C. Méthode exacte

^SJ^. Troni'ou à un ««eiil point de passage. — Soit ( flg. 94 ) à transporter le voluine de déblai représenté par a Al sur le déblai représenté par IBb; imposons-nous la condition d'employer pour chaque distance de transport fe véhicule le plus économique , c'est-à-dire la brouette pour les distances variant de o à o a (fig. 97) , le camion pour les distances comprises entre oa et ob ,\e tombereau pour les distances plus grandes que 0 &, le wagon pour les grands volumes. Menons dans l'intégrale première A, I, B, , les horizontales Pj Q,, Rj Sj égales aux longueurs limites oa et ob de la figure 97 ; si on rapporte les points F,, Qi, Rj, Sj, en F, Q, R, S, on voit que les volumes 1, 2, 3 seront respectivement transportés à la brouetté, au camion, au tombereau. La surface Aj I, B, est alors décomposée en trois surfaces partielles que l'on évaluera chacune avec la base d'intégration qui correspond au véhicule employé et en tenant compte des temps perdus par la méthode ordinaire.

Nous avons déjà fait remarquer (229) que la distribution des terres que nous venons d'admettre n'est pas la seule possible ; on peut démontrer comme il suit que c'est la plus économique. Sip = / (œ) désigne le prix du tran^>port d'un mètre cube à la distance x, le prix du transport du volume Y

est / pdv = / dv 1 -~- dx =- il -^-^dx . dv. J J J dx JJ dx

Or / / dxdv = Jœdv = (ù, constante que l'on peut considérer comme surface dont l'élément est 6?« = dxdv; la dépense s'exprime par f 1 d'si — , on peut donc la considérer comme le poids de la surface m dont le poids spécifique

dv serait -j- ; la fonction p est représentée par 0 ABC (fig. 96) ,

dï)

-T^ décroît quand x croit , donc , on obtiendra le prix minimum en plaçant les éléments r^ co à la plus grande distance possible de l'axe des V. Si on modifie d'une manière quelconque la distribution que nous avons adoptée , on reconnaît

aisément que la surface w = / j dxdv = A, Y B, = A, I, B,

sera transformée en une autre, dans lesquelles les éléments

seront plus rapprochés de l'axe A, V , et par conséquent

d7) auront une importance -j- plus grande ; donc la solution

adoptée est la plus économique.

*Î35. Tronçon à trois point$« de pns.sa^e. — Reprenons le cas du tronçon IM (fig. 99) ; un volume voisin de N, peut être transporté en deux endroits différent.^. Si on le considère comme faisant partie du volume V, on le transporte en Rj à la distance N, R, =1, et un volume équivalent sera transporté de Q, en P, à la distance P, Q=/"; le prix moyen

par mètre cube sera — Si on le considère comme fai.sant

partie du volume II , on le transporte en P, à la distance N, Pi = /', et un volume équivalent sera transporté de Q, en R, à la distance Q, R, = /'"; le prix moyen par mètre cube

sera ^— . La première solution sera la plus économique si :

On vérifie aisément cette inégalité au moven de la figure

i>;tegratio>,- graphique. 163

97, on porte en abscisse l = on, /." = om, /.' ^o q, à'" = ojj, on prend les milieux K et I des droites Q P et M N, l'inégalité peut s'écrire aussi :

li<:Kk.

Si ou suppose >." = Pj Q, , très petit, alors on reconnaît que l'inégalité est toujours vérifiée ; on obtiendra donc une solution plus économique en augmentant le volume III ; on est conduit ainsi à élever la droite N, R, jusqu'à ce que l'on ait :

p + p" p' + //" , . ^ . -— ^ = ou bien U = K /?.

On pourra trouver la solution la plus économique par tâtonnements, en augmentant /"jusqu'à ce que cette égalité soit vérifiée ; mais dans certains cas particuliers, on peut trouver cette solution sans tâtonnements.

*^36. Cas d'un !!<eul appareil pour les grandes dislances /, /', /'". — On a alors ?> = a -t- 13 A , |>' = a + |3 /.', 2/0 = a + /3 /"' , p" = a" + /3" 1" ; l'égalité devient :

Or ). = /' + a'" + '/." , l'équation donne :

Si le grand appareil est le camion, le transport du volume III se fera à la brouette, et on trouve : A" = 14'" ; si le grand appareil est le tombereau , le transport du volume III se fera à la brouette , et l'on trouve /" = 54™ ; si le grand appareil est le wagon, on trouve, en employant bi brouette pour le volume III, une distance /" plus grande encore; il convient d'employer le camion pour transporter une partie du volume III, on trouve alors, en admettant pour le wagon la formule!/ = 0,39 + 0,00016 D, /" = 109»\

^37. Cas d'un véhicule pour les distances), /', d'un véhicule plus pelil pour les distances ). " et X'". — On a

alors :

194 INTEGRATION GRAPHIQUE.

OU bien fi ( / - À' .) + f^" X" - (3" X'" = 0.

