Transforuialion dc$« cqnations. — Remplaçons
dans les équations (4) (5) (6j (7) et (S), ^ et c?']> par leurs valeurs tirées des équations (1) et (2); multiplions par E" et tenons compte de l'équation (3) ; il vient :
/N rMu
— dx -\- -j ds = 0, (5"»)
^nflax^f^^as^^. (6-)
- nf^ ds-\-P-^ ds -4- lW^,b, = 0. (8^-)
Soient : q la poussée, c l'ordonnée du centre de poussée, P le poids qui sollicite un arc AM de la voûte , // ie moment de ce poids autour du point M. La force normale N et le moment fléchissant M au point M sont donnés par les formules :
dx dy
M = -^(?/-c)-fp.. (10)
404 INTEGRATION GRAPHIQUE.
Si nous introduisons ces valeurs dans les équations {4^'^) et {o^'"), on obtient :
f'ds Ç yds , Ç uxls
Ç /dx\'^ ds I ^ftx dy , Çyds C y^ds
- "«J (rfi) — - « J p rfT i* + «^ ) V - *J v
Dans le cas où il y a des joints de rupture, on ajoute à
l'équation (11) le terme -E"'J;o, et à l'équation (12) le terme 2E"ô'j'o; on trouve :
Jds (i/ds , Cuds VT-„i
-j Q rV"^)'"l" + ^E"'];o=0, (13)
Ç/dx V 2 ds Ç^ dx dy , Ç yds ( y^ds
-^^Jfe) ir-''ydrdi''-'^'ji-^j^
+ \^-+lE'%'l^o-0. (14)
§ 2. Courbes de pression qui correspondent aux mortiers de toute nature.
A. Propriétés des courbes qui n'admettent pas de joint de rupture.
431 . Hyperboles des poussées possibles. — Si, en faisant par la pensée varier la nature dit mortier, on fait passer n par tous les états de grandeur , V extrémité de la poussée décTit une hyperbole.
Nous supposons qu'il n'y ait pas de joint de rupture; au point de vue théorique , la courbe de pression peut cependant sortir de la voûte, il suffit d attribuer à la maçonnerie une résistance à l'extension telle, que les formules (1) et (2)
INTEGRATION GRAPHIQUE. 405
soient applicables même quand le centre sort de retendue du joint. Examinons les équations (11) et (12); la première est indépendante de la nature du mortier. Ces équations déterminent la courbe de pression ; mais si nous supposons que n affecte toutes les grandeurs possibles , nous obtiendrons une infinité de courbes de pression ; toutes ces courbes sont celles qui satisfont à l'équation (11); à chacune d'elles correspond une valeur de 7i que l'on obtiendrait par l'équation (1-^). Représentons géométriquement les p'oussécs pour toutes ces solutions ; prenons pour axes coordonnés l'axe o?j et l'axe oq pris en sens contraire de l'axe ox ; les coordonnées de l'extrémité d'une poussée possible sont q etc; l'équation (11) est l'équation du lieu des extrémités de ces poussées ; on reconnaît immédiatement que c'est l'équation d'une hyperbole : c'est Mnjper'bole des poussées ^lossibles. Avant de chercher les éléments de cette hyperbole, nous allons simplifier son équation, au moyen des éléments que nous allons définir.
43^. Horizontale nioyenue d'uue voûte. — Déterminons l'ordonnée ?/, par l'équation :
( ds Çyds
L'ordonnée y^ détermine une ligne horizontale ; c'est cette horizontale que nous appelons horizontale moyenne.
Supposons que l'arc moyen de la voûte soit un arc pesant, et que le poids spécifique soit inversement proportionnel au moments d'iueilie I ; on reconnaît lacilement que foidonnee du centre de gravité de cet arc est précisément l'ordonnée ?/, définie par réijuation (15).
-133. llonient moyen. — Déterminons le moment Wj par l'équation :
. j.ds , ,
Pm T = r-r- • (16)
Jds Çu.d
Nous désignerons le moment u ^ sous le nom de moment moyen.
