Ilnnteur y;. — Les équations (35) et (34) donnent

n •' oj

Or, on a: rj) — e, I = — ; on a donc

/'ds J p.

"ds n J e

Vly

Pour fixer les idées , soit n = 12 , on a : 1 J e

Dans la figure (193), nous avon.'< construit les deux intégrales :

fds

J e Çds

434 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Supposons que nous ayons pris la même base d'intégration ;

on a :

' '~^ l/i s' - Cette expression n'est pas homogène; pour obtenir les longueurs 1 : e et 1 : e^ nous avons supposé PO' = 1 ; nous devons conserver la même hypothèse pour trouver y;. Déterminons d"abord le quotient s" : s'. Soient (fig. 193). s< = 5v , s" = OW'.

Menons s"E. parallèlement à Fs'; on reconnaît iacilement qu'en prenant OP comme base d'intégration, on a (167) :

s" s" = O'H X s' , d'où O'H = - •

Nous avons alors :

Porlons 0'?/, = z/, ; menons HK perpendiculairement au rayon P ; on a aussi :

O'H = O'K X z/i , d'où O'K =

Pi

On a donc r, = O'K.

17*^. Béleriuinalion d'iine ligne de pres«>iiou salisfai- !!iaiil à la condilîoii liiséaîre.— Les constructions du numéro 467 sont encore applicables.

§ 4. Détermination de la ligne de pression unique qui se produit.

A. Il ny a pas de joint de rupture.

4îa. t'oiîiialssanl n tromer la ligne de pression. —

Traçons une ligue de pression quelconque et menons la corde A'B' (fig. 190) , cette corde A'B' aune certaine corde correspondante dans la ligne dépression qui se produit; le problème serait résolu si on connaissait la position de cette corde-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 435

Pour que la eoudition augulaire soit satisfaite, il laut que cette corde inconnue passe par un point D' ; ce point D' est situé sur Thorizoutale moyenne et se détermine par la condition DD' = Cy ; ce pivot D' est indépendant du coefficient n, nous rapi)ellerons 2^i(^ot priJici2)ciL Pour que la condition linéaire soit satisfaite- il faut que la corde inconnue passe par un second point E' ; ce point E' se trouve sur la "droite z/= ?/2 -j- a^n et se détermine par la condition EE' = fi ; ce pivot E' dépend du coefficient n, nous l'appellerons pivot spécial. La ligne de pression cherchée doit satisfaire à la condition angulaire et à la condition linéaire; la corde inconnue doit donc passer par les deux pivots; on l'obtient en joignant ces deux points.

Nous avons choisi une corde A'B' qui passe parle centre de poussée; nous obtenons alors immédiatement le centre de poussée. La poussée est l'ordonnée de l'hyperbole des poussées possibles. Si cette courbe n'est pas tracée , on détermine l'extrémité de la poussée par le tracé ra[)pelé au numéro 442 ; on mène QT parallèlement à A'B'; on mène par le point T une parallèle à D'E'; on obtient la [loussée cherchée sur l'axe SQ.

Aidres tracés. — On peut ai>pliquer la méthode précédente en remplaçant la corde A'B' par une corde ou une tangente quelconque de la ligne des pressions tracée arbitrairement. On détermine les deux pivots de la corde ou tangente correspondantes de la ligne cherchée ; on trace cette corde ou cette tangente et on obtient la poussée comme précédemment sur le diagramme des pressions. Quant au centre de poussées, on peut le trouver de différentes manières : 1° on trace la ligne des pressions qui se produit, ou plutôt un polygone circonscrit à cette ligne en partant du point ou de l'un des ijoints connus ; 2° on opère une concentration de manière à réduire la ligne de pression à sa plus simple exi)ression. On obtient le tracé le plus simple en le réduisant à la corde A'B' : c'est le tracé qui précède. Si ou a choisi une autre corde que A'B' ou une tangente quelconque, on pourra toujours réduire la ligne à deux côtés , l'un est la corde ou la tangente choisie , l'autre passe par le centre de poussée. Le tracé par les tangentes du numéro 442 est un tracé de ce genre.

