Joint de rupture qui dépend de n. — Le cas le plus

compliqué est celui où l'hyperbule jjrincipale coupe la courbe des poussées minima et se complète par une partie de la conjuguée de l'intrados. Si l'extrémité de la poussée décrit cette partie de courbe, les courbes de pression qu'elle

(1) La méthode que nous avoijs employée est expliquée au Dijraéro484.

444 INTEGRATION GRAPHIQUE,

engendre enveloppent une partie de rintrado.s, la charnière du joint de rui)ture se déplace. Il faut alor.s considérer successivement différentes positions de la charnière. Pour chacune d'elles , on assimile la charnière à une rotule , on trace pour une corde l'axe des ii conjugué à l'horizontale qui passe par la charnière , cette corde détermine la valeur de n qui correspond à la ligne de pression considérée.

Considérons deux positions infiniment rapprochées des courbes de pression tangentes à l'intrados; les côtés et tangentes qui se correspondent dans les deux lignes de pression se coupent sur une horizontale qui passe par le point d'intersection des deux courbes de pression; mais ce point se rap[)roclie indéfiniment du point de contact entre Tintrados et la courbe de pression ; on peut donc dire que si l'extrémité de la poussée décrit un arc infiniment petit de la courbe des poussées possibles avec joint de rupture, les cordes et tangentes tournent autour de picots instantanés situés sur l'horizontale de la charnière du joint de ru[)ture. Si on décrit complètement la courbe des poussées possibles avec joint de rupture, les côtés et tangentes de la ligne de pression pivoteront successivement autour de différents points, ces côtés et tangentes envelopperont certaines courbes; dans chacune des positions de la ligne de pression les points de contact des côtés et tangentes avec leurs enveloppes resl)ectives se trouvent sur l'horizontale de la charnière du joint de rupture.

Proposons-n^us d'abord de tracer les différentes positions de la corde qui correspond à une corde donnée. Nous avons montré (369) comment en se donnant la charnière , on détermine la poussée et le centre da poussée; ces éléments déterminent complètement la ligne de pression et on peut trouver la corde chercliée par plusieurs moyens. Mais on peut obtenir la position de cette corde plus directement en considérant h charnière comme une rotule et en opérant comme aux numéros 480 et 482. Traçons une ligne de pression quelconque et la corde dont nous nous proposons d'étudier les évolutions. Il s'agit de voir ce que devient cette corde lorsque la courbe

INTEGRATION GRAPHIQUE. - 445

(le pression touche l'intrados en un point donné. Cherchons d'abord une courbe de pression qui passe par ce point, nous la ferons pivoter ensuite autour dece point pour qu'elle devienne tangente à l'intrados. Menons une verticale par la charnière jusqu'au côté de la ligue de pression connue qui doit passer par cette charnière ; ou obtient la hauteur dont il faut relever la ligne de pression pour réaliser cette condition ; on obtient immédiatement le i)ivot de la corde considérée. Pour que la courbe de pression devienne tangente à l'intrados, on détermine la poussée par le tracé du numéro 369 ; on obtient alors la direction de la corde sur le diagramme des pressions; connaissant le pivot de la corde et sa direction, on peut la tracer : le problème est résolu. En appliquant cette construction pour un nombre suffisant de positions de la charnière, on obtiendra un nombre suffisant de positions de la corde , on obtient en même tem[)s les points où elles touchent leur enveloppe, on trace cette enveloppe.

Les positions d'une corde étant déterminées, il faut encore chercher les valeurs de n qui y corresi)ondent. Pour chaque l)Osition de la charnière, on peut opérer comme s'il y avait une rotule; on trace l'axe des n conjugué à un axe des ^ passant par la ciiarnière (478 ) ; ia corde déterminera sur cet axe des w la valeur correspondante de n. Pour une même corde tous les axes des n sont déterminés par le faisceau de toutes les positions que cette corde occuperait si le mortier résistait à l'extension ; il suffit donc d'inscrire les valeurs de n sur un .seul axe pour pouvoir lire la valeur de n qui correspond à un point d'un autre axe. Chaque corde coupe l'axe des n qui lui c^n-espond en un certain point; le lieu de ces points est une courbe que l'on peut tracer et qui servira de courbe de rebroussement entre les cordes possibles avec joint de rupture et les cordes théoriquement possibles sans joint de rupture.

