CHAPITRE iV

Recherche des poussées stables dans le cas d'une résistance illimitée.

§ 1. Méthode d'élimination par les enveloppes.

304. Principe do la méthode (1). — Supposons d'abord (fig. 174) qu'une partie de voûte aljclc soit invariable et

(1) Cette méthode est due à M. Alfred Durand-Claye qui, le premier, a cherché les solutions stables d'une voûte. Voir Annales des ponts et chaussées, 1867, n° 142: Note sur la vérification delà stabilité des votites en maçonneries et sur l'emploi des courbes de pression, par M. Alfred Durand-Claye, éiève-ingéuieur des ponts et chaussées. On trouve aussi dans cette note quelques-unes des propriétés des courbes conjuguées.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 359

repose sur un seul joint cd. En composant la poussée avec le poids P de l'arc de voûte, on obtient la pression sur le joint cd\ la poussée est stable, si cette pression tombe à l'intérieur du joint cd. Si la poussée augmente, on reconnaît facilement que le centre de pression se relève ; réciproquement, si la poussée diminue, le centre de pression s'abaisse. La poussée maxima est celle qui amène le centre de pression end; la poussée minima est celle qui l'amène en c. Les courbes des poussées maxima et minima sont (357) des arcs d'hyperboles DC et AB conjuguées des centres de pression c et d. Les extrémités de toutes les poussées stables se trouvent à l'intérieur du quadrilatère mixtiligne ABCD.

Considérons successivement tous les joints et opérons, pour chacun d'eux , comme pour le joint cd\ pour chaque arc de voûte , nous obtiendrons une aire analogue à l'aire ABCD. Déterminons la partie commune à toutes ces aires ; il est évident que toutes les poussées stables sont celles qui ont leurs extrémités dans cette partie commune. Le contour limite est Tenveloppe intérieure, dans le sens le plus général du mot, des contours particuliers.

305. Tracés graphiques. — Montrons comment on détermine par points les arcs AB et CD. En un point m , la poussée maxima est celle qui fait passer la ijression par le point d , la poussée minima est celle qui fait passer la pression par le point c; on est ramené au problème du numéro 343 , cas particulier.

Tracé par les tangentes. — On trace une ligne de pression pour une poussée quelconque ; on prolonge la poussée et la pression sur le joint cd; on obtient le point -m' de la ligne daction du poids P de l'arc de voûte. Soit QR le rayon du diagramme parallèle au côté m'n ; menons RQ' parallèlement à dm'; N»i — Q'O est la poussée cherchée. De là la règle suivante : on mène , par le point R de taxe du diagramme qui correspond au joint considéré, un faisceau de droites parallèles aux pressions analogues à dm' qui passent par le point d : le premier faisceau détermitie sur l'axe 0 Q les poussées maxima ; le second faisceau

détermine sur la ligne cV action du j'Oids de rare de voûte le niveau des centres de poussée.

Tracé par les cordes. — On évite la détermination du poids P en appliquant la première des méthodes du numéro 343; a[)pliquons-la à la déterminaiion de la jjoussée minima Mm. Il faut trouver la poussée pour laquelle la ligne de pression passe par m et c. Soit m g la corde de la ligne connue, qui correspond à la corde rnc de la ligne cherciiée; soit gù'S le diagramme des inclinaisons des cordes analogues à m^. Menons S g' parallèlement à me; q'o' = M77i est la poussée cherchée. De là resuite la règle suivante : on mène qS paralèllenient ci la corde mg; on mène ensuite par le point S un faisceau, de droites parallèles aux droites menées du point c vers les centres de poussée; on obtient les poussées minima sur l'axe o'q.

Dans l'exécution de ces deux tracés, il est inutile de dessiner les faisceaux de droites représentés en pointillés sur la figure 174; un mouvement de Téquerre suflSt pour déterminer les poussées sur l'axe o'q ou sur l'axe OQ.

Tracé par division. — Les arcs A B et CD sont des arcs d'hyperboles dont on connaît les asymptotes. Si on rapporte Tune de ces hyperboles à ses asymptotes, son équation est de la forme :

On obtient facilement un i>oint de la courbe; ayai t tracé u:.e ligne^de ,'pression quelconque 7nn, on voit immédiatement qu'en l'abaissant d'une quantité cg, c serait centre de pression ; on en déduit un point de l'arc AB. On trouverait de même ud point de l'arc CD. Connaissant un point de la courbe, on est ramené à un problème connu (99). On [>eut aussi se servir du point T, conjugué de N = 0 (fig. 173); on divise la droite TJi par ses abscisses en prenant le centre G de l'hyperbole comme origine et G^ comme base; ainsi en enjoignant JiG, on obtient A"t = A«, ordonnée de l'hyperbole au point a.

§ 2. Méthode d'élimination par les maxima et minima.