436 INTEGRATION GRAPHIQUE.

m. d'as particulier ou n = 0. — Nous avons déjà dit que le pivut principal est toujours le même ; mais le pivot spécial dépend de 71. Pour n = 0 l'équation ( 35) donne y; = 0. Nous savons que le pivot spécial se trouve sur la droite y = y^-\- o}r, ; pour •/; = 0 , cette droite coïncide avec l'axe d'oscillation ?/ = ?/4. Nous déterminerons donc (flg. 190) le pivot spécial Eq do la corde A'B' par la condition :

i^o^ 0 ^^ ^'2 ^i ^^^ ^t' 1 î 5. Théopèiue. — Si l'on fait varier Je coefficient n, lexnvot spécial d'une corde décrit sur une droite flre des longueurs 'pro- 2Jortionnelles aux variations de n.

Nous avons reproduit à une plus grande échelle la construction iirécédente sur la figure 190'''*; la droite 7/^ est XY; pour r, = Ole pivot spécial est E'^; on a donc EqE'o = c\.

Pour une valeur quelconque de n, le pivot spécial E' s'obtient sur la droite i/ = y^ -\- o}r. par la condition EE' = c, — y;. Portons Eo'B"' = vj ; menons FK suivant la direction moyenne ; menons EoK perpendiculairement à FK ; on trouve facilement (467) que Eo'L = 0.H, ; donc le pivot cherché E' se trouve sur l'horizontale du point K. Pour déterminer ce point E', il sufBt de mener FE' parallèlement à la corde A'B'; on a. en effet EoEo' =-- t\ , FEo' = •/; , EoF ou EE' = <?, - /;.

Supposons que n varie, il résulte de l'équation (35) que yi varie proportionnellement à n ; si on applique la même construction, on reconnaît que Eo'F = •/; varie proportionnellement à n , mais les directions des droites EqK , FK, LE', FE' ne changent pas; donc la figureEo'KFE' formée des triangles Eo'KF et E'KF varie de manière à rester homothétique à elle-même par rajjjiort au centre Eo'; il résulte de là que la droite Eo'E' a une direction constante et varie proportionnellement à Eo'F ou au cocificicnt n. C'est ce qu'il làllait démontrer.

Si la corde A B' a précisément la direction moyenne, les points E' et K coïncident ; la droite ¥J]Là est perpendiculaireà la direction moyenne; c'est cette disposition que nous avons choisie figure 190.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 437

170. Tableau graphique «le loute!« le^ !>i<>lulion!» sans joint de ruplure. — SupposoDs que nous ayous déterminé le pivot spécial Eg' pour n = 0 et le pivot spécial E' pour n = 12 ; divisons Eo'E' en 12 parties égales et prolongeons au besoin cette échelle des coeflicicnts ». Joignonsles poiuts de division au pivot principal D'; nous obtenons un faisceau de droites qui constitue un tableau de toutes les solutions sans joint de de rupture. Dans ce tableau les lignes de pression ne sont représentées que i)ar une corde ; mais ou [lourrait considérer un plus grand nombre de côtés ou tangentes et pour chacun d'eux on trouverait un pivot piinci[)al et un axe des n. On reconnaît facilement que pour toutes les cordes et tangentes, les axes des n ont même projection sur un axe vertical ; cela résulte de ce que pour une même valeur de n tous les pivots se trouvent sur la droite y = y^ -{- o}r,. On peut énoncer ces propositions de la manière suivante : si ou fait varier le coefllcient n, la ligue des pre.ssions se déplace; toutes les positions d'une corde ou d'une tangente forment un système de droites du l^"" degré (180) ; les sommets de ces systèmes se trouvent sur l'horizontale moyenne; les divisions des axes des n se trouvent un système de droites horizontales.

Le faisceau de cordes que nous avons représenté suffit pour donner immédiatement la poussée et le centre de poussée pour une valeur de n. Les droites du faisceau coupent le joint du sommet aux centres de poussée. On obtiendrait les poussées en appliquant une construction connue (442); on est conduit à mener par le point T un faisceau de rayons parallèles aux cordes ; on obtient les poussées sur l'axe SQ. Mais on jieut supposer que le diagramme QST soit transporté parallèlement à lui-même de telle manière que le point T vienne coïncider avec le pivot D'; les deux faisceaux de droites coïncident alors et on obtient les poussées sur l'axe horizontal sq que l'on obtient en portant D'6' = TS.0n peut aussi et nous l'avons fait sur la figure 190, graduer la courbe des poussées possibles en indiquant les valeurs de n ; on obtient ainsi une représentation très claire de toutes les poussées qui peuvent se produire.

