C. Tracés graphiques dans le cas d'une épaisseur variable
lis. Bnlrodiiclion d'un arc an.xiliuire. — Soit e l'épaisseur de la voûte en un point quelconque ; le moment d'inertie de Ja section transversale est donné par la formule :
Ce moment d'inertie varie , mais nous serons ramené au cas précédent en introduisant un arc auxiliaire s' que nous déterminerons par l'équation :
ds' ds . , T i ds
— = — ou |5' = lo I — (22)
Çds
lo est une constante.
Les équations (15) et (16) deviennent en introduisant la variable s' :
s'f/i ='.fy'ds\
S'f.j = la ds'
Comparons ces équations aux équations (15'^'") et (16'''") applicables à une voûte d'épaisseur uniforme ; il n'y a qu'une seule différence; s est remplacé pars'. On peut donc appliquer toutes les constructions du littera précédent pourvu que l'on porte s' en abscisse au lieu de porter s.
Il faut pour cela déterminer les différentes valeurs de l'arc s'. Portons (fig. 193) l'arc s en abscisse sur l'arc os ; portons les épaisseurs de la voûte sur l'axe o'e ; soit : o'a' = e.
Soit P un pôle quelconque ; menons le poh'grone rectangulaire a P a'a"a"' , on a , à une échelle qui dépend de la base
Po = >. ,
o'a'" = — ou o'a"'-=-^c' I
En opérant de même pour différentes épaisseurs , on obtient la courbe AB dont les ordonnées représentent les valeurs
de 1 : I; l'intégrale de AB est A'B'; ses ordonnées sont
Jds — , donc elles représentent les valeurs
Ue5'(l).
D. Joints de rupture.
444. Partie utile de riiyperboie des ponssécs possibles. — Lorsque le mortier ne résiste pas à l'extension , toute courbe de pression qui coupe l'intrados ou l'extrados doit être rejetée comme impossible. De là résulte cette proposition : la partie utile de llujperhole des poussées possibles est rare situé à l'intérieur de faire des solutions stables au point de vue statique.
Différents cas peuvent se présenter. L'hyperbole peut ne pas couper l'aire des solutions stables ; il n'y a pas alors de solution possible sans joint de rupture. L'hyperbole peut couper l'aire des solutions stables de diverses manières ; nous avons représenté flg. 194 à fig. 196 la plupart des dispositions qui peuvent se réaliser.
445. Comment In courbe des poussées possibles se complète. — Si l'extrémité de la poussée décrit l'arc utile a/B (fig. 190) , le coefficient n varie entre certaines limites Uq et ?i, ; ces valeurs de n sont déterminées par l'équation (12) ; nous verrons plus loin comment en les obtient gra{)hiquement ; on trouve dans le cas qui nous occupe Uq = — 4 , ?2j = -f- 4. Qu'arrive-t-il lorsque le coefficient n prend des valeurs non comprises entre ces limites ?
Nous venons de voir que les solutions sans joint de rupture doivent être rejetées ; il faut en conclure que les seules solutions possibles sont celles qui admettent un ou deux joints
(1) La valeur !„ dépend de la base o'P et de la base d'intégration ; soit > ces deux bases : on trouve :
. fds
416 INTEGRATION GRAPHIQUE.
de rupture. Mais pour qu'il y ait joint de rupture, il faut que la courbe de pression atteigne l'extrados ou l'intrados ou passe par leurs extrémités ; or ce sont précisément ces courbes de pression qui correspondent aux limites des poussées stables; on voit donc que l'arc utile de l'hyperbole des poussées possibles sans joint de rupture se complète par certaines parties du contour de l'aire des solutions stables. Il nous reste à déterminer quelles sont ces parties.
'I-IO. Charnière à Pcxlrados. — Appliquons l'équation (Tt-'') ou l'équation (13). Nous avons dans ces équations désigné par J 0, l'angle d'ouverture d'un joint de rupture; cet angle a été considéré comme positif pour une rotation qui tend à augmenter la courbure de l'arc , et négatif pour une rotation de sens contraire. Si la charnière est à l'extrados, la rotation diminue la courbure de l'arc ; soit donc A l'angle d'ouverture du joint, il faut remplacer dans les équations (T*"'') et (13 2-^0 par — A ; on obtient :
qc
Jds
Transformons ces égalités de la même manière que nous avons transformé les équations (11) et (4'''') ; introduisons la quantité Cj (440j dans l'équation (7'''*) et les quantités ?/, et /a, (438,439) dans l'équation 13 ; on obtient :
Cds
qc, I — = E"A (23)
'ds
[—a{yi — (^)^[Ji] \^
Soit q' la poussée que l'on obtiendrait au même centre de poussée si le mortier résistant à l'extension ; cette poussée doit satisfaire à l'équation (17) :
— q' {iJi —c)-\- a, = 0.
