HK

INTEGRATION GRAPHIQUE. 281

Si nous portions cette^aleurBR, nous tomberions dans une partie du tableau non représentée ; c'est pourquoi nous avons clioisi une valeur inexacte de BR. On entre dans le tableau par R et N; ou chemine suivant NP et RSP ; puis du point F vers le point Q, on a : -y = OQ. On obtient la direction du parement intérieur par la construction connue (fig. 145); on prend AC = v, AB = A -f- ^', AC est la direction cherchée.

301 . lliir li'îangie. — Nous avons déjà dit que la forme triangulaire est la forme d'égale stabilité au point de vue statique; cette forme théorique n'est pas aduiissible en pratique; il est indispensable que le mur ait une certaine é[)aissear au sommet; néanmoins en calculant le mur triangle, et en donnant une épaisseur uniforme à la partie supérieure, on obtient un mur convenable ayant un léger excès de stabilité. On peut déterminer le mur triangle par la méthode précédente en donnant à 1 une valeur convenable. On peut aussi déterminer le mur triangle au moyen d'un tableau graphique spécial.

Lorsque le parement intérieur est vertical, on peut déterminer le mur triangle au moyen du tableau de la figure 138; il suffît de suivre RS , jusqu'en T' sur une certaine droite OP ; cette droite OF doit satisfaire à la condition c' = n pour que le mur ait la forme triangulaire; on voit aisément comment le point F est déterminé. Prenons donc (fig. 144) AC = OX , BC = OT', nous obtiendrons le mur ABC. Proposons-nous d'en déduire un autre BDE le même stabilité.

Soient : n = BH, n' = HE les fruits extérieurs et intérieurs; le poids résistant du mur comprend les massifs BHD, DHE de maçonnerie, et le massif de terre DfTE;',le moment résistant est donc :

Égalons ce moment résistant au moment ré.sistant du mur ABC qui est tt' — , on obtient l'équation :

— (2n2 + 3nn' + n'2) -h —'{Sun' 2n'^) = T:'~-

Cette équation contient 5 variables, mais en divisant par 7:'6'^ OU mieux par — — -, on obtient une équation à trois variables :

Nous simplifierons encore les écritures en supposant e' = 1 , r' = 1 ; les lettres 7î , n' , tt désigneront donc les rapports

—, — , r? ? l'équation devient : 2 7i^ — 2 ~{- 3nn' + n'* -+- r

Cette équation contient deux variables n n' au second degré, mais si Ion remarque que les termes qui ne contiennent pas n', contiennent seuls n au second degré , que ces termes forment l'expression :

on voit que l'on peut diminuer d'une unité le degré de la variable n en introduisant une inconnue nouvelle et cela de deux manières différentes en posant r

n' = ou n =

Il V

Adoptons la première solution ;on peut vérifier (flg. 144) que u est la distance , à la crête supérieure du mur, du point F autour duquel il faut faire tourner le parement vertical AF pour obtenir le parement incliné ED ; en effet , on a :

DK KF ■ DK e' - n ,, ^ ^^^

=-r = =-^ ou — - = , d où DK = u. DH HE 1 n'

En remplaçant dans l'équation {l) n' par sa valeur exprimée au moyen de m , et en supprimant le facteur commun 1 — w on obtient l'équation :

Cette équation ressemble à l'équation (2) du numéro 272; nous pouvons même la représenter au moyen du même tableau graphique (fig. 141), les lignes des / devenant les

lignes (les n , les lignes des u étant quelque i)eu modifiées. Posons :

l(l-n)(l+27T) ^ 3 1 -{-ji ' ^ '

Ces équations (3) et (4) ne diffèrent des équations (3) et (4) du numéro 298 que par le changement de n en /, ; on obtiendra donc la même figure 141 en ce qui concerne les lignes de t: et des l ; quant aux lignes des k , 1 équation (2) devient :

2u Pour 7j = 0, on trouve .^ =- -— , on obtient l'échelle OH';

pour îi = — \ , on obtient la droite E'G' dont l'équation est :

On obtiendra les lignes des u en joignant les points de l'échelle G'E' aux points correspondants de l'échelle OH'. L'inconvénient d'avoir des lignes des u à peu près parallèles à celles des - existe toujours, mais cependant il est beaucoup

diminué; le calcul prouve que la ligner = — —coïncide avec

une ligne des u; mais cette ligne est en dehors de la partie utile du tableau.

La seconde solution n'a pas cet inconvénient; on trouve encore en suivant identiquement la niême marche que précédemment, que le tableau delà figure 143 peut convenir, sau^ en ce qui concerne les lignes des v dont l'équation devient :

Connaissant v, on obtient n' par une construction facile:

on a

Soit (fig. 145) AB =n + e', AC = v, BC est l'inclinaison du parement intérieur.

284 INTEGRATION GRAPHIQUE.

309. Autres tableaux graphiques. — On peut trouver, au moj'en delà méthode des coordonnées générales, un grand nombre de tableaux graiihiques relatifs au calcul des murs trapèzes et triangles ; nous avons précédemment donné les plus simples; nous allons exposer rapidement quelques autres procédés ; leur examen peut être utile au lecteur qui voudrait se familiariser complètement avec la méthode, et l'appliquer à d'autres questions qu'il n'est pas possible d'aborder ici. Nous ne nous occupons que du mur triangle, maison traiterait le mur trapèze par des procédés analogues.

1° Pour une hauteur 1 , le moment sollicitant est-^tang*— ;

en égalant le moment résistant du mur au double du moment sollicitant, on obtient :

- (2)1^ -r Sun' + n'*) 4- -^ (3nn' +2n'*) =- 2 . -^ tang* — . (1) 6 '^e 6 2

En divisant par , on ramène le nombre de variables à 3 ;

on obtient :

[tanf* — I 3'|.:.0-.^J-- (^)

TT' 2tang^|

Posons œ = —, p = — —, — '

Il Vient : ^ (2+3'^'-+-'-^) +3jJ^ 4-2-^- 2?/ = 0.

On obtient pour les lignes des — un système du second

degré ; les autres lignes sont des parallèles aux axes; il faut deux tableaux spéciaux pour trouver x et ?/.

2° On peut aussi diviser l'équation ( 1 ) par - 7:' tang^— et

T poursimplifier les écritures supposertang— = 1 , on obtient :

2n* -1- 3n«' r n'* + —, {3nn' -\- 2n'^ — 2) = 0. (3)

INTEGRATION GRAPHIQUE. 285

Prenons n' comme inconnue ; posons :

7ï' TT'

On obtient pour lignes des n' :

n'2 -\-7i' ce +y ^ 0.

En éliminant — des valeurs ûeœ ety,on obtient les lignes

des n :

Zny = 2œ {2n^ + 1) — 6n (1 + n^).

En éliminant n des valeurs de x et p, on obtient les lignes des — ; :

9 / TT \2 t: