Tracé gra|ilii«|iio (Piiiie chaiiielle. — Première
méthode. — Dans le triangle B D^ , on a : //- = a:^ + .s* ; donnons à s des valeurs très rapprochées o , h , 2 Jt , 3 h , etc. ; portons ces valeurs sur une horizontale AM ; portons sur une verticale oA = «; les valeurs de ij sont les rayons
(1) J.a chaînette reste encore la lormd d'équilibre quand la surcharge sur un arc AB (fîg. 203) est représentée [lar l'aire comprise entre cet arc AB, Taxe des ce et les ordonnées extrêmes. Cela résulte de la première des équations (2); on en tire i/dx = ads; la surcharge élémentaire est ■^•' udx = Tï' ads ; elle s'ajoute au poids - ds de l'arc; on obtient une charge totale ■ti" ds qui reste proportionnelle à l'arc sollicité.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 457
menés du point 0 aux extrémités des longueurs S. Soient Vo l/i î/f- ces ordonnées; traçons les droites y = ijo, y = yi, 2/ = ?/2... Du sommet de la chaînette A dont les coordonnées sont ^=0, y^y^ei avec une ouverture do compas égale à /i, nous porterons cette longueur h eu AA', A'A", A"A"'... ; en traçant une courbe par ces points, on obtiendra une ligne qui différera très peu de la chaînette.
5'"^^ méthode. — En développant l'équation (1) de la chaînette , on trouve eu prenant a comme unité :
if = \ A h h- • •
On peut se borner aux trois itremiers termes et construire y ])ar la méthode du numéro 72 ou celle du numéro 253. On peut aussi commencer par construire les valeurs de x' :
œ' = cT*
et alors construii-e :
5'"« méUiode. — On peut construire soit par le calcul , soit au moyen d'une table, soit par Tune des méthodes précédentes, l'échelle des valeurs de la fonction :
pour des valeurs de x en progression arithmétique ; en joignant les divisions de cette échelle à un pôle et en menant des droites parallèles à des distances a= 1, a = 2... du pôle, on obtient les ordonnées de chaînettes de toute grandeur.
400. IBorizonlale moyenne. — L'horizontale mo3'enne est l'horizontale du centre de gravité de l'arc AB (fig. 205) ; on l'obtient de la manière suivante : menons comme au numéro 494 la tangente BD au cercle, de rayon a , décrit du pied de l'ordonnée du point B, comme centre; prolongeons le rayon qui passe par le point de contact jusqu'au point E de l'axe des y ; nous allons démontrer que l'horizontale qui passe par le milieu de la droite EB, est l'horizontale moyenne.
4o8 INTEGRATION GRAPHIQUE. jj
L'ordoQn'^e de l'horiz natale uioyenua est donnée par l'équation :
ViS = f yds.
Des équations ( 2 ) on tire :
yds -— sdy = adx ,
on a aussi : yds -}- sdy = d (sy).
En ajoutant ces deux équations et en intégrant, ou a :
^ , ax + sy j yds = -— ^ •
L'équation eu y^ donne :
Mais on a :
\ I , ax
OE - X tang O&E = x tang B&D = — .
B& - OE on a donc : y^ = ;
î/j est donc l'ordonnée du milieu de la droite EB , c'est ce qu'il fallait démontrer ( 1 ).
407. Ave d'oselllalîoii coujiigué à l'axe des j?. — L'ordonnée }/.2 de cet axe est donné par l'équation :
?/2 / yd.jc = / f-ds.
Calculons les deux intégrales qui entrent dans cette équation. On a d'abord :
/yds = syi.
(1) Le milieu de la droite EB et le centre de gravité de la chaînette ont même ordonnée, mais ne coïncident pas ; pour avoir le centre de gravité de l'arc de chaînette, il suffit de remarquer que la verticale de ce point passe par le point d'intersection des tangentes en A et en B ( 131 ) ; cette verticale coupe l'horizontale moyenne au centre de gravité cherché.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 459
On a ensuite ;
yi = «2 -1- s^
L'équation eu y^ donne en rem])lacant ces deux intégrales par leurs valeurs :
ou en remplaçant s'^ par a- -- y^ :
Construisons
d'abord séparément les longueurs :
y' Pi
on aura :
2y'-tp"
Pour trouver y', portons : bF' = pi, H' /; = & H = a ; menons PI'K perpendiculairement à F' H ; on a :
î/' = bK.
En effet, si on menait H K' perpendiculairement à H F', on aurait dans le triangle rectangle K'HF' :
ou «^ = 6K' X pi
d'où bli' = ?/'.
Or on démontre aisément que b K' = bK ; donc on a aussi y' = bK: ce qu'il fallait démontrer ( 1 ;.
(1) On peut aussi considérer cette construction comme une division
graphi lue ; si on prend « = 1 , on a ?/" == — ; on considère 6 H' = 1
comme produit, y" comme le l'acteur 6K porté en abscisse, 2/,,commt; le facteur connu que détermine Tinclinaison de l'intégrale K H'. La droite H F' donne, après une rotat'on de 90° l'inclinaison de cette intégrale,
460 INTEGRATION CrRAPHK^UE.
On trouve de la même manière :
Divisons la droite KL en trois parties égales; l'ordonnée du point de division le plus rapproché de l'axe des x est :
c'est l'ordonnée y^. Cette construction a l'inconvénient d'exiger un grand espace, c'est ainsi que nous n'avons pu représenter le point L; elle donne en outre un axe très rapproché de l'horizontale moyenne.
