AP

De là résulte la proposition suivante ; si on détermine le profil d'un mur trapèze ou rectangle sans fruit intérieur, on obtiendra le profil d'un mur sans fruit intérieur et de même stabilité en faisant tourner le parement intérieur autour d'un axe dont la position ne dépend que des poids spécifiques et non du fruit intérieur; la distance de cet axe au sommet

du mur est

h. Cette distance s'obtient aisément par

calcul ou graphiquement. Si on donne le fruit intérieur, on mène par l'axe P. une droite M N d'inclinaison donnée; si on donne la largeur E M , on joint M P.

^î>7. .^Iiirs avec fruîl intérieur. Solution exacte. —

Soient (fig. 139) ^' = FD l'épaisseur à la base du mur sans fruit intérieur, À = EM la largeur au sommet du mur de même stabilité dont le fruit intérieur inconnu est n'; pour exprimer l'égalité des moments résistants, nous ajouterons dans les deux cas le massif HFE: les moments résistants

seront encore égaux; le moment du mur AHFD est

le moment du mur HLNF est

mais nous avons

ainsi remplacé le massif de terre MLN par un massif de

n maçonnerie, le moment du massif de terre MNL est tt — -

h. -h ^ n') , en remplaçant - par.-' on a commis une erreur

INTEGRATION GRAPHIQUE. 271

que 1 on fera disparaître en retranchant (t:'— tt) ~{1-\- ~ ) ; on a donc l'équation :

Cette équation contient 5 variables ; mais elle est homogène en t: et t:'; en divisant par -', il ne reste plus que le rapport

— ; l'équation est aussi homogène par rapport aux variables

e'in'; en divisant pare', il restera les rapports — et — :

on peut donc ramener l'équation précédente à une équation

à trois variables en divisant par r.'e'*- ou mieux par — — , on trouve :

Afin de simplifier les écritures, nous supposerons e' = 1 ,

r' = 1 , les lettres 1, n, - représenteront donc, en réalité,

les rapports -,, -, — : on a alors :

1 = (?. -f n')« - (1 — k) n' il -\- 2n").

En général, on connaît 7:,7:',ou déterminée', on se donne î; il faut calculer n' par cette équation. On peut de plusieurs manières construire un tableau graphique donnant immédiatement n'; mais nous ne sommes pas parvenus à une solution comportant trois systèmes de droites; nous avons toujours obtenu deux systèmes de droites et un système de courbes; par l'introduction d'une variable auxiliaire, nous avons trouvé différents moyens d'éviter les courbes; mais alors il faut deux tableaux graphiques. Ce n'est qu'en substituant à l'inconnue n', une nouvelle inconnue , que nous sommes parvenus à résoudre le problème par un tableau uniciue comportant trois systèmes de droites.

Si l'on examine l'équation qu'il s'agit de représenter , on s'aperçoit qu'elle contient deux variables au second degré ,

272 INTEGRATION GRAPHIQUE.

une au premier; si, par rintroduction d'une nouvelle inconnue, on parvenait à abaisser le degré de la variable /, le problème serait résolu, car on se trouverait dans un des cas traités au livre III (206). Mettons d'abord l'équation sous la forme suivante :

Nous pouvons choisir l'inconnue de telle manière qu'il y ait un facteur en À à supprimer; deux moyens se présentent;

on peut poser n' = ■ ou bien n' = (1)

Dans les deux cas , on abaissera le degré de / , parce que le facteur 1 — A ou 1 -f X pourra être supprimé.

^08. Proiiiîère «soluiion. — Voyons d'abord quelle est la signification de l'inconnue nouvelle « ; on a :

1 — À -, , .. ,,. , , c'—l AM AP

n' = , d ou en rétablissant e' : u = — — = -— - = — -.

Il w' AL h

Pour /? = 1 , on a 26 = AP ; u est donc la distance au sommet du mur, de l'axe autour duquel il faut faire tourner le parement vertical pour avoir le parement incliné ; si on détermine u , on obtiendra le point P et le parement MN en joignant M P. La variable u est déterminée par l'équation que l'on obtient en remplaçant dans l'équation ( 1) n par sa valeur ; on trouve, après la suppression du facteur commun, 1 — / :

Cette équation a la forme que nous avons examinée précédemment (206); posons (fig. 141)

L'équation (2) devient l'équation des lignes des u :

— u'^-i-ux + 1/ = 0. (5)

En éliminant -r des équations (3) et (4), on obtient les lignes des / :

ou XM3z/ + 2^-l)-f-^(3Z/+l)-2.37 = 0. (6"-)

En éliminant / des équations (3) et (4), on obtient les lignes des t: :

ou...— 2 7:*+7r(4a.'4-3?/ — 3)4-2^ + 3?/— 1 - 0. (7''»)

On peut vérifier aisément les propositions suivantes que nous avens déjà démontrées d'une manière générale (207) :

1° Les lignes des t: et des / enveloppent une même courbe du second degré; on trouve, en effet, après quelques calculs, que les enveloppes de ces lignes ont une même équation qui est :

16 ^2 + 9 y- + 2'ixi/-\-(iî/ — 8œ+A = o.

