CHAPITRE VII

Critique des diverses théories des voîites.

§ 1. Théorie de La né- et Clapeyron.

5'Î7. Evpépîeiices de Boii^lard. — On cousitlère d'abord les voûtes comme un assemblage de coins sans frottement : cette hypothèse est contraire à la réalité; elle conduit à des résultats absurdes. En 1822, Boistard publia un recueil de résultats d'expériences sur la stabilité des voûtes ;"ces expériences ont démontré que la rupture des voûtes ne se produit pas par glissement, mais par la décomposition en quatre

stabiliié e.«l ui;e fraction dont les deux lermes ont une différence constante; cette fiaction s'approche de l'unité quand les ternies augnienlent Si on prend la pression aux naissa:jces comaie force solliciiante, on trouve pour le jiied droit un coefTicieni de siabilii.é très cousidéi'able; il se ra,iproche de l'unité si on prend la poussée comme force sollicitante.

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parties , dont deux subis:>eiit une rotation vers l'extérieur et deux vers l'intérieur. La théorie suivante repose sur ces expériences.

5*^S. Tliéorîe de B^ttiiié ol Hapeyron. — Ces auteurs exposent leur théorie de la manière suivante :

'• Parmi les hypothèses sur lesquelles ou a fonde la théorie de l'équilibre des voûtes, la seule admissible est celle qui la ramène à l'équilibre de quatre leviers pesants, assemblés à charnière, égaux en poids aux deux portions de la voûte comprise entre le milieu de la clef et les joints de rupture et à celles limitées par ces joints de rupture et par les bases des pieds-droits. De nombreuses observations, sur une grande quantité de voûtes dégradées, et des expériences faites directement [)ar d'habiles constructeurs, ont prouvé (|ue les deux deiniers leviers tendent à tourner autour des arêtes extérieures de leurs bases et qu'alors les deux premiers, se touchant entre eux par l'arête extrados du milieu de la clef, touchent les autres par les arêtes intrados des joints de rupture.

•' Pour trouver l'équation d'équiUbre de ces leviers, il est donc nécessaire de connaître la position des joints où la rupture tend à se faire dans chaque espèce de voûtes. Or, parmi tous les joints que l'on peut concevoir sur les reins d'une voûte, le joint où la rupture tend à se faire, sera celui jîour lequel le levier supérieur pressera l'extrémité mobile du levier inférieur avec une force horizontale dont le moment pris [lar rapport au point fixe du dit levier, sera le plus grand possible comparé au moment de la i)ression verticale exercée à la même extrémité mobile. •'

Obser-vatioJis critiques. — Au point de vue pry tique , nous verrons que la théorie de Lamé et Clapeyron conduit pour les voûtes du premier genre à une règle qui se ramène (àcilemeut à celle du numéro 524; mais la justification de cette théorie se prête à des objections très graves. On ne dit pas , en effet , si les charnières que l'on détermine fonctionneront réellement ou si l'on admet de propos délibéré une fausse

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position des centres de pression; on ne démontre même pas tliéoriquemeut que la règle assure la stabilité statique. La seule justification de la règle, ce sont les expériences de Boistard ; mais ces expériences n'ont pu embrasser tous les cas; que ferait-on si on devait vérifier la stabilité d'une voûte dont on ignore le mode de rupture , telle qu'une voûte intermédiaire entre l'ogive et le plein-cintre? Il aurait fallu , nous semble- t-il, rendre la théorie indépendante des expériences et démontrer qu'elle donnait un critérium absolu de la stabilité statique; c'est ce que nous avons fait précédemment Malgré cela, la règle est toujours insufllsante pour les grandes constructions, attendu qu'on ne s'occupe pas des l)ressious.

*>'i9. Etéleruiiiialion du Joint de rii|»liirc. — Lamé et Clapej^ron déterminent assez péniblement le joint de rupture ; il s'agit de chercher le maximum du moment qui tend à renverser le pied-droit. On peut aussi raisonner comme suit : Le moment de toutes les forces qui sollicitent la demi-voûte comprend le moment du poids résistant qui est constant et le moment de la poussée ; on est donc amené à chercher le maximum de la poussée pour toutes les positions de la charnière à l'extrados. Soient q la poussée , y l'ordonnée de la charnière pour un axe des œ passant par le sommet de l'extrados, y. le moment autour de la charnière de l'arc de volte compris entre le sommet de la voûte de cette charnière; on a, Qi/ = ij- , donc on doit chercher la valeur maximum de

C'est la première règle de Lamé et Clapeyron ; ces auteurs en déduisent une autre règle qui est la suivante :

" Le point de rupture est celui pour lequel la tangente de l'intrados en ce point vient couper l'horizontale passant par le sommet de la clef, au même point que la verticale passant par le centre de gravité de la masse tendant à se détacher. "

Ce théorème est inexact; les auteurs l'ont déduit de l'égalité

cl -^ = 0 ou du. = dp.