Eu éliminant p.j de l'équation 24 au moyen de la précédente, on trouve :
iQ' - Q) iUi-c) I - = E"A. (24bi»)
De l'équation ^24'''=) il résulte':
Q<Q', donc : la j'Oitssée qui admet une charnière à Vextrados doit être plus petite que la poussée jjossible sans joint de rupture appliquée au uiême point.
De.l'équation (23) on déduit aussi :
donc : Vcoxentr icité verticale juayenne d'une ligne de pression qui admet une charnière à Vextrados doit être positive.
La longueur Cj représente la hauteur dont il faudrait relever la ligne de pression pour qu'elle devienne possible sans joint de rupture; or les lignes possibles sans joint de rupture pivotent autour d'un point fixe ; donc les lignes qui admettent une charnière à l'extrados passent sous ce point fixe d'une quantité c, proportionnelle à l'angle A d'ouverture du joint de rupture.
447. Charnière à rintrndos — Lorsque la charnière est à l'intrados, l'angle d'ouverture B du joint de rupture doit être affecté du signe plus ; on doit remplacer dans les équations (T*"») et (13) l'Io par + P ; cela revient à remplacer dans les équations (23), (24) et (24^'^), — A par + B ; on trouve :
ac, I ^^ = - E"B (25)
•Il
418 INTEGRATION GRAPHIQUE.
De réquation (26)'''' , on déduit :
donc : la poussée qui admet une charnière à V intrados doit être pàis grande que la ifioussée possible sans joint de rupture , appliquée au même voint.
De l'équation (25) , on tire :
Cl < 0.
Donc : V excentricité verticale moyenne d'une ligne de pression qui admet une charnière à Vintrados, doit être négative.
La quantité c, représente la hauteur dont il faudrait relever la ligne de pression pour qu'elle devienne possible sans joint de rupture ; cette quantité est négative; donc le relèvement devient un abaissement. Or les lignes de pression possibles sans joint de rupture pivotent autour d'un point fixe; donc les lignes qui admettent une charnière à l'intrados passent au-dessus de ce point fixe d'une quantité — Cj proportionnelle à l'angle d'ouverture B du joint de rupture.
4J8. Cliai-nières à linlrados cl à l'exlrados. — Les
courbes de pression qui atteignent Textrados et l'intrados peuvent être déterminées a priori sans utiliser les conditions de la déformation ; nous savons , en effet , que deux conditions suffisent pour déterminer une courbe de pression. Les équations de la déformation serviront à trouver les angles d'ouverture des deux joints de rupture.
Si l'aire des solutions stables est déterminée, on peut trouver immédiatement les deux courbes de pression qui touchent à la fois l'iutrados et l'extrados. Pour qu'une seule courbe de pression atteigne l'extrados , il faut que l'extrémité de la poussée se trouve sur une partie bien connue du contour limite des solutions stables; c'est le contour formé par la conjuguée de l'extrados et les deux enveloppées extrêmes. De même pour qu'une courbe de pression atteigne rintrados , il faut que l'extrémité de la poussée se trouve sur l'autre partie du contour limite des solutions stables. Donc
pour qu'une courbe de pression admette à la fois une charnière à l'extrados et une charnière à l'intrados , il faut que V extrémUé de la poussée se troure sur Vun ou Vautre des sommets de Vaire des solutions stables situés aux extrémités des courbes des poussées niaxima et minima.
4140. 4'oiiclnsions. — Les propositions qui précèdent permettent de déterminer toutes les solutions possibles; nous allons examiner tous les cas :
\° (fig. 194) Les poussées stables sont toutes plus petites que les poussées possibles sans joint de rupture. Les seules solutions possibles sont celles qui admettent un joint de rupture à l'extrados ; elles sont possibles parce que la condition (7<(2' est satisfaite (446); la charnière unique à l'intrados n'est pas possible, parce que l'on a (7 < r/' et non q> q' (447). On obtient pour la courbe rfc^'.
