IK

On obtient alors la pression i? à une échelle déterminée par une division graphique :

On peut aussi calculer la pression maxima; on trouve comme suit une formule plus simple que la formule généralement empfoyée : prenons e' comme centre des moments et exprimons, que le moment de N est le moment du trapèze ou des deux triangles A'B'B et A'BA qui le composent; le premier triangle ayant un moment nul, on obtient ;

INTEGRATION GRAPHIQUE. 203

^a} = — 7- , formule dans laquelle a' = Ce', ^ = A B ; on

en déduit :

6Na'

Eu prenant e comme centre des moments, ou trouverait la pression rai ni ma :

, 6Na

formule dans laquelle a = C(?. On reconnaît que les longueurs a = Ce, a' = (lé représentant à une certaine échelle les pressions aux exlrémites B et A du joint. On peut aussi déduire de ces formules la construction du numéro précédent; ainsi , par exemple, de la valeur de;; on déduit :

ou p : II" =e'C:IC,

il résulte de là que j; = Cil,

94$. Wélcriui nation de la Inrgeui* d''nn joint. — Ou

connaît la pression totale N, l'extrémité B, déterminer l'autre extrémité A du joint de manière que la pression maxima soit égale à une limite donnée R'.

Premier cas. Loi du triangle (fîg. 107). — La pression N est le poids du triangle AA'D; prenons comme inconnue a = AC , on a :

^, AA' X AD R' X 3â! ,, ^ 2 N

N = =— ^— doù a==---.

La longueur a s'obtient par une simple division graphique ; mais si cette opération doit se reproduire souvent, on peut choisir 1 échelle des forces de telle manière que a = N. Pour déterminer l'échelle des forces, on choisit une certaine longueur a = 20'"^ que l'on porte à l'échelle des longueurs ; on a ainsi la droite qui représente une force connue N = 30R' ; si, par exemple, R' représente une pression do 13 kil. par centimètre carré, ou fera R'= 130.000, d'où N'= 3900 tonnes;

204 INTEGRATION GRAPHIQUE.

sachant que la longueur a = 20"^^ représente 3900 tonnes , l'échelle des forces est déterminée. Si N est représenté à cette échelle particulière, on trouvera le point A en portant AC = N ; en portant CD = 2N , on obtient 1 axe neutre D; la partie DB du joint ne travaille pas; si CD est plus grand queCB, la loi du triangle ne convient pas; on emploie la méthode suivante

Deuxième cas. Loi du trapèze. — Nous avons démontré

6Na' la formule p = — r^ , on a donc , en exprimant que p = R' \

6Na;

Éliminons N en introduisant la longueur n calculée dans l'hypothèse de la loi du triangle , on a N = — '■ ; il vient :

P = 9aa'.

AB l Prenons (fig 108) comme inconnue z = =— ; on

connaît & = CB ; on a a' = & — 2^ ; on a donc l'équation :

^^=a{b — z) ou z {a -}- z) == ab .

On déduit de là la construction suivante : portons BK = a, décrivons sur CK comme corde une circonférence de diamètres, menons le diamètre BLM; BL = ^. En effet, on a ;

BLxBM = BKxBC ou Bh x {a -\- BL) = ab.

On reconnaîtrait que — BM est une solution négative qu'il faut rejeter

Autre const)'ucti072. — En résolvant l'équation en 2^, on obtient :

Port'-ns BG = -— , construisons la moyenne proportionnelle BF = Y "l ^2b'i-~\ en décrivant l'arc de cercle GP

INTEGRATION GRAPHIQUE. 205

du point C comme centre; on aura Ge' = BE, cela détermine le point e'; on porte ensuite AB = 3Be'.

