Forniiiles des déformations cicnientaires. — Une

voûte est un assemblage de matériaux différents : pierres , briques , mortier ; quelles sont les déformations d'un massif élémentaire ABCD (fig. 188) sous l'action d'une force

(1) Si on remplace l'intrados et l'extrados de la voûte par l'intrados et l'extrados fictifs tangents aux courbes de pressions limites et si on suppose une résistance illimitée, les conjuguées enveloppes ne changent pas; l'aire des solutions stables n'est pas cependant la même, car il y a des courbes de pressions limites qui touchent leur enveloppe en des points imaginaires. L'intrados et l'extrados sont du premier ou du second genre selon que les courbes de pressions limites touchent supérieurement ou inférieurement leurs enveloppes.

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donnée R ? Cette force se décompose en une force normale au joint N et une force tangentielle ; la force taugentielle a généralement peu d'importance et nous négligerons les déformations par glissement (1). La force normale N produit une compression et une flexion.

S'il s'agissait d'un solide homogène , on obtiendrait la compression aa^ de l'élément ab de ligne centrale du massif par la formule :

ods = — =— - ds , Eco

formule dans laquelle ds = ab , ds + èds = a'b , w = section AB ; E est le coeflîcient de raideur du solide.

La section AB,en se plaçant en A'B', tournerait d'un angle d'p qui serait donné par la formule :

dl-^^ds.

M est le moment fléchissant ou moment de la force N autour du point a ; I est le moment d'inertie de la section AB autour de l'axe de flexion.

Dans le cas qui nous occupe, la jtrésence d'un mortier non complètement durci va modifier complètement la déformation; il est évident que la compression moyenne sera considérablement augmentée ; nous admettrons la formule suivante :

$ds = — ^ds. ( 1 )

Le coeâîcient E' est le coefficient de raideur moyenne que l'on peut attribuer au massif, sans changer la compression des différentes parties de la voûte. Nous admettrons aussi.

(1) La déformation par glissement se calcule facilement; elle donne lieu à un terme analogue au terme des déformations par compression; c'est pour simplifier l'exposé que nous négligeons d'abord les glissemenls; nous exposerons plus loin la théorie complète.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 399

pour le calcul de la déformation angulaire, un nouveau coefficient de raideur E" et nous écrirons la formule :

Nous supposons que les coefficients E' et E" sont indépendants de N et de M; cette hypothèse est très probable surtout dans les limites de l'application. Si l'expérience démontrait le contraire , il faudrait remplacer ces formules par d'autres plus compliquées, mais les idées générales de la méthode que nous allons exposer seraient encore ai)plicables.

4!îO. ISapport des raideurs à In flexion et à la compression. — Nous reconnaîtrons plus loin que le rapport

jouera le plus grand rôle dans la théorie des voûtes; c'est de ce rapport que dépend la production de telle ou telle courbe de pression. Ce rapport dépend du mode de construction , de l'épaisseur des joints de mortier, de la nature du mortier, de l'époque du décintrement. Pour déterminer ce rapport, la théorie est impuissante; il faut faire des essais sur un bloc de maçonnerie de même espèce que la voûte. Ces essais peuvent être faits de manière à déterminer l'époque où il faut décintrer pour que le rapport n ait une valeur convenable. Si on emploie du mortier de ciment, si ce ciment peut résister à des pressions suffisamment grandes même quand il durcit sans pression, on peut décintrer après le complet durcissement du mortier, on poura faire n = I. Si, au contraire, le mortier ne résiste que quand il durcit sous pression , il faut décintrer avant le durcissement ; la valeur de n sera d'autant plus grande que le mortier sera plus fluide et plus abondant.

4^7. Équations générales de la déformation. — Nous supposerons la voûte sA'métriquement construite par rapport à un plan vertical ; on sait a priori que la poussée est normale au joint du sommet; la courbe dépression ne dé-

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pend que de deux indéterminées : la poussée et le centre de poussée; il faut donc trouver deux conditions de déformation.

Prenons pour axes coordonnés un axe horizontal quelconque ox (fig. 189) et un axe vertical oy dans le plan de symétrie; soient : ^,?/ les coordonnées d'un point quelconque de lare moyen AB de la voûte ; ds l'élément de cette courbe ; dx, dy les projections de cet élément ; 9 j l'angle des éléments extrêmes A et B ; Ha projection horizontale de la ligue AB.

Les déformations doivent satisfaire à deux conditions : une condition angulaire et une condition linéaire.