405. lncliniii<iion moyenne. — Les cosinus de l'angle que forme la direction moyenne avec l'axe des x et que nous avons désigné par y. est donné par l'équation :
I /dx y J \ds')
scf} ^ I {—. — ) ds
Des équations (2), on tire
dx a , ydii = — , ds ^
a^ y dp
d'où
Remplaçons 5 par \ ^//- — r/-, on trouve :
dx\^ , a
— — I ds ■= a arc cos — ds I
Or, l'angle 2 = D Z/B a pour cosinus r^ : ?/ ; ou a donc :
\ as = a-f =- arc DF.
ds
La valeur de a^ est donc donnée par l'équation sa* = arc DF.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 461
Portons AM = s , AP = arc DF ; nieûons PN perpendiculairement à AM jusqu'à la demi-circonférence décrite sur A M comme diamètre; AN est la direction moyenne.
En effet, soit A Tangle PAN, on a :
AM cos A = A N , ANcosA=AP; en multipliant ces deux équations, on trouve : AMcos''A = AP, ,. AP arcDF
d où COS^A = —r-; = = a* 1
AM s
on a donc a = cos A ;
ce qu'il feUait démontrer.
^ 7. Comparaison des diverses formes de voiites.
-lOO. Classîlîcatîon «les foruics de voûtes. — Menons des courbes de centres de pression tangentes à l'arc moyen ; nous dirons que la forme de la voûte est du premier ou second genre selon que les courbes de pression tangentes passent au-dessus ou au-dessous de l'arc moyen ; la forme d'équilibre est la forme de passage du premier au second genre : c'est la forme pour laquelle les courbes de pression tangentes coïncident avec l'arc moyen. Cette classification est identi(|ue à celle que nous avons admise (374) pour les courbes d'intrados et d'extrados. Lorsque les épaisseurs de la voûte du sommet aux naissances ne différent pas considérablement, l'arc moyen, la courbe d'intrados et la courbe d'extrados sont du même genre ; mais si l'épaisseur aux naissances est beaucoup plus forte qu'à la clef, il peut se faire que la courbe d'intrados soit du premier genre, la courbe d'extrados du second , et l'arc moyen de l'un ou de l'autre genre.
500. Théorème. — Le pivot des courbes de pression possibles sans joint de rupture se trouve au-dessous de Tare moyen
462 INTEGRATION GRAPHIQUE.
dans les voi'des du premier genre; il se trouve au-dessus dans les voûtes du second genre ; il s'éloigne d'autant plus de Varc moyen que la forme de la voûte diffère dhine forme d'équilibre.
Pour fixer les idées, supposons que Tare mo3'en soit du premier genre; traçons l'horizontale moj'enne; au point oti elle coupe l'arc moyen , menons une courbe de pression tangente à cet arc. Pour cette courbe de pression , on aura évidemment c' < 0 ; l'excentricité moyenne c, est négative ; il faut donc abaisser la ligne de pression (441) pour qu'elle satisfasse à la condition angulaire. Le pivot des courbes de pression qui satisfont à cette condition se trouve à l'intersection de l'horizontale moyenne et de la courbe de pression que l'on obtient après l'abaissement ; ce pivot se trouve donc sous l'arc moyen. L'excentricité moj^enne est d'autant plus grande en valeur absolue que la courbe de pression tangente s'éloigne de l'arc moyen ; or, plus l'abaissement c, est grand plus le pivot s'éloignera de l'arc moyen; cela démontre la dernière partie du théorème.
Corollaire 1. — Considérons une voûte du premier genre ; réduisons toutes les épaisseurs de la voûte indéfiniment, mais dans le même rapport; supposons que la charge ne change pas; le pivot I des courbes de pression possibles sans joint de rupture reste fixe, mais l'intrados se rapprochera de plus en plus de ce pivot et il arrivera un moment où le pivot se trouvera sous la voûte. Dans ce cas, toutes les courbes de pression qui passent par ce point sont instables. Considérons une poussée minima, c'est-à-dire une poussée qui engendre une courbe de pression tangente à l'intrados; conservons le même centre de poussée; il faudra diminuer cette poussée pour obtenir une courbe de pression passant par le point I ; donc l'hyperbole principale représente des poussées plus petites que les poussées minima. Si l'intrados passe par le point I , l'hyperbole principale et la conjuguée de l'intrados se touchent en un point ; si l'épaisseur augmente encore, la conjuguée coupe l'hyperbole principale eu deux points qui peuvent s'éloigner de plus.
Corollaire 2. — Considérons une voûte du second genre
INTEGRATION GRAPHIQUE. 463
et faisons varier les épaisseurs dans les mêmes conditions Pour une épaisseur suffisamment petite, les poussées représentées par l'hyperbole principale sont plus grandes que les poussées maxima. Si l'épaisseur augmente, les poussées maxima augmentent et dépassent sur une étendue plus ou moins grande les poussées représentées par l'hyperbole principale.
50I . Coiuiuont il faut oomparoi* lo<» voûtes. — Pour qu'une voûte soit établie dans de bonnes conditions, il faut qu'il ne se produise pas de joint de rupture ; nous avons montré précédemment comment on détermine la limite supérieure ?Zi des valeurs de n pour les courbes de pression sans joint de rupture; il faut donc cherchera réaliser la condition :
n < Hi.
Le coefficient )i mesure le degré de compressibilité de la maçonnerie, il dépend du mode de construction ; le coefficient 7îi dépend, au contraire, de la forme et des dimensions de la voûte. Pour satisfaire à la condition précédente et pour s'éloigner le plus possible de ?i=-n,, il faut réduire n et augmenter îîj. Nous pouvons donc dire que pour établir une voûte dans de bonnes conditions, ringénieiir doit augmenter Bi, le constructeuv doit diminuer u. Nous nous occuperons plus loin de la construction; pour le moment, nous voyons qu'il faut comparer les formes des voûtes par le coefficient n.