^■lO. Table (graphique. — L'équation qui détermine la valeur de z peut se mettre sous la l'orme :

Ij z z

On connaît—, il faut trouver - ; la valeur de — peut a a a

s'obtenir immédiatement au moyen d"une table numérique ou graphique à une seule entrée ; donnons à — les valeurs successives 0,5 0,6 ... 1,0 ; on trouve très facilement réchelle

des valeurs de — portées sur l'axe OB (fig. 109) ; on obtient

amsi les longueurs — relatives aux valeurs de — indiquées

sur chacun des points de division ; une échelle à divisions égales placée à gauche de l'axe OB permet de lire la valeur

de— ; ces deux échelles constituent la table graphique. Soit

par exemple — = 1,3, on lit — = 0,74; en augmentant les

dimensions et les divisions de cette échelle, on peut obtenir autant d'approximation que l'on veut. Il faut cependant remarquer que l'on ne supprime pas ainsi tout calcul , car il

faut mesurer a et &, calculer -^ , calculer z. Pour supprimer tout calcul , il faut construire une table graphique donnant la longueur z , connaissant les longueurs a et b; pour

y arriver, portons l'échelle des - en O'B' et sur la même

droite l'échelle des - en 0"Z , 0"0' étant deux points à une

distance quelconque; menons sur O'O" deux perpendiculaires O'P et 0"Q égales à l'unité et joignons les points F et Q aux points de division des échelles; les droites correspondantes

206 INTEGRATION GRAPHIQUE.

de ces deux faisceaux se coupent sur une courbe facile à tracer. Cette figure construite sur un papier quadrillé constitue la table graphique.

Portons PA = QA' = a, AM = &; en suivant la droite PAI, on trouve le point N ; en suivant la droite QN , on trouve le point K ; on a 2: = KÂ'.

Pour le démontrer , on remarquera que les faisceaux de droites qui convergent en P et Q constituent des tables de

multiplication et de division (07, 68); on a : O'B' = -^= — ;

la droite PN ayant pour correspondante QN , on a 0"li = — ; pour obtenir z , il faut multiplier 0"1I par a , donc z = A'K

Autre table graphique. — L'équation en z [)eut être mise sous la forme :

z^ + az = al ,

c'est un cas particulier de l'équation du numéro 206;

on posera : x^ a

y = alj ou y = bx'

on aura z- + xz = y.

Les lignes des a, des &, des z sont des droites; l'axe des X est l'axe des a et celui des z, l'axe des b est parallèle à l'axe des y. Nous laissons au lecteur le soin de la construction qui ne présente aucune difficulté.

^50. Courbe des plu*» grandes prcssïions totales qnc peut supporter un jolnl. — Soit (flg. 110 j le joint AB ; supposons en A une pression AA' égale à la pression limite R' ; supposons différentes lois de pression A'I , A'2..., on obtient immédiatement les pressions mo^'ennes sur l'axe IN , et les centres de pression en joignant Me, et \e\ -le' , 3e', etc.; les pressions totales sont proportionnelles aux pressions moyennes et peuvent être représentées par les mêmes droites ; si l'on porte ces droites en ordonnées sur les centres dépression correspondants, on obtient la courbe NM. Le point M correspond à la loi du triangle sur toute l'étendue du

joint ; si Fou suppose la loi du triangle sur une partie du

"ici joint , la pression totale est donnée par la formule N = R' -^ ,

«étant la distance du centre de pression au point A; eu prenant a comme abscisse, N comme ordonnée, cette équation représente une ligne droite que Ion obtient en joignant AM. La ligne AMN donne les pressions maxinia pour toutes les positions du centre de pression situées entre le milieu I et l'extrémité A; pour les positions situées entre le milieu I et l'autre extrémité B , on trouverait une ligue symétrique delà première et qu'il est inutile de tracer puisqu'on regardant le joint d'un côté convenable , on peut toujours supposer que le centre de pression est à gauche du milieu du joint.