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Mais ils ont négligé dans levaluation de d u., le moment du quadrilatère inliniment petit compris entre les deux positions infiniment voisines de la charnière. Le moment du quadrilatère n'est pas du second ordre; on ne peut pas le négliger.

11 est facile de trouver d une autre manière le théorème vrai qui doit être substitué au théorème faux de Lamé et Ciapeyion. Si on compose la poussée q avec le poids P de lare de voûte cora[iris entre le sommet de la voûte et le joint de rupture, on obtient la pression sur le joint de rupture. La tangente à l'intrados est aussi la tangente à la courbe des centres de pression; or, on sait (346) que la tangente à la courbe de pression est la direction d'une force R', résultante de la pression li et d'une force fictive JJ', ^^^ obtiendra donc R' en composant (/,,P ei^^ ; de là le théorème suivant ; Le point de rupture est celui pour lequel la tangente à l'intrados, en ce point, vient couper l'horizontale passant par le sommet de la clef au même point que la résultante de la force fictive p et du poids de la masse tendant à se détacher.

§ 2. Méthode des courbes de pression.

5SO. fiiyitolhè!»e!» diversiC!». — C'est M. Mery qui a eu le premier l'idée de tracer la courbe des centres de pression (1) ; il n'a pas ignore que pour la déterminer complètement , il aurait fallu étudier les tassements qui se produisent lors du décintrement ; mais jugeant cette étude impossible, il s'est borné à faire passer la courbe de pression par deux points , l'un situé au tiers supérieur du milieu de la clef, l'autre situé au tiers inférieur de l'épaisseur de la voûte dans le joint de rupture. MAL Carvallo, Yvon Villarceau ,

(1) M. Mérj n'a publié sa méthode qu'en 18-10; dès 1833 Moseley a fait connaître l'existence de la courte de pression; mais il a été prouvé qu'en 1829 M. Méry en avait déjà fait usage.

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De Saint-Guilh3m ont étudié la ferme la plus rationnelle que l'on peut donner à une voûte; leurs calculs supposent Texistence d'une certaine courbe de i)ression ; Carvallo adopte riiypotlièse de M. Méry , Yvon Villarceau et Saiat- Guilliem admettent une courbe de pression centrale. Nonseulement il serait [)lus sim[)le de rem[)lacer tous ces calculs ]tar des tâtonnements gra[)hiques faciles à imaginer, mais il est évident que la courbe de pression que l'on admet ainsi ne se [iroiluira que dans des circonstances exceptionuelles. 531. Mémoire de M. Hiiruiid-€ia}e. — M. Durand- Claye s'est proposé de déterminer l'ensemble de toutes les courbes de i)ression stables; il a donné la solution de ce problème dans un mémoire (jue nous avons déjà cité. Nous avons vu précédemment tout le parti que l'on peut tirer de cette étude; mais, seul , elle n'apprend absolument rien sur la courbe de pression qui doit se produire. Que l'aire des solutions stables soit petite ou grande, qui dit que toutes ces solutions stables ne seront pas rendues impossibles par les conditions de la déformation. Il aurait fallu démontrer que quand il existe des solutions stables, c'est l'une d'elles qui se produira : c'est ce que nous avons fait dans le chapitre précédent.

§ 3. Mét:iodes de MM Drouet3 et Scliefîlsr.

53*1. Théorie de .18. Seliel'ner. — Le premier auteur qui se soit occupé de déterminer par une théorie la courbe de pression qui doit se produire est un savant allemand, M. Schetïïer. Mais , au lieu de fonder celte théorie sur un raisonnement scientifique, il s'est appuyé sur un principe philosophique mal défini , énoncé depuis longtemps par Moseley. ce princi[)e est le principe de la moindie résistance; il revient à admettre que toutes les fois qu'il y a indétermination dans l'état de sollicitation d'un système, le mode d'action qui se réalise est celui pour lequel la résistance que la matière doit opposer est la plus petite possible.

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En appliquant ce principe à une voûte , M. Scheffler énonce la proposition suivante : la poussée qui se produit est la plus petite de toutes les poussées possibles.