2° (tig. 195). Les poussées stables sont toutes plus grandes que les poussées possibles sans joint de rupture. En raisonnant comme précédemment, on trouve que les solutions possibles sont celles qui admettent un joint de rupture à l'intrados. On obtient donc la courbe dfc.
3° (flg. 196), L'hyperbole des pousséesfpossibles sans joint de rupture coupe l'aire des solutions stables.' L'arc intérieur ab est la partie iltile de cette h3perbole. Soient de, les sommets de l'aire des solutions stables situés aux extrémités des courbes des poussées maxima et minima ; les points d et c donnent , toujours deux solutions pos-sibles , car à ces points correspondent soit une charnière à l'extrados, soit une charnière à l'intrados et l'une des conditions (446, 447 )q <qi ei q> q' est toujours satisfaite. On complétera donc l'arc ab, en suivant le contour limite de b vers c , et de a vers d.
§ 3. Courbes de pression qui satisfont à la condition linéaire.
A. Propriétés.
4.>0. Blypcrbole spéciale à une valeur den. — Lorsque Ton donne la valeur de n , les deux inconnues du problème q et c sont déterminées par les deux équations (11) et (12). L'équation (11) représente une hyperbole qui convient à toutes les valeurs de 7i, et que nous appellerons lujperbole princi2Kde. L'équation (12) représente une autre hyperbole qui dépend du coefficient n et que nous appellerons hyperbole spéciale. L'intersection de ces deux hyperboles est l'extrémité de la poussée unique qui doit se produire. Il est très utile de tracer l'hyperbole principale quand on veut obtenir les solutions qui se produisent pour différentes natures de mortier , il est moins utile de construire l'hyperbole spéciale à une valeur de n puisqu'une seule de ses ordonnées est utile à connaître. Néanmoins, la considération de cette hyperbole nous permet de deviner que toutes les courbes de pression qui satisfont à la condition linéaire (12) possèdent les mêmes propriétés que les courbes de pression qui satisfont à la condition angulaire (II). Pour démontrer ces propriétés, nous raisonnerons sur l'équation (12) comme nous avons raisonné sur l'équation (11). Nous commencerons par transformer cette équation (12) en introduisant des élément faciles à déterminer par l'intégration graphique.
4151. Axe d'oscillation. ~ Déterminons y^ par lequa tion :
('yds Cifd
Pour interpréter cette équation, attribuons, comme nous l'avons fait précédemment , un poids spécifique 1 : I à l'arc delà fibre moyenne ; considérons cet arc pesant et invariable comme un pendule composé dont l'axe de suspension soit ox ;
on démontre aisément que la longueur du pendule simple synchrone est précisément y^ ; la droite?/ = 2/2 est donc l'axe d'oscillation.
459. llonienl moyon d'o.«>eiilatioii. — Déterminons f/, par l'équation :
/yds
Pour interpréter cette équation, considérons p. comme une force variable qui sollicite l'unité de poids de l'arc pesant que nous avons imaginé dans le numéro précédent ; p-j est la force constante que l'on pourrait substituer à la force variable sans changer le moment de ces forces par rapport à l'axe ox. Pour distinguer le moment pj du moment p., , nous désignerons le premier sous le nom de moment moyen d'oscillation.
453. Inclinaison moyenne. — Déterminons a et |3 par 1« équations ;
A'l^~l(^jf- (30)
Rn ajoutant ces deux équations , on obtient :
On [leut donc considérer a et (3 comme les cosinus de direction d'une droite ; c'est l'inclinaison de cette droite que nous appellerons inclinaison moyenne. On peut la définir en disant que c'est l'inclinaison constante qu'il faudrait donner aux éléments de l'arc pour que les intégrales
/(ii'f - /(S)'
ne changent pas.
