CI IT
égal à — CI ou '^—' est aussi égal à — ; le point E est donc
le centre de gravité du triangle ATB. De là la construction suivante : étant donné un arc de parabole du second degré par ses deux extrémités AB et ses tangentes AT , BT en ces deux extrémités , l'ordonnée moyenne de cet arc de parabole est l'ordonnée du centre de gravité du triangle formé par ses deux tangentes et la corde AB de l'arc.
§ 3. Arc parabolique du troisième degré.
"iO. — La parabole du troisième degré a pour équation y = a + bx -\- cx"^ -f dx^ ; cette équation contient quatre coefflcients ; il faut donc quatre conditions pour déterminer un arc parabolique du troisième degré. Nous examinerons successivement les deux cas suivants : A. Le cas où l'arc est déterminé par quatre points dont les ordonnées sont équidistantes , deux des points étant les extrémités de l'arc.
I>'TEGRATION GRAPHIQUE. 19
B. Le cas où l'arc est déterminé par ses deux extrémités et les tangentes en ces extrémités.
A. Arc parabolique du troisième degré déterminé par quatre points dont les ordonnées sont équidistantes et dont deux sont équidistantes de Varc.
31. Expression analytique de l'ordonnée moyenne. — Soit l'arc ABCD (fig. 10) donné par les quatre points A, B, C, D, tels que les ordonnées AA', BB', CC, DD', sont équidistantes, c'est-à-dire que : A'B' = B'C = CD'. Prenons comme origine des coordonnées le point 0 milieu de A'D'; ' soient : y^ = Ak', y, = BB', y^ == CC, y^ = DD'; soit AO
= OD' = /^ on en déduit B'O = oC =-^. L'ordonnée moyenne lim est donnée par l'équation
y m = jydx; J —h
on en déduit comme dans le paragraphe précédent :
Les coefficients a et c se détermineront par les équations qui expriment que les points A, B, C, D se trouvent sur l'arc parabolique.
Les coordonnées des points A et D sont respectivement :
'ly-Vo ' iy = -ï-y,
en exprimant que ces coordonnées satisfont à l'équation de la parabole , on trouve :
yo ^ a ~ m -{- eh' — dh'^ y-o = a + m -t ch^ 4- dh^ ; en ajoutant ces équations et en divisant par 2 il vient :
Vo + Vz ,. , , ,
—g — = a-\- ch^ (9)
En exprimant que les points B et C se trouvent sur l'arc parabolique, on trouve une équation semblable à l'équa-
20 INTEGRATION GRAPHIQUE.
tion (2); on peut la déduire de cette dernière en remplaçant y a et î/3 par y, et y, , et h par y;
on a donc : ^^ = ^^ + ^ (3)
Si, entre les équations (1) (2) (3) , on élimine a et c, on trouve une relation d'où l'on déduit la valeur de y m :
^9. Con»>lruetioii graphique de rordoiinée uioyeiine.
— Pour construire graphiquement la valeur de y, donnée par l'équation (4), considérons les points A, B, C, D (fig. 10) , comme des points pesants aj'ant pour poids respectifs 1 , 3, 3, 1.
Le centre de gravité de ces poids aura précisément pour ordonnée , l'ordonnée mo3'enne cherchée , car si on appelle y' l'ordonnée de ce centre de gravité, en prenant l'axe des x comme axe des moments, le théorème des moments donne :
dou '. y = g =î/a».
Le problème est donc ramené à la recherche du centre de gravité des poids A, B, C, D. Pour y arriver, composons d'abord les deux poids égaux A , D en un poids égal à 2 appliqué en F milieu de A D ; composons ensuite les deux poids B, C égaux à 3 en un poids unique égal à 6 appliqué en E milieu de BC- Il reste alors à composer les poids 6 et 2 appliqués en E et en F ; pour cela, divisons F E par le point I en parties inversement proportionnelles à 6 et à 2 ; le point I sera le centre de gravité cherché. Or, on a :
El 2 1 IF~ 6 ■" 3'
r ^ El 1 1 ,, . „, FE
dou: „. , .„ ïT-[? = .. I , = — ; d ou : EI=— - .
EI + IFouFE 3+1 4 4
INTEGRATION GRAPHIQUE. 21
Le point I s'obtient donc en divisant FE en 4 parties égales; c'est le point de division le plus rapproché de F. De là la règle suivante : quand un arc parabolique du troisième degré est donné par 4 points A, B, C, D dont les ordonnées sont équidistantes , deux de ces points étant les extrémités de l'arc , l'ordonnée moyenne de cet arc s'obtient en divisant en 4 parties égales la droite qui joint les milieux des deux cordes AD et BC qui joignent, l'une les points extrêmes, l'autre les points intermédiaires ; le point de division le plus rapproché de la courbe aura pour ordonnée l'ordonnée moyenne cherchée.
B. Arc parabolique déterminé par ses deux extrémités et les tangentes en ces deux p)Oints.