360. Principe do la niélliode. — Donnons-nous le centre de poussée )}i ; cherchons entre quelles limites sont comprises les poussées stables ap[)liquées en ce point. En appliquant la méthode précédente , nous sommes conduits à prendre les ordonnées des enveloppes intérieures des arcs CD et AB; il est évident que la limite supérieure est le minimum des ordonnées ]S,r/i des enveloppées CD, que la limite inférieure est le maximum des ordonnées 'Mm des enveloppées AB, toutes ces ordonnées étant prises au point m. De là résulte la solution du problème : pour chacun des centres de poussées analogues à m , on fait mouvoir le joint cd, les poussées 'Nm, Mm varient; on [«rend le minimum des valeurs de N;» , le maximum des valeurs de Mi)i; ou obtient les ordonnées des deux points du contour limite. Cette méthode ne diffère pas sensiblement de la précédente; on remplace Télimination des solutions instables par les enveloppes, par un autre procédé (relimination qui conduit au même résultat.

On peut aussi justifier la seconde solution, sans sappuyer sur la première, par un raisonnement semblable à celui qui a été fait pour déterminer la poussée des terres (286). Une poussée stable étant donnée, on peut l'augmenter jusqu'au moment où la courbe de pression atteint l'extrados. En prenant au hasard un centre de pression sur l'extrados , on obtient une poussée trop grande en général, mais qui, pour un centre de pression particulier, deviendra la poussée limite. Cette dernière est donc la plus petite des valeurs obtenues. Le même raisonnement s'applique à la limite inférieure.

307. Tracés grapiiiqiics. — On peut adopter les mêmes tracés que ceux que nous avons employés dans la méthode précédente. Choisissons /;? comme centre de poussée; prenons comme centre de pression les différents points de l'extrados; pour le point d, on trouve la poussée OQ' ; si on fait

décrire au point d l'extrados de la voûte , on obtient pour chaque position des poussées analogues à OQ'; c'est la plus petite de toutes qui sera la poussée limite cherchée. On obtient de même la linàte inférieure en faisant décrire au centre c l'intrados de la voûte; pour chaque position, on obtient une poussée o'q^ ; on reconnaît aisément quelle est la plus petite des poussées.

Au lieu d'obtenir sur un même axe OQ les poussées dont on cherche le maximum ou le minimum , on peut les porter en ordonnées; on trouvera le maximum ou le minimum en menant aux courbes des tangentes parallèles à la ligne d'abscisse. Il suffît pour cela de disposer autrement le triangle des forces. Ainsi au lieu de mener RQ' , on mène OR' parallèlement à la droite m'd\ en faisant mouvoir le point d, le point R' décrit une courbe dont l'ordonnée RR' est la poussée dont on cherche le minimum. C'est cette disposition que nous avons adoptée sur la figure 175 ; il nous suffira d'énoncer les deux règles emploj'ées.

Tracé par les tangentes. — Onxjorte en abscisse sur OP les poids des arcs de voûte bl, b2, b3, b4; on trace les lignes d'action I. II, III, IV de ces poids en utilisant une ligne des pressions quelconque ; on mène les lignes d'action des pressions qui passent par 4, 3, 2... lorsque va est cent)^e de poussée; on mène un faisceau de droites jyar le sommet 0 parallèlement à ces pressions ; ce faisceau détermine In courbe RS; V ordonnée rninima u.', portée en M'm , est la limite supérieure de la poussée au point m.

Tracé par les cordes.— On joint le centre de poussée m aux points \\ 2', 3', 4' de Vintradôs (ou de V extrados); on trace les cordes correspondantes dans une ligne de pression connue; on construit en O'qF le diagramme des directions deces cordes; onprendcomme abscisses les forces concentrées portées sur OF; on mène par le sommet 0' un faisceau de droites parallèles à celles du faisceau m 1 234 ; on obtient la courbe rs dont V ordonnée maxima u. est la limite inférieure Mm.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 363

Le tracé par les cordes est plus élégant que le tracé par les tangentes ; on ne doit pas tracer les poids des arcs de voûte ; le diagramme des forces concentrées sert pour tous les centres de poussée.

^ 3. Méthode directe.

36S. Principe de la méïiiocle. — Dans les méthodes précédentes , on détermine un grand nombre de poussées instables ; on les élimine ensuite par l'un ou l'autre procédé. Proposonsnous de déterminer directement les points du contour-limite.

Considérons une courbe de pression stable ; soit par exemple mît (flg. 175) la ligne des pressions ; faisons varier la poussée en conservant le même centre de poussée. La ligne de pression se modifie; ses ordonnées, par rapport à l'horizontale du centre de poussée , varient en raison inverse de la poussée (341 ). Si la poussée augmente , la ligne des pressions se relève ; si la poussée diminue , la ligne des pressions s'abaisse. La courbe des centres de pression participe à tous ces mouvements. Si l'on fait croître la poussée, il arrive un moment où la courbe de pression atteint l'extrados, soit en le touchant, soit en le coupant à son extrémité; on ne peut dépasser cette valeur de la poussée, car la courbe de pression sort de l'intérieur de la voûte : cette valeur est la limite supérieure de la poussée au point considéré. De même, si l'on fait décroître la poussée, il arrive un moment où la courbe de pression atteint l'intrados ; la poussée atteint alors sa limite inférieure.