422 I>'TEGRATION GRAPHIQUE.
•151. Poussée mwyenne. — Occupons-nous de l'expressioû suivante contenue dans Téquation 12 :
-^ cl y dx cls ds ds &)
Déterminons la poussée de telle manière que la pression sur une section de l'arc soit normale à cette section ; on trouve pour chaque point de l'arc une poussée q' qui satisfait à la relation :
dij On a alors
^'^Ix
ds ds (0 J \dsf <••>
Nous sommbï, ainsi conduits à poser
peut aussi mettre sous * '^ F w I as as
équation que l'on peut aussi mettre sous la forme
ds
D'après l'équation (32), on voit que Qi est la poussée constante que l'on peut substituer à la variable q' pour que l'intégrale du second nombr.L' de cette équation (32) ne change pas; pour simplifier le langage, nous désignerons cette poussée sous le nom de poussée moyenne.
•155. lïayon moyen de gyration. — Déterminons r par l'équation :
Jds i ds
Si la section de l'arc était uniforme , on aurait :
CO
INTEGRATlOxN GRAPHIQUE. 423
/• serait le rayon de gyratiou. Dans le cas d'une épaisseur variable, r représente une certaine valeur moyenne que nous appellerons rayon moyen de gyration.
450. BIsiiiteur •/;. — Nous désignerons par ces mots la hauteur déterminée par l'équation
^15?. Equation simplifiée de l'Iiyperiioie spéciale. —
Remplaçons dans l'équation (12) les intégrales par leurs valeurs tirées des équations (27), (28), (29), (33); on obtient :
Remi)laçons les deux intégrales qui subsistent encore par leurs valeurs tirées des équations (34) et (35); supprimons l'intégrale qui est facteur commun; il vient ;
— 7ir^ ( qx' -t- q^ (S•^) + ?/, {qc — qij^ + Uj) = 0.
Divisons par y et introduisons la liauteur r, ; ou trouve
-r,{qy^ + q,fi') - q{y' - c) + a, ^ 0 , ou Q il/î — c + a^/i,) = u-i — (/i jS* y;. i
Prenons comme axe des poussées, la droite :
Changeons le sens de l'axe des /y , l'ordonuée du centre de poussée est cl = Vi—c -\- cf}r, ; l'équation (36j devient :
qd = Uj — Q'tfi"''/;.
Les deux coordonnées d'un point de rhyi)erbole spéciale sont q et cl par rapport à ces nouveaux axes; il résulte de là que cette hyperhole ci ]}our asijmptote le joint du sommet et la droite rexjrésentée par 1/ =yî-\- o}r,.
45$. .4xc «le pivotement des lignes de pressions qui satisfont à la coaidilion linéaire. — Si Von déplace le centre de 2)oussée,les tangentes et les cordes des lignes dépressions qui satisfont à la condition linéaire pivotent autour de points fixes situés sur Vliorizontàle y ^ yt -\- a}'f\-
424 IJNTEGRATION GRAPHIQUE.
Soit(Iig. 189) D' le point de l'arc nioj'en autour duquel on a :
a = y.^ q^fi^r..
Projetons ce point D sur riiorizontale y ^ Ut -^ ^■'''^ ; P^'enons cette projection E' comme centre des moments; le moment des forces qui sollicitent 1 arc AD' est :
— q (//, + x'r^ - C) -f [Jt - Qp-n.
L'équation (36) exi)rime que ce moment est nul; donc elle exprime que la pression sur la section D^ doit passer par le point tixe E'. On déduit de là en raisonnant comme au numéro 435 que toutes les coi'dos et tangentes pivotent autour de points fixes situes sur Thorizontale du point E' ; cette horizontale est l'axe de pivolcntent.
Les corollaires suivants se démontrent comme au numéro 435.
Corollaires. — 1° Si on rapporte toutes les lignes de pressions qui satisfont à la condition linéaire, à l'axe de pivotement , ces lignes se déduisent les unes des autres en faisant varier les ordonnées dans un rapport constant.
2° Toutes ces lignes de pressions passent par un point fixe situé sur l'axe de pivotement.
3° Toutes les courbes des centres de pression correspondant à ces lignes de pressions [tassent aussi par un point fixe situé sur l'axe de i)ivotement.