50*^. Forme d'équilibre. — Nous avons vu (flg. 200) qu'elle était la forme do l'aire des solutions stables aÇty^ et la position 7 (3 de l'hyperbole principale. La poussée qui réalise la courbe de pression centrale ( modifiée d'une quantité très petite p") a son extrémité sur l'hyperbole principale; cette extrémité se trouve à peu près au centre de l'aire des solutions stables ; elle se rapporte à la valeur n = 0. L'arc d'hyperbole, qui représente les solutions qui se produisent quand n augmente, se dirige du point central vers le sommet (3. Lorsque l'arc d'hj'perbole coupe le côté (3 0, l'arc utile a la plus grande étendue qu'il puisse avoir pour une épaisseur
464 INTEGRATION GRAPHIQUE.
donnée à ab. Si l'hyperbole principale était coupée par la courbe des poussées rainima en dessous du point b , on pourrait toujours augmenter l'arc utile de l'hyperbole principale en augmentant légèrement l'épaisseur aux naissances.
Supposons que l'on réduise indéfiniment les épais.seurs de la voûte, tout en lui donnant, dans chaque cas, une forme d'équilibre ; l'étendue de l'arc utile diminue , l'angle ÔDA , le segment intercepté par cet angle sur l'axe des ?^ diminuent également. La projection verticale de ce segment varie à peu près dans le même rapport que l'épaisseur e de la voûte ; nous l'exprimerons par ke, d'autre part, la projection verticale d'un segment de l'échelle des n est a* y; ; le segment qui correspond à n = n, a pour projection verticale :
a^r,, ou
En égalant les deux valeurs de cette projection, on obtient :
/ie^
Or le rayon de gyration est proportionnel à l'épaisseur e; on a donc r = k'e; ou tire de l'équation précédente que le produit w, r est constant ; on a donc :
Il résulte de là que le coeflicient n, croît jusqu'à l'infini, lorsque 1 "épaisseur diminue jusqu'à zéro; on pourrait donc, d'après cela, en adoptant une forme d'équilibre et en diminuant l'épaisseur de la voûte, obtenir une valeur de «, aussi grande que l'on voudrait et rendre les joints de rupture impossibles même avec un mortier très compressible. Ce résultat n'est pas absolument exact ; nous avons en effet supposé une résistance illimitée; pour rentrer dans la réalité, il faut attribuer à la maçonnerie un coefficient de rupture déterminé. On trouve alors que l'aire des solutions stables s'annule, pour une épaisseur suffisamment petite; au moment oîi l'aire se réduit en un point unique, on reconnaît
INTEGRATION GRAPHIQUE. 465
aisément que ron a ??, = 0. Si on fait croître l'épaisseur, ;?, croît ; mais quand l'épaisseur devient grande, l'aire des solutions stables diffère assez peu de celle qui correspond à une résistance illimitée, donc «, doit décroître ; il résulte de là qu'il y a une épaisseur qui lait passer ;z, ]iar un maxinuim ; c'est cette épaisseur qu'il faut adoi)ter. On peut la déterminer par tâtonnements.
503. Aiilres forme!». — Supposons d'abord une résistance illimitée ; nous savons que pour une certaine épaisseur, l'aire des solutions stables se réduit en un point; nous connaissons la situation de la courbe de [jression unique qui soit stable dans ce cas; il semble que l'on a à peu près f, = 0, c\ == 0, car la courbe de [iression se trouve au-dessus de l'arc moyeu et en- dessous sur des étendues à peu près équivalentes ; cette solution unique correspond donc à peu près à la valeur )«, = 0. En taisant croître l'épaisseur, on obtiendra un arc utile de plus eu plus grand ; mais comme l'axe des ;i croît comme le carré de l'épaisseur , il arrivera un moment où la valeur de w, cessera de croître pour commencer à decroîti'e; tu d'autres termes, >^, passe par un maximum. Pour la l'orme d'équilibre, nous avons trouvé que ?Zj pouvait croître jusqu'à Tmlini; pour une forme qui en diffère peu, nous trouverons une valeur maxima de yi, qui sera très grande; [lour des formes qui diffèrent de plus eu [lus de la forme d'équilibre, nous obtiendrons une valeur inaxima de ??, de plus en plus petite. Si on reprend ce calcul en attribuant à la maçcnnerie un coefficient de résistance détermine, on réduira toutes ces valeurs de ??, à peu près dans les mêmes pro[)ortions ; le résultat de la discussion précédente subsiste encore. On x^eut donc dire qu'une voûte peut être construite avec un mortier d'autant plus compressible sans qii'il se proditise de joints de ruxjtiire, que la forme de la voûte s'upproclie davantage d'une forme d'équilibre.
501. CuncliiNioii!». — La forme d'une voûte la plus rationnelle est la forme d'équilibre; c'est une chaînette, si la surcharge est nulle; c'est une courbe [dus cunipliquée s'il y a :>urcharge; mais, en général , la courbure doit dimi-
466 INTEGRATION GRAPHIQUE.
iiuer du sommet vers les naissances. La voûte en arc surbaissé diffère peu de la forme d'équilibre , la voûte eu plein cintre en diffère notamment; la voûte en anse de panier s'en écarte davantage encore. Si pour des motifs étrangers à la stabilité , il est nécessaire de donner à l'intrados d'une voûte la forme d'un plein cintre ou d'une anse de panier, il faut augmenter l'épaisseur vers les naissances ; de cette manière on relève l'arc moyen, on abaisse la ligne de pression; on se rapproche de la forme d'équilibre.