Lorsque l'on se donne le centre de poussée , on obtient la limite supérieure et la limite inférieure en déterminant le maximum et le minimum de poussées inexactes; ce n'est pas une méthode directe. Donnons-nous , au contraire , le point de contact de la courbe de pression avec l'intrados ou l'extrados; nous connaîtrons un centre de pression et la tangente à la courbe de pression ; nous déterminerons la poussée et le centre de poussée par un procédé connu (352) ; nous obtenons directement un point du contour limite. En faisant mouvoir

364 INTEGRATION GRAPHIQUE.

le point de contact sur l'extrados et sur Tintrados, on obtient deux courbes que nous désignerons respectivement sous les noms de : conjuguée de V extrados et coiyuguée de Vintrados. Nous devons aussi considérer les courbes de pression qui passent par les extrémités de l'intrados et de l'extrados ; on obtient deux hyperboles équilatères; ce sont les conjuguées des extrémités de V extrados et de V intrados. Il peut se faire que l'une de ces courbes ne représentent que des solutions instables ; ainsi les courbes de pression tangentes à l'extrados peuvent passer au-dessus de l'extrados ; le tracé graphique, comme nous allons le voir, indique immédiatement les parties des courbes qui constituent réellement le contour limite.

300. Tracés graphiques. — Cherchons les limites des poussées de la voûte ahcd (fig. 175). Nous appliquerons, pour cela, la règle suivante qui résulte du numéro 352: Portons les poids des arcs de voûte al, a2, a3, a4 sur Vaxe OP et à partir des extrémités de ces poids les forces fictives {MO) pour Textrados et Vintrados ; des points 1, 2, 3, 4 , 1', 2', 3', 4' ainsi obtenus, menons des parallèles aux tangentes à Vextrados et à Vintrados, nous obtenons les poussées limites sur Vaxe OQ.

11 faut aussi obtenir les centres de poussée ; on peut suivre deux méthodes ; nous avons appliqué le tracé par les tangentes à l'extrados , et le tracé par les cordes à l'intrados.

Tracé par les tangentes. — On mené par les poiyits de Vextrados ou de Vintrados les pressions dont les directions sont indiquées par le diagramme QOP; ces pjressions coupent les lignes d'action I, II, III, IV des poids des voûtes au niveau des centres de poussées.

Tracé par les cordes. — On construit en qO'F le diagramme des inclinaisons des cordes de la ligne pression connue qui correspondent aux cordes al', a2', a 3'... de Vintrados (ou un diagramme analogue pour Vextrados); ces diagrammes donnent les directions des cordes qui joignent Us p)oints de Vintrados ou de Vextrados aux centres de poussée ( 1 ).

(1) Od peut aussi opérer au moyen d'une corde unique; la figure 190 fournit un exemple de cette méthode ; voir l'explication au numéro 484.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 365

Dans le cas de la figure 175 , la courbe AN est la conjuguée de riutrados; il est évident que la poussée Nn est instable : elle correspond à une courbe de pression qui touche l'intrados, mais qui coupe l'extrados. Il suffit de considérer l'arc AB de la conjuguée de l'intrados compris entre les poussées appliquées aux extrémités a et ?> du joint a/y. La conjuguée de l'extrados est la courbe CD; cette courbe ne suffit pas; il faut }• ajouter l'arc DE de la conjuguée de l'extrémité cl de l'extrados.

§ 4. Propriétés des courbes des poussées limites.

370. Théorème I. — Les conjuguées de Vintrados ou de V extrados enveloppent les hyperboles équilatères conjuguées des centres dépression situés sur Vintrados ou Vextrados.

Cette propriété peut être considérée comme une conséquence de la première méthode employée pour trouver ces courbes limites; mais on peut démontrer cette propriété directement et préciser le point de contact des enveloppées et de leur enveloppe. Considérons les courbes de pression qui passent par le point c de l'intrados (fig. 175) et les courbes de pression qui passent par un autre point c'; l'intersection des hyperboles équilatères conjuguées de ces deux points correspond à une courbe de pression passant par les deux points ce'. Supposons que les points ce' se rapprochent indéfiniment ; le point d'intersection des deux hyperboles devient le point de contact de l'une d'elles et de son enveloppe. D'autre part, ce point correspond à la courbe de pression qui touche l'élément ce' de l'intrados ; c'est donc un point de la conjuguée de l'intrados. Il y a par conséquent identité entre l'enveloppe des hyperboles conjuguées des points de l'intrados et la conjuguée de l'intrados. La même démonstration s'applique évidemment à la conjuguée de l'extrados. On voit aussi que le point de contact d'une enveloppée et de l'enveloppe s'obtient par la courbe de pression, tangente à l'intrados ou l'extrados dans le joint qui correspond à cette enveloppée.