406 INTEGRATION GRAPHIQUE.
494. Equation sinipliflcc de Thypcrbolc ties poussées possibles. — Remplaçons dans l'équation (11) les intégrales
Ctjd^ et p-f
par leurs valeurs tirées des équations (15) et (16) ; l'équation (II) devient :
Qiyi-c) = lJ-i (17)
Il résulte de là que Vhi/jwrbole des poussées possibles a pour ast/mjjtote VJiorizontale moyenne et le joint du sommet.
435. ji.\e (le pivolcniont des lignes de pressions possii>ies. —Si, dans une voûte, on fait par la pensée varier la nature du mrrtier , la ligne des pressions se déplace; toutes ses tangentes et toutes ses cordes pivotent autour de points fixes situés sur l'horizontale moyenne {\).
Soit D (fig. 189) le point de l'arc moyen autour duquel on a u. = jj-i ; projetons ce point D sur l'horizontale moyenne ; prenons cette projection E comme centre des moments ; le moment des forces qui sollicitent l'arc AD est :
L'équation (15) exprime que le moment est nul; donc la pression sur la section D doit passer par le point fixe E. Mais il est facile de démontrer que toutes les tangentes et cordes correspondantes (134) pivotent aussi autour de points fixes. Considérons d'abord deux lignes de pression possibles ; nous avons rappelé (341 ) que les cordes et tangentes correspondantes se coupent sur une horizontale; mais les pressions sur la section D se coupent au point E sur l'horizontale moyenne ; donc toutes les autres tangentes et cordes correspondantes se couinent aussi sur l'horizontale moyenne.
( l) Nous aurions pu déduire ce théorème du numéro 357; nous avons préféré en donner une démonslratiou directe.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 407
Démontrons ensuite que si Ton passe d'une ligne de pression possible à une autre , les pivots ne changent pas quelles que soient ces lignes. Soit en effet R une tangente ou une corde de la première ligue de pression ; son pivot est à l'intersection de R et de l'horizontale moyenne ; ce point est complètement déterminé , quelle que soit la courbe de pression à laquelle on veuille passer.
Corollaires. — l. Si on rapporte toutes les lignes de pression possibles ci Vhorizontale onoyemie, toutes ces lignes se déduisent les unes des autres en faisant varier les ot^données dans un rajyport constant (55).
2. Toutes les lignes de 2)ressi6n possibles passent par un point fiœe situé sur l'horizontale moyenne; ce point est le pivot des lignes de pression. En effet, l'horizontale moyenne coupe une ligne de pression possible en un point; menons la tangente en ce point; le pivot de cette tangente est son point de contact , donc ce point de contact reste immobile.
3. Toutes les cou7^bes des centres de p)ression possibles passent par un point fixe situé sur Vhorizontale mogenne; ce x)0int est le invot des courbes de pression. En effet, l'horizontale mo^'^enne coupe une courbe de pression possible en un point ; la pression sur la section correspondante pivotera autour de ce point; c'est donc un centre de pression fixe.
130. VcrîJîcalîons analytiques. — On peut vérifier toutes ces propositions analytiquement sans utiliser la propriété des intégrales. L'équation d'une tangente à la ligne des pressions peut se mettre sous la forme :
— q(jj — c) + P (œ — d) = 0. (18)
Dans cette équation , x et g sont les coordonnées d'un point quelconque de la tangente; cette tangente est la ligne d'action de la pression sur une section transversale de la voûte , P est le poids qui agit entre cette section et le sommet, d est l'abscisse du centre de gravité du poids P ; on obtient l'équation qui précède en exprimant qu'autour d'un point {x,g) de la ligne d'action de la pression considérée, le
408 INTEGRATION GRAPHIQUE.
luomeut des composantes P et q de cette pression est égal à zéro. L'intersection de cette ligne avec riiorizontale moyenne ?/, est donnée par l'équation.
-- Q iVi -c) + V{x,- cl) = 0.
ou à cause de l'équation (15) ,
— p., + P (iT, — rf) = 0 ,
d'où
Cette abscisse est indépendante des variables c ci q\ donc la tangente pivote autour de ce point.