La figure 1 10 s'applique à un joint rectangulaire de largeur quelconque et a une résistance quelconque des matériaux ; car quels que soient ces éléments , on peut toujours représenter la largeur par AB et la pression maxima par AA' : l'échelle des pressions et celle des longueurs se détermineront dans chaque cas , la première par la condition que AB représente une longueur connue, la seconde par la condition que la droite IN représente la pression totale R' x AB qui se produit dans le cas de la loi du rectangle. On peut aussi graduer les abscisses en prenant AB comme unité, les ordonnées en prenant IN comme unité; il faut retenir alors que l'unité d'abscisse vaut l, la largeur du joint, et que l'unité d'ordonnée vaut R7. Soient par exemple : 1= 10"\ R' =70.000, AG (abscisse du centre de pression) = 3'". On portera comme

abscisse— = 0,3 ; si on lit N = 0,44 , cela représente •

N = 0,44 X R' X 10 = 308.000 kil.

Ces multiplications et ces divisions peuvent être évitées au moyen de faisceaux de droites établis comme précédemment. On obtient le premier faisceau en joignant un point fixe aux divisions de AB ; on porte enacb par une bande de papier , la largeur a b du joint et le centre de pression c; la droite c^ C du faisceau détermine le point C ; on obtient l'or-

208 INTEGRATION GRAPHIQUE.

donnée C R ou 0 Q. Le second faisceau s'obtient en portant les pret-sions sur l'axe 0 F et en prenant P 0 égal à l'unité de forces : P 0 = A A' ; si on porte P D = R' ^ , on obtient N = R' ^ X 0 Q = D E. Le produit R' l lui-même peut s'obtenir ]iar une table graphique. On peut aussi , au moyen de la figure 110, résoudre le problème suivant inverse de celui que nous venons de résoudre : connaissant la pression totale et le centre de pression, trouver la pression maxima R' ; on obtient , en effet , comme précédemment N = R' / x 0 Q = I) E ; connaissant D E et 0 Q, on peut lire R' ^ = PI), d'où l'on trouve R'. Enfin on pourrait établir une table graphique analogue à celle de la figure 109; de la courbe AMN, on

peut déduire l'échelle des valeurs de -r^ correspondantes

aux valeurs de -y- et on opérerait sur -ces échelles comme

nous avons opéré sur celles des -^^ et des

§ 2. Sections diverses. Cas où il y a un plan de symétrie.

Lorsque le massif de maçonnerie a une section quelconque, on admet encore que la pression normale se répartit suivant une loi plane, c'est-à-dire que les pressions par unité de surface représentées graphiquement aboutissent à un plan ; ce plan coui)e le plan de la section suivant une droite qui est l'axe neutre. Dans le cas d'un plan de symétrie, le centre de pression tombe sur l'axe de symétrie, l'axe neutre est perpendiculaire à cet axe ; c'est ce cas que nous examinons tout d'abord.

!îôl. Coiiuai^saiil Taxe neutre, trouver le centre

de |)re^!«ion. — Soit (fig. 111) la section AB représentée en élévation par une droite, représentée en plan en vraie grandeur. Soient : o y l'axe neutre , x la distance à cet axe d'un eléuient d-ji,]) = niœ la pression sur cet élément par

INTEGRATION GRAPHIQUE. 209

uEité de surface, ^, x^ les distances à l'axe neutre du centre de gravité et du centre de pression ; on obtient en prenant les moments par rapport à l'axe neutre les deux équations :

^, I dco = I â? d<si d'où ^, = — —

^, I mœd'ù= I nix''Hl(ji d'ofi ^^ =-' -rp

Nous désignons respectivement par w , M, I, la surface de la section , le moment statique et le moment d'inertie de cette surface autour de l'axe neutre. De ces deux équations,

en éliminant M et en remplaçant — par R^ le carré du

rayon de gyration , ou déduit :

OC ^ OC<i ^=^ XX •

Soient a, oC les distances au centre de gravité de l'axe neutre et du centre de pression, k le rayon de gyration autour d'un axe passant par le centre de gravité et mené parallèlement à l'axe neutre, l'équation précédente devient en remplaçant œ^ par o) , x^ par a -\- a' , R^ par a'^ -\- k^ :

Si on détermine le centre de gravité et le rayon de gyration k , le problème proposé revient à la construction d'une troisième proportionnelle ; mais il peut être préférable de trouver directement x, , x^ par les méthodes suivantes.