366 INTEGRATION GRAPHIQUE.

371. Théorôme IH. — Si Von fait tourner la sons-tangente à la conrhe limite de ISO"^ autour de Vordonnée horizontale, V extrémité de cette sous-tangente se place au même niveau que le point de Vextrados ou de l'intrados qui correspondait 2Joint de la courbe limite.

En effet , la tangente à l'enveloppe se confond avec la tangente à une enveloppée; cette enveloppée est la conjuguée d'une perpendiculaire à un joint; sa tangente s'obtient en appliquant le théorème du numéro 359; en faisant tourner les deux sous-tangentes, on doit obtenir des points au même niveau ; mais la sous-taugeute de la perpendiculaire au joint oblique est nulle ; c'est donc le centre de pression lui-même qui doit se trouver au même niveau que l'extrémité de la sous-tangente à la courbe limite tournée de 180°.

379. Théopèine III. — Les courbes limites ont des éléments horizontaux qui correspondent aux éléments horizontaux de Vextrados et de Vintrados.

Il s'agit de démontrer que la courbe des poussées maxima DC a en C un élément horizontal ; que la courbe des poussées minima AB a aussi en A un élément horizontal. En effet, appliquons le théorème précédent pour des centres de pression qui convergent vers les points a et ti, nous voyons que les sous-tangentes en A et C sont nulles.

On peut aussi remarquer qu'en prenant a et b comme centre de pression, on obtient deux enveloppées qui sont les droites C^ et Aa ; ces enveloppées doivent toucher respectivement leurs enveloppes DC et AB.

§ 5. Forme de la conjuguée de l'intrados.

373. Intrados d'égale rësislanco. — Soit (fig. 174} la voûte abcd; nous pouvons supposer que l'intrados soit établi précisément suivant une courbe de pression. Soit Aa la poussée qui produit cette courbe de pression; il n'y a qu'une seule courbe de pression tangente à l'intrados ; c'est l'intrados lui-même ; la courbe que nous avons appelée conjuguée de

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l'intrados se réduit donc au point A : toutes les enveloppées passsent par ce point. La courbe des poussées minima est riiyperbole équilatère AB conjuguée du centre de pression c.

374. Des difieronls genres (l''iiitra(los. — L'intrados d'une voûte peut différer d'une courbe de pression dans un sens ou dans l'autre. Si on mène les courbes de pression tangentes à l'intrados , ces courbes peuvent passer au-dessus ou au-dessous de l'intrados ; dans le premier cas, nous dirons que l'intrados est du premier genre; dans le second cas, nous dirons que l'intrados est du deuxième genre. Les courbes d'intrados peuvent se composer d'arcs du premier et du second genre. L'intrados du troisième genre , si sa partie supérieure est du second genre et sa partie inférieure du premier. L'intrados est du quatrième genre, si sa partie est du premier genre et sa partie inférieure du deuxième.

375. Intrados du premier genre. — Soit (flg. 176) la voûte abdc. Les courbes de pression qui touchent l'intrados passent au-dessus de l'intrados. Menons une courbe de pression tangente à l'intrados en un point quelconque n; on obtient un point N de la conjuguée. Il est facile de voir que si le point de contact se meut de n en n' en s'éloignant du sommet, le centre de poussée s'élève et que la poussée limite diminue. En effet, si on mène une courbe de pression tangente en un point n' de l'intrados infiniment voisin du point », cette courbe doit passer au-dessus du point n; donc les deux courbes se coupent en un point s. Mais ces courbes ne peuvent se couper qu'en un seul point , sinon elles auraient deux points communs et coïncideraient (343) ; donc le nouveau centre de poussée est au-dessus du premier : le centre de poussée s'élève quand !e point de contact s'éloigne du sommet. Les deux points N et N' qui correspondent aux deux points n et n', se trouvent sur l'I^vperbole équilatère conjuguée du point s; donc la poussée diminue en passant de N en N'. On peut aussi démontrer cette proi)Osition en cherchant la direction de la tangente à la courbe limite (371).

Si le point de contact n se rapproche indéfiniment du

368 INTEGRATION GRAPHIQUE.

sommet a , le centre de poussée descend et se rapproche aussi indéfiniment du point rr; on obtient une courbe de pression qui a quatre points communs infiniment voisins avec l'intrados. En effet, elle touche l'intrados au point que l'on choisit près du point a ; cela équivaut à dire qu'elle a deux points communs avec l'intrados; mais la courbe de pression et l'intrados sont symétriques par rapport à la ligne ab; ces courbes ont donc deux autres points communs symétriques des deux précédents; à la limite, elles ont un contact du troisième ordre. Rappelons qu'au point A , qui correspond à cette courbe de pression , la conjuguée de l'intrados a un élément horizontal.