Les cordes correspondantes possèdent la même propriété , car une corde est la ligne d'action de la résultante de la poussée et de certaines forces que l'on obtient par une concentration aux extrémités de la corde ; la même démonstration est applicable.
Considérons œ et ?/ comme les coordonnées d'un point quelconque de la ligne des pressions; on peut dans l'équation (18) remplacer V [x — d) par a' ; y.' est le moment du poids P par rapport à la verticale du centi'e de gravité du joint qui correspond au poids P ; il vient :
Eliminons c au moyen de l'équation il5^ on trouve :
La dillérence y — ?/, est l'ordonnée d'un point de la ligne de pression iiar rapport à l'horizontale moyenne; si on fait varier la poussée de q à (/' , toutes ces ordonnées varient dans le rapport (?' : q; cela démontre le corollaire 1 du numéro précédent.
437. F ïcenlrîcilé vcriîcale moyenne. — Appelons c', la distance verticale dun point M de l'arc moyen, à la pression sur la section qui passe par ce point : c' = MN.
Transportons cette pression au point N , décom])osons-la en ses composantes q et P; le moment fléchissant M autour du point M est donné par la formule suivante :
M = qd.
L'équation (4'^'^) devient :
/c'ds
Traçons une ligne de pression quelconque ; l'équation (20) ne sera généralement pas satisluite : cette ligne de pression est impossible. Déterminons la hauteur c, dont il faut la relever pour qu'elle devienne possible; dans l'équation (20) on doit remplacer c' par c' — c, ; il vient :
— fZ5 == 0
Jds Ce'
ds
ou c, ] ^ - \-j- (21)
Nous appelons excentricilé verticale moyenne la hauteur déterminée par l'équation (21). Nous pouvons alors énoncer les deux propositions suivantes :
Une ligne de pressions est possible pour une certaine nature de mortier quand V excentricité verticale 'moyenne est égale à zéro. Une ligne de pressions quelconque devient possible si on rélève d'une hauteur égale à V excentricité verticale moyenne.
B. Tracés graphiques dans le cas d'une voûte d épaisseur constante.
438. Ordonnée moyenne. — Dans le cas d'une voûte d'épaisseur constante, le moment d'inertie I est constant, 'équation (15) devient :
I yds
410 INTEGRATION GRAPHIQUE.
Cette formule montre que l'ordonnée moyenne iji est l'ordonnée du centre de gravité de l'arc supposé homogène. Si la ligne moyenne a la forme d'un arc de cercle, on obtient ce centre de gravité par une construction. Si cette ligne moyenne est une courbe analytique , on peut assez souvent trouver une formule exacte qui donne l'ordonnée du centre de gravité. Dans tous les cas , on peut trouver ^/j pour une intégration graphique. Il suffit de porter les ds sur un axe
d'abscisse, y en ordonnée; on obtient /^/cîs par une intégration graphique approchée; ?/, s'obtient par l'inclinaison delà corde,
Soient(fig. 191) ABC la courbe des y; A'B'C l'intégrale; P^/i le rayon du diagramme parallèle à la corde A'C ; on a :
430. llomenf moyen.— Traçons une ligne de pressions quelconque A'B' (flg. 190). Cette ligne de résultantes est aussi un lieu des moments statiques ( 134); elle nous permettra de trouver la valeur de a. Cherchons le moment a autour d'un point M de l'arc ; menons une verticale par ce point ; soit z le segment de cette verticale compris entre la poussée prolongée et la direction de la résultante qui sollicite la section M ; le moment p. est représenté par z ; comme la base d'intégration est q (6,3") , on a en réalité :
a = qz.
On vérifie aisément cette proposition en prenant comme centre de moment l'extrémité de l'ordonnée z sur la pression considérée , et en exprimant que le moment —qz+ y. de cette pression est nulle. On détermine a, de la même manière que pi. L'équation (16) devient :
(j.ds !j.^=-—-^. (16"-)
On porte fig. 191 , p. en ordonnée au lieu àey ; on obtient la courbe DEP, l'intégrale D'E'F'; on mène P'^, parallèlement
INTEGRATION GRAPHIQUE. 411
à la corde D'F'; O'Z, représente le moment moyen y. ; plus exactement :
Si Zi --= b'Z, , 17.,= qzi.