§ 8. Procédés de construction.
505. Epoque du décinlreuiciit. — Rappelons que l'une des premières règles admises dans la construction des voûtes est qu'il faut les déciutrer avant que le mortier ait fait prise. Cette règle se justifie par une propriété bien connue du mortier ; c'est la jiropriété qu'il a de ne présenter une résistance sérieuse à l'écrasement que lorsqu'il a durci sous pression. Il ne faut cependant pas décintrer trop tût; sinon le mortier est très fluide, il est chassé i)ar des joints et ne produit pas son elïet. D'autre part, la compressibilité delà maçonnerie devient considérable; le coefficient u augmente; des ioints de rupture se produisent. Il y a donc une époque précise où le décintrement peut se faire dans les meilleures conditions; on peut la déterminer de la manière suivante. Nous avons vu que pour tracer la courbe de pression qui se produira , il faut connaître le coefficient n ; que l'on construise des blocs de maçonneries quelques jours avant d'exécuter la voûte; ou déterminera par expérience le coefficient n; eu même temps , on verra comm ent le mortier se comporte sous la charge et après combien de temps il s'écrase comme un corps solide. Le décintrement d oit s'effectuer avant que la maçonnerie de la voûte ne soit dans cet état.
500. ll«de d'e\éculion de la maçonnerie. — Nous avons déjà dit qu'il faut construire une voûte de manière à réduire le coeflîcient n autant que possible. Il faut pour cela dimi-
INTEGRATION GRAPHIQUE. 467
naer Uicompr<?ssibilité de la maçonnerie. On prescrira donc aux. ouvriers d'exécuter une maçonnerie sei-rée , de réduire l'épaisseur des joints de mo rtier à leur minimum, d'exercer perpendiculairement à c es joints une pression aussi considérable que possible.
507. Défonnaiion!». — Il est souvent indispensable de réaliser avec exactitude une courbe d'intrados déterminée; il faut pour cela calculer les déformations que la voûte subit après le décintrement et donne r aux cintres une surélévation égale à ces déformations. Conn aissant le coefficient n, on peut calculer l'abaissemsnt de diffère nts points de l'intrados au moyen de formules faciles à établir; les intégrales qu'elles contiennent , s'obtiennent graplii quement par des tracés analogues à ceux du § 3 de ce c hapitre; on peut simplifier les opérations en ut ilisant les intégrales déjà calculées pour déterminer la courbe de pression.
50S. Flexion des eintres^. — Les courbes fléchissent SOUS le poids des voussoirs; on peut tenir compte de cette nouvelle déformation par un surliaussement des cintres; mais •v'ela ne suffit pas. Il faut éviter que cette flexion ne se produise pendant la construction de la voûte, sinon il se produit des joints de rupture avant même que l'on procède au décin trement. Four éviter ces effets, il faut charger les cintres avant d'exécuter la voûte. Dans les voûtes en briques, on construit la voûte par rouleaux; les premiers rouleaux forment voûte et soutiennent les autres; la flexion des cintres est peu considérable.
509. Ifioliiles en trois points. — Nous avons fait remarquer qu'il faut donner trois conditions pour déterminer une ligne de résultantes auxiliaires (135) ; la ligne des pressions d'une voûte sera déterminée si on lui crée trois points de passage obligés ; on y arrive en établissant trois rotules , une à la clef, deux aux naissances ou en deux points convenablement choisis. La ligne de pression s'obtient alors par le tracé gra[)hique du numéro; le calcul des dimensions d'une voûte symétrique ou non devient une opération simi)le et facile.
468 INTEGRATION GRAPHIQUE.
Ce moyeu a été proposé par M. Dupuit depuis assez longtemps; mais nous ne pensons pas qu'il ait jamais été employé. Les ingénieurs manifestent généralement une certaine répugnance à l'égard de l'idée d'introduire des rotules dans une voûte et peut-être cette répugnance instinctive a-t-elle sa raison d'être. Sans doute le décintremeut d'une voûte ordinaire est une opération délicate, mais quand cette opération est faite dans de bonnes conditions, le mortier durcit et la voûte devient un monolithe. On préfère cet état à celui d'un assemblage d'arcs en maçonneries articules les uns aux autres et vibrant facilement sous les charges.
Dupuit croyait à l'impossibilité d'établir une théorie des voûtes; en proposant l'emploi de rotules , il tournait la difficulté; mais elle rei)arait dans le calcul des déformations. Les rotules ont pour effet d'augmenter les déformations ; il faut les calculer, si on veut réaliser un intrados déterminé et les calculs des delormations supposent une théorie complète des voûtes.
.>IO. .^lorlier de oiuieiil. — Un attribue au mortier de ciment la proi)rieté de résister à des pressions assez considérables, alors même qu'il n'a pas durci sous pression. S'il en est ainsi , on peut décintrer une voûte construite avec du ciment, après le durcissement du mortier. Dans ce cas, la voûte se comporte comme un monolithe, la courbe de pression qui se produit est celle qui correspond à n= 1. Les déformations pendant et après le décintremeut sont excessivement petites; il ne se produit que des déformations élastiques que l'on peut négliger dans la détermination des dimensions des cintres.
511. Voiissoîrs-vt'rriii!». ~ 11 n'est pas démontré que le ciment possède réellement les propriétés qu'on lui attribue; si même ces propriétés existent pour certains ciments, il n'est pas toujours possible d'avoir du ciment de cette qualité. Nous proposons le moyen suivant pour provoquer l'existence d'une courbe de iiression déterminée dans une voûte construite avec du mortier ordinaire.