L'étendue de la conjuguée de l'intrados dépend de la forme de l'intrados; nous savons déjà que cet arc peut se réduire en un point unique A', si l'on adopte un intrados d'égale résistance; selon qu'on s'éloignera plus ou moins de cette forme particulière, l'arc AC prendra plus ou moins d'étendue en s'écartant plus ou moins du point A'.

Cette forme de la conjuguée de l'intrados est celle que l'on rencontre habituellement. En général , l'intrados d'une voûte est circulaire ou en anse de panier; la ligne des pressions a une forme qui dépend de la loi des charges , mais dans les cas ordinaires cette forme diffère peu de celle d'une chaînette renversée ; la courbure diminue du sommet de la voûte vers les naissances ; la courba des centres de pression dififère peu de la ligne des pressions et a sensiblement la même forme. On reconnaît aisément que si on trace une courbe de cette forme par le sommet et l'extrémité de l'intrados, cette courbe an"c tombe sous l'intrados. En faisant pivoter la courbe de pression autour du iioint c jusqu'à ce qu'elle devienne tangente à lintrados , on obtient une courbe qui touche supérieurement l'intrados. En faisant pivoter la courbe «;;ic autour du poiut a jusqu'à ce qu'elle devienne osculatrice au point a, on obtiendra généralement une courbe qui passe au-dessus de l'intrados; en d'autres termes, l'intrados est généralement du premier genre.

L'arc AC fait partie d'une certaine courbe géométrique;

INTÉGRATIOiN GRAPHIQUE. 369

quelle est la forme de cette courbe au-delà des points A et C ? Il semble que le point A soit un point d'arrêt ; il n'existe aucun moyen géométrique de i)rolonger l'arc CA au-delà du point A. Cependant il peut exister des courbes de pression ayant un contact imaginaire avec l'intrados ; l'analyse seule permet de trouver les points de la courbe des poussées qui correspondent à ces solutions; nous verrons plus loin un exemple de cette détermination ; nous verrons que l'arc C A se prolonge par un arc AH ; le noint A est le point le plus bas de la courbe.

Au point c de l'intrados, correspond le [)oint C de la courbe limite; pour prolonger l'arc AC au-delà du point C, il suffit de prolonger l'arc ac de l'intrados. En déplaçant le point de contact au-delà du point c, on obtient des centres de poussée de i)lus en plus élevés, la poussée diminue de plus en plus. Pour un point e' très rapproché de l'élément vertical de l'intrados, on trouve une poussée nulle à l'infini. La condition qui détermine ce point e' est la suivante : soient OP la poids de l'arc abf'e\ PP' la force fictive p dirigée suivant le joint; on obtient la poussée sur l'axe OQ en menant par le point P' une parallèle à la tangente à l'intrados; pour que la poussée soit nulle, il faut que celle parallèle passe par le point 0. La force fictive PP' est petite , l'angle POP' est aussi très petit; donc le point e' est très rapproché du point e. Si on api)lique au jioint e' , la construction ordinaire pour trouver le centre de poussée, on trouve un centre à l'infini. Il résulte de là que l'arc AC prolongé a pour asymptote, la droite ah prolongée. Si le point de contact continue à se mouvoir en descendant même en dessous de l'élément vertical de l'intrados, on obtient des poussées négatives, on reconnaît que le centre de poussée saute brusquement au-dessous du sommet a à une distance infiniment grande; on obtient une autre branche de la courbe. Pour ces poussées négatives et même pour les petites poussées à centres très élevés, les courbes de pression présentent des particularités géométriques très intéressantes; nous laissons au lecteur le soin de se livrer à ces recherches ui ne présentent absolument pas d'intérêt pratique.

370 INTEGRATION GRAPHIQUE.

376. Intrados du deuxième genre. — Si on mène une courbe de pression tangente à l'intrados au point 7i (fig. 177), on obtient un point N de la conjuguée situé en dessous du point a. Si le point n se déplace vers le bas, on démontre par un raisonnement analogue à celui que nous avons suivi dans le numéro précédent , que le centre de poussée s'abaisse et que la poussée augmente; nous savons déjà que la courbe a un élément horizontal A et qu'on l'obtient en rapprochant indéfiniment le point de contact n du sommet de l'intrados ; la conjuguée a donc la forme AC. Cette courbe ne résout pas la question pratique de la détermination des poussées minima, caries poussées qu'elle représente sont évidemment instables. Si on considère les courbes de pression qui atteignent l'intrados par son extrémité c , on obtient l'hyperbole équilatère CE ; c'est un arc de cette h3'perbole qui limite les poussées stables. Dans ce cas , la courbe limite n'est pas formée par l'enveloppe AC des hyperboles équilatères conjuguées des points de l'intrados; elle est formée par des enveloppées.