2° Toute enveloppée est à la lois une ligne de t- et / ; les valeurs correspondantes satisfont à une équation que nous avons obtenue sous forme d'un déterminant égalé à zéro et qui se réduit ici à l'équation :

Pour démontrer cette proposition directement , voj^ons s'il est possible d'identilier les équations (6) et (7) de telle manière qu'elles représentent une même ligne droite ; on obtient ainsi deux équations ; après quelques calculs, chacune d'elles se réduit à l'équation (9) ; cela démontre la proposition.

Pour construire les lignes des tt, on se sert de l'équation (7);

274 INTEGRATION GRAPHIQUE.

l'axe des x et l'axe des y sont respectivement coupés par la ligne 7r aux points donnés par les équations :

Donnons à v. les valeurs 0, 0,1 , 0,2, 0,3... 1 , ou des valeurs intermédiaires exprimées en centièmes, si 1 "épure est tracée à une échelle assez ^n-ande; on obtient sur les axes coordoi nés deux échelles proportionnelles à celle des tt, dont les

originGS sont :

Ces échelles sont faciles à construire ; enjoignant les points correspondants , on obtient les lignes des -, Il faut remarquer que cette construction n'est autre que la construction générale que nous avons donnée précédemment; on se trouve en effet dans le premier cas du numéro 203 ; l'enveloppe est parabole ; chaque cnveloi)pe est coupée par les autres suivant une échelle proportionnelle à celle de la variable; les axesojc, oy , possèdent cette propriété parce que ce sont des tangentes ; en effet, pour - = — 1 ,-=- — —, on trouve respectivement X = 0 ,y = o.\i2. méthode générale conduit même à construction simide des deux échelles des - à dresser sur les axes coordonnés ; le système auxiliaire a pour équation : — 2 U + (4 ^ + 3 y — 3 j = 0.

On trace les droites U = o, U = l , les autres s'en déduisent, car toute sécante est axe des U ; en les traçant et en prenant

pour origine: U = — 1 sur o.r,etV=^ — ^ sur o y, les échelles

sont construites.

Pour construire les lignes des X, nous nous servons de

l'équation (6'''^) et nous employons la méthode générale (201) ; traçons les droites suivantes :

1 = 0 ou X = 0 droite AB

/. = 00 on 'èy -\r''ix—\ =0 droite BC corde de contact 3 // -f- 1 = o droite AC

La droite BC est déjà construite, c'est la droite tt = o : cela résulte de l'équation (9). Il faut encore construire une troisième ligne des / ; ou peut prendre la droite ox qui correspond à ^ = 1 ; car l'équation (6) donne pour X = 1 , ?/-=o. Les droites A B et 0^ sont coupées par les autres suivant des échelles homographiques de l'échelle des X ; ces échelles sont déterminées par le système auxiliaire :

C'est un système de droites ayant le point C pour centre de convergence et pour axe des U une parallèle à BC. Construisons l'échelle oA; nous eu connaissons deux points : son zéro eu A , car c'est en ce point que la droite A B se coupe elle-même ; le point /. = 1 est l'origine 0 , car c'er>t en ce point que la droite A B est coupée par la droite X = 1 ; prenons oD pour axe du système auxiliaire; divisons OD en 10 parties égales, joignons le point C aux points de division, nous obtenons l'échelle A o. Pour avoir l'échelle des X sur ox, ou opère de la même manière.

En joignant les points correspondants de ces échelles , on

obtient les lignes de — . Mais les points qu'il faut joindre étant

très voisins, les droites sont déterminées avec peu d'exactitude; aussi est- il nécessaire de construire l'échelle des X sur une autre enveloppée. Choisissons par exemple la droite EH qui correspond à la valeur tt = l et d'après l'équation (9) à la valeur X ^ — 2. On connaît déjà les points 0, et 1 de cette échelle , puisque OE est la droite X = 0 , OH est la droite X = 1 . Prenons EF pour axe des U ; on obtient immédiatement le système auxiliaire et l'échelle cherchée EH. Il est à remarquer qu'aucune des enveloppées ne donnera une échelle des X à divisions égales , car l'enveloppe étant une parabole , la

276 INTEGRATION GRAPHIQUE.

tangente parallèle à / = oo n'existe pas ; mais on voit que EP peut servir d'axe des À ; la droite EH sert de droite de rebroussement.