Donnons -nous un centre de poussée quelconque, suivons la corde qui y passe jusqu'à cette courbe , suivons ensuite la corde du faisceau des cordes théoriquement possibles sans joint de rupture, nous lirons la valeur de n sur un seul axe

446 INTEGRATIO>; GRAPHIQUE.

des ». Les cordes que Ton a tracées ne correspondent pas à des valeurs de n en progression arithmétique; le tableau graphique serait d'une lecture plus facile si Ion traçait les cordes qui correspondent à ces valeurs. Pour y arriver il suffit de mener par les points convenables de la courbe de rebroussement des tangentes à l'enveloppe des jjositions de la corde.

A l'extrémité de la courbe des poussées mininia, correspond une courbe de pression qui touche l'intrados et l'extrados; on trouve i)0ur cette courbe n = n^. Si n croît, il se produit deux joints de rui)ture, mais la courbe de pression ne se modifie plus.

4S.">. Cas divers. — La courbe des poussées minima ne se compose pas toujours uniquement de la conjuguée de l'intrados; il arrive que cette conjuguée se complète par son enveloppée extiême. La charnière décrit alors un arc d'intrados, atteint l'extrémité de l'inlrados et conserve cette position pour un certain arc de la courbe des poussées possibles; on est ramené au cas d'un joint de rupture à la naissance (483). Une corde quelconque subit alors les évolutions suivantes: elle pivote autour de son pivot principal , enveloppe ensuite une courbe , puis elle pivote autour de l'extrémité inférieure de cette courbe qui se trouve au niveau de l'extrémité de l'intrados.

La courbe des i)Oussées possibles avec un joint de rupture peut aus:;i être formée par la conjuguée de l'extrados; ce cas se traite de la même manière que celui du numéro précédent; la seule différence, c'est que la charnière décrit l'extrados.

1S6. .4na;le donverhiro dn joint de riipfnre. — L'angle cVouverturc du joint de rupture est représenté à une certaine échelle xmr le segment de l'horizontale moyenne compris entre nne corde de la ligne de ptression et le pivot principml autour dîiqiiel cette corde tournerait s'il n'y avait pas de joint de rupAiire.

Pour fixer les idées, supposons quil existe une charnière à Textrados; l'angle d'ouverture A est donné par la for-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 447

mule 23. Soit cl )e segment ilolliorizontale ino3enne compris entre une corde et son pivot principal ; cette corde est la direction de la résultante de la poussée q et d'une force P ; le moment de cette résultante autour da pivot principal s'exprime i)ar Y" cl ou (jrc, selon que l'on prend pour point d'ai)plication de cette résultante un [)oint situé sur la verticale ou l'horizontale du pivot principal ; on a donc :

qc^ = V(^.

La formule 23 devient :

vj'x^vai^.

L'angleA est proportionnel à d ; c'est ce qu'il /allait démontrer. Si le Joint de rupture se trouvait à l'extrados, c, et d changeraient de signe, mais le raisonnement subsiste. Remarquons aussi que réchello des angles A est déterminée par la condition que l'augle é;:al à l'unité est représenté i)ar une longueur u donnée par l'équation

Çds

Cette échelle dépend de la corde que l'on a choisie.

