliaire A'" , ces équations s'écrivent :
A« + A'<2' + A" a" + A"'uv = 0 \b + A'b' -h A."b" — A"'v =0
Ac> + A'c' -f- A"c"
- A" A^+ A'd' + A'Ur + A"
En éliminant A A' A" A'" on obtient l'équation (7*").
Dans ces calculs nous avons supprimé et introduit des solutions II = 0, V ^ 0 parce que ce ne sont pas celles-là qui nous préoccupent.
§ 3. Construction et usage d'une nouvelle table donnant les surfaces de déblai, de remblai, les largeurs d'empris€s et les longueurs des talus.
^0$. Rédiiclion des neuf syslènie^ de formaies à un «iystèuic unique. — Considérons (flg, 90) l'un des cas les
INTEGRATION GRAPHIQUE. 167
plus coiiijiliqiiés; le gabarit est formé de quatre lignes : 1 ou ah, 2 ou bc, 3 ou cd, 4 ou de; la ligne du terrain naturel coupe les lignes 1,2,4 en B, C, E. On pourrait sans doute calculer les trois surfaces partielles ABa, BCèi , CEdc, mais si on avait ces surfaces, il faudrait les porter bout à bout en ordonnée pour le calcul des cubes ; on prendrait SI = ABU, 12 = BCI), 24 = CEdc. Il résulte delà, qu'au lieu de calculer les surfaces partielles , ou peut aussi calculer les surfaces algébriques comptées à partir de Taxe du profil , c'est-à-dire les surfaces :
S, = XBa, 82 = AB« — BOô, S^ = ABa — BCa + CEed. Il peut se faire que la ligne du terrain rencontre le coté cd, c'est ce qui arriverait si le fossé avait une largeur cd'; dans ce cas, on devrait calculer S3 = ABa — BC6-1- CDc. Ajoutons à Si une constante — Cg = — baO^, à 83 une constante C3 = abcO^, à S4 une constante C^ = abcdOi , on trouve :
S,=ABa, S-, - Cj - — ACO2 , Sj-l-Cj^ADO,, 81 + 0^ = AEOi
Toutes les surlaces à calculer ABa, ACO,, ADO3, AEO^ rentrent dans un tj^pe unique, c'est la surface comprise entre l'axe du profil en travers, une droite fixe du gabarit, 1,2, 3, 4 prolongée, et la ligne variable du terrain naturel. Soient (fig. 91) ABO l'une de ces surfaces; OA = H la hauteur du terrain an-<lessus d'un point fixe du gabarit ou la côte de déblai ou de remblai modifiée d'une hauteur constante; I la différence en valeur absolue des inclinaisons des ligTies OB et AB , c'est-à-dire la longueur CD de la verticale menée à l'unité de distance du point B et limitée par les lignes OB et AB prolongées; S la surface ABO , l la distance BF du point B à l'axe du profil. Les figures ABO et BCD