Les lignes des u se construisent au moyen de l'équation (5) ; l'enveloppe est une parabole, toute tangente est coupée par les autres suivant une échelle proportionnelle à celle des u. Traçons les droites :

u = 0 ou 1/^0 ligne Ox,

u = — l ou ij = œ +1 ligue GE.

Le système auxiliaire a pour équation :

Pour la droite u = 0, on doit faire U = u, donc œ = u; on construira donc l'échelle des ti sur Oœ. Pour obtenir les intersections de la droite u = — \ , ou GE , on doit faire U = ii — 1 ; on transporte l'origine 0 en G, on dresse en GO l'échelle des u , le système auxiliaire détermine l'échelle GE ; on joint les points correspondants des échelles GE et OH; on obtient les lignes cherchées. Nous avons tracé ces lignes en pointillé; l'épure indique que ces lignes ont à peu près

les mêmes directions que celles des -^ et il en résulte une

certaine confusion dans le tableau graphique.

Avant d'exposer la seconde méthode qui n'a pas cet inconvénient, nous pouvons déduire de cette circonstance des conséquences utiles. Si on donne tt, et si on fait varier /., la valeur de u variera très peu; et si la ligne - coïncidait avec la ligne u, comme cela se présente pour - = \ , ii = \ , ces valeurs conviendraient quel que soit/, u serait indépendant de /. Puisque u varie très peu avec ï, on peut déterminer u approximativement en donnant à /. une valeur inexacte telle que / = 1 ; or, alors l'équation (2) donne en supprimant la solution u = 0 qui ne convient pas :

ou en rétablissant ;:', w = — '- — ; —

INTEGRATION GRAPHIQUE. 277

Od retrouve ainsi la solution approchée du numéro précédent. Cette solution est tout-à-fait exacte pour / = 1 , elle est très exacte pour / voisin de l'unité, c'est-à-dire pour les cas où le fruit intérieur est très petit. Dans les autres cas , on emploiera la méthode suivante.

*i99. Seconde !»olution. — On transforme l'équation (I) du numéro précédent en posant :

n' = d ou en i^etablissant e' : v =

n' désigne le fruit par unité de hauteur, donc r est la hauseur sur laquelle le fruit du parement intérieur serait égal à X -f e'; si on connaît y, on porte (fig. 145) AB = ^-j-^'', AC = -y, CB est la direction du parement intérieur, le problème est résolu. On i)eut aussi déterminer au moyen de V un point du parement intérieur MN (flg. 142); on porte MR = /. -h e' , ou HR = e'\ on porte RP' = •y ; le point P' est un point du parement MN prolongé.

Le tableau graphique des valeurs de v se construit comme le tableau des valeurs de w; à part quelques changements de signe dans les équations , quelques modifications dans l'épure, nous n'avons qu'à reproduire les raisonnements et constructions du numéro précédent.

Si dans l'équation ( 1) du numéro précédent on remplace n' par sa valeur exprimée au moyen de la nouvelle variable V, on obtient, après avoir supprimé le facteur commun / -i- 1, l'équation :

Prenons

deux

axes coordonnés et posons

il^(' + -

L'équation (2) devient l'équation suivante, qui est celle

des lignes des v :

— v'^-\-xv-\-y = 0 (5)

Éliminons n des valeurs de x et y; pour cela lirons les valeurs de 1 h tt et 1 -f 2 t: et remarquons que :

, ,. , 2^(1 --/) :5w(l — /) on obtient : --^ -^^ , ^ = 1 (6)

ou /M32/ — 2^ — 1) — X(3?/ + 1) + 2^ = 0 (6^'^)

Éliminons de même >. des valeurs de œett/; nous obtenons l'équation des lignes des r :

ou — 27:^4-(3z/ — 4^ — 3)- + (3^ — 2^- 1) = 0 {1^'^)

On peut , comme précédemment, vérifier analytiquemeut les propositions que nous avons dôjàdémontrées d'une manière générale (207) : 1" les lignes des r: et des 1 enveloppent une même courbe du second degré; on trouve, en effet, après quelques calculs, que les enveloppes de ces lignes ont même équation :

\6a)''-\-9y'' — 2ixij -hôfj -h8x—\=0 (8)

2° Toute enveloppée est à la fois ligne de - et de l ; les valeurs de ces variables relatives à une même enveloppée satisfont à une même équation que nous avons obtenue (207) sous forme d'un déterminant égalé à zéro et qui se réduit ici à l'équation :

Pour démontrer directement cette proposition , voyons s'il est possible d'identifier les équations (6) et (7) de telle manière qu'elles représentent une même droite , on obtient deux équations qui, après quelques calculs, se réduisent chacune à l'équation (9); si donc oii prend une ligne -, cette ligne est identique à la ligne / , / étant déterminé par l'équation (9).

