P = QQ
Le lieu des points Q' est une circonférence décrite sur SQ comme diamètre. Toutes ces valeurs de p et de jj' sont négatives. Nous avons représenté la force fictive prise en sens contraire telle qu'il faut la porter pour la composer avec la charge P.
On obtient facilement la grandeur de p'. Soit k le poids d'un voussoir, dont la longueur à l'extrados est égale à l'unité ; on a :
dP kxdf d<p d<p
La valeur de p' devient :
c'est le poids d'un voussoir dont la longueur à l'extrados , a — x
2° Intrados. — Si la surcharge est nulle, on trouve comme précédemment :
dP a — x .
p = -T— sin cp = p" sin 9.
En portant les valeurs de p comme rayon vecteur , on obtient encore une demi-circonférence décrite sur QB = p" comme diamètre. La valeur de p" s'obtient comme celle dep' :
X devenant ici le rayon de l'intrados.
3° Intrados dans le cas dune surcharge. — La valeur dei? comprend : 1° la valeur p"sincp que l'on obtiendrait s'il
INTEGRATION GRAPHIQUE. 349
n'y avait pas de surcharge; 2" la valeur de p due à la surcharge seule. On trouve pour cette dernière (fig. 170) :
Cbgh^) X a&sin(p «c '
expression de la forme :
(w — n cos (p) sin cp . cos (p.
On a donc :
p = p" sin 9 -|- (w — w cos (p) sin (p cos <p. On déduit de là la construction suivante : Portons QB =jp"; suivant une perpendiculaire au joint, portons BC -= m; portons ensuite CD = n. Projetons le point D sur BC, la projection E sur QB , cette seconde projection F sur la direction du joint Q Q" ; on a :
QQ"=QFsin(p, QF = QB + BF,
BF = BE cos'f , BF = m — EC ,
EC = wsin!p, d'oaQQ" = p.
La courbe que l'on obtient n'est plus un cercle , mais cependant sa forme n'en diffère pas beaucoup. On peut se demander quelle devrait être la forme d'une voûte d'épaisseur constante pour que la courbe des valeurs de p soit un cercle pour l'intrados comme pour l'extrados. Soient : e l'épaisseur de la voûte; a;, z/ les ordonnées de l'extrados , p le rayon de courbure; on doit avoir (fig. 170).
Cbghà) X a&sin© „, .
r. ^—^ i- ■=- »'" sin ©
ac
ou -^ — T— ^ p'"
ou
dx ,„ p — <?
r.ey -T- = p'"
ds p
Approximativement -* = l ;
dx il vient : T^ev -r-^ p'";
ds
350 INTEGRATION GRAPHIQUE.
c'est l'équation d'une chaînette dont le paramètre est :
on a : p'" = nea.
La force j9''' est alors le poids d'un voussoir de longueur a, en attribuant à ce voussoir le poids spécifique ;:.
359 . Construire une ligne Aen pressions connaissant un centre de pression et la tangente en ce point à la courbe de pression — Déterminons la force fictive i> ; appliquons le théorème du numéro 346 ; soit (fig. 168) OP le poids compris entre la clef et le joint où Ion donne le centre de pression; portons PP' -=- p; en menant P'Q parallèlement à la tangente à la courbe des centres de pression, on obtient le pôle Q du diagramme des pressions ; on est ramené au problème du numéro 342.
§ 5. Des courbes conjuguées.
353. Définition. — Si on se donne ( fig. 173 ) la poussée Aa à la clef, on peut déterminer la pression résultante sur un joint '/(î et la composante normale K'cO de cette pression. Nous dirons que les points A et A' sont deux pom^s conjugués. Si l'on fait varier la poussée en grandeur et position d'après une certaine loi, le point  décrit une courbe quelconque, le point A' décrit une autre courbe; nous dirons que ces courbes sont conjuguées.
35-i . Théorème t.— La conjuguée f/e q = 0 est un point unique S; la conjuguée delS = 0 est un jjoint unique T.— En eflfet, si la poussée q est nulle, la pression sur le joint oblique se réduit au poids P de l'arc de voûte a/3oy ; la composante normale est toujours Ss, quel que soit le centre de poussée.