Le cas que nous venons d'examiner est exceptionnel ; on l'obtient dans le cas d'une voûte , dont la courbure est très forte au sommet et décroît rapidement vers les naissances ; on l'obtient aussi dans le cas d'un arc ogival où la courbure au sommet est infinie.

«JÎ7. Intrados du Iroisiènie genre. — Les parties supérieures et inférieures de l'intiados sont respectivement du deuxième et du premier genre. Si d'abord on déplace le point de contact à partir du sommet , dans la première partie de l'intrados , le centre de poussée s'abaisse ; on obtient un arc AE (fig. 178). Si , au contraire , le point de contact se déplace vers les naissances, sur la partie de l'intrados qui est du premier genre , le centre de poussée s'élève , on obtient un arc EC. Si par le procédé connu (371); on détermine la tangente au point E, on n'obtient pas une tangente horizontale ; donc au point E, il y a rebroussement.

Le point E est l'extrémité de la poussée qui correspond à la courbe intermédiaire entre les courbes de pression qui touchent inférieurement et celles qui touchent supérieure-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 371

ment l'extrados ; il est facile de voir que cette courbe de pression traverse l'extrados et lui est osculatrice. En efifet , Tare supérieur au point de contact se trouve sous l'intrados; car c'est la limite d'arcs qui touchent inférieurement l'intrados; l'arc inférieur au point de contact se trouve audessus de l'intrados pour la même raison.

La courbe des poussées minima comprend un arc de la courbe EC; les parties de la conjuguée de l'intrados situées en dehors des limites a et h ne conviennent évidemment pas.

Cette disposition se réalisera avec la même forme d'intrados que celle du numéro précédent, si on prolonge l'intrados jusque près de l'élémeiit vertical; on sait, en efTet, que près de l'élément vertical on obtient des poussées très petites et des centres de poussée très élevés : l'intrados est du premier genre dans la partie inférieure. On obtient notamment cette disposition, dans le cas d'une voûte en ogive complète; c'est le cas de la figure 178. Dans le cas d'une voûte en ogive , le théorème du numéro 372 n'est plus apphcable;on reconnaît que les courbes de pression présentent des dispositions singulières dans les environs du sommet de la voûte en passant du joint a y. au joint ab.

37 S. Intrados du qualrièuic genre. — La partie supérieure de l'intrados est du premier genre , la partie inférieure est du deuxième genre. Menons les courbes de pression qui touchent l'intrados; faisons mouvoir le point de contact du sommet vers la naissance ; on obtient pour la partie supérieure un arc AE (fig. 179); pour la partie inférieure , un arc EC. Le point de rebroussement correspond à la courbe de pression qui traverse l'intrados et lui est osculatrice. Pour déterminer la courbe des poussées minima , il faut en outre tracer la conjuguée CM de l'extrémité c de l'intrados; cette courbe peut couper l'arc AE en un point K ; la courbe des poussées minima est formée de l'arc AK et de l'arc KM; au point Kces courbes forment unaugle ; ce point correspond à la courbe de pression qui touche llntrados dans sa partie supérieure et passe par l'extrémité c de l'intrados. L'arc KE représente des poussées instables quoique les courbes de

372 INTEGRATION GRAPHIQUE.

pression qu'elles engendrent touchent supérieurement l'intrados ; cela provient de ce que ces poussées sont plus petites que celles de la conjuguée du point c ; les courbes de pression passent sous le point c.

On réaliserait un intrados du quatrième genre , en établissant sa partie supérieure suivant un arc de cercle et sa partie inférieure suivant un arc de cercle de très grand rayon, une droite ou un arc à courbure renversée : cette disposition est exceptionnelle.

3Î9. Autres genres — On pourrait imaginer des lormes d'intrados en nombre considérable , en les composant d'arcs successifs de genres différents; la conjuguée de l'intrados pourrait comprendre des arcs de courbes avec différents rebroussements ; la courbe limite pourrait présenter plusieurs sommets.

3$0. Parliez faibles et fortes de IMiitrados. — Dans le cas d'un intrados du premier genre , la courbe des poussées minima AC (fig. 176; dépend de la forme de l'intrados ; en adoptant pour courbe d'intrados la courbe de pression «n''c' qui passe par le sommet et l'extrémité, on augmenterait l'aire des solutions stables de la superficie AKK'A' ; on peut donc dire que Cintrados du yreniier genre est trop faible. Dans le cas d'un intrados du deuxième genre (fig. 177;, la courbedes poussées minima FE est indépendante de la courbe d'intrados ; on peut réduire les épaisseurs du côté de l'intrados jusqu'à ce que l'on atteigne la courbe de pression an'c qui passe par le sommet a et l'extrémité c\ l'arc FE ne change pas, on peut donc dire que V intrados du deuxième genre est trop /or ^. L'espace an' en a est un espace inutile, que les courbes de pression n'atteignent pas et que l'on peut supprimer sans modifier la stabilité statique de la voûte. Nous négligeons évidemment dans ce raisonnement l'influence sur la ligne des pressions, du poids des parties enlevées.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 373

§ 6. Forme de la conjuguée de l'extrados.