Les lignes des tt se construisent comme dans le numéro précédent; il suflît même de changer le signe de ce pour passer d'un cas à l'autre ; on obtient ainsi les lignes de la

INTEGRATION GRAPHIQUE. 279

figure 143. Les lignes des / se construisent aussi comme dans le numéro précédent ; il suffirait de changer dans l'équation 6 du numéro précédent les signes de 1 et de œ pour retrouver lequation des lignes qu'il s'agit de construire ici. On trace les droites suivantes ;

X = 0ou2â? = 0 droite A B

l^œon'Sy — 2x — \ ^0 droite B C

Corde de contact 3 y -]- 1=0 droite A C

On a aussi , d'après l'équation (6) :

/ = — 1 i/ = 0 droite oœ.

Les lignes AB et oœ sont coupées par les autres suivant des échelles homographiques de l'échelle des ). , que l'on obtient au moyen du système auxiliaire , dont C est le centre de convergence , et dont l'axe est parallèle à la droite B C ; on obtient immédiatement ces échelles. On peut aussi déterminer la division de la droite RF ; en prenant H F comme axe du système auxiliaire, on obtient immédiatement l'origine H et le point K qui représente ?, = — 1. On peut aussi déterminer la division homographique de la droite B D ; alors on se sert d'un s^-stème auxiliaire ayant A pour centre de convergence et un axe parallèle à A C ; B M est l'axe des 1. Il est utile de choisir convenablement les unités des échelles des figures 143 et 138 ; les unités des échelles des À en BM , des V en ox (fig. 143) , les unités des e, e', n en ox et oE (flg. 138) sont toutes les mêmes : cela offre de grands avantages pour l'usage des tableaux.

300. Ré§iiiuc. Bléteruiiiiatioii par les tableaux d'un mur de liauteur donnée. — Soit (flg. 139) A'D' la hauteur du mur; il faut distinguer les cas suivants.:

Mur 7'ectangulaire. — Nous avons vu (292) comment on trouve l'épaisseur du mur d'une hauteur égale à l'unité au moyen du tableau de la figure 138; on suit les chemins (fig. 138) MP,NP,puis PR, QR, puis RS; l'épaisseur est représentée par OS , l'unité étant 01 ; si donc on prend (flg. 139) AD = 01 , DC = OS , on obtient en ABCD la forme du mur

INTEGRATION GRAPHIQUE.

rectangle; il suffit de construire une figure semblable à celle-là pour obtenir le mur demandé AB'C'D' : on y arrive en prolongeant AC.

Mur avec fruit extérieur. — On opère comme précédemment, mais au lieu de s'arrêter en S, on porte le fruit en OU , on suit les chemins RT et UT , OT est l'épaisseur du mur de hauteur 1 ; on prend AD = 01 , DF = OT , on obtient la forme du mur en AEFD ; on obtient le mur demandé AE'F'D' eu prolongeant AF.

Mur avec fruit intérieur. — Solution approchée. — Nous avons trouvé (296) que le point P (fig. 139) autour duquel il fout foire tourner le parement vertical AD pour avoir le parement incliné MN , est déterminé par l'équation :

Si on a eu soin de lire ^ sur l'axe OD (fig. 138) en suivant

PR , on obtient aisément cette quantité'; on prend la longueur qu'elle représente sur l'échelle Ox\ ayant obtenu le point P, on obtient le point homologue P' en menant E' P' parallèlement à EP ; si on donne l'épaisseur E'M' du mur au sommet, onjoint M'P'. Cette solution est d'autant plus exacte que le fruit intérieur est petit.

Même cas. — Solution exacte. — On donne la hauteur F'H' du mur (fig. 139), la direction E'F' du parement extérieur; l'épaisseur E'M' au sommet. On détermine comme précédemment le mur EFDA; on obtient EM. en menant FM parallèlement à F'M' ; il s'agit d'obtenir d'abord le mur FEMNde hauteur 1 et semblable au mur demandé Employons le tableau de la figure 143; nous devons d'abord déterminer le point R , en portant