159. Exrcnlrîeîlè stioyeiiiiv d'o!«oillatÊoii. — Reprenons l'équation (5^'") ; remplaçons le moment fléchissant M par sa valeur qc' (437) ; on obtient :
r^s , rdyds
Nous pouvons remi'lacer îe premier terme par la valeur qu'il a [)rise dans re()uation {\\)\ transl'oruions ensuite ce premier ternie comme nous l'avons fait au numéro 457; vient :
n[qy.^ + qAy}j- '^ Q J —J'
INTEGRATION GRAPHIQUE. 425
Appelons excentricité moyenne d'o-^cillation la longueur c^ déterminée par l'équation suivante :
cfJf-f^"-^. (38)
L'équation précédente devient alors :
- n iqy:- + r/, :-)/ — + qc^ / £— =. o.
Remplaçons les deux intégrales qui restent encore par leurs valeurs tirées des équations (34j et (15), on obtient :
— «r* {qy} + ^,(3^) 4- qCiVi = 0.
Divisons par //, et introduisons la hauteur r, , on obtient :
- ■/; iqx^ + r/, ^^) + qc^ = 0, \
d'où C,= r\.^ + ^Ç,^- j ^^'^
Traçons une ligue de pression quelconque; l'équation (39) ne sera pas satisfaite D terminons la hauteur n dont il faut relever cette ligne de pression p>iir (ju'elle satisfasse ;\ la condition linéaire; l'excsntricite c. devient r, — h ; on a :
d'où
Supposons que l'on ait choisi la poussée moyenne q^ pour tracer la ligne de pression; en d'autres termes soit
Q = Q, les équations \39) et i4ii deviennent à cause de l'équation 31 ;
h = Ci — r,. (42)
De là résulte les propositions suivantes : Si on trace une ligne de pression en prenant une poussée égale à la poussée moyenne, cetteligne dépression satisfera à la condition linéaire si Vexcentricité moyenne d'oscillation est égale à hauteur r,. Si cette condition n'est pas satisfaite, on y satisfera en relevant la ligne de j^ression de c, — y;.
B. Tracés graphiques dans le cas d'une voûte d'épaisseur constante.
460. SimpliOcation des équ.ttions. — Dans ce cas, la section w et son moment d'inertie I sont constants ; les équations précédentes se simplifient; on trouve :
Vi fyds ^ JyHls,
fx^ J yds = 1 [J.yds.
f.28bi.)
Qi^'s= p^.-^ds, ds ds
' / yds -= 1 dijils.
(SSbi»)
-IGl. .4xe d'oscillation.— Introduisons la variable auxiliaire y' déterminée par 1 "équation :
'/ ^ j yds.
L équation (27'''') devient :
ViY-fydy'.
Les différentes valeurs de la variable y' sont connues; y' est précisément l'ordonnée de l'intégrale A'B'C de la figure 191. Portons '/' en abscisse, y en ordonnée; intégrons la courbe que l'on obtient ; ]j^ s'obtient par l'inclinaison de la corde , comme y, et pj. Ce n'est pas ce tracé que nous avons représenté; nous y avons apporté les modifications suivantes. La figure 191 donne les valeurs de y' en ordonnées verticales ; portons ces valeurs sur l'axe vertical CC, il suffit pour cela de projeter sur cet axe les points de l'intégrale A'B'C. Nous devrions ensuite porter horizontalement les y , et construire l'intégrale de ydy^\ mais les directions des tangentes de cette dernière intégrale sont évidemment perpendiculaires aux directions du diagramme PO?/ , où les y sont verticaux; on obtient donc aisément l'intégrale A"B"C" ; à la direction de la corde moyenne , correspond sur le diagramme PO?/ , le rayon P?/j perpendiculaire à cette corde et l'on a :
409. llonient moyen dV^cillation. — Introduisons comme précédemment la variable y'; l'équation (28'''» ) devient :
f ij.dy.
Nous pourrions encore porter y' en abscisse , a en ordonnée et opérer par une intégration graphique ordinaire. Mais nous avons supposé que cette figure soit tournée de 90° afin d'utiliser les y' portés sur l'axe vertical CC. Les tangentes à l'intégrale D"E"F" sont perpendiculaires aux rayons du diagramme P'O'a ; on obtient aisément cette intégrale. A la direction de la corde D"F" correspond sur le diagramme P'O'Z, le rayon P'Zj perpendiculaire à cette corde et l'on a :
Nous avons supposé (439) les moments u représentés par pjae longueur z , telle que jl/. = gz ; on a donc en réalité :