La conjuguée de l'extrados peut présenter toutes les mêmes dispositions que la conjuguée de l'intrados; il n'y a de différence que dans la détermination des parties utiles de la courbe.

381. Exirados d'égale rôsîslance. — L'extrados est établi suivant une courbe de pression ; la conjuguée de l'extrados est un point C (fig. 174); la courbe des poussées maxima est la conjuguée DC de l'extrémité de l'extrados.

38^. Extrados du premier genre. — L'extrados est touché supérieurement par les courbes de pression : c'est le cas le plus fréquent. La conjuguée de l'extrados est une courbe BF (fig. 176) ; elle correspond à des poussées instables. La courbe des poussées maxima est formée par un arc DE de l'hyperbole conjuguée de l'extrémité de l'intrados.

383. Exirados du deuxièuie genre. — L'extrados est touché inférieurement par les courbes de pression ; la conjuguée de l'extrados est une courbe BD (fig. 177). Il faut quelquefois la compléter par la conjuguée de l'extrémité de l'extrados, pour obtenir la courbe des poussées maxima; on en trouve un exemple dans la figure 175.

384. Exirados du Iroisièmc genre. — La partie supérieure de l'extrados est du deuxième genre ; la partie inférieure est du premier genre. La conjuguée BE'D' (fig. 178) présente un point de rebroussement E'; la courbe des poussées maxima est formée par l'arc CH de cette courbe et Tare HF de la conjuguée de l'extrémité de l'extrados; en H ces deux courbes forment un angle.

385. Exirados du quatrième genre. — La partie supérieure de Textrados est du premier genre, la partie inférieure est du deuxième genre. La conjuguée BFD (fig. 179) présente un point de rebroussement F ; la courbe des poussées maxima HD est formée par une partie de cette courbe, complétée au besoin par la conjuguée de l'extrémité d de 1 extrados.

374 INTEGRATION GRAPHIQUE.

386. Porlîos faibles et fortes de IVxtradost. — L'extrados du premier genre est trop fort ; on peut le remplacer par la courbe de pression qui passe par le sommet et l'extrémité. U extrados du deuxième genre est trop faible.

§7. Détermination analytique des courbes enveloppes.

3S7. Voûte en arc de cercle d^cpais.senr constante. —

Occupons-nous des courbes de pression tangentes à l'extrados. Soit un joint mn (fig. 176) faisant l'angle 9 avec la verticale. Le poids de l'arc de voûte ahran est proportionnel à l'angle 9 ; soit :

La construction qui donne la poussée OQ = F F", qui correspond au point de contact m , se traduit par l'équation :

ou

OQsin^f = SS' -f OScoscp

1 (?sin9 = 7) + Pcos^.

Nous avons trouvé ( 351 ) :

p =-- p' sin 9 ,

, R — Ri

Il vient donc :

*-'^'+«tgV

Il nous reste à déterminer le centre de poussée F"; soit x l'abscisse de ce point , en prenant le sommet b de l'extrados comme origine ; écrivons une équation de moment autour du point m. Soient : R le rayon de l'extrados, R, le rayon de la circonférence des centres de gravité des joints ; on a :

q[x -\- R{\ — cos 9)] =acp

. . R.sincc^ ©"

Rsinc ^tg-^

INTEGRATION GRAPHIQUE. 375

Tirons la valeur de g»^', et remplaçons dans cette valeur g et p' par les expressions ( 1 ) et (2) ; il vient :

qx = aR{\ -cos({>)(^-£—-\y (4)

L'équation (3) donne la poussée (/o = Bô , en y faisant 9 = 0 ; on trouve :

Qo^p' +a. (5)

Prenons le point B comme origine. Soient les axes b'By; on a :

y = qo-q = a(l-±^). (6)

L'abscisse est encore œ , elle est donnée par l'équation (4 ).

Pour obtenir la forme de la courbé dans les environs du point B, développons les valeurs de œ et de p, en négligeant certains termes , on trouve :

qx = aK . -^^^ X -^ ■ Or, a-Qo — V^

En éliminant 9 entre les équations (7) et (8;, on trouve :

C'est l'équation d'une parabole F'BF; l'arc F'B ne peut s'obtenir qu'en donnant à 9^ des valeurs négatives ou à 9 des valeurs imaginaires; nous reconnaissons ici ce que nous avions annoncé au numéro 375.

On peut aussi obtenir l'équation exacte de la branche BF' en remplaçant dans les équations (4) et (6) 9 par 9 : \^—\ ;

on trouve :

tg h 9 ,

Qa; = aR(cos;.9-l)(l-^). (4)-

376 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Ces formules s'appliquent aussi à la conjuguée de l'intrados, quand il n'y a pas de surcharge; il suffît de remplacer R par le rayon r de l'intrados.

