Courbes des déformations et des inclinaisons

— Nous avons vu (120 à 128), qu'en intégrant deux fois la courbe des charges , on obtient successivement la ligne des efforts tranchants et celle des moments fléchissants. La détermination des réactions inconnues ne présente aucune difficulté ( 124) , quand les conditions de la statique suffisent. Dans les autres cas , il faut introduire les conditions de la déformation.

Supposons que la fibre moyenne de la poutre non déformée ne diffère pas sensiblement d'une droite; prenons, pour axe des X, une parallèle à cette droite. Quelle que soit la direction de cet axe, nous l'appellerons horizontale; l'axe des ?/ est alors dirigé suivant la verticale.

Soient : M le moment fléchissant eu un point ;

X, y, les coordonnées de ce point;

I, le moment d'inertie de la section ;

E, le coefficient de raideur à l'extension ;

i , le produit El ou moment (V inflexibilité.

Uuélément dsde la poutre tourne par rapport à sou voisin d'un ansle rf-j» donné par l'équation :

d'\ M dh ,,

—!-=-—- ou c -— = M. (1

rf5 El ds

On sait que les déformations sont toujours très petites ; l'élément ds avant et après la déformation a donc pour valeur ajiprochée :

Os = dx.

Cet élément fait , avec l'axe des x , un angle assez petit pour qu'on imisse le mesurer par sa tangente :

' dx

L'angle des deux éléments voisins, avant la déformation , est mesuré par dr, ; on a donc :

rf'^ = î^dr,,

le signe A représente l'accroissement algébrique dû à la déformation ; on tire de là :

ds dx dx' dx^

L'équation de la déformation devient :

dx"^

\y est le déplacement vertical d'un point de la fibre moyenne; on peut le considérer comme une ordonnée; c'est

INTEGRATION GRAPHIQUE. 495

l'ordonnée de la fibre mo^'enne déformée quand ou pren<l la libre moyenne non déforniée comme ligue de repèi'e ; nous pouvons donc convenir de designer cette ordonnée par y , au lieu de la désigner par \y. On a alors lequation :

Si la fîbre moyenne non djfoi'm'^â est rigoureusement droite et horizontale, y est une ordonnée ordinaire. Sinon, y a une signification plus compliiiuâc; mais il est facile de ramener ce dernier cas au premier. En efïet, rectifions par la pensée la ligne des repères des y , en conservant les mêmes ordonnées pour Ja fibre moyenne déformée; l'équation de la déformatiim i)rouve que M ne change pas ; l'état de sollicitation de la nouvelle poutre est donc le mémo que celui de la poutre donnée ; on est ramené au cas d'une poutre rigoureusement droite. Il importe de remarquer cependant, qu'il faut faire subir aux ordonnées des appuis et des lignes d'encastrements, les mêmes opérations qu'aux ordonnées y.

De l'équation (2), on tire :

vn == / Udx (3)

zy = ffUdx (4)

Il résulte de là , qu'en intégrant deux fois la ligne des M, on obtient successivement deux lignes dont les ordonnées représentent zr, et zy. Mais le coefiicient i est constant ; ces deux intégrales représentent donc aussi /; et ?/ à une échelle que dépend de s et des bases d'intégration (55). Nous désignerons la première sous le nom de courbe des r, ou des inclinaisons , la seconde sous le nom de courbe des y ou des déformations. Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant : La courhe des inclinaisons est V intégr aie premicre delà liyne des moments fléchissants; la courhe des déformations est Vintégrale seconde de cette même ligne des moments fléchissants.

En résumé, on obtient successivement les lignes desK, des ■/;,des y, en intégrant quatre fois la courbe des charges. Mais les intégrales successives sont aussi des courbes de moments ) 105 ) ; les intégrales secondes sont des lignes de résultantes

OU courbes funiculaires ( 132 , 133); on peut donc déduire du théorème précédent les corollaires suivants.

Considérons la surface engendrée par les ordonnées de la courbe des charges; assimilons les forces isolées à des surfaces finies comprises entre les deux ordonnées infiniment rapprochées; la ligne des K représente ces surfaces; la ligne des M, les moments statiques de ces surfaces; la ligne des y;, les moments d'inertie divisés par 2; la ligne des y, les moments du second ordre divisés par 6.

Considérons la surface engendrée par les ordonnées de la ligne desK. La ligne des M représente ces surfaces ; la ligne des •/] , leurs moments statiques; la ligne des y, leurs moments d'inertie divisés par 2.

Considérons la surface engendrée par les ordonnées de la ligne des M. La ligne des /; représente ces surfaces; la ligne des y, leurs moments statiques. Enfin la ligne des y représente aussi les aires^engendrées parles ordonnées de la ligne des y;.

Si on compose les charges avec une force auxiliaire, on obtient une ligne des résultantes; la ligne des M est une de ces lignes; c'est donc aussi la courbe funiculaire d'un fil inextensible portant les mêmes charges que la poutre. Si on opère de la même manière sur les charges fictives représentées par la ligne des K , on obtient la ligne des •/; pour ligne des résultantes et pour courbe funiculaire. Enfin , si on opère de même sur les charges fictives représentées par la ligne des M , on obtient la ligne des y pour ligne des résultantes et pour courbe funiculaire.

5 lO. Règles d^intêgralioii. — Nous avons vu (69) que l'on peut obtenir exactement et très élégamment les n intégrales successives d'une droite; cette règle nous permettra de déterminer rigoureusement, par polygones semi-circonscrits, les hgnes des K, des M, des r, et des y , dans les cas où la poutre supporte des forces isolées ou des charges uniformément réparties.

Cette méthode s'applique aussi au cas où la courbe des charges serait formée d'arcs paraboliques de degré quelconque ; on considère alors chacun de ces arcs comme l'intégrale simple ou multiple d'une ligue droite.

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Si, par exemple, nous reprenons la figure 30 du livre II , nous pouvons considérer p = ka comme une charge uniformément répartie sur un tronçon de poutre ; la ligne des K est la droite A,Bj ; la ligne des M est une parabole du second degré dont les tangentes extrêmes sont Aj/^ et ^jB^; la ligne des Tt est une parabole du troisième degré dont les tangentes extrêmes sont \-^r^ et 53B3; enfin la ligue des y est une parabole du quatrième degré dont les tangentes extrêmes sont A^r^ et ^^B^. Pour simplifier le langage, nous désignerons les polygones semi-circonscrits que l'on obtient ainsi par polygones cCinlégrution ; les sommets de ces polygones se trouvent sur les verticales qui divisent le tronçon de poutre en un certain nombre de parties égales; ces verticales sont les directrices de l'intégratmi.

Dans les applications , on peut quelquefois réduire le nombre de côtés du polygone final en utilisant la proposition suivante : la corde qui joint deux sommets d'un xmJygone d intégration est Vintégrale de l'ordonnée du centre de gravité des extrémités des dérivées des côtés sous-tendus. Ainsi la corde A4B4, dont il vient d'être question, est l'intégrale de l'ordonnée du centre de gravité des points A3, ^3,53, Bj. Enefi'et, soient r,Q , /;,, r,^, yjj, les ordonnées de ces points ; de A* eu B4 , l'accroissement de l'intégrale finale est :

on sait que la quantité qui multiplie Ji est l'ordonnée du centre de gravité des points A3, ^3, s-^ B3; en intégrant cette ordonnée, on retrouvera donc la même corde A4B4.