ISl. Cas de deux joînis do rii|iliiro. — Soient A et B les angles de rotation autour de la charnière de l'extrados et de l'intrados; ces angles se déterminent par les équations (7) et (8) ofi l'on fera -i/o = — A ,'-];,=- B; on transforme ces équations en introduisant c, , c^ et r, comme on a transformé les équations (4) et (5); on obtient :

E"(A-B) =qc, -^

E" ( Aa — B&) = (— (? «2 ./. ^^^ p ./. ^ f^c., ) Nous avons démontré la relation gc, , -= Pc^, on a donc : E"(A~Bi = P^^ -^-

448 INTEGRATION GRAPHIQUE.

La différence A — B est représentée par la longueur cl; occupons-nous de l'angle A. Prenons un axe des x par le sommet de l'angle B , la seconde des équations devient :

E" A a=^i-q y} y; — ry , (3^ r, -f

Pour que A soit nul , on devrait relever la courbe de pression d'une hauteur/^ donnée par l'équation (40); en introduisant cette hauteur //. dans la valeur de X , on trouve :

E"Aa = qli

Soit d' la distance horizontale entre une corde et le pivot autour duquel elle tournerait si la condition linéaire des courbes de pression sans joint do rupture était satisfaite; on trouve comme précédemment :

Prl' = qh , on a donc :

E"A.. = P./' |if.

Dans le cas de deux joints de ru[)tui'e, la corde a une position hxe, mais si n varie , le i)ivot spécial décrit l'axe des n, la distance d' varie et représente A à une certaine échelle ; on reconnaît facilement que les valeurs de d' pour toutes les valeurs de n, s'obtiennent en projetant sur une horizontale l'échelle des }i par des lignes projetantes parallèles à la corde considérée. Il est utile d'avoir l'angle A et l'angle A — B à une même échelle; l'angle A = 1 estj'eprésenté par la longueur it' donnée par l'équation :

E"a = Pu'

Jî/ds

En comparant les valeurs de u. et de u' , nn trouve :

IL =ï± u a

INTEGRATION GRAPHIQUE. 449

Un réduit facilement les angles A à réchelle u.

En examinant les (lifférents cas avec attention , on trouve que n peut ci'oître jusqu'à l'inlini et qu'on trouvera toujours des valeurs de A et B. On pourrait donc déduire de là que s'il y a des solutions stables, la voûte tiendra quelle que soit la maçonnerie. .Mais nous remarciuerons que nous avons tracé l'aire des solutions stables pour la voûte non déformée; cela n'a pas d'inconvénient quand les déformations sont petites. Mais si n croit, et si E'' décroît, les angles A et B peuvent devenir grands , les déformations peuvent devenir considérables et on reconnaît sans peine que l'aire des solutions stables diminue. En calculant les déformations, on pourrait trouver par tâtonnements les valeurs de n et de E" pour lesquelles l'aire des solutions stables disparaît. Si la maçonnerie était assez i)eu soignée pour que ces valeurs soient atteintes, la voûte s'eff'ondrait certainement.

1S8. EcraseiMt'ul partiel «les elinriiière!>». — Nous avons su[)posé que les voussoii's résistaient indéfiniment à l'écrasement; la charnière à l'extrados ou à rintradt)s n'est possible que dans cette hypothèse. En réalité, avant que la courbe de pression atteigne l'intrados ou l'extrados, il se produira un écrasement partiel et la charnière sei'a située à une petite distance de l'extrados ou de l'intrados. Il faudrait, d'après cela, modifier légèrement les résultats des recherches [trécédentes. On pourrait déterminer l'aire des solutions stables en i)renant comme hmite de résistance un coefllcient égal ou même un peu plus grand ( 1 ) que le coefîicient de résistance à la ru[iture ; on raisonnerait sur le contour de cette aire comme nous avons raisonné précédemment sur faire des solutions stables jiour une résistance illimitée.

l 1 ) Nous dibODS un peu [ilus grand parce que les coefficients de rupture sont déiei minés [our une pression appliquée à toute l'éleudue de la section comprinjée; queiul une faible jaitie de celte section travaille, la matière environnante sert de ceirtuie tt contribue à augmenter la pression limite. C'est ainsi que par une poinie d'aiguille on [eut exercer par Utité de surface ui e \ ression liés considéiable sans briser une j)ierre.

450 INTEGRATION GRAPHIQUE.

% 5. Forme d'équilibre d'une voûte.