Cette proposition conduit précisément au même tracé que la méthode expéditive que nous avons exposée précédemment (525); |iour les voûtes du itreinior genre elle conduit à une règle identique au fond à celle de Lamé et Clapeyron. Au moyen de notre théorie, nous avons démontré que la courbe de pression de moindre i)Oussée est celle qui se produit lorsque le mortier est très compressible. D'aprèi M. Scheffler, au contraire, cette courbe se produirait toujours. Il est facile de réfuter cette opinion.

Le premier défaut de la théorie de M. SchelUer, c'est qu'elle repose sur un principe que l'on n'a pas démontré ; ce n'est pas , en effet , une démonstration que de prétendre qu'en cas d'indétermination, la nature, obéissant à je ne sais quel penchant , se prononce en faveur de la moindre résistance. Il y a plus ; ce principe découle d'une idée fausse , c'est qu'il puisse y avoir, dans la nature, des problèmes indéterminés. Si quelquefois les lois de l'équilibre ne suffisent pas pour résoudre une question, ou dit qu'il y a indétermination statique ; mais c'est une manière de s'exi)rimer , et l'indétermination est si peu réelle , qu'on la fait disparaître dès qu'on introduit les conditions de la formation. Il ne peut y avoir d'indétermination que pour notre ignorance ; la nature n'aurajamais d'hésitation, elle n'aura jamais à obéira une inclination secrète vers telle ou telle solution , elle est soumise à des lois fatales.

Ajoutons que l'on trouverait des milliers d'exemples où le principe de la moindre résistance est en défaut ; il suffît pour s'en convaincre de l'appliquer aux problèmes bien étudiés , tels que celui des poutres à plusieurs travées, ou celui des arcs métalliques.

533. lléuioîre «le 11. Droiieliti. — M. Drouets détermine avec beaucoup de sagacité , la courbe de pression pour laquelle les pressions par unité de surface, dans les joints de plus grande fatigue , sont les plus petites possibles. " Cette

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courbe dépression la plus favorable, satisfait, dit-il, au principe métaphj^sique de la moindre action , car c'est de tous les systèmes d'équilibre possibles, celui qui assure cet équilibre en exigeant des matériaux le moindre effort possible et en développant les forces réactrices moléculaires dans la mesure nécessaire , mais la moindre possible. "

Au fond, M. Drouets applique aussi le principe de la moindre résistance, mais au lieu de mesurer la résistance par la poussée, il la mesure par la pression par unité de surface ; toutes les objections que nous avons faites à la méthode de M. Scheflier s'appliquent à celle de M. Drouets. Nous pouvons y ajouter une objection nouvelle en faisant voir combien le principe que ces auteurs invocjuent est mal défini, puisqu'ils en déduisent des conséquences diamétralement opposées ; en effet, la courbe de pression de M. Scbeffler produirait des pressions infinies , celle de M. Drouets produit les pressions les plus petites possibles.

Il serait intéressant de voir par notre théorie si la courbe do moindre pression est possible et h quelle valeur de n elle correspond. Le procédé employé [lar M. Drouets pjur trouver cette courbe est très compliqué; on. peut y substituer la méthode suivante. Divisons l'arc moyen de la clef à la naissance en deux parties à peu près égales , faisons passer une courbe dépression parles milieux de ces deux parties ; on obtien!<lra entre ces deux points un joint où. la pression passe par un maximum; le milieu de la clef et la naissance sont deux autres joints de plus grande fatigue. Les trois plus grandes pressions seront généralement inégales; faisons pivoter la ligne de pression de manière à diminuer la plus grande^ à augmenter la plus petite, et à conserver la moyenne; après quelques tâtonnements, les trois plus fortes pressions deviendront les mêmes et il sera impossible de diminuer Tuau d'entre elles sans augmenter l'une des deux autres, on obtiendra la courbe de moindre pression. Cette courbe de pression est une de celles qui s'éloignent le moins de l'arc moyen, elle est en partie au-dessus, partie en-dessous. Mais si nous voulons trouver la courbe de pression qui corres^ ond

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à w = 0, BOUS devons satisfaire aux deux équations : c, = 0 etC2 = 0; nous obtiendrons aussi une courbe qui doit se trouver partie au-dessus , partie en-dessous de Tare moyen ; en général donc la courbe qui correspond an =0 difTérera assez peu de la courbe de moindre pression. Mais sauf des cas exceptionnels , la courbe de moindre pression ne satisfera pas à la condition angulaire et ne pourra se produire dans aucun cas. Lorsque la voûte a une forme d'équilibre , la courbe centrale est celle qui correspond à n = 0 (1) ; si l'on suppose que l'épaisseur de la voûte croît proportionnellement à la pression totale, cette courbe centrale est aussi la courbe de moindre pression; si les épaisseurs ne croissent pas suivant cette loi, elles en diffèrent mais très peu.