428 INTEGRATION GRAPHIQUE.
403 Snclinaîson moyenne. — Portons s en abscisse sur l'axe ES (flj. 197); portons en ordonnée les valeurs de
(■j^) ■ Pour y arriver, soit AB = 1 , décrivons sur AB une
demi-circonférence; menons AC parallèlement à la tangente à l'arc moyen au point considéré ; on a :
ds \as/
AD est l'ordonnée d'un point M dï la courbe cherchée ; on obtient d'autres points de la même manière, on obtient la courbe AMN. On intègre et on trouve EM'N'. On mène le rayon PH parallèle à la courbe EN'; on a :
ou AF* X 5= ir^^) ('s
on a donc |3 = AF.
Il résulte de là que AF est la direction moyenne, car cosBAF = /3.
On a aussi a = BF, a* = BH.
-1G4 Poussée moyenne. — Introduisons dans l'équation (33'''") la variable auxiliaire -/ déterminée par l'équation :
Cette équation (33''''') devient :
QiV=fQdy.
Les valeurs de •/ sont précisément les ordonnées de l'intégrale EM'N' (flg. 197). Portons ces valeurs sur l'axe Oy (fig. 198). Nous devons ensuite déterminer les valeurs de q; pour cela portons les poids P sur l'axe AP ; soit par exemple ÂP = P ; menons PB parallèlement à la tangente à l'arc
INTEGRATION GRAPHIQUE. 429
moyen ; on a<7 = AB. Ou obtient de même les autres valeurs de q et on eu déduit la courbe DE. On trouverait l'ordonnée moyenne g, par une intégration graphique ordinaire ; mais la courbe DP] diffère si peu d'une ligne droite que l'on peut obtenir immédiatement cette valeur de ^, en Q, avec une exactitude suffisante.
405. Détcriiiinalioii «le la hauteur /]. — Cette hauteur est donnée par l'équation (35'>'^); il suffit de déterminer cette hauteur par une valeur de^i pour en déduire facilement toutes les autres. Prenons par exemple, ?i = 12 ; on a :
'' ~ Vi
Soient (fig. 199) AB = e, AC = //, ; nienons la droite BD perpendiculaire sur BC ; on a :
pi
1G6 Exceiilrîcilé moyenne d'oscillation. — On obtient l'excentricité moyenne d'oscillation . par la même méthode que le moment moyen d'oscillation. Introduisons la variable y' (461 ) dans l'équation (38''''), on trouve :
fr^ay
Si l'on portait y' horizontalement , on serait ramené à une intégration graphique ordinaire; comme aux numéros 461 et 462 , nous supposons les y' portés verticalement, les tangentes à l'intégrale des ddy' sont alors perpendiculaires aux rayons du diagramme POC de la figure 192 ou aux rayons II, 211 du diagramme P'O'Z ; on obtient cette intégrale en G"H"K". A la corde G"K" correspond sur le diagramme , le rayon PC, perpendiculaire à cette corde et l'on a :
C2 = ôc7
467. Dcterniinalion d'une li«;ne de pre§!<«ion satisfai- «iant à la condition linéaire. — On peut appliquer à cette détermination trois méthodes qui sont presque la reproduction de celles que nous avons exposées au numéro 441.
430 INTEGRATION GRAPHIQUE.
Première ^néthode. — Déterminons le point de l'arc moyen autour duquel la valeur du moment a est égale à p.' déterminé par l'équation :
Nous avons montré (462) comment on détermine la longueur z.^ qui représente p.^ ; on a p.j = qz.^. Soit z' la longueur qui représente u' à la même échelle ; on a , en divisant l'équation précédente par q :
Soient (fig. 199) AD = vî et ED la direction moyenne; abaissons du point A la perpendiculaire AE sur ED ; du point E , abaissons la perpendiculaire EF sur AD. On a :
ED = |3/; , DF = /S^y; ,
AE = ay; , AE = a^/,.
On obtient facilement par une quatrième proportionnelle la longueur :
Mais cette petite opération est inutile, si comme nous l'avons supposé q ^^ q,; alors on a :
Connaissant z' , on détermine sur la ligne DEF de la figure 191 la valeur de s qui correspond à z'; on obtient le point D' en portant cet arc s en AD' (fig. 189).