438 INTEGRATION GRAPHIQUE.

•17 7. Kelalîoti ojilre l'axtt des œ el Taxe des n.— Nous avons déjà fait remarquer (428) que la position de l'axe des x exerçait une influence sur la condition linéaire : que devient le tableau graphique dont il vient d'être question si l'axe des X s'élève ou s'abaisse ? Il est d'abord évident que la position (les lignes de pression qui se produisent ne peuvent en aucune manière dépendre de la position de l'axe des œ ; le faisceau des positions d'une corde pour les différentes valeurs ne peut donc pas être altéré. Pour difïérentes positions de l'axe des x, on obtiendra des axes des n différents, mais tous les zéros doivent se trouver sur la corde n = 0 , tous les points n = n, doivent se trouver sur la corde n = n, ; il faut pour cela que les axes des n soient parallèles entre eux ( 1 ). Il résulte de là que pour déterminer un axe des n,il suffît de connaître la position de son zéro.

A cet effet, remarquons d'abord qu'une même valeur de 7i, telle que n =? n, est représentée sur les axes des n par des longueurs différentes ; il est évident que ces longueurs sont proportionnelles aux distances du zéro de l'échelle au sommet du faisceau; on peut donc écrire que quelle que soit la po.si,tion de l'axe des Eo'E' , on aura :

D'Eo' : E'oE' = con-stante.

Mais la construction qui nous a permis de trouver Eq'E' prouve que l'on a aussi :

Eo'E' : /, = constante.

En multipliant ces deux proportions membre à membre, on a :

D'Eo' : '-l = constante.

La valeur de /j est donnée par l'équation (35) ; on a quand ^ 'axe des œ varie :

•/:?/i = constante.

L'équation précédente devient :

D'Eo' X ?/i = constante.

(1) On peut vérifier ces propositions géométriquement.

INTEGRATION GKaPHIQUE. 439

En d'autres termes, la distance du zéro au sommet du faisceau varie en raison inverse de la distance ?/,.

■17S. B*rol»lènie. — Connaissant l'axe des n pour une position de Taxe des x , trouver l'axe des n pour une autre position.

Soit O'x" (fig. 190) la nouvelle position del'axe Oœ ; menons par le sommet D' une droite quelconque Dx"x qui coupent les axes Ox , 0"x" en deux points x et x" ; t/j varie dans le rapport Dx" : T)x , il faut donc faire varier la distance D'E'o dans le rapport inverse ; il suffit pour cela de joindre ^"E'o et de mener xi'o parallèlement kx"E'Q : £'„ est le zéro du nouvel axe des n ( 1 ). Pour sim[)lifier le langage nous dirons que ce nouvel axe est conjugué à l'axe 0"x''.

170. Valeurs de n poiii* le.>>i<|iielie!« i! n'y a |»a*>i de joint de riipiiire. — Nous avons montré (444) comment on détermine la partie utile de l'hyperbole des solutions possibles sans joint de rupture. Aux extrémités de l'arc utile, correspcmdent deux centres de poussées ; joignons ces points au pivot D' nous obtiendrons les positions extrêmes de la corde dont nous étudions les évolutions; ces droites déterminent sur l'axe des n les valeurs limites rio et m, : le coefficient n doit rester compris entre ces limites pour qu'il n'y ait pas de joint de rupture; on trouve pour le cas de la figure 190

En général ou trouve que ji^ est négatif, or le coefficient « est essentiellement positif; on peut même considérer les valeurs de )i plus petites que l'unité comme tout-à-fait exceptionnelles; il est donc inutile de considérer les valeurs de 7i plus petites que Hq. Mais au fur et à mesure que le mortier

(1) Le zéro sur l'axe des n se trouve sur Taxe d'oscillation conjugué à i"axe Ox ; l'axe d'oscillation passe par le centre de percussion ou de pression (2.Ô8 ) conjugué à l'axe Ox ; on peut donc résoudre ce problème par les méthodes des numéros 254 , 261 , 283. La construction que nous venons d indiquer est une de ces dernières.