§ 4. Théorie de M. Dupuit.

La méthode de M. Dupuit peut se résumer dans les deux propositions suivantes qne nous réfuterons successivement.

531. ProposîUo» I. — Dans toute voûte il se produit une charnière à Vintrados. Pour démontrer cette proposition, M. Dupuit étudie les phénomènes qui se passent lors i\n décintrement. Quand la voûte repose sur le cintre, la poussée Cot nulle ; dans les premiers moments du décintrement , la partie supérieure de chaque demi- voûte tombe en obéissant aux lois de la pesanteur (2); la partie inférieure

(1) Nous sommes ici en conlraJictioQ avec M. Drouets qui démontre par l'analyse qu'il est impossible de trouver une forme d'équilibre. La démonstration de M. Drouets est inexacte; il suppose la courbe de pression identique avec l.i ligne de press'on et la prétendue impossibilité est précisément la condition qui exprime l'identité de ces deux courbes. M. Drouets trouve que le centre de gravité du joint devrait se IrouveP au milieu du joint dans une forme d'équilibre et il considère cette hypothèse comme impossible; or, cette hypothèse est précisément celle qu'il a faite.

(2) Il serait intéressant d'étudier les mouvements que prendrait une demi-voûte, si on décintrait brusquement; nous avons trouvé les propo-

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prend api)ui sur la naissance et reste immobile; l'arête qui sépare ces deux parties sort de charnière à la partie mobile. La présence des deux demi-voûtes sj'métriques empêche ce mouvement de s'accentuer, il se produit une poussée et cette poussée croit jusqu'au moment où elle engendre une courbe de pression statique tangente à l'intrados et alors léquilibre est établi. '■ Si le décintrement s'est opéré lentement, dit M. Dupuit, il est évident que tout mouvement a dû cesser en ce moment et que la courbe n'a pu s'avancer dans l'intérieur; que si le décintrement s'est opéré brusquement, la poussée a pu dépasser cette limite sous l'influence de la vitesse acquise par la voûte, mais réagissant contre la voûte, elle a dû diminuer d'intensité, et, après quelques oscillations, s'arrêter à la force qui suffît pour l'équilibre. "

535. B*ropo»iiioii It. — Le centre de XJOussée se trouve au-dessus du milieu du Joint et au-dessous du tiers supérieur.

Si la poussée n'existait pas , le joint situé au milieu de la clef se déplacerait et il est facile de reconnaître que les déplacements normaux au joint suivent la loi du tra^ièze ; les pressions sur le joint doivent suivre la même loi ; donc la poussée qui est la résultante de ces pressions doit passer par le centre de gravité de ce trapèze ; la l'orme du trapèze indique que le centre de poussée a la position annoncée.

sitions suivantes ; 1" S'il n'y a qu'un seul joint, le bloc supérieur se meut comme un pendule composé, la courbe de pression qui passe par la char riière comprend une courbe de pression dynamique et une courbe de pression statique; ces deux courbes forment un angle; chacune d'elles lait avec les pi-essions des angles que l'on déterminerait par le théorème du numéro 346 ; la force fictive p dans la courbe dynamique est aiig mentée d'une force due à la réaction d'inertie du voujsoir infiniment petit; 2° Si les joints sont infiniment rapprochés, la courbe dynamique est séparée de la courbe statique par un arc de l'intrados; tous les points de cet arc forment charnières; les forces d'inertie se développent dans cette partie de voûte dans une mesure suffisante pour que la courbe de pression coïncide avec l'arc d'intrados.

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M. Dupuit fait remarquer cependant que si les culées cèdent ou si la partie fixe de la voûte se compriment fortement, le trapèze en question peut se réduire en un triangle et que le centre de poussée peut se rapprocher de l'extrados.

o30. Olijeelion générale. — Nous remraquerons , en premier lieu, que M. Dupuit n'étudie que les phénomènes qui se passent au décintrement mais ne considère pas les déformations qui accompagnent la production d'une courbe de pression. Supposons même que son argumentation soit irréfutable, tout ce que l'on peut en conclure c'est que les phénomènes qui se passent au décintrement tendent à provoquer la courbe de pression dont il s'agit. Admettons provisoirement l'existence de cette courbe de pression; considérons chaque demi-voûte séparément, elle va subir des déformations diverses; remettons en place les deux demivoûtes, qui dit que les faces que nous avons séparées vont se joindre, qu'elles ne laisseront pas entre elles un certain écart, ou que les deux demi- voûtes ne vont pas pénétrer l'une dans l'autre. Il y a là deux conditions à établir , ce sont ces deux conditions qui peuvent rendre impossible la courbe de M. Duiiuit.