3$$. Courbes o«>culali'iccs an soiiimel de l^exlrados el de l^intrados. — Les poussées Bb et A«, qui correspondent à ces courbes , peuvent se calculer facilement ; en faisant 9 = 0, nous avons déjà trouvé l'équation (5) qui donne q^ ; on en déduit :

On obtient c/q = A«; en remplaçant R par r; on trouve :

Il existe des formules plus générales se rapportant au cas de la figure 164 ; on trouve :

bi\ o'b

Ces formules sont utiles; les méthodes graphiques qui précèdent ne permettent pas de déterminer avec précision les points A et B des courbes limites, qui correspondent aux sommets do l'intrados et de l'extrados; on obtient ces points en construisant les formules (10), (11) ou (12). Les formules (10) et (1 1) rentrent dans la formule plus générale :

JC

on obtient Qq, q^ en faisant x = ^Qi x =r. On construit l'équation (13) en divisant par x les ordonnées de la droite q = a {2x — R, ) ; cette constru^^tion est indiquée (fig 176) ; nous avons pris R, comme base d'intégration.

On construit l'équation ( 12) par une construction du même genre, mais il faut une opération de plus.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 377

§ 8. Forme de l'aire des solutions stables.

Nous avons discuté les formes des courbes des poussées maxima et miuima; il nous reste à discuter la situation de ces lignes l'une par rapport à l'autre pour avoir une idée complète des différentes formes que l'aire des solutions stables peut affecter.

3$9. Intrados et e\irudo!« dVgalc rcsislaiicc. — Si l'intrados et l'extrados de la voûte sont établis suivant deux courbes de pression, Taire des solutions stables est un quadrilatère ABCD (tig. 174) formé de deux droites AD et BC et de deux arcs d'hyperboles équilatères conjuguées des extrémités de l'intrados et de l'extrados. Cette forme de voûte est la plus avantageuse; la stabilité statique est la même que si le bloc abdc était un monolithe. Si on donne les sommets a, b et les points extrêmes c et cl de l'intrados et de l'extrados , il est impossible de trouver, en modifiant la forme de la voûte de toutes les manières , une aire des solutions stables plus grande que l'aire ABCD.

Si on réduit l'épaisseur de la voûte , en continuant à donner à l'intrados et à l'extrados la forme de deux courbes de pression, l'aire des solutions stables diminue. Si l'épaisseur se réduit de ab en ab', on obtient l'aire AB'C'D'. Comme il s'agit seulement d'examiner les différents cas qui peuvent se présenter, nous avons supposé pour simplifier la figure que l'intrados reste fixe et que la forme des lignes de pressions ne change pas; nous ferons la même hj^pothèse dans les autres cas. En diminuant l'épaisseur indéfiniment, l'aire des solutions stables diminue indéfiniment ; cette aire ne se réduit à zéro que pour une épaisseur nulle. Dans tous les autres cas, nous verrons qu'il y a une épaisseur minima qui n'admet qu'une solution stable.

390. Intrados et extrados du premier genre. — La courbe des poussées maxima est l'hyperbole équilatère DE (fig. 176) , conjuguée du centre de pression d ; la courbe des poussées

378 INTEGRATION GRAPHIQUE.

minijna est la conjuguée AK de l'intrados complétée au besoin par la conjuguée de l'extrémité c. Si la demi-voûte était un monolithe, ou bien si l'intrados et l'extrados étaient d'égale résistance , l'aire des solutions stables serait l'aire A'K'E D , limitée par les conjuguées des points c et d. La conjuguée de l'intrados enlève la partie A'K'KA de cette aire; la grandeur et la forme de l'aire enlevée dépend de la forme de l'intrados ; si l'intrados s'apiiroche de plus en plus d'une courbe de pression, la courbe AC se rapproche de plus en plus du point A'; l'aire enlevée prend la forme d'un triangle curviligne, puis se réduit à zéro.

Dans une certaine mesure , la forme de l'extrados n'exerce pas d'influence sur la stabilité statique de la voûte. Menons la courbe de pression b nV cl par le sommet b et l'extrémité d de l'extrados; on peut supprimer la partie bmdm' sans modifier l'aire des solutions stables.

Pour une forme d'intrados déterminée, l'aire des solutions stables dépend des épaisseurs ab et cd au sommet et aux naissances de la voûte. Si on réduit ces épaisseurs en conservant l'intrados et les lignes des pressions , la courbe DE se rapproche de A C ; l'aire des solutions stables se réduit. Pour la voûte a&'rf'c, cette aire sera le triangle curviligne N'MA ; pour une certaine voûte aU'd^'c , l'aire se réduit à un point N ; il n'y a qu'une solution stable; la voûte a l'épaisseur la plus petite qu'on peut lui donner , même dans l'hypothèse d'une résistance illimitée.