Déterminons ensuite la droite y = 2/2 + ^-^"/i ; projetons le point D' sur cette droite en E'. Nous savons (458) que la pression sur la section D' doit passer par le point E'. Il sufHt donc de relever la ligne de pression tracée arbitrairement jusqu'à ce que cette condition soit réalisée.
Cette méthode est celle qui résulte le plus naturellement de la démonstration du numéro 458. Mais les deux suivantes sont plus simples ; elles n'exigent ni la détermination du poin D' , ni celle de la pression sur la section D'.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 431
Deuxième méthode. — Déterminons les ordonnées y^ et ^î(fig. 191):
2/2 = Oy. , ^2 = Ô^.
La condition linéaire a été mise sous la forme de l'équation (36) ; remplaçons dans cette équation y.^ par qz^ ; il vient en divisant par q :
De cette équation , on tire la valeur de a ; c'est l'ordonnée du centre de poussée. La liu'ue de pression tracée arbitrairement ne satisfait pas à cette condition; mais il sutîîra d'élever ou d'abaisser cette ligne pour qu'elle y satisfasse. On peut mettre l'équation qui détermine c sous la forme :
Portons : z.z' == — (3''y;.
L'ordonnée du point z' est :
C'est le second membre de l'équation (43j; cette dernière exprime donc que le point z' doit se trouver sur l'axe de pivotement y = y<î-\- o}r^. Cette condition sera réalisée si on élève la courbe de pression et par conséquent le point z' d'une quantité convenable.
Nous n'avons pas représenté dans la figure 190 la ligne de pression relevée ; mais nous avons déterminé le pivot des cordes qui correspondent à la corde A'B'. Soit E le point de cette corde située sur l'horizontale du point;:'; ce points' doit être amené sur la droite 2/2 -!- a^r,, donc le point E vient en E'; ce point E' est le pivot des cordes qui correspondent à A'B', dans les lignes de pression qui satisfont à la condition linéaire.
Troisième me^/20rfe.— Déterminons l'excentricité moyenne
432 INTEGRATION GRAPHIQUE.
(roscillation; nous avons vu (459) qu'il faut relever la ligne (le pression d'une quantité h donnée par l'équation (40) pour que cette ligne de pression satisfasse à la condition linéaire. Cette hauteur h s'obtient facilement dans tous les cas; mais la construction se simplifie encore si g = ^, , on a alors : /i = Cj — y;. Proposons-nous de chercher le pivot des cordes qui correspondent à la corde A'B' ; il suffit de déterminer sur l'axede pivotement y^v^ -\- y^r, , le point E' par la condition :
KE' = Cj — •/;.
Le point E' est le pivot cherché.
40S. Tracé grtipiiiqac de Phyperbole spéciale. — On
peut suivre les trois méthodes exposées au numéro 442 ; nous n'aA'ORs pas indiqué ce tracé qui n'a pas d'utilité pratique.
C. Tracés graphiques dans le cas dune voûte d'épaisseur variable.
4G9. lneliiiai.'»on moyenne et pou.<«»»ée moyenne. — Introduisons l'arc auxiliaire .ç" défini par l'équation :
Les formules (29) , (30) et (33) deviennent :
Qi!^*s" = j Ô (f^) ds". (33'.
Comparons ces foruiules aux formules (29'''^ j, (30"='' i, (SS*»'*) relatives à une voûte d'èpais.seur coustante ; la seule différence est que la variable s est remplacée par s". La fonction s" s'obtient sur la lîg. 193 comme la fonction s' ; on a oj ^ e.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 433
les valeurs de I : w se trouvent portées sur l'axe O'e' ; les éléments de l'intégrale 5" sont parallèles aux rayons du diagramme P0'£?'; on obtient la courbe OD.
-170. Axe d^ojïoillalioii, moment moyen el exeenlrioilé moyenne d'oscillation. — Introduisons l'arc auxiliaire s'
défini par l'équation (22); les équations (27), (28) et (38)
deviennent :
U^s' ^ f ifds\ (28)
IJ^s' =- S uyds' , (28)
c^s' ==^ fc'yds'. (38)
Comparons ces équations aux équations (27^^^) , (28''") et (38'''^); la seule différence est que 5 tst remplacé par 5'. Il suffira donc dans les constructions des figures 191 et 192 dj porter en abscisse 5' au lieu de s.