440 INTEGRATION GRAPHIQUE.

dime voûte devient plus fluide, le coefficient n croît, le centre de poussée s'élève; pour n plus grand que », , il y a un joint de rupture. La méthode précédente donne dans ce (■as une courbe de pression impossible ; pour ces valeurs de n, la lui suivant laquelle les lignes de pressions se modifient n'est plus la même. C'est pour arriver à déterminer cette loi que nous allons étudier d'abord l'influence d'une rotule placée dans le plan de symétrie, ou de deux rotules symétriques placées à une hauteur quelconque.

■l^O Cas d'une rotule. — En introduisant une articulation dans une voûte, on rend possible une rotation 'h^ entre les deux parties de voûtes adjacentes; l'équation angulaire devient :

/ tl^^ + 'io = u.

Cette équation n'est plus une condition à laquelle la courbe de pression doit satisfaire; c'est une équation que détermine l'angle i^. Il résulte de là que les lignes de pression ne satisfont i»lus aux propriétés des courbes de pressiqn possibles sans joint de rupture; l'extrémité de la poussée n'est plus sur l'hyperbole iirincipale ; les cotés et tangentes n'ont [)lus un pivot sur l'horizontale moyenne.

^Nlais la courbe des centres de pression satislait à une condition nouvelle, elle doit passer par le centre de l'articulation ; la pression sur la section idéale qui passe [tar ce centre doit pivoter autour de ce point. Nous pouvons donc raisonner comme nous l'avons fait au numéro 435 et nous démontrerons que les côtés et tangentes pivotent encoi e autour de i;oints fixes mais tous ces pivots , au lieu de se trouver sur l'horizontale moj'enne , se trouvent sur l'horizontale qui passe par le centre de l'articulation.

Si nous prenons un axe des x quelconque, la condition linéan-e n'est pas la même que si la rotule n'existait pas; elle contient le terme '])qI(,. Mais nous avons déjà fait remarquer (429) qu'eu prenant pour axe des œ, l'horizontale qui passe par le centre de la rotule, la condition linéaire n'est pas changée. ISous obtiendrons donc les positions des lignes des pressions iiour toutes les valeurs de n , en opérant comme

INTEGRATION GRAPHIQUE. 441

s'il n'y avait pas de rotule , sauf en ce qui concerne la position (le l'axe des i)ivots principaux, et la position de l'axe des œ.

Soit à déterminer la position d'une corde. Traçons une ligne de pression quelconque , on détermine aisément la hauteur dont il faut la relever pour que le centre de la rotule devienne centre de pression ; relevons la corde considérée, elle est coupée par l'horizontale de la rotule en un point qui est le pivot principal de cette corde. Nous déterminerons ensuite les pivots spéciaux pjar toutes les valeurs de n ; c'est réchelle des n conjuguée à un axe des x passant par le centre de la rotule. Si l'axe des n est déjà tracé pour la même corde et pour un autre axe des ^r, on opère comme au numéro 478. Si aucune opération n'est effectuée . on applique directement la méthode générale en prenant l'axe des .r par le centre de la rotule, on détermine y^, r„ a, et la hauteur h dont il faut relever la ligne de pression tracée pour qu'elle satisfasse à la condition angulaire; on trace l'axe y^ -[- «a'^i ^<^ corde relevée est coupée par cet axe au jiivot spécial à une valeur n. On détermine aussi les pivots pour ii =0, et pour n -= iV \ on divise la distance qui sépare les deux points en n' parties égales; en jirolongeant la division, on obtient l'axe des n. On obtient alors toutes les positions de la corde en joignant le pivot [)rincipal aux divisions de l'axe des n. Ces div^erses proliriétés peuvent se résumer comme suit : Si , dans une voûte on établit une rotule et. si par la pensée, on fait varier le coefficient n, la courbe de pression se déplace en passant par le centre de la rotule; les cordes et tangentes pivotent autour de points situés au niveau de la rotule ; leurs diverses positions forment des systèmes du premier degré en n ; les axes des n ont même projection verticale; le zéro de ces axes est situé sur l'axe d'oscillation conjugué à l'axe horizontal qui passe par la rotulp.