4^0. Uéniiîlion el proprîéics. — Isons ap[)elons Ibrme d'équilibre une forme telle, que l'arc mcj-en soit établi suivant une courbe de pression. Cette courbe de pression que nous appellerons courbe de pression centrale, satisfait évidemnnent à la condition angulaire (4), car en tous les points M = 0 , d\/ = 0 et l'intégrale de d'l> est nulle ; elle se réaliserait donc pour une certaine valeur de 7i ; la condition linéaire, sous la forme de l'équation {ô^'-^), nous apprend que cette valeur de n est n = 0.

A la courbe de pression centrale correspond une ligne de pression; ces deux ligues ne coïncident pas; la difTérence entre ces deux lignes dépend de la force fictive /y ( 345); cette force fictive dépend elle-même de la distance du centre de gravité du joint au centre de pression. Dans le cas qui nous occupe , cette distance est très petite , surtout si la surcharge est nulle; aussi dans une première approximation, nous négligerons la force fictive /;. Déterminons, dans cette hypothèse, la poussée moyenne (ji (454;. Pour cela nous devons pour chaque point de l'arc moyen déterminer la poussée q' qui produit une pression tangente en ce point de l'arc moyen ; nous trouvons précisément que la ligne de pression centrale réalise cette condition ; nous obtenons donc la poussée q' = q^ qui produit cette ligne de pression centrale. Nous devons ensuite chercher une moj-enne des- valeurs de q' par l'équation (32) ; on trouve évidemment :

490. Hyperbole principale. — Déterminons l'horizontale moyenne HH' (fig. 200) par la méthode générale; c'est la ligne des pivots principaux. La ligne de pression centrale satisfait déjà à la condition angulaire ; menons une corde AB' ; son pivot principal est le point où elle est coupée par riiorizontale moyenne. Soit QqSU le diagramme des pressions pour la courbe centrale ; on a ^o = QoS. Menons QqT

parallèlement à la cortle AE' ; la corde AB' correspond à une concentration du poids de la voûte eiideux poids appliqués eu A et B' et représentés par ST et TU. Faisons pivoter la corde A B' autour de .son pivot D et sa parallèle Qg T autour de son point T; nous obtiendrons (442) sur ab les centres de poussées et sur S Qles poussées ; ou obtient l'hyperbole y(3 des poussées possibles sans joint de rupture. Ou aurait pu obtenir cette même hjqierbole eu faisant pivoter une tangente C B et sa parallèle menée par U.

■lOl. Joiiifiï de rii|ilure. — Déterminous l'aire des solutions stables. Si l'intrados et l'extrados étaient d'égale résistance (373, 381), l'aire des solutions stables serait comprise entre les hyperboles y§ et a(b conjuguées des extrémités cl et c de l'extrados et de l'intrados ; or les courbes d'intrados et d'extrados ne s'éloigneront pas considérablement de ces formes ; l'aire des solutions stables s'obtiendrait donc en arrondissant les angles a et S par des petites courbes conjuguées de l'intrados et de l'extrados. L'hyperbole principale passe près du sommet /3 , il est donc inutile de tracer ces petites courb.es ; toutefois , pour plus de certitude , on pourrait les déterminer par la méthode du numéro 369.

Deux dispositions i)euvent se présenter. L'hyperbole principale peut sortir de l'aire des solutions stables en coupant le côté horizontal ^|3; l'arc utile se complète alors par une partie de ce côté ; ce côté représente des poussées qui produisent un joint de rupture au sommet de la voûte , la charnière est à l'extrados. L'hyperbole principale peut aussi sortir de l'aire des solutions stables en coupant l'hyperbole conjuguée du point c ; l'arc utile se complète alors par une partie de cette hyperbole ; les poussées qu'elle représente produisent un joint de rupture à la naissance, la charnière est à l'intrados. Pour reconnaître facilement si c'est la première ou la seconde disposition qui se réalise , nous avons pris le point B' sur la verticale du point c; en faisant pivoter la corde A B' , on voit immédiatement si cette corde atteint le point b avant d'atteindre le point c ou réciproquement ; dans le premier cas le premier joint de rupture se produit

452 INTEGRATION GRAPHIQUE.

au commet, daus le t^econd cas il se [)ruduit aux naissances. Si la cordé atteignait ces deux points en même temps , les deux joints de rupture se produiraient aussi en même temps. Le tracé graphique indique qu'on se trouve dans ces conditions. Cela ne se présente pas toujours; mais, dans tous les cas, les limites /î, et n^ entre lesquelles n doit rester compris pour qu'il n'y ait qu'un joint de rupture sont toujours très rapprochées i, 1 ).