De même , pour avoir N = 0 , il faut que la pression sur le joint oblique soit située dans ce joint ; il faut pour cela que la poussée soit négative, passe par le point 5, et ait pour valeur T^ = S'5; la conjuguée de N = 0 est donc le point T.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 351
355. Théorème II. — La coiijuguée d'une parallèle au joint vertical est une jyarallèle au joint oblique: les ordonnées Asi et A'a' des points conjugués engendrent deux rectangles équivalents ABba et A'B'b'a'. Supposons que la poussée se déplace de A a en B& en restant constante; la pression sur le joint oblique est la résultante de cette poussée et du poids P : elle reste aussi constante ; il en est de même de la composante normale N. Prenons le point K comme centre des moments ; le moment du poids P est nul ; on a :
Moment de ka == Moment de la pression.
Le premier membre est q x MK. Pour obtenir le second membre , menons KL parallèlement au joint oblique ; supposons la pression transportée au point L et décomposée suivant une parallèle et une normale au joint; le moment de la composante parallèle est nul , le moment de la composante normale est N x KL. L'équation de moment devient :
g- X KM = N X KL
ou ka X ah = A'a' x a'b' ;
c'est ce qu'il fallait démontrer.
350. Théorème III. — La conjuguée d'une perpendiculaire au joint vertical est une hyperbole équilatère ayant le joint oblique comme asymptote et son centre sur la direction de la poussée. Toutes ces hyperboles passent par un jwint fixe S conjugué rfe q = 0.
En effet , prenons le point H où le joint oblique est coupé parla poussée pour centre des moments; le moment de la poussée est nul ; le moment de la pression est égal au moment du poids P. Décomposons la pression appliquée au point a' suivant une normale et une parallèle au joint ; le moment de la pression est N x Ha'; on a donc :
N X Ha' = P X MH.
Le second membre de cette équation est constant; N et Ha' sont les coordonnées du point A' en prenant HO et Hy" pour axes; l'équation représente une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes. Cette hyperbole doit passer par S, car le point a, qui correspond à ^ = 0 , a pour conjuguée S.
352 INTEGRATION GRAPHIQUE.
357. Théorème IV. — La conjuguée d'une perpendiculaire au joint oblique est une hyperbole équilatère dont lejoi?it vertical est V asymptote et dont le centre est à la hauteur du centre de pression fixe disjoint oUique. Les branches de ces hyperboles , qui correspondent aux poussées négatives , passent par le point fixe T conjugué rfeN = 0.
Prenons pour centre des moments le point G situé au niveau du centre de pression fixe a'.
Moment de q = Moment de P en a'
ou bien q x Ga = constante.
Les coordonnées du point A sont q et Ga en prenant pour axes G'G et Gx; elles satisfont à l'équation d'une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes. Le point a', qui correspond à N = 0, a pour conjuguée T; toutes les hyperboles doivent donc passer par ce point. Pour simplifier le langage, nous désignerons la conjuguée de la droite a' A.' sous le nom de conjuguée du centre a'.
Corollaire 1 . — On peut imaginer un joint quelconque zr] autre que af3 , en deçà ou au-delà du joint y$ et construire par rapport à ce joint la conjuguée du centre a'. Toutes les conjuguées du centre sont des hyperboles équilatères asymptotiques au joint et dont les centres se trouvent sur Vhorizontale du point a'.
En effet , prenons comme précédemment un centre des moments U dans le joint et; au niveau du point a' ; soient a" le centre de pression , N' la pression normale sur ce joint £ y; ; on a :
N' X U(2" = constante.
Cette équation démontre la proposition.
Corollaire 2. — Réciproquement , si sur un joint quelconque la force normale varie comme les ordonnées d'une hyperbole équilatère asympjtotique au joint , les courbes de pression correspondantes passent par un point fixe situé sur Vhorizontale du centre de V > yperbole.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 353
En effet , traçons l'une des courbes de pression ; menons l'horizontale du centre de l'hyperbole qui coupe la courbe de pression en un point a' . L'hyperbole donnée est identique à la conjuguée du centre a , car ces deux hyperboles ont même asymptotes et un point commun, qui est celui qui comprend à la courbe de pression qui a permis de déterminer le point a'.