S5*î. Tracés î>;rn|)hÊqiies. Première niélho<lc. — Prenons ra^:e de symétrie x o comme axes d'abscisses et effectuons trois intégrations successives de la section ; on prendra seulement la moitié supérieure de la section; on doublera les résultats en prenant une base d'intégration deux fois plus petite. On sait que la première intégration donne

0), la seconde M, la troisième — I (104); ces trois lignes

intégrales ab cl , a' U cV , «" &" cV sont indéfinies vers la

210 INTEGRATION GRAPHIQUE.

droite , mais au-delà du point B , elles deviennent respectivement une parallèle bel k l'axe des œ , une droite inclinée b' cl' , une parabole du second degré b" cl". Menons la tangente cl" R à l'intégrale troisième au point qui correspond à l'axe neutre, portons NI = 2 N R, le point C est le centre de pression. Eu effet cl" R est l'intégrale de y = M , donc

7f^ = M X RN", d'où ÎÎN = — -^ , d'où enfin :

x^ = 4r = 2 RN = NC.

La direction de la tangente cl"R est donnée par le diagramme des inclinaisons de l'intégrale troisième; en doublant la base d'intégration, on obtiendrait directement la direction de la droite N C ( 1 ). Cette méthode est d'une grande généralité; ayant tracé les trois intégrales, on peut choisir à volonté différents axes neutres et trouver très rapidement le centre de pression correspondant. Lorsque l'axe neutre divise la section en deux parties , deux cas peuvent se présenter : P la matière ne résiste qu'à la compression; 2° la matière résiste à l'extension et à la compression. Dans le

premier cas , les quantités M et -^ I se rapportent à la partie

de la section qui est soumise à la compression ; ce sont les ordonnées des intégrales deuxième et troisième situées sur l'axe neutre; la construction générale est applicable sans

(1) On remarquera que ces deux constructions reviennent à une (livide d"X sion graphique : - ou 2 — — — . On remarquera aussi que Te point R

détermine l'abscisse du centre de gravité de la surface co' couverte par les ordonnées de l'intégrale première (111) ; on peut déduire de là une

nouvelle démonstration de la relation RN =-5- -rrz-; en effet, si M' est

le moment de la surface w', on a :

RN= — =-i- — oj' 2 M

INTEGRATION GRAPHIQUE. 211

aucune modiflcatiou. Dans le second cas, les quantités M et -7- I se rapportent à toute la section : ce sont les ordonnées , situées sur l'axe neutre , des intégrales deuxième et troisième de la droite ?/ = m.

Deuxième méthode. — Nous avons montré (108) que l'on peut calculer les moments de divers ordres des surfaces par une seule intégration ; ai>pliquons cette méthode à la détermination de M et I. Soient x, y, les coordonnées d'un point du contour de la section ; construisons (70) les courbes :

z/i = y^^ Vî = y 00^

on aura :

0) = / ycix , M= I yxdx ^ f yi dx , I ^ / yx-dx = l y^ dx. On voit que w , M , I sont les aires limitées par les courbes

La construction de ces courbes ne présentent aucune difficulté.

Troisième méthode. — Soit à chercher le centre de gravité de la section représentée figure 112, et le centre de pression conjugué à l'axe des x pris comme axe neutre ; nous aurons alors :

ydx M == l '^ — ^ "" I q '^^^^

Pour obtenir w , on intègre en partant d'un point a du contour; on suit ce contour a Kh'Bd'DEeF fG g a jusqu'à ce que l'on soit revenu au point de départ ; on rencontre ainsi des ?/rfiX? positifs et négatifs, mais leur somme algébrique est co ; on trouve l'intégrale A'B'D'E'F'G'H' ; donc : w = A' H'.