Établissons provisoirement comme clefs, des voussoirsverrins, c'est-à-dii'e des appareils formés chacun de deux plaques de fonte séparées jiar un verrin. Un levier agit sur ce verrin. On peut réaliser une poussée de grandeur déterminée en faisant agir, sur ce levier , un poids que le calcul indique. Lorsque tous les tassements sont produits, remplaçons successivement chaque ai)pareil par une clef en pierre bien dressée que l'on chassera de manière à changer le moins possible la courbe de pression.
Il est d'abord évident que par ce procède le mortier durcit sous pression et qu'on peut décintrer après le durcissement ; mais nous croyons que ce [)rocédé de construction aurait bien d'autres avantages.
Sujiposons d'abord la poussée nulle; le poids des voussoirs repose sur le cintre et le fait fléchir ; vers les reins seulement une composante du poids des voussoirs produit une courbe de pression. Dès que la poussée se produit , il faut nécessairement que la pression des voussoirs sur le cintre diminue; sinon il se produirait une courbede pression qui coïnciderait avec la ligue d'action de la poussée, cette courbe de pression est instable, elle provoque une charnière à l'extrados. 11 liaut donc admetlie que la poussée va produire des compressions des joints vers l'extrados et que la voûte va se relever audessus des cintres; si la poussée est suffisamment grande, le cintre reprendra sa forme primitive; le decintrement est alors un fait accompli puisque la voûte ne repose plus sur le cintre. On pourra donc ainsi réaliser mathématiquement une courbe d'intrados ayant la forme du cintre avant la flexion. En choi.-issant convenablement la poussée que l'on produit, on pourra réaliser la courbe de ])ression la plus favorable à la résistance. Si la voûte a une forme d'équilibre , on réalisera la courbe de pression centrale. Dans tout autre cas , on réalisera la courbe de pression qui s'éloigne le moins de l'arc moyen : c'est la courbe qui correspond à « = 0 puisque pour cette couibe on a c, = 0, Cj = 0.
§ 9. Influence des g-lissem3nts.
Nous avons, pour sinii)lilîer Texpûbition de notre tliéor4e, négligé l'influence des glissements ; nous allons montrer comment on peut en tenir compte.
51^. Hypothèse. — Soient rfs = «6» (fig. 188) la longueur d'un prisme de section o), K l'efîort tranchant; le glissement produit un déplacement « a" du pointa par rapport à la section b ; dans le cas d'un prisme homogène, cette déformation élémeu taire •/ 0 s est donnée par la formule :
, Kds yds=^--
on a : G = -^ E.
Nous admettons, pour la maçonnerie , la même formule; mais nous remplacerons G par un coeflicient G' qui tienne compte de la présence des joints du mortier; nous poserons:
' G' co
E' = (l + WjG' (47)
Le rapport 1 + m doit se déterminer par l'expérience ; il serait 5 : 2 dans un monolithe ; il est assez probable que les coeflicients E' et G' augmentent à peu près dans le même rapport qua nd la fluidité du mortier devient plus grande , le coetiicient tn serait alors constant ; dans tous les cas , nous prévoirons le cas où le coefficient ru varierait.
ôilS. Coudiiion angulaire. — Les glissements ne produisent pas de mouvement angulaire des sections; la condition A (i = 0 conserve donc la même l'orme ; et toutes les conséquences que nous avons déduites de cette équation dans le § 2 de ce chapitre subsistent sans aucune modiflcation.
514. Couditiou iinéaii-o. — La condition linéaire est A/= 0; nous avons obtenu l'équation (5) en calculant les termes A7 et A'7 dus respectivement à la compression et à
INTEGRATION GRAPHIQUE. 471
la flexion ; nous devons y ajouter un nouveau terme A"7 qui exprime ralloDgemcut {)ai' glissemeiit. Soit ds un élément (le l'arc moyen ; le glissement augmente la projection horizontale de cet élément d'une quantité égale à la projection horizontale du déplacement -/ (^i- ; ou a donc :
jy^^t
C'est ce terme qu'il faut ajouter à l'équation (5).
En transformant l'équation (5), nous avons obtenu successivement la condition linéaire sous la ibrme des équations (12), (30), (39), (40), (41), (42). Il est inutile de reproduire le calcul des termes A7 et A'7 qui ne sont pas changés ; il suffit de suivre, dans toutes ses transformations, le nouveau terme dû aux glissements.
L'effort tranchant K a i)0ur valeur :
ds ds
L'équation (46j devient en remplaçant K par sa valeur, en tirant G' de l'équation (47) et E' de la relation E" ~ nE' :
y ds = ' — „,, ( — (/ -7^-1- P-r ) ds. ' E"w \ '' ds ds /
La valeur de A"7 devient :
I / ^^V ^1 C dxdy d£\ ^ J \ ds / 0) "^ J ds ds M I ■
C'est le terme qu'il faut ajouter à l'équation (12).
Nous avons (457) déduit l'équation (36) de l'équation (12) en remplaçant les intégrales que cette dernière contient par leurs valeurs et en divisant par le terme :
Jds
Faisons subir au terme des glissements la même transformation, remplaçons les intégrales qu'il contient par leurs
472 INTEGRATION GRAPHIQUE.
valeurs tirées des équations 1 30) et (33); remplaçons l'intégrale qui reste par sa valeur tirée de l'équation (34); introduisons y;; divisons par le môme facteur; on obtient :
E" A'" l:y^ \^^[\-\-m)( q, - q ) fi' r.