440. Exeeniricilé verticale moyenne «l^unc li^nc de pression. — L'équation (21) devient :
c'ds
Portons (fi<?. 192) les hauteurs c'en ordonnée , nous obtenons une courbe GK; l'intégrale de cette courbe est G'K'; menons Pc, parallèlement à la corde G'K' ; on a :
Ci = ÔC[.
Remarque. — Dans les trois tracés qui précèdent, il n'est pas nécessaire de tracer les courbes des ij , des [j. et des c' ; il suâ3t de projeter ces éléments sur les axes des diagrammes des inclinaisons, pour pouvoir effectuer l'intégration graphique ; pour l'intégrale des c' on peut opérer par une ligne des pôles (46): ce procédé est indiqué sur la figure 191. Si les ordonnées ne sont pas très rapprochées , il est utile de tracer les courbes pour en déduire à vue les ordonnées ou les abscisses moyennes; quand les ordonnées sont suffisamment rapprochées, on assimile les côtésdes lignes primitives à des droites, on obtient les ordonnées moyennes et les abscisses moyennes sans tracer ces lignes primitives ( 1 ).
-lH.Dcterniinntion d'une ligne de pressions pos.siiile.
— Première méthode. — Au moyen de la courbe des moments p-., on détermine la valeur de s qui correspond au moment moyen y., ; on porte cette valeur des sur l'arc moyen ; on obtient le point D (fig. 189) puis le point E. On relève la ligne de pression déjà tracée jusqu'à ce que la pression sur la
(1 On peut aussi ciétermiDer les ordonnées moyennes sur l'axe du diagramme', môme quand on assimile les arcs de la ligne primitive à des arcs paraboliques ; ou trouve aisément les constructions qu'il faut employer.
412 INTEGRATION GRAPHIQUE.
section D passe par le point E, On peut aussi tracer pour une poussée clioisie arbitrairement une ligne de pression telle que la pression sur la section D passe par le point E. Cette méthode est celle qui résulte le plus naturellement de la démonstration du numéro 435 ; mais les deux suivantes sont beaucoup plus simples.
Deuxième méthode. — On détermine :r, et y^ (fig. 190 et 191); en remplaçant, dans l'équation (17), y., par (/^r, , ou obtient :
(l{yi—c) = qzi
d'où c = ?/j— ^,.
Cette équation détermine le centre de poussée qui correspond à la poussée q que Ton a choisie. La ligne de pression tracée ne satisfait généralement pas à cette équation; dans la figure 190, la ligne A'B' se trouve même complètement en dehors de la voûte ; mais il suffira de déplacer le centre de poussée pour satisfaire à la condition angulaire ; cela revient à relever ou à abaisser la ligne de pression d'une certaine quantité. L'équation qui donne c peut s'écrire y^ = ^, + c; or , z^ + c est l'ordonnée du point -3j ; la ligne de pression serait donc possible si le point z^ se trouvait sur l'horizontale moyenne ; il résulte de là qu'il faut relever la ligne de pression de la même quantité que si on voulait amener le point Zi sur l'horizontale moyenne.
Nous n'avons pas représenté dans la figure 190 la ligne de pression relevée ; mais nous avons déterminé le pivot d'une corde. Considérons , par exemple, la corde A'B'; projetons le point xr, de la figure 191 sur cette corde A'B' en D ; après le relèvement, ce point D viendra en D'; donc la corde qui correspond à A'B' dans les lignes des pressions possibles , pivote autour du point D'.
Troisième méthode. — Déterminons l'excentricité verticale moyenne de la ligne des pressions tracée arbitrairement ;"cette excentricité c, = Of, est précisément (440) la hauteur dont il faut relever la ligne des pressions pour qu'elle devienne possible. Nous obtiendrons le pivot D' des
INTEGRATION GRAPHIQUE. 413
cordes des lignes possibles qui correspondent à une corde A'B' par la condition
