Construction graphique de rordonnée moyenne

— Si nous portons (flg. 11),

A'D'=-|etB'E'=-^,

les points D et E auront respectivement pour ordonnées

DD' = 2/o + ^--;-etEE' = ^,-^.

La valeur de y-,,, de l'équation (4 ) peut donc s'écrire : DD^+ EE'

et par conséquent y.n est l'ordonnée du point milieu I de DE. De là , la règle suivante : lorsqu'un arc parabolique du troisième degré est défini par ses deux extrémités et les tangentes en ces extrémités , l'ordonnée moj^enne de cet arc est l'ordonnée du milieu de la droite qui joint les deux points de ces tangentes situés entre les ordonnées extrêmes et distants respectivement de chacune de ces dernières de la sixième partie de la distance qui les sépare.

!Î5. Autre oonstruelion graphique de l'ordonnée moyenne. — Soient K et L (fig. 11) les points où les tangentes^AK et BL vont couper l'axe oy. D'après la construc-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 23

tion précédente , l'ordonnée moyenne de l'arc A B est l'ordonnée du point I que nous pourrons considérer comme le centre de gravité de deux poids égaux appliqués aux points D et E ; supposons ces poids égaux à 3; le poids 3 en D pourra se décomposer en deux poids appliqués en A et K ; d'après la règle de la décomposition des forces parallèles, et en remarquant que

les poids A et K seront respectivement égaux à 2 et 1. De même le poids 3 en E pourra se décomposer en un poids 2 en B et un poids 1 en L. Les poids 1 en L et 1 en K donnent un poids résultant égal 2 appliqué en R milieu de LK. Finalement on a donc à combiner 3 poids égaux à 2 en A , B et R ; le point I cherché est donc le centre de gravité du triangle ABR. De là, la règle suivante : l'ordonnée moyenne d'un arc parabolique du troisième degré défini par ses deux extrémités et les tangentes en ces extrémités est l'ordonnée du centre de gravité d'un triangle dont les trois sommets sont : les deux extrémités de l'arc, et le milieu du segment intercepté par les tangentes extrêmes sur l'ordonnée située à égale distance de ces extrémités.

SG. Keniarque. — Cette dernière construction comprend comme cas particulier la construction donnée au n° 19 pour le cas d'un arc parabolique du second degré. Dans ce dernier cas, le segment LK est nul et le triangle ABR devient le triangle formé par la corde et les deux tangentes extrêmes.

§ 4. Arc parabolique de degré supérieur au 3^.

27 . — U serait possible de donner des règles graphiques pour trouver les ordonnées moyennes d'arcs paraboliques de degré supérieur au troisième; seulement ces règles sont assez compliquées; ainsi pour la parabole du quatrième degré déterminée par 5 points dont les ordonnées t/^ ?/, y^ y^ -ifi sont équidistantes , on trouve que l'ordonnée moyenne de

24 INTEGRATION GRAPHIQUE.

l'arc compris entre les ordonnées extrêmes y^ y^ est donnée par la formule

7^/0 + 32 y, + 12 ^2 + 32 y^-^ly,

formule qui ne conduit pas à une construction simple. Pour cette raison, nous nous arrêterons ici à l'étude des paraboles; nous n'aurons pas l'occasion, du reste, d'avoir besoin de l'intégration d'arcs paraboliques de degré supérieur au troisième (1).