C'est le terme qu'il faut ajouter à l'équation (36) qui devient : — -/iL^Z X (ry — /7,)«i^*l — g(î/2— c) + Ui , ou qlVi — c -V -M' 1 + m (3M ] = y.2 — (?, m (3* /i. *
Toutes les proi)riétés que nous avons déduites de l'équation (36) se déduisent de la même manière, de l'équation (36'''*); les coefficients de y; sont seuls changés et il en résulte la modification suivante : l'axe de pivotement ou l'asymptote de l'hyperbole spéciale a pour équation :
«/ = ^2 4--/;iH-"^|5«). (37"^-)
Cette équation remplace l'équation (37).
]\ous avons (459) mis l'équation (36) sous la forme (39); en modifiant convenablement le terme en r, , on trouve : -•/;[(/ + (« — (Z.)>'^ H*] + (ZCj = 0 I
d'où Ci =- r,
Traçons une ligne de pression quelconque ; l'équation (39^'^) n'est pas satisfaite. Pour satisfaire à la condition linéaire , il suffit de relever la ligne des pressions d'une hauteur h donnée l'ar l'équation (40) qui devient :
h = c, - •/; 1 1 + '^~^' m li' I (40*-)
Supposons que l'un ait tracé la [ireniière ligne de i)ression avec la \ outsée moyenne ; on a ^ = g, ; cette valeur de h devient indépendante de in ; on retrouve
Il ré.«ulte de là que la ligne de pression tracée avec la ] ouEsée moyenne relevée de la hauteur h satisfait à la condition linéaire quel que soit ?n.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 473
515. Pivo! isiK'eial à « = 0. — Traçons une ligue de pression avec la poussée moj^enne; pour n ~ 0, on trouve y; ^ 0; on a donc h = 0^; soit AB (flg. 204 ) uue corde de la ligne de pression relevée de li^c^. Pour cette position AB la condition linéaire est .satisfaite; elle restera satisfaite , si on fait tournt-r cette corde autour de sou pivot spécial ; ce pivot se trouve sur la droite représentée [)ar réquation (37''^*) et qui devient , pour /; ^ 0, l'a.Ke d'oscillation y = ij^. Soit XY cet axe : il coupe la corde AB au point 0 qui est le pivot cherché. Or les deux droites XY et AB sont indépendantes du coefficient »i ; le pivot 0 convient donc pour toutes les valeurs de m. Si en particulier, on choisit ;u = — 1 , on reconnaît que le terme des gli.ssements s'annule: ce point 0 est donc aussi l'origine de l'axe des n que nous avons trouvé, en négligeant les glissements; il est facile de vérifier par la construction qu'il en est réellement ainsi.
5IO. Pî»ol !i>|»écial à n el à m — Traçons encore uue ligue de pression avec la poussée moyenne;; il faut la relever de h = Ci — y;. Soit (fig. 204 ) AB une corde après un relèvement égal à c\; descendons cette corde de OD = /;; nous obtiendrons la position A'B' de la corde lorsque la condition lintaire est satisfaite. Nous obtiendrons le pivot de cette corde en traçant la droite repré.sentée par l'équation (37'''^) ; pour y arriver portons DE = mri ; ou en déduit DF = m[i^-ri ; l'horizontal du point F est l'axe de pivotement ; le point N où cet axe coupe la corde A'B' est le pivot de la corde A'B' pour les valeurs n et m.
517. Axe «les n pour /ji cosiMlant. — Le pivot sjjécial d'une corde d'^'pend des variables n et m; supposons d'abord m constant et faisons varier n. Nous savons par l'équation 33 que y; varie proportionnellement à n; si ;? varie, la figure ODFN varie dans le mèuie rapport : le théorème du n° 475 est donc encore vrai quanil on tient compte des glissements , pourvu que m soit constant.
Portons sur la verticale OD, les valeurs de n = 0, 1,2...; menons toutes les positions corre.spondantes de la <:orde A'B';
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OU obtiendra sur ON une écliolle à divisions égales; c'est Taxe (les n; les points de divisions sont les pivots sj)éciaux pour les valeurs correspondantes de n.
519. Tableau graphique de toutes les solnlions pour «^ constant. — Tout ce que nous avons dit dans le § 4 de ce chapitre est encore ap[)licable ici. Pour obtenir les S()lutions sans joint de rupture (476), on joint le pivot principal d'une corde aux divisions de l'axe des n , on obtient les faisceaux des cordes possibles, les centres de poussées et les poussées pour toutes les valeurs de n. L'axe des n dépend de l'axe des ^; si on déplace l'axe des œ , l'axe des n se déplace en restant semblable et serablablemeut placé par rapport au pivot principal (477). S'il y a une rotule ou un joint de rupture fixe , le pivot principal d'une corde se trouve sur l'horizontale de la charnière, l'axe des n est conjugué à cette horizontale (480, 482, 48.3). Si le joint de rupture se déplace quand n varie, les pivots spéciaux décrivent une courbe qui sert de courbe de rebroussement (484).
519. .^xe des /u pour n constant. — Nous avons obtenu le i^oint N , en portant D F = m jS* vî ; si m varie , D F varie dans le même rapport et il en est de même de D N. Le point D est la position du pivot pour m ^ 0 ; pour ou, = — 1 , on doit retrouver le pivot que nous avons obtenu en négligeant les glissements ; on trouve en effet D F = — jS^ ■/;, on doit porter cette valeur en D H , on a 0 H = /; — 15^ •/; == a* y; ; on retrouve la construction du numéro 475. On peut énoncer le théorème suivant : Si le coefficient m varie, et si n reste constant , le pivot d'une corde décrit sur une droite des segments proportionnels aux variations du coefficient m. En traçant les différentes positions du point N, on obtiendra un axe des coefficients m; D correspond à m =0, Kà m = — 1. En prenant le point K comme origine, on obtiendrait un axe des valeurs de 1 + «^ ou du rapport E' : G'. L'axe des m a la direction de la corde qui correspond à la poussée moyenne; les autres directions des cordes possibles ne font pas un très grand angle avec cet axe; le glissement n'exerce donc pas
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uEe très grande inflaeEce sur la ligne des pressions qui se [)roduit ; elle serait nulle si cette ligne de pression correspondait à la poussée moyenne.