358. Théorème \.— L'accroissement de la pression normale à un joint est égale à la projection de C accroissement de la ijoussée sur la normale au joint.
En effet , la composante normale s'obtient en projetant la pression ou ses comi»osantes qeiV; si q augmente de A ^ , N augmente de la projection de Ag :
AN == Ag' X cosfjj.
359. Tliéorènie VI. — Si on fait tourner de 180° les sous-tangentes conjuguées autour des ordonnées conjuguées , les extrémités de ces sous-tangentes se placent an même niveau.
Soient Kd et AW deux tangentes conjuguées, c'est-à-dire les tangentes à deux courbes coujuguées en des points correspondants ; rabattons les sous-tangentes ad et a'd en ani et a'n; nous devons démontrer que les points m et n sont au même niveau.
Soient AD et A'D' deux éléments infiniment petits conjugués ; considérons l'élément A'D' comme la diagonale du rectangle A'C'D'B'; ce rectangle a pour conjugué un parallélogramme infiniment petit ABCD. Le côté A'C'apour conjugué un arc d'hyperbole équilatère AC que nous remplaçons par l'élément AC de sa tangente ; cette tangente est, en vertu d'une propriété connue de rhy[)erbole, i>arallèle à G'a ; on a donc :
ac = G«. (1)
Les longueurs AC et A'C doivent satisfaire à l'équation suivante (358) :
A^ = ÂË"cos9. (2)
Le côté A'B' a pour conjugué AB et l'on (355) :
~JJâ' X A'B'="Ââ XÂB. (3)
Les équations (2) et (3) donnent les rapports des composantes des éléments conjugués; cherchons le rapport des longueurs cd et cCd'.
On a :
cd CD ka ~ AE '
a' a CD' A'a' ~ A'C ■
Les produits des moyens de ces deux proportions sont égaux respectivement aux deux membres de l'équation (3), car CD = AB, CD' = A'B' ; en égalant les produits des extrêmes, on trouve :
cTx ÂË"= ÔvFx Â^.
L'équation (2) permet de remplacer A'C par AE cos 9 ; on
a donc :
c(^ = rt'cf'cosç. (4)
Mais on a aussi ac = «G ; on a porté ad = am, donc :
cd = Gm.
De même , on a porté :
a'rf' = a'n.
L'équation (4) peut s'écrire :
Gm = rt'ncos9.
Cela prouve que (am est la projection de a'n; donc la ligne mn est horizontale.
Remarque. — Si on considère une infinité de joints analogues à '/o , on obtient une infinité de courbes conjuguées; la droite m7i convient pour la détermination des tangentes à toutes ces courbes.
360. Théorèuie 111. — Les droites qui passent par le point T ont pour conjuguées des droites passant par le point S.
Prenons le point s comme centre des moments ; on a :
qxat=^ xa's. (1)
INTEGRATION GRAPHIQUE. 355
Mais dans la figure QS'P, on a : (si 9'=angle QS'P-90°— cp)
N = QS'sin9' = Scoscp (2)
N = gcoscp + Ss d'où (jr COS (p = AW. (3)
Remplaçons, dans l'équation (1), g et N par leurs valeurs tirées de (2) et (3); remplaçons at par T/^, a' s par S/i'; on trouve :
Mh' Ah
ou tang A.Th = tang A'S'/i' x cos^ ®.
Si le point A décrit AT, l'angle ATh ne varie pas ; l'angle A'S7i' doit aussi rester constant ; donc le point A' décrit la droite A'S'.
301. Tracer la conjuguée d^une droite TA. — Cherchons le point R" qui correspond à N = 0 ; ce point sera le conjugué du point T. Appliquons à ces deux points le théorème VI; la sous-tangente ^R vient en ^R'; le point R" ne bouge pas ; RR" doit être horizontal. De là résulte la construction suivante :
Portons tR = tR', menons l'horizontale R'R"; R"S est la conjuguée de TR.
309. Remarque. — Il ne peut y avoir d'autres droites conjuguées l'une à l'autre que les droites parallèles aux joints ou les droites passant par les points S et T. Car toute droite qui coupe le joint a|3 a un point pour lequel g = 0 ; son conjugué est S; la conjuguée passe par S. Réciproquement toute droite qui coupe le joint oblique à une conjuguée qui passe par T. Donc, si deux droites sont conjuguées, ou bien l'une est parallèle au joint, alors l'autre l'est aussi; ou bien les deux droites passent respectivement par les points T et S.