Pour construire M et I , il suffirait de porter y^ = y^ , y" = y'^ , pour tous les points du contour de la section ; on obtiendrait deux nouvelles surfaces qui ont pour valeur

212 INTEGRATION GRAPHIQUE.

2 M et 3 I ; on obtient en effet, en introduisant ?/' et if dans les valeurs de M et de I :

2U=\y' dx 31 = 1?/'^^

\y' dx 31 = 1?/"

Soit 0 a l'ordonnée d'un point du contour, Po = X une base d'intégration que nous prendrons comme unité de longueur , on sait que P a est la direction de l'intégrale au point correspondant. Menons a «' perpendiculairement à P a , a' a" perpendiculairement h. a.aJ ; on trouve aisément :

Oo: = / X Oa' Oa' = Oa X Oa"

d'Où

Comme / est pris comme unité , on a :

y = Oa' if = 0«".

En opérant de même pour toutes les valeurs de ?/ , on obtiendra l'échelle Oa'(3'7' de toutes les valeurs de y' , et l'éclielle Oa'|3"7"... de toutes les valeurs de y'\ Portons 0P' = /, joignons P'a', P'(5',... nous obtiendrons le diagramme des inclinaisons de l'intégrale de y\ si l'on suppose que ce diagramme ait subit une rotation de 90** ; il suffira de mener les côtés A"B" , B"D",... perpendiculairement aux rayons P'a',P'/3',... pour obtenir cette intégrale. De même en portant OP" = >., ai joignant P"a", P"|5",... on obtient le diagramme des inclinaisons de l'intégrale de y", si on suppose que ce diagramme ait subit une rotation de 180"; il suffît de mener les côtés A"'B"', B"'D"'... parallèlement aux rayons PV, P"^",... pour obtenir cette intégrale. On

trouve donc :

Soient y,, Z/2 1^'S ordonnées du centre de gravité et du centre de pression , on a :

INTEGRATION GRAPHIQUE. 213

Portons (fig. 1 13) RO = A' H', OS = A"H", OT = A"' H'", FO = 1, unité de longueur que nous avons admise. Si nous menons PU parallèlement à RS, on a, daprèsjla règle de la

division (68) , OU = , donc :

Si nous menons PV perpendiculairement à ST , on a : OT ' 2

En effet, pour diviser OT par os, il faudrait, d'apiès la règle de la division , considérer ST comme l'intégrale d'un rectangle de base SO ; si , par la pensée , on fait tourner ce rectangle de QO'', on reconnaît que OV est la dérivée deST ou la hauteur du rectangle de surface OT, de base OS : ce qui démontre que OV est le quotient cherché,

^53. Calcul des intëgr.iles déliiiies. — Les différentes méthodes que nous venons d'employer pour calculer les intégrales w, M et I, nous amènent à donner quelques considérations sur l'application des procédés du livre II, chapitre III, au calcul de certaines intégrales définies (1). Toute intégrale définie peut, d'une infinité de manières , se mettre

sous les formes / udD , j j du dv , v pouvant être choisi

à volonté ; si l'on porte v en abscisse, et en ordonnée les valeurs limites de u, on obiieut (fig. 1 14) une courbe AB CD qui limite une aire dont la valeur est l'intégrale proposée. Il n'y a d'autres difiicultes que de trouver des constructions élégantes pour obtenir u et v au moyen des variables eu fonction desquelles ces quantités sont exprimées. La courbe ABCD étant tracée, on est l'amene à une intégration; mais.

(1) Voir aussi Méthode géométrique et évaluation de cei'taines intégrales doubles , par Ed. Collignon ( 1874 ).