.^'ÎO. Aluiqiiu dos |ii%ot!< spôciniix pouv }7lotji varinhlcs.
— Joignons les difTérents points de l'axe des m, KN au point 0 ; nous obtiendrons les axes des n pour toutes les valeurs de m; la figure est un abaque qui donne immédiatemnit le pivot spécial pour des valeurs données m et n. On entre par l'échelle des ;» et on se déplace vers le point 0 ; on entre ensuite par Taxe des n et on se déplace suivant les parallèles à A' B'; à l'intersection des deux ligues ainsi obtenues se trouve le pivot cherché.
Enjoignant le pivot principal aux difïérents points de cet abaque, ou obtient les solutions i)ossibles sans joint de rupture. La grandeur et la position de l'abaque dépend de la position de Taxe des ^ ; mais comme on doit reti'ouver les mêmes cordes, l'abaque doit rester semblable à elle-même et semblablement jilacée par rapport au pivot principal qui est le centre de similitude de tous les abaques. S'il y a une rotule ou un joint de rupture fixe , le pivot principal est remplacé par un ]ùvot sur l'horizontale de la charnière; l'abaque des pivots est l'abaque conjugué à cette horizontale.
591. Ilélcrminntion de;^ solution.»: pour toutes les valeurs <Jc m et de n. — Nous pouvons toujours en opérant comme précédemment , représenter les évolutions d'une corde ; elle tourne autour de son pivot principal quand il n'y a pas de joint do rupture; à l'extrémité de l'arc utile de l'hyperbole principale correspond une première corde limite ; à ])artir de là la corde tourne autour d'un pivot situé sur l'horizontale de la charnière du joint de rupture; si la charnière se déjjlace, la corde enveloppe une courbe ; au moment où deux joints de rupture se produisent , correspond une deuxième corde limite.
Dans le cas d'une charnière fixe, nous traçons l'abaque des m et n conjugué à un axe des œ passant par la charnière ; l'abaque servira pour toutes les solutions, avec ou sans joint
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de rupture. En faisant pivoter la corde jusqu'à la première corde limite , on trouvera une certaine région de l'abaque ; c'est la région des valeurs de ))i et n pour lesquelles il n'y a pas de joint de rupture. A la corde limite elle-même correspond les plus grandes valeurs de n, mais au lieu d'obtenir comme précédemment une seule valeur limite », , on trouve une valeur limite qui dépend du coefficient m : rii ^ f[m): toutefois pour les raisons que nous avons fait connaître au numéro 519, cette valeur de n varie faiblement avec m. Entre les deux cordes limites se trouve une deuxième région de l'abaque, c'est la région des valeurs de m et n pour lesquelles il y a un seul joint de rupture.
Au-delà de la deuxième corde limite, se trouve la région des valeurs de ))i et de n pour lesquelles il y a deux joints de rupture et qui corresfjondent à une seule courbe de pression définie par la deuxième corde limite.
Dans le cas d'une charnière mobile, l'abaque des m et des n prend une forme plus compliquée. Traçons d'abord l'abaque conjugué à l'axe des x qui passe par la première position de la charnière; cette abaque sei'vira pour toutes les solutions sans joint de rupture; la région qui s'étend jusqu'à la première corde limite peut être conservée ; le reste se modifie comme suit. Supposons d'abord ni constant; le pivot après avoir décrit une droite jusqu'à la première corde limite, se déplace suivant une courbe que l'on trace par la méthode indiquée au numéro 484. On obtient pour cette valeur de m un axe des n courbe et à divisions inégales dans une partie de son étendue. Construisons l'axe des n pour différentes valeurs de )n; réunissons les points qui correspondent aux mêmes valeurs de n par une seconde série de courbes ; nous obtenons l'abaque des m et des n. A chaque position de la corde corres[iondent des valeurs de m et de n que l'on iieut lire immédiatement ; à chaque système de valeurs m et n , correspond un point de l'abaque par lequel passe la corde delà ligne de pression qui se produit. Pour les valeurs de
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m et de a qui so trouveraient au-delà de la deuxième corde limite , il y a deux joints de rupture ; c'est alors la courbe de pression détermint;e par cette corde limite qui se produit.
§ 10. Métho:le expéiit'vs.
55*^. Objfl. — Si Ton voulait établir une voûte de grandes dimensions, nous croyons qu'il serait indispensable de procéder à une étude complète de stabilité de l'ouvrage par la théorie précédente ; il serait même nécessaire, pour une très grande voûte , de recourir aux moyens que nous avons recommandés, pour provoquer une courbe de pression centrale. Pour les ouvrages ordinaires, ou peut se borner à suivre les enseignements de la pratique ; on calcule réi)aisseur à la clef par une formule empirique; on vérifie si les dimensions des reins et des culées sont suffisantes par une métiiode expéditive que nous allons rappeler en lui donnant une forme et une justification nouvelles.
593. Épaîsseiir.-* à la clef. — Soit A l'ouverture, e l'épaisseur à la clef d'une voûte; on peut adopter les formules suivantes :
formule de Léveillé e= - (i+tt,^)
formules de I)ui)uit e = 0,20 1^'' A (voûtes complètes)
é" = 0,15 1/ A (voûtes en arc).
