Expression aiitilyliqiic <lc rordoiinée moyenne

Soit l'arc A B (fig. 1 1 ) donné par ses deux extrémités A, B

et les tangentes A K, B L en ces extrémités. Soient AA' = î/o ,

BB'= y, ; soient aussi ij\, ij\\ les dérivées de l'ordonnée de

la courbe aux points A et B ; [)renons comme origine des

coordonnées le point 0 milieu de A'B' et soit A' 0 = OB' = // ;

l'ordonnée moyenne de l'arc iiarabolique, dont l'équation est

ij=a ■{- bx -{■ cx^ -\- (Iv^, a pour valeur rex])ression trouvée

au littera précédent :

, ch^ ?/-=« + —• (1)

Les coetîicients a et c satisfont à certaines équations qu'on obtient en exprimant que la courbe passe par les points A , B et qu'elle a en ces points ij'^ et y\ pour dérh'ées.

Les coordonnées des i)oints A et B sont respectivement :

\y = yo iy = y,

en exprimant que ces ordonnées satisfont à l'équation de la parabole du troisième degré , on trouve : yo = a — bh + c/i* — dh^ , y, = a + bit + ch^ dti^ , d'oti en ajoutant et divisant par 2 ,

?^^4^ = rt + c/^^ (2)

22 INTEGRATION GRAPHIQUE.

La flél'ivée de y a pour valeur générale ij = b + 2cx + 3dx^; en exprimant que pour x= + h et a; = — Ji on a respectivement y' = ij'o , y' = y'i on trouve :

y\^h +2ch+2fih\

soustrayant la première équation de la seconde , il vient :

y\-y', = 4cJl (3)

Si on élimine aetc entre les équations (1) (2) (3), on trouve une relation d'où l'on tire :