214 INTEGRATION GRAPHIQUE.

comme nous l'avons fait remarquer , il n'est pas indispensable de tracer cette courbe pour procéder à Tintégration graphique ; il suffit de porter en abscisse des valeurs de v suffisamment voisines sur un axe perpendiculaire , l'éclielle des valeurs correspondantes de u; en joignant un pôle convenable aux diflérents points de cette échelle, on obtient le diagramme des inclinaisons de l'intégrale, sans avoir tracé la courbe primitive.

Si l'on a M = 9 ( ^) t" = 4^ (i^), les limites de l'intégration étant ^'oX, on construira les courbes m = ç (a?) , ?? = 'i' {x), et Ton prendra au moj'en d'une bande de papier les échelles des valeurs de u et de v correspondantes à des valeurs de^, variant de x,, à X. Si 9 et ^|^ sont des fonctions entières , rationnelles, on trouvera graphiquement leurs valeui^ (70 à 83).

Si H = <p (a/) î7 = '4> (^)> ^cs limites des variables a? et y doivent être unies par une équation ,x e\y sont les coordonnées d'une courbe qui tloit être une donnée de la question. Dans ce cas, on construit encore les courbes m = «p {y), V = ^ {œ)\ on prend sur la courbe des x^y, l'échelle des valeurs de y correspondantes à des valeurs de x que l'on se donne ; on obtient alors les échelles des valeurs de w et de v par les courbes 9 et ■.[;.

^iu = ^{xy)v = '^{xy),o\\ pourra dans les cas compliqués construire des tables graphiques des valeurs de u et v et obtenir alors rapidement les échelles des u et v. Dans les cas simples, on peut construire graphiquement u et r; ainsi (70, 73, 80) on construira aisément u = x^^y^oM u {x— a) yrjQ a').... {y — b) (y — &')•••» t;t d'autres expressions algébriques.

Lorsque les variables u et v sont des fonctions rationnelles d'une variable, on peut en modifiant légèrement les constructions du livre II , construire très élégamment les échelles des valeurs u et v relatives à des valeurs données de x et y, Soit d'abord à construire :

u = ax'" 4- bx""- 1 H- cx""-^....

nous avons vu (71) que l'on construit la courbe des u en construisant successivement a,ax-\-l>,{ax-\-b) x-\-c, etc.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 215

Portons (flg. 115) PA = «, PO =- 1 , 0X = ^, AA' est égal à ax {&1); portons ensuite PF = a^ + Z; , FF' = {ax -{-b) x; en continuant de la même manière on obtiendra la valeur de la fonction ; mais on peut modifler la construction, portons BA = ?>, on aura BA' ^ ax-\-l); au lieu de porter BA' en PF , ellectuons la même construction sur A'B ; on prendra pour cela A'O' = l, O'X' = x, BB' = {ax -\-l))x, et si CB = c, on aura CB' ■=- ax^ •\-dx-{-c; mais il est facile de voir que le triangle A' O'X' a ses côtés perpendiculaires sur ceux du triangle POX , de sorte qu'il est inutile de porter AO' = 1 , O'X' == ic, il suffît de mener AB' perpendiculairement sur PA'. On trouverait de même qu'en menant B'C perpendiculairement sur A'B' et CD = 6^, on a : DC == a^a;' + Ijx'^ -\- ex -\- d. En résumé , on porte des droites faisant entre elles des angles de 90° : PA = a, AB= b, BC = c, CD = d, etc. ; on porte les valeurs de x , sur ox , on trace tes rayo7is tels que PA' et sur chacun d'eux on construit un polygone à angles droits PA'B'C ayant leurs sommets sur les xirolongements des droites PA, AB, BC, etc...\ en prenant B,C,D comme origine, on obtient sur ces droites les échelles des valeurs des fonctions.

ax + b, ax'^ -\- bx -{■ c , ax^ + bx^ + cx-i-d{l).

On veut construire