VS I . IBoink' avet' ooîn. — Si on cliasse des coins entre les voussoirs articulés, ou dé[)lace à volonté le centre de pression flans la section passant i)ar la rotule; on obtient (429),

442 INTEGRATION GRAPHIQUE.

en manœuvrant les coins, toutes les lignes de pression qui satisfont à la condition linéaire; c'est donc de cette façon que Ton ferait fonctionner les pivots spéciaux des cordes et tangentes. Pour une valeur de n, les coins feront pivoter les côtés et tangentes de la ligne de pression autour de points situés sur l'axe y =^ y^ -\- c/}r,. Pour une autre valeur de n, Yi varie [iroportionnellement à n , les [)ivots spéciaux se déplacent. Si on fait passer n pour tous les états de grandeur , chaque pivot décrit un axe des 7î et t:>us ces axes des n ont même projection verticale.

B. Joints de rupture.

Nous avons vu que l'arc utile de l'hyperbole des poussées possibles sans joint de rupture est com[)lété par certaines parties bien déterminées du contour de Taire des solutions stables; nous connaissons toutes les poussées possibles avec un ou deux joints de rui)tures ; mais à chacune d'elles correspond une valeur du coefficient n ; ce sont ces valeurs de n qu'il s'agit de trouver. Nous allons examiner successivement les différents cas.

'18'î. Joint de rupture nu sommet. — Dans la figure 190, l'arc utile de l'hyperbule principale se complète par un côté horizontal à la hauteur du sommet de l'extrados. Faisons croître n ; nous savons que la corde A'B' pivote d'abord autour du point D' et que le centre de poussée s'élève. Quand le centre de poussée a atteint le sommet de l'extrados , ce point fonctionne comme une cliarnière et d'après ce que nous venons de voir la corde pivote alors autour de la charnière. Nous avons précisément mené l'axe des x par la rotule, l'axe des n déjà tracé convient donc encore pour ces solutions; ou pourra donc lire immédiatement sur l'échelle Eo'E', les valeurs de )i qui correspondent aux diverses positions que prend la corde en pivotant autour du sommet de l'extrados. Menons [lar le point T un faisceau de droites parallèles au faisceau des positions de la corde, nous obtiendrons les pous-

INTEGRATIOX GRAPHIQUE. 443

sees sur l'axe SQ et nous pourrons graduer le côté horizontal (le la courbe des poussées possibles , comme nous avons gradué le côté hyperbolique. Mais la poussée ne peut pas descendre au-dessous de lapousssée minima dont l'extrémité se trouve au sommet ô de l'aire des solutions stables; en portant cette poussée minima en ô's, on obtient la direction d'T de la corde limàte ; on mène cette corde par le point 0 et on trouve qu'elle correspond à une certaine valeur n^ = 18. Pour les valeurs supérieures à n^ la courbe de pression ne se déplace plus , mais deux joints de ruptures se produisent et les angles d'ouvertures augmentent avec n.

Nous remai^querons que pour tracer les courbes fZ) et yd , nous avons appliqué la méthode des cordes (369) ; mais nous nous sommes servi de la corde A'B' et on voit aisément sur la figure comment nous avons obtenu les points î et 9 et les tangentes en ces points ; on voit aussi comment nous avons obtenu deux points et deux tangentes de la courbe 7 îÎ, en prenant deux charnières à l'intrados dans les Joints 4 et 5 (1).

483. Joint «le iMipliirc à la naissance. — L'hyperbole principale peut couper la courbe, des poussées minima, dans la partie où cette courbe est formée par la conjuguée de l'extrémité de l'intrados; le premier joint de rupture se produit alors à la naissance: l'extrémité de l'intrados Amctionne donc comme une charnière' fixe; on traite cette charnière fixe comme une rotule ; on est ramené au cas du numéro 480. Si l'on suit une corde dans ses évolutions , on trouve des résultats analogues à ceux du numéro précédent ; mais pour n = îi, le pivot descend brusquement de l'horizontale moyenne à la hauteur de l'extrémité de l'intrados.