3G3. Théorie analytique des courbes conjuguées. — Rapportons le point A (fig. 173) aux axes oco?/ , le point A' aux axes cv'oy' :
356 INTEGRATION GRAPHIQUE.
La composante normale N s'obtient en projetant la pression et le poids P sur la normale au joint ; on a :
N = g' cos cjp -f P sin cp ou î/' = î/cos(p + Psin<p. (1)
En prenant l'origine commune pour centre des moments, on trouve :
y'x' = px + PL (2)
Si on donne x,y, on trouve œ'y' par les équations (1) et (2) et réciproquement; si le point A décrit une courbe :
On obtiendra la courbe décrite par le point B en éliminant X, y entre les équations (1) (2) (3). 1° Si on prend :
on trouve : ?/'= Psiu tp,
sincp
on retrouve le point S.
De même si on prend
on obtient :
V = — P tango,
tang«jp
on retrouve le point T. Ces deux résultats démontrent le théorème I.
2° Si on suppose y = constante , l'équation ( 1 ) donne I/' = constai'te ; l'équation ( 1 ) donne :
j^'Aîc' = yt^x\ cela démontre le théorème II.
3° Si on supposer; = constante, on obtient eu éliminant y
entre (1) et (2) :
y\ ix\ —\ = P (^— ;r tang^),
\ cosç/ ^
c'est lequatioii d'une hyperbole équilatère; on retrouve le théorème III ;
4° Supposons x^ = constante ; on trouve de même le théorème IV ;
5° De l'équation ( 1 ) on tire :
A?/' = A// cos(p,
cela démontre lo théorème V.
6° Soient a , a' les coefficients angulaires des tangentes à deux courbes conjuguées en des points coDJugués; différentions les équations ( 1 ) et (2 ) en remplaçant dy , dy' par adx et a'dœ': on trouve :
a'dx' = adx COSfp, ydx -\- Xddx = y'dx' + x'a'dx'.
Éliminons le rapport dx : dx' ; il vient :
{y -}- Xy.) a' = iy' + x'a' ) a. coscp
ou (^ + .r) = (|--!-^')cos(3r.
Cette équation revient à (fig. 173) :
Om = On costp, cela démontre le théorème YI ( 1 ).
( 1 ) Ce théorème est ud cas particulier d'un théorème plus général. Soient : oc , y les coordonuées d'un point A; x' , y' les coordonnées d'un poiiit A' ; supposons que les points soient unis par les relations :
Si le j!oint A se meut , le jioint A' décrit une courbe conjuguée ; le point A peut pjrtir du peint A suivant une infinité de tangentes ; elles sont pour conjuguées un autre faisceau émergeant du point A'; ces faisceaux sont homographiques. On trouve en effet, si x,c.' sont les coefficients angulaires de deux tangentes conjuguées, l'équation :
ar'F dfF df¥ , , dfF
dxx' dxp' dy x' dyy^
Les deux faisceaux déterminent sur les axes des x deux systèmes de points homographiques; connaissant trois groupes de tangentes conjugu ées , on obtient tons les autres.
358 INTEGRATION GRAPHIQUE.
7" Cherchons les conjuguées rectilignes autres que y = constante et ?/' = constante. Soit la droite :
X = ay ■¥}). (5)
On obtient la conjuguée en éliminant x, y entre (1) , (2) et (5) ; on trouve :
^'= -4- y' ^- — -2Pa^^5^-l- ^ (^+aPtg2ii-6tgcp)(6)
COS^cp COS9 COS^tp î/' ^ r>^i\ I
Cette équation devient l'équation d'une droite si on pose : l + «P tg^9 — &tg 9 = 0,
d'où ?>-=aPtg(pH (7)
^ tg^
Les équations (5) et (6) deviennent en introduisant la valeur de 6 :
X — - — = a(?/ + Ptg(p) ,
x^ : — = T—iy'— Psinc:;).
sin^ cos*9
On retrouve les deux systèmes de droites du théorème VII.