Condition a/i^wto/re. — L'élément A doit rester horizontal par raison de symétrie; l'élément B ne peut changer de direction , si nous supposons en B un joint de naissance invariable; donc après la déformation , l'angle 'f, !ne peut avoir changé de valeur et nous pouvons écrire :

Un élément MM' tourne par rapport au suivant M',M" d'un angle que nous avons désigné par d)^ et qui est donné

par l'équation (2) ; on a donc A 9, =y d]^ , et il vient :

Condition linéaire. — Le joint du sommet A doit rester dans le plan de .symétrie après la déformation"; l'élément B est fixe. Traçons la droite OB et supposons le point 0 invariablement lié au joint A; la projection horizontale de la droite OB doit rester constante; soit l cette projection; on doit avoir ;

Calculons séparément la déformation A7 par compression et la déformation A"^ par flexion. La compression produit un allongement négatif ods , de l'élément ds ; en projection horizontale , on obtient un allongement ddx; donc on a :

^'l = / ddx.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 401

Calculons la déformation produite par la rotation ^4* <i6 rélément MM' j>ar rapport à l'élément M'M"; nous supposons l'arc M' B tixe et invariable ; l'arc AM' reste aussi invariable de forme , mais subit la rotation d^ autour du point M' ; cette rotation communique au point 0 un déplacement dont la projection horizontale est pd'Jfi. Partons de l'élément fixe B , produisons successivement toutes les rotations rfi];, comme nous venons de le faire, nous obtiendrons l'arc déformé; le déplacement du point 0 est donc :

A"l = fyd^.

Or, ou a: Al ■-= A' l -{- A"l;

il vient donc : J od.v ■+ J T/d'p = 0. (5)

4^8. Des «lifTérciiliii sy»ilèiues «iVqiialionf^. — Nous n'avons pas spécifié la position de l'axe des œ ; supposons que l'on abaii^se l'axe des œ d'une hauteur b ; dans l'équation (5), il faut remplacer y par la nouvelle ordonnée y' = 1/ — b; i\ vient :

fàdx + Jyd^ — bfd'\>. (6)

On trouve une nouvelle équation , mais c'est une combinaison des équations (4) et (5). Non- seulement , on peut remplacer le système (4) (5^ par (4) (6) ; mais on peut aussi le remplacer par (5) (6).

On peut considérer les équations (4) et (5) commodes équations d'équilibre ; imaginons sur chaque élément ds une force horizontale d-]) et un couple dont le moment soit ddœ ; exprimons l'équilibre de ces forces fictives; l'équation (4) est l'équation , de translation; l'équation (5) est l'équation de moment. On comprend dès lors qu'en exprimant cet équihbre par un autre système d'équation (4) et (6) ou bien (5) et (6), on obtienne un système équivalent au système des équations (4) et (5).

402 INTEGRATION GRAPHIQUE.

499. Charnières ou joints de rupture. — Nous avons supposé que la courbe de pression restait à l'intérieur de la

voûte; si elle touche Tintrados ou l'extrados, le joint peut s'ouvrir, le point de contact servant de charnière. On pourrait aussi réunir deux parties de voûtes par une rotule; pour y arriver, on laisserait un joint vide de mortiers; deux demicylindrescreux eu fonte seraient enchâssés dansles voussoirs adjacents et embrasseraient un cylindre" plein également en fonte; ce cylindre servirait d'articulation. Lorsqu'il existe dans une voûte une ou plusieurs charnières, les équations (4) et (5) ne sont plus applicables; il faut les remplacer par les suivantes.

Soient '% i '■l'i les angles de rotation qui se produisent entre les parties dé voûtes réunies par les charnières; soient b^, &, les ordonnées de ces charnières. Il faut ajouter à l'intégrale àe cl'li les angles 'J/q , et^'i; il faut en outre introduire ces angles dans l'intégrale de î/f/'|; les équations (4) et (5) deviennent :

Jodx^ fdy]^ + 2^o&o = 0 (8)

Ces équations peuvent encore être considérées comme des équations d'équilibre entre les forces horizontales d'\i, '-J;,, <];, et les couples odx. En la comparant aux équations (4) et (5), on voit qu'elles contiennent les nouvelles inconnues i{>o et ^^ ; mais à chaque charnière correspond une condition nouvelle : la courbe de pression doit passer par le centre de l'articulation , toucher Tintrados ou l'extrados ; le problème est toujours déterminé.

Remarque. — Supposons qu'il existe une rotule unique et que l'on introduise des coins entre les voussoirs adjacents ; la courbe de pression dépend des pressions exercées par ces coins, car^en les manœuvrant on déplace à volonté le centre de pression dans la section qui passe par le centre de l'articulation. Prenons un axe des x passant par le centre de

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la rotule et appliquons l'équation (8); on a l'ii^bo "=0; l'équation (8) devient identique à l'équation (3); nous pouvons donc énoncer cette proposition : Toutes les lignes de pression en no7nbre infini qui satisfont à V équation linéaire (5) sans satisfaire à la condition angulaire (4) pourraient être réalisées en établissant une rotule à la hauteur des x, et en déplaçant la courbe de pression par la manœuvre de coins introduits entre les voussoirs articulés.