537. Kéfiilalîon delà proposition I. — Au fond, l'argumentation au moyen de laquelle M. Dupuit démontre la première proposition revient à dire : si chaque demi-voûte existait seule, il y aurait rotation ; donc cette rotation existe. Il nous semble que l'auteur attache beaucoup trop d'importance à un mouvement qu'il reconnaît lui-même comme impossible. Il y a tendance à rotation , il y a tendance à la production d'une poussée , mais de ces deux tendances on ne peut rien conclure.

Si nous supposons un décintrement suffisamment lent , les réactions du cintre sur la voûte diminueront d'après une loi aussi lente que nous voulons, les forces d'inertie seront aussi petites que nous voulons, en aucun instant du décintrement une partie de la voûte ne tombera comme si elle n'était pas soutenue; à chaque instant il se produira une courbe de pression statique compatible avec l'équilibre et les conditions

de la déformation ; et rien ne prouve que cette courbe touche en aucun instant la courbe d'intrados.

Considérons une voûte formée d'un monolithe reposant sur des culé'îs invariables; incontestablement après le décintrement il se produira une courbe de pression bien déterminée par la théorie des arcs continus. Supposons que cette courbe soit tout entière à l'intéric-ur à la voûte ; établissons alors des joints rigoureusement plans sans mortier; ni l'état de sollicitation, ni les déformations ne pourront changer , et cependanl le raisonnement de M, Dupuit s'applique encore; n'est-ce pas la preuve évidente que ce raisonnement est laux.

Notre théorie prouve qu'il n'y a de joint de rupture à l'intrados que si le mortier est compressible et que dans certains cas il peut y avoir charnière à l'extrados, alors qu'elle n'existe pas à l'intrados. On [)eut nous objecter que nos formules ne sont pas mathématiquement exactes ; mais qui nous empêche de supposer des matériaux qui se comportent rigoureusement d'après nos formules; l'argumeutation de M. Dupuit subsisterait encore et serait en désaccord avec des déductions d'une exactitude absolue ; c'est une preuve irréfutable de la fausseté de cette argumentation.

â9H. Itéfufation de la propoMlion II. — La seconde proposition tombe d'elle même, quand la [iremière disparaît ; néanmoins nous tenons à relever certaines erreurs contenues dans la démonstration que nous avons rappelée. M. Dupuit remarque que les pressions sur le joint du milieu de la clef doivent anéantir des déplacements qui suivent la loi du trapèze; il en déduit la loi des pressions. Il y a dans ce raisonnement une confusion entre les déplacements absolus et les déplacements élémentaires d'une section par rapport à sa voisine. La loi des pressions est celle des déplacements élémentaires, mais elle n'a rien de commun avec les déplacements absolus. Supposons une poutre sur deux appuis, la poutre dépasse les appuis, la partie située entre ces appuis est seule sollicitée ; il est bien facile d'imaginer un état de sollicitation qui produise sur les sections extrêmes des déplacements absolus selon la loi du trapèze; on en conclurait

que ses sections extrêmes subissent des pressions, et elles ne sont pas sollicitées. Considérons même la moitié d'un arc métallique encastré à la naissance et calculons la poussée qui ])roduirait au joint supérieur des déplacements suivant la loi du rectangle; le raisonnement de M. Du[)uit donnerait une poussée au milieu du joint ; il est évident, au contraire , qu'une pareille poussée produira une flexion de l'arc et que les déplacements absolus ne suivront pas la loi supposée. Si enfin nous prenons le cas de la demi-voûte et si nous essayons de déterminer la poussée capable d'anéantir les déplacements que la rotation autour du joint de rupture tend à produire , il nous paraît que si on considère la voûte comme décomposée en deux [)arties invariables, on anéantira les déi>lacements dès que la poussée sera assez grande pour fermer l'angle du joint de rupture et cela quel que soit le centre de poussée. Quelle que soit l'hypothèse que l'on fasse sur la nature des matériaux qui constituent la voûte , il nous parait dillîcile de rendre compréhensible le raisonnement de M. Dupuit.