On construirait taciloment des échelles donnant les valeurs de e pour toutes les ouvertures.
5*^1. %'oùics du premier jseiirc. — Règle. Prenons un centre de poussée au sommet de l'extrados ; déterminons la poussée miuima par l'une des méthodes du numéro 367; on obtient une courbe de pression qui touche l'intrados. Prolongeons cette courbe de pression jusqu'à la base du pied-droit; on doit donner aux reins de la voûte et au pieddroit assez d'épaisseur pour que cette courbe soit stable ; il
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convient, par exemple, qu'elle ne dépasse plus la ligne moyenne en dessous du joint de rupture.
Justirication. — La courbe de pression que nous venons de tracer a deux joints de rupture; on reconnaît aisôment que c'est celle qui se produira si le mortier est très compressible. Nous n'affirmons pas qu'elle se produira réellement; au contraire, il faut éviter qu'elle ne se produise; mais nous allons démontrer que par cette fausse position , on obtient un critérium absolu de la stabilité statique.
Supposons d'al)ord que la courbe de pression ainsi tracée passe précisément par l'arête exti^rieure de la base d'appui ; il est facile de voir qu'on se trouve alors dans le cas ofi l'aire des solutions stables se réduit à un seul point (390) : la courbe de i)ressinn tracée est la seule qui puisse se produire ; la valeur de n n'exerce d'influence que sur les angles dont s'ouvrent les joints de rupture. La voûte est ceiienddnt en é(|uilibre; mais il est facile de voir que cet équilibre est sur le point de se rompre; qu'une charnière subisse un petit écrasement, il n'y a i)lus de courbe stable possible, la voûte s'cfïbndre; qu'une charge aussi petite qu'elle soit agisse entre la clef et le joint de rupture intermédiaire, la courbe de pression s'éloigne davantage do la forme de la voûte, la solution stable disparaît , la voûte s'effondre encore (1); que l'on diminue les dimensions des reins et des pieds-droits, la voûte devient encore instable.
Supposons, au contraire, que la courbe de pression que nous considérons passe à l'intérieur de la base d'appui , il est facile de voir qu'il y a alors une aire des solutions stables d'autant [)lus grande que la courbe des pressions est plus éloignée de l'arête extérieure de la base. En augmentant la poussée sans toucher au centre de poussée jusqu'à ce que
(1) Si ou chprgeait la vortle entre le joint de rupture intermédiaire et la naissance , la courbe de pression prendrait une forme nouvelle plus rapprochée de celle de la voûte ; l'aire des solutions stables augmenterait et la voûte serait stable.
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la courbe de pression passe par cette arête extérieure, ou obtiendrait le cùté liorizontal de l'aire des solutions stables ; en faisant pivoter la courbe de pression autour de cette arête, ou obtiendrait l'hyperbole des poussées maxima; si l'une de ces courbes de pression touchait l'intrados, elle donnerait le sommet inférieur de l'aire qui aurait alors une forme triangulaire. Il n'est i)as nécessaire de déterminer cette aire; son existence est démontrée, cela suffit pour pouvoir affirmer qu'il y a des solutions stables ; on peut même espérer qu'en diminuant n, on parviendra à produire une solution sans joint de rupture; mais, pour s'en C(mvaincre, il faudrait appliquer la théorie que nous avons exi)oséo i)récédemmcnt ( I ) .
5*35. Règle npplicnklc s'i toiilc.oi ïcs voùlf's. — La règle précédente ne i)eut s'a[)pliquer qu'aux voûtes du premier genre; pour la rendre ai)plicable à toutes les voûtes, il suffit de la modifier de la manière suivante : menons une courbe de pression qui touche l'extrados et l'mtrados ; la charnière à l'extrados étant au-dessus de la charnière à l'intrados, on obtiendra la poussée qui i)roduit cette courbe, en déterminant l'interseciion de la courbe dos poussées miuima,soit avec la courbe des poussées maxima , soit avec l'horizontale du sommet de l'extrados; on modifie, s'il y a lieu , les dimensions de la voûte i)our qu'à la clef la courbe de i^ression reste à une assez grande distance de l'intrados et pour qu'à la naissance elle reste à une assez grande distance de l'extrados (2). Cette règle .se justifie comme la précédente.
(1) Nous disons i|ue cette règle e.^t un critérium absolu de la stabilité stati(iue , parce (jue nous supposons que la mnconnerie de la votlte soit établie convenablement, sinon il faudrait avoir égard aux considérations qui terminent le numéro 487 et appliquer la règle à la voûte déformée.
(2) On pourrait être tenlé d'applicjuer la méthode du coefficient de stabilité , mais on est très embarrassé pour faire le partage des forces en forces sollicitantes et en forces résistantes ; selon le mode de partage on arrive à des résultats différents. Pour une même voûte, le coefficient de
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5*^0. iSiiuiplilieaiiuiis. — Il n'est pas nécessaire de déterminer avec une grande précision la courbe de pression limite dont il est question dans la méthode précédente; si on trace une autre courbe stable différant assez peu de cette courbe limite, on sera conduit à des dimensions un peu plus fortes; il n'y a à cela aucun inconvénient. La courbe de pression qui sert au calcul de la voiUe p^ut donc s'obtenir d'une manière très expéditive.
On peut d'ailleurs, dans rap[)licati(in, utiliser certaines remarques. Ainsi dans les voûtes du premier genre les joints de ruiiture se produisent à l'intrados à une hauteur à peu près égale à la demi-montée de la voûte com])lète. Dans une voûte en arc, dont l'angle au centre est plus petit que 30", entre la clef et la naissance , la charnière se trouve à l'extrémité de l'intrados.
