On entend par paraboles du degré n les courbes

qui ont pour équation y= a + bx + coc'^ + Ix"' ; la

parabole du second degré a donc pour équation :y==a-hbx 4- ex"". Cette équation renfermant 3 coefficients , il faut 3 conditions pour déterminer un arc parabolique du second degré ; nous examinerons successivement les deux cas suivants ;

16 INTEGRATION GRAPHIQUE.

A. L'arc parabolique est donné par 3 points dont les lignes d'ordonnée sont équidistantes , 2 de ces points étant les extrémités de l'arc.

B. L'arc parabolique est donné par ses deux extrémités et la tangente en l'une d'elles.

A. Arc paraijolique du second degré déterminé par 3 points dont les ordonnées sont équidistantes et dont deux sont tes extrémités de Varc.

1 7. Expression analytique de Tordonnée moyenne. — Soitx\B(fig. 9) l'arc parabolique du second degré; nous supposons que l'on donne les points extrêmes A , B , et le point intermédiaire C tel que les projections ou pieds d'ordonnées A', C, B' des points A , C , B, soient à égale distance. Soient : y, = A A', y, = CC, y, = BB', A'C = C'B' = h.

Prenons pour origine des coordonnées le point C, les points A , C , B auront respectivement pour coordonnées.

[y = y^ \y =yi \ y = yi

en exprimant que ces coordonnées satisfont à l'équation y^a-irbx + cx^ , on a 3 équations pour déterminer les coefficients a , & , c ; on trouve

/ y^ = a — bh -f- c?i^ (1) J y.- a

D'autre part, l'ordonnée moyenne cherchée y m a pour valeur

yd.

tjdx

ou en effectuant l'intégration et la division par 2 h :

Il s'agit de trouver a et c, au moyen des équations (1) de

INTEGRATION GRAPHIQUE. 17

condition entre a et c; la seconde des équations (1) donne a = tj; en ajoutant les deux autres , on trouve : 2/o + ^2 = 2« H" 2chi, ou en remplaçant a par sa valeur y^ + y^ =2y, +ch^, d'où :

Remplaçant, dans la valeur de y,n, a et ch^ par leurs valeurs , il vient :

en effectuant les calculs , on trouve :

,,, = h±î]k±yx (3,

*8. Constpuelîon graphique. — Pour construire graphiquement la valeur de ym donnée par l'équation (3) , considérons les points A, B, C (fig. 9) comme des points pesants ayant pour poids respectifs 1 , 1 , 4 ; je dis que le centre de gravité de ces trois points aura pour ordonnée l'ordonnée moyenne cherchée. En effet , soit y' l'ordonnée de ce centre de gravité ; le poids total des trois points est égal à 1 + I + 4 = 6, son moment par rapport à l'axe des x est 6y' ; comme il doit être égal à la somme des moments des trois poids , on a : 6î/' = î/o + ^2/1 + 2/2 > d'où :

.., Vo + 4y + y,

ce qu'il fallait démontrer. Le problème est donc ramené à chercher le centre de gravité des 3 poids A, B, C égaux respectivement à 1 , 1,4. Pour trouver ce centre de gravité , composons d'abord les deux poids égaux A et B; le poids résultant égal à 2 est appliqué au point I milieu de AB ; pour composer ensuite le poids C avec le poids I, nous diviserons CI en parties inversement proportionnelles à 4 et à 2, ou encore à 2 et à 1 ; c'est-à-dire qu'en divisant CI en trois parties égales, le point de division E le plus près de C sera le point cherché.

Ï8 INTEGRATION GRAPHIQUE.

On a donc la construction graphique suivante : étant donné un arc parabolique du second degré ACB par ses deux extrémités A et B , et par un point intermédiaire C à égale distance des ordonnées extrêmes, l'ordonnée moyenne de cet arc s'obtient en divisant en 3 parties égales la droite CI qui joint le point C au milieu I de la corde AB , le point de division le plus rapproché du point C a pour ordonnée l'ordonnée moyenne cherchée.

B. Arc paraboligiie du second degré déterminé par ses deux extrémités et ses tangentes en ces extrémités.

tO. — Soit AB (flg. 9) l'arc de parabole dont on connaît les deux extrémités A et B et sa tangente au point A : connaissant la tangente au point A , on a immédiatement la tangente au point B , puisqu'on sait , qu'en vertu d'une propriété de la parabole, les deux tangentes en A et en B se coupent en un point T du diamètre conjugué à la corde AB. On sait aussi que TC = CI ; on en conclut que lE qui est