40*i. .4xe des n. — Nous avons trouvé qu'une ligne de pression tracée avec la poussée moyenne devait , pour satisfaire à la condition linéaire, être élevée d'une hauteur /^ donnée par l'équation

Appliquons cette formule à la courbe centrale; nous avons évidemment en chaque point c' = 0 , donc l'excentricité moyenne d'oscillation Cj donnée par la formule (38) est aussi égale à zéro ; on a donc :

Il = — ■/;.

Déterminons la hauteur r , pour une certaine valeur n=n\ par la construction ordinaire (465, 471 ); déterminons aussi l'inclinaison moyenne (463, 469) et l'axe d'oscillation y^ (461, 470). Cet axe dépend de la position de l'axe des x\ nous avons pris pour axe des x l'axe passant par le sommet de l'intrados. Quand il y a des courbes de pression à un joint de rupture unique, il est avantageux de mener cet axe par la charnière du premier joint de ruiiture; l'axe des n que l'on obtient, convient alors pour toutes les lignes de pression.

Soit K K' l'axe d'oscillation ; c'est l'axe des pivots spéciaux

(1) On peut étudier par l'analyse dans quel cas on aura l'une ou l'autre disposition. Si l'épaisseur de la voûte est constante, le premier joint de rupture est aux naissances dans les voûtes très surbaissées; il est au sommet dans le cas contraire. Si l'épaisseur de la voûte diminue de la naissance au sommet , le premier joint de rupture est plus fréquemment au sommet

INTEGRATION GRAPHIQUE. 453

l)Our n == 0. Or la courbe centrale correspond à n = 0 , donc le point 0 , où la corde AB' est coupée par Taxe KK' , est le zéro de l'axe des n. Cherchons I9 pivot spécial de cette corde pour n = w' (nous avons choisi n' = 48); l'axe de pivotement est ?/ = 2/2 -|- a' y; ; portons 0 E = y; , menons E F suivant la direction moyenne, OP' perpendiculairement à EF; traçons riiorizontale du [iointF; c'est l'axe des pivots S[)éciaux (475). La ligne de i)ression centrale doit être relevée de — r, ou descendue de + y; pour satisfaire à la condition linéaire; cette corde vient en EN, N est le point de l'axe des n qui correspond à 71 = n'; on obtient Taxe des n en divisant OE en 7i' parties égales et en prolongeant la division. Ou obtient le tableau graphique de toutes les solutions eu faisaut pivoter la corde A B' autour du point 1) Jusqu'à la position ùl). Pour d'autres dispositions on devrait aussi faire pivoter cette corde autour du point b ou du point c jusqu'à la position bc. Dans la figure ^00, les deux joints de rupture se produisent en même temps pour 71 = 9. Nous terons remarquer que l'échelle ON étant assez petite, nous l'avons remplacée par l'échelle O'N'; nous avons pris 0'D=2 OD ; 0'N'= ON représente alors n = 24.

'Itlît. lloleriiiiiiittMiia exiicU' do la |toii!«i»4ie moyenne cl de Taxe d«'!* n. — Nous a^ons Uouvé approxmiativement que la poussée moyenne est donnée par la valeur (/,= g^ .il est possible de trouver exactement la poussée moyenne. Soit (tig. 201 ; BSU le diagramme des pressions pour la ligne centrale ; portons la force fictive ji en UU'; BU' est la tangente à l'arc moyeu, BU est la pression corresi)ondante. Nous avons supiosé des joints normaux à l'arc moyen, donc l'angle BU'U est droit. Pour obtenir une inxssion sur le joint considère qui soit parallèle à la tangente à l'arc moyen, il faudrait une loussée AS que l'on obtient en menant AU parallèlement à BU'; cette iioussée q' est :