Or, À = À' 4- /." + /'", on trouve entre /" et /'" la relation :

>/' fi' - fi

/" 2 On trouve : camion et brouette : T77, = — ; tombereau et

brouette -^^ == jg ; tombereau et camion : — = •—; wa-

gon et brouette — = -^^ ; wagon et camion -j^ = -^^ ;

wagon et tombereau -^ = — - •

!Î3S. Cas de trois appareils. — Si on emploie un appareil pour la distance ). , un autre appareil pour les distances /.' et /.'" , un troisième pour la distance À" , on a :

a + (5 X + a" + |3" /" = 2 a' + (3' ( // + À'"). Or, À' 4- /'" = / — /" , on trouve :

)." (fi' + [::>') = 2 a' — a — a" + / (p - /3). On trouvera /." et 1 par tâtonnements.

o^SO. Cas d^nn tronçon à 5 points de passage ou plus.

— Dans ce cas (fig. 99 bis) l'intégrale première présente plusieurs minimas ; on subdivise la surface limitée par cette courbe au moj^en d'horizontales que l'on détermine par les considérations qui précèdent ; ainsi on tracera C C de manière que le segment B B' satisfasse aux équations précédentes ; on tracera de même D D' ; on trouve alors aisément la distribution des terres.

•^40. Résumé. — Pour obtenir exactement le coût des transports pour la distribution la plus économique , on est encore amené à tracer l'intégrale seconde de la ligne représentant les surfaces transversales; mais il faut subdiviser l'intégrale seconde d'après certaines règles que nous venons d'exposer et intégrer les différentes parties avec une base d'intégration qui convient à l'appareil employé et en tenant

compte des temps perdus. On pourra très facilement effectuer ces intégrations partielles , de telle sorte que les prix des transports s'ajoutent naturellement.

§ 3. Dépenses diverses.

"il I . Fouille cl c'hnrg-eiuent. — Un ouvrier charge 15""

en un jour, le chargement d'un mètre cube coûte ~— , si a est

le prix de la journée d'ouvrier terrassier; soit T le temps

employé à piocher un volume déterminé , t le temps employé

à le charger, on dit que la terre est à -7 — \- l homme, et

chaque mètre cube coûte — 7 — ,— ; c'est par cette quantité

qu'il faudra multiplier le volume de déblai, pour obtenir le coût de la fouille et du chargement. Cette multiplication s'effectue graphiquement sans la moindre difficulté.

^■l*î. Eiupi'iiiics. — Ou exécute le plan terrier (flg. 98), soit au moyen des profils en travers, soit au moyen des tableaux graphiques ; pour évaluer les emprises , il suffit d'effectuer une intégration graphique ; on emploie une ligne des pôles (46); on obtient un système d'arcs paraboliques déterminés par leurs tangentes extrêmes. Pour obtenir les parcelles , il faut intégrer également les lignes qui séparent les propriétés; ainsi AB, CD, EF, ED ont pour intégrales A,Bi'CiDi EjFj E,D'; on obtient les surfaces des parcelles 1, 2, 3, 4, en Bfii, D,rfj, Ej^',, Fj/",. En choisissant une base d'intégration convenable, on obtient directement le prix des parcelles. Les constructions deviennent un peu plus faciles lorsque l'on divise le plan terrier en deux parties par Taxe de la route.

24LS. Talutages, p^azonn.ige». — On doit, pour évaluer ces dépenses, calculer les surfaces des talus; ces surfaces sont représentées en projection horizontale sur le plan terrier. Pour évaluer ces projections , il suffit de retrancher

INTEGRATION GRAPHIQUE.

de la suriace totale des emprises, l'intégrale oX, relative à la plate-forme de la voie. Il faut midtiplier la dilference par le prix du mètre carré de talus divisé [)ar le cosinus de l'angle du talus avec l'horizon. Lorsque les talus de déblai et de remblai sont inégalement inclinés sur l'horizon, il faut subdiviser le plan terrier en deux parties séparées par Taxe de la voie, sinon dans les profils qui ont à la fois un talus de déblai et un talus de remblai , on ajouterait des surfaces qui doivent être multipliées par des quantités différentes. Le multiplicateur diftêre selon qu'il s'agit d'un talus de déblai ou de remblai.