454 INTEGRATION GRAPHIQUE.

No'js avons déjà désip;ûé i)ai' p' la force -. (351): on

sin % '

obtient cette force aus-^i facilement qaa p ; ou a donc :

La ftn'mule (32» qui donne la poussée moyenne devient alors :

\(dy\^ ds j^ds/ 0)

ou bien Qi=Qo +P" ;

p" est une valeur moyenne des valeurs p' déterminée par

le quation

dij\^ ds p- ■ ■ " ' '

■je)'^=Jw|f)'

On obtiendra la valeur de p" par un tracé analogue à celui du numéro 464 ou 469; mais comme p' est petit, on pourrait se conteut<^r de prendre une moyenne arithmétique entre deux ou trois valeurs de p'. Quand p' est constant, p" - p'.

La ligne centrale n'est donc pas exactement tracée avec la poussée moyenne ; c'est pourquoi la hauteur dont il faut la relever pour qu'elle satisfasse à la condition linéaire est donnée par la formule (40 ) ou Ton fera c^ = 0 et ^, = q^ 4-p"; on trouve :

Qo

Construisons cette expression. Soient (dg. 201 ) AB =2^' ^ BS = ^0 . BF = /;. Menons AC suivant la direction moyenne , BC perpendiculairement sur AC; on a :

BC = i/|5, DB=i?"/52.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 455

On a donc; :

La seule moclitication à faire subir à la consti'uction approchée (lu numéro précédent, c'est de porter OE = h (flg. 200) au lieu de porter OE = r,.

§ 6. Arc moyen en chaînette renversée.

40 4. Proprîclés. — La chaînette est la forme d'équilibre d'un fil homogène pesant ; elle a pour équation :

L'axe des y passe par le point le i)lus bas A ( fig. 202 ) ; l'axe des œ se trouve sous le point le plus bas d'une longueur OA = a ; c'est la longueur du fil dont le poids représente la tension Toau point le plus bas. Soit - le poids de l'unité de longueur de fil , on a :

To = r.a.

Ou démontre aussi que la chaînette satisfait aux équations différentielles :

ds dx du

Les trois éléments ds , dx, dy forment un triangle rectangle ; les trois lignes y , a , s doivent former un triangle rectangle semblable au précédent. On connaît de ce dernier riiypotliénuse y et le côté a ; pour le construire traçons du pied de l'ordonnée y comme centre une circonférence avec a pour rayon , menons la tangente BD , le triangle cherché est BDG; on déduit de là que la tangente à la chaînette est la droite BD et que l'on a :

Souarc AB= BD.

Coupons par la pensée le fil au point le i)lus bas ; introdui-

456 INTEGRATION GRAPHIQUE.

sons la tension To ; composons cette tension avec les poids lies différentes parties du fil ; nous obtenons une ligne des résultantes; nous savons (132) que cette ligne est la forme d'équilibre du fil ; la chaînette est donc une ligne des résultantes.

Remplaçons la tension To par une com[)ression de même grandeur mais de sens contraire; on reconnaît facilement que toute résultante TB est remplacée par une compression symétrique T B' ; on obtient donc , [)Our ligne des résultantes, une chaînette renverïée par une rotation de 180" autour de la tangente au point le plus bas. Établissons l'arc mo3'en d'une voûte d'épaisseur constante suivant cette chaînette renversée; le poids de la voûte peut très approximativement se transporter sur l'arc moyen; ce poids est proportionnel à la longueur de l'arc que Ion considère ; soit - le poids de l'unité de longueur de cet arc; introduisons une poussée

0.0 = To = fia, nous obtiendrons une ligne de pression qui coïncidera avec l'arc moyen; cette ligne de pression coïncide aussi avec la courbe de pression qui lui correspond , puisque la force fictive p est nulle. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante : ki cJwînette renversée est la forme d'équilibre d'une voûte d' éiiaisseur constante sans surcharge{\}.